Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette limite est nécessairement Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers, et f, tend vers Donc f n a pas de limite réelle en, f est définie sur R \ {, } Pour,,, f, = + = + Comme tend vers quand le couple, tend vers le couple,, il en est de même de f f, tend vers quand, tend vers, 3 f est définie sur R \ {, } Pour, f, = 3 4 = Quand tend vers par valeurs supérieures, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers + Donc f n a pas de limite réelle en, 4 f est définie sur R \ {, } Pour, f, = = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers + Donc f n a pas de limite réelle en, 5 f est définie sur R \ {,, R} Pour, f, + 3 = + 3 + + 3 Quand tend vers par valeurs supérieures, le couple, + 3 tend vers, et f, + 3 tend vers Donc f n a pas de limite réelle en, 6 f est définie sur R \ {,, R} cos =,, et donc f tend vers quand, tend vers, 7 f est définie sur R 3 privé du cône de révolution d équation + z = f,, = qui tend vers + quand tend vers par valeurs supérieures Donc f n a pas de limite réelle en,, 8 f + h, + k, l = h + k h k + l + 4h + 4k = gh, k, l gh,, tend vers 4 vers quand l tend vers Donc, f n a pas de limite réelle quand,, z tend vers,, 4 quand h tend vers et g,, l tend n o : f est définie sur R f est de classe C sur R \{, } en tant que fraction rationnelle dont le dénominateur ne s annule pas sur R \{, } Continuité en, Pour,,, f, f, = + + + = Comme tend vers quand le couple, tend vers le couple,, on a donc déduit que f est continue en, et finalement f est continue sur R f est de classe C au moins sur R lim,,,, f, = f, On en Dérivées partielles d ordre sur R \ {, } f est de classe C au moins sur R \ {, } et pour,,,, = + 3 3 + = 4 + 4 4 +, D autre part, pour,, f, = f, Donc pour,,, c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés http ://wwwmaths-francefr
Eistence de, et, Pour, f, f, et donc lim = Ainsi, partielles premières sur R définies par, =, = 4 4 4 +, R,, =, = f, f,, eiste et = =,, = De même,, = Ainsi, f admet des dérivées 4 + 4 4 + si,, si, =, 4 4 4 + si,, si, =, Continuité de et en, Pour,,,,, = 4 + 4 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + = Comme tend vers quand, tend vers,, on en déduit que,, tend vers quand, tend vers, Donc la fonction est continue en, et finalement sur R Il en est de même de la fonction et on a montré que f est au moins de classe C sur R et n o 3 : On pose D = {,, R} puis Ω = R \ D f est définie sur R f est de classe C sur Ω en vertu de théorèmes générau et pour, Ω,, = cos et, = sin cos Etudions la continuité de f en, Pour,,, sin si f, f, = si = { si si = Comme tend vers quand, tend vers, lim,,,, f, = f, et donc f est continue en, puis f est continue sur R Etudions l eistence et la valeur éventuelle de,, réel donné Pour, Donc f, f, la fonction est définie sur R par f, f, = = tend vers quand tend vers On en déduit que, eiste et, = Finalement,, R,, = cos si = si c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés http ://wwwmaths-francefr
Etudions l eistence et la valeur éventuelle de,, réel donné Pour, sin f, f, = = sin On en déduit que f, f, puis que f, f, tend vers quand tend vers Par suite,, eiste et, = Finalement, la fonction est définie sur R par, R,, = sin si = cos si Etudions la continuité de en,, réel donné Pour, R,,, = cos si si = Quand, tend vers,, tend vers et donc, tend vers, quand, tend vers, La fonction est donc continue en, et finalement la fonction est continue sur R Etudions la continuité de en,, réel donné Supposons tout d abord = Pour, R,,, = sin si = Quand, tend vers,, + tend vers et donc cos si Supposons maintenant Pour,, = sin tend vers car sin et cos tend vers et la fonction n est pas continue en, si On a montré que +, tend vers, quand, tend vers, cos Quand tend vers, sin n a pas de limite réelle car Donc, n a pas de limite quand f est de classe C sur Ω {, } Etudions l eistence et la valeur éventuelle de f, Pour,,, = =,, Donc tend vers quand tend vers On en déduit que Etudions l eistence et la valeur éventuelle de f, Pour,,, cos = =, eiste et, = c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 3 http ://wwwmaths-francefr
,, Donc tend vers quand tend vers On en déduit que, eiste et, = On a montré que, et, eistent et sont différents D après le théorème de Schwarz, f n est pas de classe C sur Ω {, } n o 4 : Soit,, z, t R 4 { { { e ϕ, = z, t e = z = t = t + = t e e t = z e ze e t = { = t e = z z + 4e t ou e = z + z + 4e t { e = z + z + 4e t car z z = t + 4e t < z z = z z { = lnz + z + 4e t = t lnz + z + 4e t car z + z + 4e t > z + z = z + z Ainsi, tout élément z, t R a un antécédent et un seul dans R par ϕ et donc ϕ est une bijection de R sur lui-même La fonction ϕ est de classe C sur R de jacobien J ϕ, = e e = e + e Le jacobien de ϕ ne s annule pas sur R En résumé, ϕ est une bijection de R sur lui-même, de classe C sur R et le jacobien de ϕ ne s annule pas sur R On sait alors que ϕ est un C -difféomorphisme de R sur lui-même n o 5 : Soit n N Soit R La fonction f : n+ + est continue et strictement croissante sur R en tant que somme de fonctions continues et strictement croissantes sur R Donc la fonction f réalise une bijection de R sur ] lim f, lim f [= R En particulier, l équation f = a une et une seule solution dans R que l on note ϕ + La fonction f :, n+ + est de classe C sur R qui est un ouvert de R et de plus,, R,, = n + n + D après le théorème des fonctions implicites, la fonction ϕ implicitement définie par l égalité f, = est dérivable en tout réel et de plus, en dérivant l égalité R, ϕ n+ + ϕ =, on obtient R, n + ϕ ϕ n + ϕ = et donc R, ϕ = n + ϕ n + Montrons par récurrence que p N, la fonction ϕ est p fois dérivable sur R - C est vrai pour p = - Soit p Supposons que la fonction ϕ soit p fois dérivable sur R Alors la fonction ϕ = n + ϕ n + est p fois dérivable sur R en tant qu inverse d une fonction p fois dérivable sur R ne s annulant pas sur R On en déduit que la fonction ϕ est p + fois dérivable sur R On a montré par récurrence que p N, la fonction ϕ est p fois dérivable sur R et donc que Calculons maintenant I = la fonction ϕ est de classe C sur R ϕt dt On note tout d abord que, puisque n+ + =, on a ϕ = et puisque n+ + =, on a ϕ = Maintenant, pour tout réel de [, ], on a ϕ ϕ n+ + ϕ ϕ ϕ = en multipliant par ϕ les deu membres de l égalité définissant ϕ et en intégrant sur le segment [, ], on obtient Or, ϕ ϕ n+ d = ϕ ϕ n+ d + ϕ ϕ n+ d + [ ϕ n+ n + ϕ ϕ d = ] ϕ ϕ d = De même, n + n + + = n + n + ϕ d = ϕ ϕ d = [ ϕ ] = et donc D autre part, puisque les deu fonctions et ϕ sont de classe C sur le segment [, ], on peut effectuer une intégration par parties qui fournit c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 4 http ://wwwmaths-francefr
ϕ d = [ ϕ] + ϕ d = + I L égalité s écrit donc n + 3n + + I = et on obtient I = n + n + ϕ d = 3n + n + n o 6 : Soit R La fonction f : e + + est continue et strictement croissante sur R en tant que somme de fonctions continues et strictement croissantes sur R Donc la fonction f réalise une bijection de R sur ] lim f, lim f [= R En particulier, l équation f = a une et une seule solution dans R que l on note + ϕ La fonction f :, e + + est de classe C sur R qui est un ouvert de R et de plus,, R,, = e+ + D après le théorème des fonctions implicites, la fonction ϕ implicitement définie par l égalité f, = est dérivable en tout réel et de plus, en dérivant l égalité R, e +ϕ + ϕ =, on obtient R, + ϕ e +ϕ + ϕ = ou encore R, ϕ = e+ϕ e +ϕ + On en déduit par récurrence que ϕ est de classe C sur R et en particulier admet en un développement limité d ordre 3 Déterminons ce développement limité ère solution Puisque e + + =, on a ϕ = L égalité fournit alors ϕ = et on peut poser ϕ = + a + b 3 + o 3 On obtient e +ϕ = e +a +b 3 +o 3 = + + a + b 3 + + a 3 + + o 3 6 = + + a + + b + a 8 + 3 + o 3 48 L égalité e +ϕ + ϕ = fournit alors a + 8 + a = et b + a + + b = ou encore a = 48 6 et b = 9 ème solution On a déjà ϕ = et ϕ = En dérivant l égalité, on obtient et donc ϕ ϕ = + ϕ e +ϕ e +ϕ + + ϕ e +ϕ e +ϕ e +ϕ + = + ϕ e +ϕ e +ϕ +, = = De même, 6 e +ϕ ϕ 3 = ϕ e +ϕ + + ϕ e +ϕ + ϕ e +ϕ + + + ϕ e +ϕ + ϕ e +ϕ e +ϕ +, 3 et donc ϕ3 6 = 6 8 4 / 4 + = La formule de Talor-Young refournit alors 8 9 ϕ = 6 + 3 384 + o3 n o 7 : On dérive par rapport à λ les deu membres de l égalité fλ = λ r f et on obtient n =,, n R n, λ >, i λ = rλ r f, i et pour λ =, on obtient =,, n R n i= n i= i i = rf c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 5 http ://wwwmaths-francefr
n o 8 : f est de classe C sur R qui est un ouvert de R Donc si f admet un etremum local en un point, de R,, est un point critique de f { { { 3 df, = + 6 5 = = = 3 = = ou = 4 4 Réciproquement, r = 6+6, t = et s = 6 puis rt s = 36 Ainsi, rt s, = rt s, = 44 < 4 4 et f n admet pas d etremum local en, ou, 4 4 f n admet pas d etremum local sur R La fonction f est de classe C sur R en tant que polnôme à plusieurs variables Donc, si f admet un etremum local en, R,, est un point critique de f Soit, R, =, = { 4 + 4 3 = 4 + 4 3 =, {,,,,, } { 3 + 3 = 4 + 4 3 = { = 3 = Réciproquement, f est plus précisément de classe C sur R et r, t, s, = 4 + 4 + 4 = 48 48 + 44 = 483,, rt s = 48 > Donc f admet un etremum local en Plus précisément, puisque,, r = 4 = >, f admet un minimum local en De plus, pour, R, f, f, = + 4 + 4 8 = 4 + 4 + 4 + 8, et f est un minimum global 4 + 4 + + 8 = 4 4 + 4 + 4 4 + 4 = + Pour tout, R, f, = f, et donc f admet aussi un minimum global en, égal à 8 f, = Pour ], f, = 4 > et donc f prend des valeurs strictement supérieures à f, dans tout voisinage de, Pour, [ \ {}, f, = 4 = < et f prend des valeurs strictement inférieures à f, dans tout voisinage de, Finalement, f n admet pas d etremum local en,, f admet un minimum global égal à 8, atteint en et, n o 9 : On munit M n R d une norme sous-multiplicative Soit A GL n R On sait que GL n R est un ouvert de M n R et donc pour H M n R de norme suffisamment petite, A + H GL n R Pour un tel H puis A + H A = A + H I n A + HA = A + H HA A + H A + A HA = A + H HA + A HA = A + H HA + A + HA HA = A + H HA HA Par suite, fa + H fa + A HA = A + H A + A HA A + H A H Maintenant, la formule M = t comm, valable pour tout M GL n R, et la continuité du déterminant detm montre que l application M M est continue sur l ouvert GL n R On en déduit que A + H tend vers A quand H tend vers Par suite, c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 6 http ://wwwmaths-francefr
lim H A + H A H = et donc lim H H Comme l application H A HA est linéaire, c est la différentielle de f en A A GL n R, H M n R, df A H = A HA A + H A + A HA = n o : Pour tout complee z tel que z, + sinz = n zn+ + n +! z n+ = sh z sh, n +! n= e i e i l égalité étant obtenue effectivement pour z = i car sini = i = e e = sh n= Ma{ sinz, z C, z } = sh n o : Pour, R, on pose P, = + + e + = Q, Les fonctions P et Q sont de classe C sur R qui est un ouvert étoilé de R Donc, d après le théorème de Schwarz, ω est eacte sur R si et seulement si P = Q et comme P = + e+ = Q, la forme différentielle ω est une forme différentielle eacte sur R Soit f une fonction f de classe C sur R df = ω, R,, = + + e+, = + + e+ { f, = g C R, R/, R, + + e + + g + e + + g = + + e + { λ R/, R f, =, + + e + + g g = + λ λ R/, R / f, = + + e + + λ Les primitives de ω sur R sont les fonctions de la forme, + + e + + λ, λ R Remarque On pouvait aussi remarquer immédiatement que si f, = + + e + alors df = ω La forme différentielle ω est de classe C sur Ω = {, R / > } qui est un ouvert étoilé de R car convee Donc, d après le théorème de Schwarz, ω est eacte sur Ω si et seulement si ω est fermée sur Ω = + = 3 = + 3 = + 3 = = + 3 = + 3 = Donc ω est eacte sur l ouvert Ω Soit f une fonction f de classe C sur R df = ω, Ω,, =, = g C R, R/, Ω, λ R/, Ω, f, = Les primitives de ω sur Ω sont les fonctions de la forme, + g f, = + g = + λ + λ, λ R c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 7 http ://wwwmaths-francefr
3 ω est de classe C sur R \ {, } qui est un ouvert de R mais n est pas étoilé On se place dorénavant sur Ω = R \ {,, ], ]} qui est un ouvert étoilé de R Sur Ω, ω est eacte si et seulement si ω est fermée d après le théorème de Schwarz Ω + = + = + df = ω, Ω, Donc ω est eacte sur Ω Soit f une application de classe C sur, = +, = + g C R, R/, Ω,, = ln + + g + + g = + λ R/, Ω, f, = ln + + λ Les primitives de ω sur Ω sont les fonctions de la forme, ln + + λ, λ R Les fonctions précédentes sont encore des primitives de ω sur R \ {, } et donc ω est eacte sur R \ {, } 4 ω est de classe C sur ], + [ qui est un ouvert étoilé de R Donc ω est eacte sur ], + [ si et seulement si ω est fermée sur ], + [ d après le théorème de Schwarz = et = Donc et ω n est pas eacte sur ], + [ On cherche un facteur intégrant de la forme h :, g + où g est une fonction non nulle de classe C sur ], + [ g + = g + g + et g + = g + + g + hω est eacte sur ], + [, ], + [, g + g + = g + + g +, ], + [, g + + g + = t >, tg t + gt = λ R/ t >, gt = λt La forme différentielle + ω est eacte sur ], + [ De plus, d = + d + d = + ω n o 3 : Soit f une application de classe C sur R Posons f, = gu, v où u = + et v = + L application, +, + = u, v est un automorphisme de R et en particulier un C -difféormorphisme de R sur lui-même De même, = g u + g v et donc = u gu, v = g u + v g v = g u + g v = g u + g v g u g v = g u Par suite, = g u = h C R, R/ u, v R, gu, v = hv h C R, R/, R, f, = h + Les solutions sont les, h + où h C R, R Par eemple, la fonction, cos + + est solution Soit f une application de classe C sur R \ {, } Posons f, = gr, θ où = r cosθ et = r sin θ L application r, θ r cosθ, r sinθ =, est un C -difféormorphisme de ], + [ [, π[ sur R \ {, } De plus, c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 8 http ://wwwmaths-francefr
et g r = f, = r r + r g θ = f, = θ θ + θ = cosθ + sin θ, = r sinθ + r cosθ = Donc = g θ = h C ], + [, R/ r, θ ], + [ [, π[, gr, θ = h r h C ], + [, R/, R \ {, }, f, = h + h C ], + [, R/, R \ {, }, f, = h + Les solutions sont les, h + où h C ], + [, R 3 Soit f une fonction de classe C f sur ], + [ R D après le théorème de Schwarz, = f Soit ϕ : ], + [ R ], + [ R Donc si on pose f, = gu, v, on a g = f ϕ u, v u, uv =, Soit,, u, v ], + [ R ], + [ R ϕu, v =, { u = uv = { u = v = Ainsi, ϕ est une bijection de ], + [ sur lui-même et sa réciproque est l application ϕ : ], + [ R ], + [ R,, = u, v De plus, ϕ est de classe C sur ], + [ R et son jacobien J ϕ u, v = v u = u ne s annule pas sur ], + [ R On sait alors que ϕ est un C -difféomorphisme de ], + [ R sur lui-même Puisque g = f ϕ et que ϕ est un C -difféomorphisme de ], + [ R sur lui-même, f est de classe C sur ], + [ R si et seulement si g est de classe C sur ], + [ R = u g u + v g v = g u g v = u g u + v g v = g v f = g u g g = v u g u v f = g u g = g v v v g v g 3 v f = g = g v v Ensuite, g + 3 v g u v + g 4 v = g u g u v + g 4 v + g 3 v Ainsi, f + f + f = g u g u v + g v + = g u g v + g v v g v g v + g v c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 9 http ://wwwmaths-francefr
, ], + [ R, f, + f, + f, = u, v ], + [ R, g uu, v = h C g R, R/ u, v ], + [ R, u, v = hv u h, k C R, R / u, v ], + [ R, gu, v = uhv + kv h, k C R, R /, ], + [ R, f, = h + k Les fonctions solutions sont les, h + k où h et k sont deu fonctions de classe C sur R n o 3 : On munit R 3 de la norme définie par, R 3,, = Ma{ h, k } Soit a, b R 3 Pour h, k R 3, fa, b + h, h = a + hb + k = ab + ah + bk + hk, et donc fa, b + h, h fa, b = ah + bk + hk Maintenant l application L : h, k ah + bk est linéaire et de plus, pour h, k,, et donc fa, b + h, h fa, b Lh, k = hk h k h, k, fa, b + h, h fa, b Lh, k h, k puis h, k lim h,k, fa, b + h, h fa, b Lh, k = h, k Puisque l application h, k ah + bk est linéaire, on en déduit que f est différentiable en a, b et que h, k R 3, df a,b h, k = ah + bk La démarche est analogue pour le produit vectoriel : h, k a + h b + k a b a h b k = h k h, k h k h, k h, k Puisque l application h, k a h+b k est linéaire, on en déduit que g est différentiable en a, b et que h, k R 3, dg a,b h, k = a h + b k n o 4 : Pour tout E, f = + < + = Donc f est bien une application de E dans B + Si =, pour E, f = + = = Soit alors B \ {} Pour E, f = = + λ K/ = λ Donc un éventuel antécédent de est nécessairement de la forme λ, λ R Réciproquement, pour λ R, fλ = λ et donc + λ fλ = λ + λ = λ = + λ λ et λ = ou λ < et + λ = λ = car < Dans tous les cas, admet un antécédent par f et un seul à savoir = f est bijective et B, f = Ainsi, On sait que l application est continue sur R Donc l application + est continue sur R en tant qu inverse d une fonction continue sur R à valeurs dans R, ne s annulant pas sur R L application est continue sur B pour les mêmes raisons Donc les applications f et f sont continues sur R et B respectivement et on a montré que c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés http ://wwwmaths-francefr
l application f : E B + est un homéomorphisme n n o 5 : ère solution Pour =,, n R n, f = i f est de classe C sur R n \{} en vertu de théorèmes générau et pour tout =,, n R n \ {} et tout i, n i= i = i n i= i = i On en déduit que f est différentiable sur R n \ {} et pour R n \ {} et h R n df h = n i= h i = i n i= i h i = h R n \ {}, h R n, df h = h ème solution Soit R n \ {} Pour h R n, puis + h = + h + h + + h + = h + h + h +, + h h = h + h + h + h = + h h + h + h + Maintenant, on sait que l application est continue sur R n On en déduit que + h + h et aussi que + h tend vers quand h tend vers Ensuite, puisque h h inégalité de Cauch- Schwarz, on a h = O h puis + h h = o h h h Finalement, + h h + h + h + = h o h et donc + h = h + h + o h Puisque l application h h est linéaire, on a redémontré que f est différentiable en tout de R n \ {} et que R n \ {}, h R n, df h = h Soit L une application linéaire de R n dans R c est-à-dire une forme linéaire h + h Lh = L h h Supposons que cette epression tende vers quand h tend vers Pour u vecteur non nul donné et t réel non nul, tu l epression L = t u tu t L tend donc vers quand t tend vers Mais si t tend vers par valeurs u supérieures, on obtient Lu = u et si t tend vers par valeurs inférieures, on obtient Lu = u ce qui est impossible car u Donc f n est pas différentiable en c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés http ://wwwmaths-francefr
n o 6 : On pose BC = a, CA = b et AB = c et on note A l aire du triangle ABC Soit M un point intérieur au triangle ABC On note I, J et K les projetés orthogonau de M sur les droites BC, CA et AB respectivement On pose u = aire de MBC, v = aire de MCA et w = aire de MAB On a dm, BC dm, CA dm, AB = MI MJ MK = u a v b w c = 8 uva u v abc Il s agit alors de trouver le maimum de la fonction f : u, v uva u v sur le domaine T est un compact de R En effet : T = { u, v R / u, v et u + v A } - u, v T, u, v = u + v A et donc T est bornée - Les applications ϕ : u, v u, ϕ : u, v v et ϕ 3 : u, v u + v sont continues sur R en tant que formes linéaires sur un espace de dimension finie Donc les ensembles P = {u, v R / u } = ϕ [, + [, P = {u, v R / v } = ϕ [, + [ et P 3 = {u, v R / u + v } = ϕ 3 ], ] sont des fermés de R en tant qu images réciproques de fermés par des applications continues On en déduit que T = P P P 3 est un fermé de R en tant qu intersection de fermés de R Puisque T est un fermé borné de R, T est un compact de R puisque R est de dimension finie et d après le théorème de Borel-Lebesgue f est continue sur le compact T à valeurs dans R en tant que polnôme à plusieurs variables et donc f admet un maimum sur T Pour tout u, v appartenant à la frontière de T, on a fu, v = Comme f est strictement positive sur T = {u, v R / u >, v > et u + v < }, f admet son maimum dans T Puisque f est de classe C sur T qui est un ouvert de R, si f admet un maimum en u, v T, u, v est nécessairement un point critique de f Soit u, v T u, v = { { u va u v = u + v = A ua u v = u + v = A u = v = A 3 u, v = v A Puisque f admet un point critique et un seul à savoir u, v = 3, A, f admet son maimum en ce point et ce 3 maimum vaut fu, v = A 3 Le maimum du produit des distances d un point M intérieur au triangle ABC au cotés 7 de ce triangle est donc 8A 3 7abc Remarque On peut démontrer que pour tout point M intérieur au triangle ABC, on a M = bara, aire de MBC, B, aire de M Si maintenant M est le point en lequel on réalise le maimum, les trois aires sont égales et donc le maimum est atteint en G l isobarcentre du triangle ABC n o 7 : Soient A et B les points du plan de coordonnées respectives, a et a, dans un certain repère R orthonormé Soit M un point du plan de coordonnées, dans R Pour, R, f, = MA + MB = MA + MB AB avec égalité si et seulement si M [AB] Donc f admet un minimum global égal à AB = a atteint en tout couple, de la forme λa, λa, λ [, ] n o 8 : Puisque la fonction ch ne s annule pas sur R, g est de classe C sur R et pour, R, g cos, = sin ch f ch puis De même, g, = 4cos ch f = 4 cos ch f cos ch cos ch + 4 sin ch f cos ch + 4 cos cos ch f ch c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés http ://wwwmaths-francefr
g cos, = cossh ch f ch puis g, = 4sh ch cos cosch3 ch 4 f ch cos ch Donc, pour tout, R, = 4 cos ch 3 ch + f ch g, = cos 4 ch f + 4 cos sh cos ch 4 f ch + 4 cos ch cos ch 4 f ch cos + cos cos ch ch f ch Maintenant, pour, R, cos cos et d autre part, l epression = cos décrit [, ] quand { } ch ch cos décrit R Donc,, R = [, ] Par suite, ch, R, g, = t [, ], t f t tf t = On cherche une application f de classe C sur ], [ Or cos ch = cos = ch cos = ch = = et π Z Donc { } kπ, R \,, k Z, g, = t ], [, t f t tf t = De plus, f n est pas constante si et seulement si µ = t ], [, t f t = λ R/ t ], [, f t = λ, µ R / t ], [, ft = λ argtht + µ L application t argth t convient λ t c, s, n o 9 : Soit, R La matrice jacobienne de f en, s écrit où c et s sont deu fonctions s, c, de classe C sur R telle que c + s = Il s agit dans un premier temps de vérifier que les fonctions c et s sont constantes sur R Puisque f est de classe C sur R f, d après le théorème de Schwarz, = f c Ceci s écrit encore = s s ou enfin c, R, c, s, = s, c, En dérivant par rapport à ou à, on obtient les égalités c c + s s c c deu vecteurs et c s s sont orthogonau au vecteur non nul s montre que les deu vecteurs c s et c s = et c c + s s = Ceci montre que les et sont donc colinéaires Mais l égalité sont aussi orthogonau l un à l autre Finalement, pour tout c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 3 http ://wwwmaths-francefr
c c,, R, les deu vecteurs, et s s sont nuls On en déduit que les deu applications c et s,, sont constantes sur R et donc, il eiste θ dans R tel que pour tout, R, la matrice jacobienne de f en, est cosθ sinθ sinθ cosθ Soit g la rotation d angle θ prenant la même valeur que f en, f et g ont mêmes différentielles en tout point et coïncident en un point Donc f = g et f est une rotation affine Soit f : R R de classe C dont la différentielle en tout point est une rotation Montrer que f est une rotation affine c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 4 http ://wwwmaths-francefr