FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité 5 3 Différentiabilité 8 4 Fonctions implicites 19 5 Développements limités 21 1 Fonctions partielles, courbes de niveau Exemple 1.1 i) Volume d un cylindre. Une fois fixées des unités (mètre et mètre cube par exemple), lorsque le rayon r et la longueur h d un cylindre varient dans R >0, le volume V = πr 2 h du cylindre varie dans R >0. On dit V est fonction des deux variables r et h. On dispose donc d une fonction réelle R 2 (r, h) R V (r, h) = πr 2 h de deux variables réelles. Cette fonction est définie sur son domaine D := {(r, h) R 2, r, h > 0} 1

2 B04 Version du March 13, 2009 et son image est R >0. Choisissons deux valeurs r 0 et h 0. Si on fixe le rayon r = r 0, alors on peut considérer la fonction partielle R h R V (r 0, h) = (πr0) 2 h (qui est linéaire). De même, si on fixe la longueur h = h 0, on peut considérer l autre fonction partielle R R r V (r, h 0 ) = (πh 0 ) r 2 (qui est cette fois quadratique). Lorsqu on donne différentes valeurs V i à V, on obtient ce qu on appelle les courbes de niveau d équations πr 2 h = V i : Enfin, le graphe de V est la surface de R 3 d équation V = πr 2 h, c est à dire l ensemble des points de la forme (r, h, πr 2 h) avec r, h > 0. ii) Température en un point d une pièce à un moment donné. Dans une pièce de longueur L, largeur l et hauteur h, on peut mesurer pendant une période donnée (disons, une heure) la température en un point donné à un moment donné. Si on fixe des unités (mètre et seconde par exemple), le coin en bas à gauche comme origine de la pièce et le moment de la première mesure comme origine du temps, la température T est fonction des coordonnées x, y, z du point et du moment t ou la température est prise. En d autres termes, T est fonction de x, y, z, t. On a définit donc une fonction réelle R 4 T R (x, y, z, t) T (x, y, z, t) de quatre variables réelles. Quel est le domaine de définition de cette fonction? Définition 1.2 On rappelle que R 2 désigne l ensemble de tous les couples (x, y) avec x R et y R. Une partie de R 2 est un ensemble de couples de réels. Exemple 1.3 i) Le quadrant droit du plan.

B04 Version du March 13, 2009 3 Il peut être décrit comme Q = {(x, y) R 2, x, y 0} ou encore comme Q = R >0 R >0. ii) Le cercle unité. Il peut être décrit comme C = {(x, y) R 2, x 2 + y 2 = 1} (en compréhension : condition) mais aussi comme l ensemble C = {(cos θ, sin θ), θ R} (en extension : paramétrisation). Définition 1.4 Une fonction réelle de deux variables réelles est une méthode qui associe à certains couples de réels (x, y), un autre réel f(x, y). On écrit R 2 f R (x, y) f(x, y) Son domaine de définition est la partie D f de R 2 formée des couples (x, y) pour lesquels f(x, y) existe. L image (du domaine) de f est l ensemble de toutes les valeurs que f(x, y) peut prendre. Exemple 1.5 La fonction f(x, y) = xy 5 2 est définie lorsque le point de coordonnées (x, y) est situé au dessus de la parabole y > x 2 y x2. On peut montrer que son image est R tout entier. Définition 1.6 Étant donne une fonction f : R 2 R et un point (a, b) de R 2, les fonctions partielles sont les fonctions d une variable réelle obtenue en fixant y = b, R R x f x (x, b) = f(x, b) ou en fixant x = a, R y R f y (a, y) = f(a, y).

4 B04 Version du March 13, 2009 Définition 1.7 (Généralisation) On désigne par R n l ensemble de tous les n- uples (x 1,..., x n ) avec x 1,..., x n R. Alternativement, on verra les éléments de R n comme des vecteurs u = (x 1,..., x n ) ou des points P = (x 1,..., x n ). La correspondance étant donnée par u = OP. Une partie de R n est tout simplement un ensemble de n-uples de réels. Une fonction réelle de n variables réelles est une méthode qui associe à certains n-uples (x 1,..., x n ), un autre réel f(x 1,..., x n ). On écrit R n f R (x 1,..., x n ) f(x 1,..., x n ) Son domaine de définition est la partie D f de R n formée des points P pour lesquels f(p ) existe. L image (du domaine) de f est l ensemble de toutes les valeurs que f(p ) peut prendre. Enfin, les fonctions partielles en un point (a 1,..., a n ) sont les fonctions d une variable réelle obtenue en faisant varier seulement x i : R n f R x f xi (a 1,..., a i 1, x, a i+1,... a n ) = f(a 1,..., a i 1, x, a i+1,... a n ) xye z Exemple 1.8 La fonction f(x, y) = es définie lorsque le point x2 + y 2 + z 2 1 de coordonnées (x, y, z)est situé en dehors de la sphère unité x 2 + y 2 + z 2 1. On peut voir que son image est encore R tout entier. Définition 1.9 Le graphe d une fonction f : R 2 R est la «surface» G(f) R 3 formée de tous les triplets de la forme (x, y, f(x, y)) avec (x, y) D f. Exemple 1.10 Par exemple, si f(x, y) = xy 5 2 y x 2, alors G(f) = {(x, y, xy 5 2 y x 2 ), y > x2 }. Définition 1.11 (Généralisation) Le graphe d une fonction f : R n R est G(f) = {(P, f(p )), P D f } R n+1. Définition 1.12 Les courbes de niveau d une fonction f : R 2 R sont les courbes planes d étquation f(x, y) = k avec k fixé. Une courbe de niveau d une fonction f est donc la même chose qu une courbe de niveau de son graphe G(f). Exemple 1.13 La fonction f(x, y) = y 2 x 2.

B04 Version du March 13, 2009 5 Définition 1.14 Les courbes de niveau d une surface S dans R 3 sont les courbes obtenues en coupant S avec un plan d équation z = k et en projetant sur le plan xoy. Proposition 1.15 Une courbe de niveau d une fonction f est la même chose qu une courbe de niveau de son graphe G(f). Définition 1.16 Si f est une pression, on dit courbe isobare. Si f est une température, on dit courbe isotherme. Si f est un potentiel, on dit courbe equipotentielle Si f est une altitude, on dit courbe isoplèthe. etc. 2 Limites et continuité Définition 2.1 Soit f : R 2 R une fonction réelle de deux variables réelles, (a, b) un point de R 2 et l R. Alors, f(x, y) a pour limite l quand (x, y) tend vers (a, b) si pour tout intervalle ouvert I contenant l, il existe un disque ouvert D contenant (a, b) tel que l image de D \ (a, b) par f est contenu dans I. Autrement dit, ɛ > 0, η > 0, (x, y) (a, b), On écrira (x a) 2 + (y b) 2 η f(x, y) l ɛ lim f(x, y) = l ou lim f = l. (a,b) (x,y) (a,b) Définition 2.2 Les coordonnées polaires de (x, y) en (a, b) sont données par { x = a + ρ cos θ y = b + ρ sin θ avec ρ = (x a) 2 + (y b) 2 et θ [0, 2π[. Proposition 2.3 (Méthode des majorations) On a lim (a,b) f(x, y) = l si et seulement si il existe F : R 0 R tel que f(x, y) l F (ρ) et lim ρ 0 F (ρ) = 0.

6 B04 Version du March 13, 2009 x 2 y 2 Exemple 2.4 On a lim = 0 : en effet, (0,0) x 2 + y2 x 2 y 2 x 2 + y = ρ2 2 4 sin2 2θ ρ2 4 0 quand ρ 0. Proposition 2.5 (Méthode des chemins) S il existe deux «chemins continus» α, β : R R 2 tels que α(0) = β(0) = (a, b) et lim 0 (f α) lim 0 (f β), alors f n a pas de limite en (a, b). x 2 y 2 Exemple 2.6 n a pas de limite en (0, 0) : il suffit de choisir α(t) = (t, 0) x 4 + y4 et β(t) = (t, t). On trouve d un coté 0 et de l autre 1. 2 Définition 2.7 Une fonction f : R 2 R est continue en (a, b) R 2 si f(a, b) = lim (a,b) f(x, y). La fonction f est continue si f est continue en tout point de D f. Exemple 2.8 i) La fonction f(x, y) = x 2 y 2 x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) 0 sinon est continue en (0, 0). ii) la fonction f(x, y) = n est pas continue en (0, 0). x 2 y 2 x 4 + y 4 si (x, y) (0, 0) 0 sinon Proposition 2.9 Soit f : R 2 R une fonction continue (sur son domaine) et (a, b) D f. Alors l = lim f(x, y) existe si et seulement si f se prolonge par continuité (a,b) en (a, b) et on a alors f(a, b) = l. Exemple 2.10 Soit f : R 2 R une fonction réelle de deux variables réelles. i) f(x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2 se prolonge par continuité sur R2 en posant f(0, 0) = 0.

B04 Version du March 13, 2009 7 ii) f(x, y) = x2 y 2 ne peut pas se prolonger par continuité. x 4 + y4 Proposition 2.11 Si f et g sont continues en (a, b), alors f + g, fg et f g g(a, b) 0 dans le dernier cas). aussi (si Corollaire 2.12 Toute fonction rationnelle est continue (sur son domaine de définition). Exemple 2.13 x 2 y 2 x 2 + y et x 2 y 2 sont bien continues sur leur domaine. 2 x 2 + y4 Proposition 2.14 i) Si α : R R 2 est continue en t et f est continue en (a, b) = α(t), alors f α est continue en t. ii) Si f est continue en (a, b) et h : R R est continue en f(a, b), alors h f est continue en (a, b). Exemple 2.15 On sait que la fonction f(x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2 se prolonge par continuité sur R 2 en posant f(0, 0) = 0 et la fonction sin est continue sur R. Il suit que la fonction «est» continue sur R 2. g(x, y) = sin( x2 y 2 x 2 + y 2 ) Définition 2.16 (Généralisation) Soit f : R n R une fonction de n variables réelles, P 0 R n et l R. Alors, f(p ) a pour limite l quand P tend vers P 0 si pour tout intervalle ouvert I contenant l, il existe une boule ouverte B contenant P 0 tel que l image de B \ P 0 par f est contenu dans I. On écrira lim P0 f(p ) = l ou lim P P 0 f = l. Si u = (x 1,..., x n ) R n, la norme de u est u = x 2 1 + + x 2 n. Si P = (x 1,..., x n ) R n et Q = (y 1,..., y n ) R n, la distance de P à Q est d(p, Q) = P Q = (y 1 x 1 ) 2 + + (y n x n ) 2.

8 B04 Version du March 13, 2009 On voit alors que lim P P 0 f = l si et seulement si ɛ > 0, η > 0, P P 0, d(p 0, P ) η f(x, y) l < ɛ. La fonction f est continue en P 0 si f(p 0 ) = l. Proposition 2.17 Ces notions sont stables par somme, produit et quotient. Définition 2.18 (Généralisation) Une fonction vectorielle f : R m R n est une méthode qui associe à certains vecteurs (ou points) de R m, un vecteur (ou point) de R n. Si on écrit f(p ) = (f 1 (P ),..., f n (P )), on dit que les fonctions vectorielles f 1,..., f n : R m R sont les composantes de f. Exemple 2.19 L application qui à un point du cercle associe son vecteur tangent orienté normalisé est une fonction vectorielle. C est tout simplement l application (x, y) ( y, x) restreinte au cercle unité. Ses composantes sont les fonctions (x, y) y et (x, y) x. Définition 2.20 Une fonction vectorielle est continue (en un point) si et seulement si toutes ses composantes sont continues (en ce point). Exemple 2.21 f(x, y) = (xy, (x 2 + y 2 )e xy, x sin(x + y 3 )) est continue partout. Proposition 2.22 f est continue en P 0 si et seulement si ɛ > 0, η > 0, P D f, d(p 0, P ) η d(f(p 0 ), f(p )) < ɛ. Proposition 2.23 (Généralisation) La continuité est stable par composition. 3 Différentiabilité Définition 3.1 Si f : R 2 R, les dérivées partielles de f en (a, b) R 2 sont les dérivées des fonctions partielles (si elles existent) : (a, b) := f x(a, f(a + h, b) f(a, b) b) = lim h 0 h et (a, b) := f y(a, f(a, b + h) f(a, b) b) = lim. h 0 h Le gradient de f en (a, b) est alors le vecteur f(a, b) = ( (a, b), (a, b))

B04 Version du March 13, 2009 9 Exemple 3.2 Si f(x, y) = x 2 y 2 x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) 0 sinon on a f x (x, 0) = f(x, 0) = 0 et donc (0, 0) = f x(0, 0) = 0. Symétriquement, (0, 0) = 0 et on a donc f(0, 0) = (0, 0). Calculons (1, 1). On a f x(x, 1) = f(x, 1) = si bien que (1, 1) = f x(1, 1) = 4 2 = 1. 4 2 x2 et donc f x 2 +1 x(x, 1) = 2x(x2 +1) 2x(x 2 ) (x 2 +1) 2 En général, on écrira aussi f(x + x, y) f(x, y) (x, y) = lim x 0 x si bien que f = (, ). et (x, y) = lim y 0 f(x, y + y) f(x, y). y Exemple 3.3 Calculons f lorsque i) x 2 y 2 si (x, y) (0, 0) f(x, y) = x 2 + y 2 0 sinon ii) On a déjà vu que f(0, 0) = (0, 0). Pour calculer, on considère y comme constant et on dérive par rapport à x. Pour (x, y) (0, 0), on a donc (x, y) = 2x(x2 y 2 ) 2xy 2 (x 2 + y 2 ) = 2xy4 (x 2 + y 2 ) 2 (x 2 + y 2 ) 2 et par symétrie, on aura donc On voit facilement que 2xy 4 f(x, y) = ( (x 2 + y 2 ), 2x 4 y 2 (x 2 + y 2 ) ). 2 f(x, y) = f(x, y) = xy x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) 0 sinon { ( y(x 2 y 2 ), x(y2 x 2 ) ) (x 2 +y 2 ) 2 (x 2 +y 2 ) 2 si (x, y) (0, 0) (0, 0) sinon Pour le second cas, c est clair et pour le premier cas, il suffit par symétrie de calculer (x, y) = 2x(xy) y(x2 + y 2 ) = y(x2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 2 (x 2 + y 2 ). 2 On voit donc que f existe tout le temps mais pourtant, f n est pas continue en 0!

10 B04 Version du March 13, 2009 Définition 3.4 Étant donné une fonction f : R 2 R, un point P := (a, b) et un vecteur v = (α, β), la dérivée de direction v en P de f est la dérivée en P de la fonction directionnelle t f(a + tα, b + tβ) : f (α,β)(a, f(a + tα, b + tβ) f(a, b) b) = lim. t 0 t On a en particulier f x = f (1,0) et f y = f (0,1). Exemple 3.5 La fonction de direction (1, 1) en (0, 0) associée à f(x, y) = x 2 y 2 x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) 0 sinon est t t2 et sa dérivée est donc la fonction identique t t. On voit donc que 2 (0, 0) = 0. f (1,1) Définition 3.6 Le produit scalaire de deux vecteurs de (α, β) et (h, k) de R 2 est (α, β) (h, k) = αh + βk. Définition 3.7 Une fonction f := R 2 R est différentiable en (a, b) si elle admet des dérivées partielles en (a, b) et qu en plus, lim (x,y) (a,b) f(x, y) f(a, b) (a, b)(x a) (a, b)(y b) = 0. h2 + k 2 La fonction f est différentiable si f est différentiable en tout point de D f. Exemple 3.8 La fonction f(x, y) = x 2 y 2 x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) 0 sinon est différentiable en (0, 0) : En effet, on a ɛ(x, y) = f(x, y) f(0, 0) f(0, 0) (x, y) x2 + y 2 = x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 x 2 y 2 y 2 x 2 + y 2 = x 2 x2 + y 2 x2 x = x et bien sûr, x 0 quand ρ 0 (car x < ρ).

B04 Version du March 13, 2009 11 Rappelons que le produit scalaire de deux vecteurs de (α, β) et (h, k) de R 2 est (α, β) (h, k) = αh + βk. Si on pose P = (x a, y b) et f(p ) = f(x, y) f(a, b), la condition de différentiabilité en (x, y) se réécrit : f(p ) = f(p 0 ) P + o( P ). Théorème 3.9 Si f : R 2 R est différentiable en (a, b), alors f est continue en (a, b). Définition 3.10 Une fonction f : R 2 R est de classe C 1 si ses dérivées partielles existent et sont continues (sur son domaine de définition). Exemple 3.11 Avec f(x, y) = on calcule pour (x, y) (0, 0), x 2 y 2 x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) 0 sinon (x, y) (0, 0) = 2xy 4 0 (x 2 + y 2 2xy4 = 2 x 0. ) 2 y4 On voit dont que est continue et il en va de même de fonction est donc de classe C 1. Théorème 3.12 Si f est de classe C 1, alors f est différentiable. par symétrie. Notre Exemple 3.13 i) La fonction f(x, y) = x3 y prolongée par 0 à l origine est x 4 + y 2 continue, possède des dérivées partielles mais n est pas différentiable (et donc pas de classe C 1 ). On vérifiera ça plus tard. ii) La fonction f(x, y) = xy3 prolongée par 0 à l origine est de classe x 4 + y 2 C1 (exercice). Elle est donc différenciable et en particulier continue. Proposition 3.14 Si f : R 2 R et g : R 2 R sont différentiables en (a, b), alors f + g est différentiable en (a, b) et on a (f+g) (a, b) = g (a, b) + (a, b) (f+g) (a, b) = g (a, b) + (a, b)

12 B04 Version du March 13, 2009 Figure 1 Surface pincée z = x3 y x 4 +y 2 Figure 2 Surface lisse z = xy3 x 4 +y 2

B04 Version du March 13, 2009 13 ii) i) fg est différentiable en (a, b) et (fg) (a, b) = g(a, b) g (a, b) + f(a, b) (a, b) (fg) (a, b) = g(a, b) g (a, b) + f(a, b) (a, b) iii) Si g(a, b) 0, alors f g ( f g ) 1 (a, b) = [g(a, b) g(a,b) 2 est différentiable en (a, b) et g (a, b) f(a, b) (a, b)] ( f g ) 1 (a, b) = [g(a, b) g (a, b) f(a, b) (a, b)] g(a,b) 2 Corollaire 3.15 Si f et g sont de classe C 1 alors f + g, fg et f g aussi. Corollaire 3.16 Une fonction rationnelle est de classe C 1. Proposition 3.17 Supposons que f : R 2 R est différentiable en (a, b) R 2. i) Si h : R R est dérivable en f(a, b), alors h f est dérivable en (a, b) et c est à dire (h f) (a, b) = h (f(a, b)) (h f) = h (f(a, b)) f(a, b), (a, b) et (h f) (a, b) = h (f(a, b)) (a, b) ii) Si γ : R R 2 est dérivable en t 0 (ses composantes γ 1 et γ 2 sont dérivables) et γ(t 0 ) = (a, b), alors f γ est dérivable en t 0 et c est à dire, Exemple 3.18 (f γ) (t 0 ) = f(a, b) (γ 1(t 0 ), γ 2(t 0 )), (f γ) (t 0 ) = (a, b)γ 1(t 0 ) + (a, b)γ 2(t 0 )) i) On sait que la fonction f(x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2 se prolonge en une fonction C 1 sur R 2 et que son gradient est nul en 0. Il suit que la fonction g(x, y) = sin( x2 y 2 x 2 + y 2 ) «est» est C 1 sur R 2 et que son gradient aussi est nul en 0.

14 B04 Version du March 13, 2009 x3 y ii) La fonction f(x, y) = prolongée par 0 à l origine n est pas différentiable : en effet, si on pose α(t) = (t, t 2 ), on x 4 + y 2 a (f α)(t) = t3 t 2 t 4 + t 4 = t 2 qui est aussi valide pour t = 0 si bien que (f α) (t) = 1. Or on a 2 f(0, 0) (α 1(0), α 2(0)) = (0, 0) (0, 0) = 0. Proposition 3.19 Si f : R 2 R est différentiable en (a, b), alors toutes les dérivées directionnelles existent en (a, b) et on f (α,β)(a, b) = f(a, b) (α, β) On résume en f v = f v. Il suit que f v est maximal dans la direction de f (pour v fixé). Exemple 3.20 Avec f(x, y) = x 2 y 2 x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) 0 sinon comme d habitude, on retrouve bien f (1,1) (0, 0) = (0, 0) (1, 1) = 0. Définition 3.21 (Généralisation) Soit f : R n variables réelles. R une fonction réelle de n i) Les dérivées partielles de f en P 0 := (a 1,..., a n ) R n sont les dérivées des fonctions partielles (si elles existent) : i (P 0 ) := f x i (P 0 ) Le gradient de f en P est alors le vecteur f(p ) = ( 1 (P 0 ),..., n (P 0 )) R n ii) Étant donné un vecteur v R n, la dérivée de de direction v en P de f est la dérivée en P de la fonction directionnelle t f(p + tv) iii) La fonction f est différentiable en P si elle admet des dérivées partielles en P et qu en plus, f(p ) = f(p 0 ) P + o( P ).

B04 Version du March 13, 2009 15 iv) La fonction f : R 2 R est de classe C 1 si ses dérivées partielles existent et sont continues. Théorème 3.22 (Généralisation) Si f : R n R est de classe C 1, alors f est différentiable. Et si f est différentiable, alors f est continue. Théorème 3.23 (Généralisation) Si f : R n R et g : R n R sont différentiables en P 0, alors i) f + g est différentiable en P 0 et ii) fg est différentiable en P 0 et (f + g)(p 0 ) = f(p 0 ) + g(p 0 ), (fg)(p 0 ) = g(p 0 ) f(p 0 ) + f(p 0 ) g(p 0 ) et iii) Si g(p 0 ) 0, alors f g est différentiable en (P 0) et ( f g )(P 0) = 1 g(p 0 ) 2 (g(p 0) f(p 0 ) f(p 0 ) g(p 0 )) Définition 3.24 (Généralisation) Une fonction vectorielle de plusieurs variables réelles f : R m R n est différentiable (en un point P de R m ) ou de classe C 1 si toutes ses composantes f 1,..., f n les sont. La jacobienne de f en P est la matrice J f (P ) = f 1 (P ). f n (P ) = 1 / 1 (P )... 1 / m (P ).. n / 1 (P )... n / m (P ). Exemple 3.25 i) Si f(x, y) = (x 2 + y 2, x 2 y 2, xy) et P = (2, 1), alors J f = 2x 2x y 2y 2y x et J f (P ) = 4 2 4 2 1 2. ii) La fonction (r, θ) (x, y) avec x = r cos θ et y = r sin θ a pour jacobienne [ ] cos θ sin θ. r sin θ r cos θ Théorème 3.26 (Généralisation) Si f : R m R n est différentiable en P R m et g : R n R p est différentiable en f(p ), alors g f est différentiable en P et on a Et de même pour C 1. J g f (P ) = J g (f(p )) J f (P ).

16 B04 Version du March 13, 2009 Corollaire 3.27 Si f : R m R n et g : R n R p sont C 1, alors g f aussi. Exemple 3.28 (Changement de variable) i) Si u et v dépendent de x et y, on peut voir une fonction f de u et v comme fonction de x et y et (sous réserve d existence), on aura = u u + v v = u u + v v En effet, dire que u et v dépendent de x et y signifie qu il existe une fonction vectorielle ϕ : R 2 R 2 (x, y) (u, v) Et dire qu on voit f comme fonction de x et y signifie qu on regarde la fonction composée f ϕ. On a alors J f φ (x, y) = J f (u, v) J φ (x, y). On réécrit ça en [ ] = [ u v ] [ u v. ] u v ii) Comme cas particulier, on peut regarder les coordonnées polaires { x = a + r cos θ y = b + r sin θ r = cos θ + sin θ θ = r sin θ r cos θ iii) Comme application, on peut voir que f v =. Plus précisément, si v est le r vecteur de norme 1 et d angle θ, on a f v(a, b) = f(a, b) (cos θ, sin θ) = (a, b) cos θ +. (a, b) sin θ = (a, b). r Définition 3.29 Une courbe C dans R n est l image d un chemin α : R R n. Si α est dérivable en t et α(t) = P, la droite dirigée par α (t) est dite tangente à C en P. Exemple 3.30 Le cercle est l image du chemin α : t (cos t, sin t). Sa dérivée est α : t (sin t, cos t). On a α( π) = (0, 1) et 2 α ( π ) = ( 1, 0). Il y a donc une 2 tangente horizontale en (0, 1).

B04 Version du March 13, 2009 17 Définition 3.31 Le plan tangent à une surface S R 3 en un point P S est l ensemble de toutes les tangentes aux courbes tracées sur S passant par P. Attention : ce n est pas toujours un plan (considérer l origine d un cône par exemple). Proposition 3.32 Soit F : R 3 R différentiable et S := {(x, y, z) R 3, F (x, y, z) = 0}. Soit P := (a, b, c) S avec F (P ) 0. Alors, le plan tangent à S en P a pour équation F F F (P )(x a) + (P )(y b) + (P )(z c) = 0. z Exemple 3.33 i) Le plan tangent un point, par exemple P = (1, 0, 0) de la sphère unité x 2 + y 2 + z 2 = 1. On a donc F (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 1 si bien que F = 2x, F = 2y et F z = 2z et alors F F (P ) = 2, (P ) = 0 et F (P ) = 0. z Le plan tangent à donc pour équation 2(x 1)+0y +0z = 0, c est à dire x = 1. ii) Il n y a pas de plan tangent à l origine P = (0, 0, 0) du cône d équation x 2 +y 2 = z 2 car F (0, 0, 0) = (0, 0, 0). Corollaire 3.34 Soit S le graphe d une fonction différentiable f : R 2 P = (a, b) R 2. Le plan tangent à (a, b, f(a, b)) a pour équation z = f(a, b) + (P )(x a) + (P )(y b). R et Exemple 3.35 Pour f(x, y) = x 2 + y 2 et P = (0, 0), le graphe est un bol posé sur le plan tangent qui n est autre que le plan xoy. Définition 3.36 Une fonction f : R 2 R est de classe C 2 si les dérivées partielles (existent et) sont de classe C 1. En général, on note f xx = 2 f 2 := ( ), f yx = 2 f := ( ) f xy = 2 f := ( ) et f yy = 2 f 2 := ( ).

18 B04 Version du March 13, 2009 Exemple 3.37 f(x, y) = xy 3 x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) 0 sinon On a et (x, y) = 0. On voit donc que et il suit donc que D autre part, on a (x, y) = y3 (x 2 + y 2 ) 2x 2 y 3 = y3 (y 2 x 2 ) (x 2 + y 2 ) 2 (x 2 + y 2 ) 2 (0, y) = y5 (y 2 ) 2 = y 2 f (0, 0) = 1. (x, y) = 3xy2 (x 2 + y 2 ) 2xy 4 = xy2 (3x 2 + y 2 ) (x 2 + y 2 ) 2 (x 2 + y 2 ) 2 et bien sûr (x, y) = 0. On voit donc que et il suit donc que (0, x) = 0 2 f (0, 0) = 0 2 f (0, 0). Théorème 3.38 (de Schwartz) Si f : R 2 R est C 2, alors Exemple 3.39 La fonction n est pas de classe C 2. f(x, y) = 2 f = 2 f. xy 3 x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) 0 sinon Définition 3.40 (Généralisation) i) Une fonction f : R 2 R est de classe C k si toutes les dérivées partielles jusqu à l ordre k existent et sont continues. Grâce au théorème de Schwartz, il suffit de considérer les i+j f i j, i + j k.

B04 Version du March 13, 2009 19 ii) Une fonction f : R n R est de classe C k si toutes les dérivées partielles existent et sont continues. i 1+ +i n f i, i 1 1 + i n k. 1 in n iii) Une fonction vectorielle f : R m R n est de classe C k si toutes ses composantes le sont. Théorème 3.41 (Généralisation) Être de classe C k est stable par somme, produit, quotient et composition. 4 Fonctions implicites Définition 4.1 i) Un voisinage d un réel a est une partie V de R qui contient un intervale (ouvert) I contenant x. ii) Un voisinage V de (a, b) R 2 est une partie V R 2 qui contient un disque (ouvert) contenant P. iii) Un voisinage V d un point P de R n est une partie qui contient une boule (ouverte) contenant P. Exemple 4.2 i) ] 1, 1[ est un voisinage de 0 dans R. Mais pas [0, 1]. ii) V := {(x, y), 0 x, y 1} est un voisinage de (1/2, 1/2) dans R 2. iii) R \ {(x, 0), x > 0} n est pas un voisinage de (0, 0) dans R 2. Définition 4.3 Soit F : R 2 R et (a, b) R 2 tel que F (a, b) = 0. On dit que l équation F (x, y) = 0 définit y comme fonction implicite de x au voisinage de (a, b) s il existe ϕ : R R telle que ϕ(a) = b et y = ϕ(x) F (x, y) = 0 au voisinage de (a, b). On verra alors y comme fonction de x au voisinage de a avec y(a) = b (c est à dire qu on écrira y au lieu de ϕ).

20 B04 Version du March 13, 2009 Exemple 4.4 i) L équation x = y 2 définit y comme fonction implicite de x au voisinage de (1, 1) : prendre y = x. Mais ça définit aussi y comme fonction implicite de x au voisinage de (1, 1) : prendre y = x. ii) xy = 0 ne définit pas y comme fonction implicite de x au voisinage de (0, 0). Théorème 4.5 Si F : R 2 R est C 1 au voisinage de (a, b) et ( F/)(a, b) 0, alors F (x, y) = 0 définit y comme fonction implicite de x au voisinage de (a, b) et on a y ( F/)(a, b) (a) = ( F/)(a, b). Exemple 4.6 Si F (x, y) = x y 2, on a ( F/) = 1 et ( F/) = 2y si bien que ( F/)(1, 1) = 2 0. On voit donc que y est fonction implicite de x avec y(1) = 1. De plus, comme ( F/)(1, 1) = 1 et on aura y (1) = 1 = 1. Ici, 2 2 comme on sait que y = x, on peut le vérifier en remarquant que y = 1 Définition 4.7 (Généralisation) Soit F : R 3 R et P 0 = (a, b, c) R 3 tel que F (P 0 ) = 0. On dit que l équation F (x, y, z) = 0 définit z comme fonction implicite de x et de y au voisinage de P 0 s il existe ϕ : R 2 R telle que ϕ(a, b) = c et z = ϕ(x, y) F (x, y, z) = 0 au voisinage de P 0. On verra alors z comme fonction de (x, y) au voisinage de (a, b) avec z(a, b) = c. 2 x. Exemple 4.8 L équation x 2 + y 2 + z 2 = 1 définit z comme fonction implicite de x, y au voisinage de (0, 0, 1) : on a en fait z = 1 x 2 y 2. Théorème 4.9 (Généralisation) Si F : R 3 R est C 1 au voisinage de P 0 := (a, b, c) et ( F/ z)(p 0 ) 0, alors F (x, y, z) = 0 définit z comme fonction implicite de x et y au voisinage de P 0 et on a z (a, b) = ( F/)(P 0) ( F/ z)(p 0 ) Exemple 4.10 L équation et z (a, b) = ( F/)(P 0) ( F/ z)(p 0 ). z 3 + 2z + e z x y2 = cos(x y + z) définit z comme fonction implicite de x, y à l origine. On pose F (x, y, z) = z 3 + 2z + e z x y2 cos(x y + z)

B04 Version du March 13, 2009 21 et on vérifie que F (0, 0, 0) = 0. Puis on calcule F/ = e z x y2 + sin(x y + z),, F/ = 2ye z x y2 sin(x y + z) On en déduit que et F/ z = z 2 + 2 + e z x y2 + sin(x y + z). ( F/)(0, 0, 0) = 1, ( F/)(0, 0, 0) = 0 et ( F/ z)(0, 0, 0) = 3 et on voit en particulier que ( F/ z)(0, 0, 0) 0 et on aura z (0, 0) = 1 3 et z (0, 0) = 0. La même chose en pratique, on vérifie d abord que l origine satisfait bien l équation : 0 + 0 + 1 = cos 0. Puis on fait x = y = 0 et on dérive les deux membres par rapport à z pour trouver 3z 2 + 2 + e z et sin(z) puis on fait z = 0, ce qui donne 3 0. Pour calculer la valeur de la dérivée partielle de z par rapport à x, on fait y = 0 et on dérive par rapport à x, ce qui donne en (x, 0), 3z 2 z + 2 z + ( z 1)ez x = (1 + z ) sin(x + z) puis on fait x = z = 0, ce qui donne 2 z z z (0, 0)+( (0, 0) 1) = 0 et donc (0, 0) = 1. 3 On fait ensuite la même chose pour la dérivée partielle de z par rapport à Y. On fait x = 0 et on dérive par rapport à y, ce qui donne en (0, y), 3z 2 z + 2 z + ( z 2y)ez y2 puis on fait y = z = 0, ce qui donne 2 z (0, 0) + z = (1 z ) sin(x + z) z (0, 0) = 0 et donc (0, 0) = 0. 5 Développements limités Remarque 5.1 Si g : R R est continue sur [0, 1] et dérivable sur ]0, 1[, il existe θ ]0, 1[ telle que g(1) = g(0) + g (θ). Théorème 5.2 (des accroissements finis) Si f : R 2 R est différentiable sur le segment [P 0, P ], et P := P 0 P comme d habitude, il existe P 1 ]P 0, P [ tel que f(p ) = f(p 0 ) + f(p 1 ) P. En d autres termes, si P 0 = (a, b) et P = (x, y), on a f(x, y) = f(a, b)+ (a+θ(x a), b+θ(y b)) (x a)+ (a+θ(x a), b+θ(y b)) (y b) avec θ ]0, 1[.

22 B04 Version du March 13, 2009 Définition 5.3 Si f : R 2 R est de classe C 2, le Hessien de f en P = (a, b) est la matrice 2 f (a, b) 2 f (a, b) H f (P ) := 2 2 f (a, b) 2 f. (a, b) 2 On le verra comme une application de R 2 dans R en associant à un vecteur v = (α, β) R 2, le réel v H f (P ) v := 2 f 2 (a, b)α2 + 2 2 f (P )αβ + 2 f 2 (P )β2. Exemple 5.4 Si f(x, y) = (x 2 + y 2 )e x y, on peut calculer f et H f partout. On a si bien que H f := f = ( (2x + x 2 + y 2 )e x y, (2y x 2 y 2 )e x y) (2 + 4x + x 2 + y 2 )e x y (2y 2x x 2 y 2 )e x y (2y 2x x 2 y 2 )e x y (2 4y + x 2 + y 2 )e x y. En particulier f(0, 0) = (0, 0) et H f (0, 0) = [ 2 0 0 2 ] correspond à la forme quadratique correspondante est (x, y) 2x 2 + 2y 2. Proposition 5.5 (de Taylor-Lagrange) Si f : R 2 R est de classe C 2 il existe P 1 ]P 0, P [ tel que f(p ) = f(p 0 ) + f(p ) P + 1 2 ( P H f(p 1 ) P ). En d autres termes, si P 0 = (a, b) et P = (x, y), on a f(x, y) = f(a, b) + (a, b)(x a)) + (a, b)(x b)) + 2 f 2 (P 1)(x a) 2 + 2 2 f (P 1)(x a)(y b) + 2 f 2 (P 1)(x b) 2 avec P 1 = (a + θ(x a), b + θ(x b)) et θ ]0, 1[.

B04 Version du March 13, 2009 23 Remarque 5.6 On retrouve en particulier la définition de la différentiabilité en P : f(p ) = f(p 0 ) + f(p ) P + P ɛ(p ). avec ɛ(p ) 0 quand P P 0. En effet, si on pose M = H f (P 1 ) en prenant le sup des normes des entrées de la matrice, on a 1 ( P H 2 f(p 1 ) P ) M P 0. P Théorème 5.7 (Généralisation) Si f : R 2 R est de classe C k avec k 3, alors f(p ) = f(p 0 ) + f(p ) P + 1 2 ( P H f(p ) P ) + Corollaire 5.8 Si f : R 2 R est de classe C 3 avec k 3, alors f(p ) = f(p 0 ) + f(p ) P + 1 2 ( P H f(p ) P ) + P 2 ɛ(p ) avec ɛ(p ) 0 quand P P 0. Exemple 5.9 Avec Si f(x, y) = (x 2 + y 2 )e x y, on trouve donc f(x, y) = 0 + 0x + 0y + 1 2 (2x2 + y 2 ) + (x 2 + y 2 )ɛ(x, y)