Concours PT 4 Maths PT I-B L usage des calculatrices est interdit Partie A ) ( ) ( ) a a Soit A = b b et B = deux éléments de S a a b b ( ) c c C = AB = avec c c c i = a ik b k, évidemment i =,, c i = = = a ik b k = Donc, S est stable par le produit matriciel ) (a) 4 A = 9 9 = = aa + bi = a ik b k = Récoproquement, il est clair que 6 A + 6 I = A a ik 3 a + b = 4 9 3 a = 9 b k = = }{{} = a ik = a = 6 b = 6 (b) En posant a =, b =, on a A = a A + b I On a vu qu en posant a = 6, b = 6, A = a A + b I Faisons l hypothèse de récurrence, que pour n, A n = a n A + b n I, alors : ( A n+ = AA n = a n A + b n A = a n 6 A + ) ( ) 6 I + b n A = 6 a n + b n A + 6 a ni On vient de montrer la propriété par récurrence On constate : n, A n = a n A + b n I, Donc () n, a n + b n = a + b = { a = b =, n, a n+ + b n+ = a n + b n a n+ = 6 a n + b n b n+ = 6 a n
a n+ = 6 a n + b n = 6 a n + ( a n ) = 6 a n + b n+ = 6 a n = 6 ( b n) = 6 b n + 6 a n+ = n, 6 a n + b n+ = 6 b n + 6 (c) n, a n+ = 6 a n + a n+ l = 6 (a n l) si l = 6 La suite (u n = a n l) est géométrique de raison q = 6 Donc : n, u n = q n u = n, a n = 6 + Comme n, b n = a n, n, b n = + ( 6) n ( ) n 6 (d) Clairement, a n Donc : 6, b n A n = a n A + b n I = A = 6 A + 3 I = 3 4 4 S 3 ) 3 On pose B = 3 4 3 4 9 9 9 3 λ 3 (a) Calculons le polynôme caractéristique χ b (λ)) = det(a λi 3 = 3 4 λ 3 4 9 9 9 λ On développe bien sur par rapport à la dernière colonne : ( ) ( 4 χ B (λ) = 9 λ λ 6 λ + ) Une racine évidente de λ 6 λ + est bien sûr, l autre vaut le produit des racines, ie Les trois valeurs propres de B sont λ = < λ = 4 9 < λ 3 =
(b) La matrice B a son polynôme caractéristique scindé simple sur R C est une condition suffisante de diagonalisation de B Les sous-espaces propres associés sont des droites B est donc semblable à la matrice diagonale D = 4 9 de ses valeurs propres (c) Si on considère E = R 3, muni de sa base canonique B c = (e, e, e 3 ), B est dans cette base la matrice d un endomorphisme f, diagonalisable d après ce qui vient d être dit Les sous-espaces propres de fi sont les droites : SEP(λ ) = ker(f λ I 3 ) = Vect e = 9 B c SEP(λ ) = ker(f λ I 3 ) = Vect e = B c SEP(λ ) = ker(f λ 3 I 3 ) = Vect e 3 = B = (e, e, e 3) est une base de vecteurs propres de f D = Mat B (f) Si on considère la matrice de passage de la base B c à la base B : P = e e e 3 e e 9, P = 6 6 6 e 3 9 ( ) n ( ) B = Mat Bc (f) = P DP = () B n = P D n P = P n 4 9 P ( ) n + 9 ( ) n + 6 6 6 6 (3) B n = 9 ( ) n + 9 ( ) n 9 + ( 6 ) 6 6 6 n ( ) n 4 + 9 6 8 9 6 ( ) n 3 ( ) n 4 + ( ) n 4 6 8 9 6 9 (d) La formule () montre que (B n ) a une limite B : B = P D P, D = B est donnée par la formule (3) : B = 9 9 S 3, clairement 6 9 B c 3
4 ) On pose C =, J = (a) Les valeurs propres de la matrice triangulaire C sont ses éléments diagonaux :, d ordre de multiplicité, et valeur propre simple (b) n, J n = K = (c) C = (I 3 + J) Comme la matrice identité I 3 commute avec toute matrice, donc avec J, on peut appliquer la formule du binôme de Newton : ( ) n n ( ) n n ( ) ( ) n n n, C n = C k n J k I3 n k = C k n J k = I 3 + nj + C k n K k= k= k= n Comme C k n = n, on a : k= (4) C n = ( ) n (I 3 + nj + ( n n )K) = ( ) n n n n n n (d) La formule (3) montre que : C n K = S 3 Partie B ) Soit A = [a i ] M r (R), B = [b i ] M r (R) Posons C = AB = [c i ] (i, ) {,, r}, c i = a ik b k Donc, si A S r et B S r, il est clair que C est à éléments positifs ou nuls Si A Sr et B S r, il est clair que C est à éléments strictement positifs De plus : i {,, r}, c i = = ( ) a ik b k = = 4 a ik b k = = }{{} = a ik =
On a permuté l ordre des sommations finies, ce qui traduit la distributivité de la multiplication par rapport à l addition Ceci prouve la stabilité de S r et de Sr par le produit matriciel ) (a) Une récurrence simple, utilisant la stabilité par multiplication de S r, établirait que si A est une matrice stochastique, alors, quel que soit n entier naturel non nul, A n est aussi une matrice stochastique (b) Si A est une matrice stochastique : A = = = a a r = = On a montré que est valeur propre de A, un vecteur propre associé étant (c) On suppose que A existe, comme limite donc de la suite de matrices (A n ) On a : De plus : i {,, r}, (i, ) {,, r}, a i = a i = = lim a(n) = lim }{{} a(n) i i = lim = a (n) i }{{} = On a utilisé la question B--(a) et montré ainsi que la limite éventuelle A de la suite des puissances d une matrice stochastique est aussi stochastique On a bien sûr : A n+ = AA n = A n A Traduisons la première égalité sur le terme général : (i, ) {,, r}, a (n+) i = a ik a (n) k Si on passe à la limite pour n + dans cette égalité, on obtient : (i, ) {,, r}, a i = a ik a k Ce qui traduit A = AA En utilisant A n+ = A n A, on obtiendrait de même A = A A 3 ) Soit M = [m i ], une matrice à diagonale strictement dominante x Supposons qu il existe X = x r M r, (R), X, tel que MX = =
Il existe donc i {,, r}, tel que x i = max r x Comme X, nécessairement x i > Prenons la i ième composante de l égalité MX = : m i x = m i x i = m i x i = Si on utilise la valeur absolue : m i x i i m i x m i x i i m i x En divisant par x i >, on obtient : a i i i a i {}}{ x x i a i i Or a i i i a i contredit l hypothèse que M est une matrice à diagonale strictement dominante Donc, si M est une matrice à diagonale strictement dominante : MX = = X = Ainsi ker M = {} Ce qui équivaut à dire que toute matrice à diagonale strictement dominante est inversible La contraposée sera utilisée : Si une matrice carrée n est pas inversible, elle n est pas à diagonale strictement dominante 4 ) On considère A = [a i ] S r On pose B = A I r La matrice carrée C obtenue en supprimant les dernière ligne et colonne de B est d ordre (r ) (a) i {,, (r )}, c ii = a ii = a ii = a, a,r C = a r, a r,r =r, i a i > air > On a montré que C est à diagonale strictement dominante n = (r ) i a i = n = (r ) (b) Nous avons vu à la question B--(b) que, si A S r, elle admet pour valeur propre et que le vecteur U = M r, (R) est un vecteur propre pour On va montrer, dans le cas où A Sr, le sous-espace propre associé à est une droite, dirigée donc par U Deux preuves différentes : Première preuve i c i 6
Notons (B,, B r, B r ) les colonnes de B = A I r Notons (C,, C r ) les colonnes de C ( ) ( ) C Cr B =,, B r = a r, a r,r Comme C est à diagonale strictement dominante, elle est inversible, d après la question B-3 Son rang est donc (r ) Ses vecteurs colonnes sont donc libres Montrons que (B,, B r ) sont libres : r r λ B = = = = λ C = = les C sont libres = (r ), λ = cqfd Le rang de B = A I r est donc supérieur ou égal à (r ) D après la formule du rang : r = rg A + dim ker(a I r ) = dim(ker(a I r ) = SEP() Or est valeur propre de A Donc dim SEP() En conclusion : SEP() est la droite dirigée par U = Deuxième preuve x Soit X = x r M r, (R) vérifiant : AX = X BX = dim SEP() = (a, )x + + a,r x r = a,r x r a r, x + + (a r,r )x r = a r,r x r a r, x + + a r,r x r = (a r,r )x r Si on considère seulement les (r ) premières équations de ce système, X vérifie nécessairement : C x x r = x r a,r a r,r Or, C est à diagonale strictement dominante, donc inversible, d après la question B-3 Donc, si AX = X, nécessairement : Posons C a,r a r,r = b b r x x r = x r C a,r a r,r On vient de montrer que tout vecteur X = x x r M n, (R)
tel que AX = X vérifie nécessairement : x X = x r = x r b b r Ce qui prouve que : Le sous-espace propre SEP() d une matrice A Sr est de dimension : c est la droite dirigée par U = M n, (R) (c) Nous traitons la première partie de cette question dans le cas général d une matrice stochastique, pas nécessairement au sens strict λ C est valeur propre de A S r si et seulement si il existe X = x x r M r, (R), X tel que AX = λx Ce qui équivaut à écrire qu il existe X, tel que (A λi r )X =, ie (A λi r ) n est pas inversible La contraposée de la proposition citée à la question B-3 nous apprend donc, que si λ est valeur propre de A, alors nécessairement, A λi r n est pas à diagonale strictement dominante : i {,, r}, a ii λ i a i = i a i = a ii Ce qui implique λ a ii λ a ii a ii = λ Donc Les valeurs propres de A S r sont de module inférieur ou égal à Plaçons-nous dans le cas où la matrice est stochastique stricte Deux preuves différentes : Première preuve L inégalité démontrée nous apprend aussi que l ensemble Sp(A) des valeurs propres de A vérifie : Sp(A) B i (a ii, r i = a ii ) i=r B i (a ii, r i = a ii ) désigne la boule ouverte du plan complexe de centre a ii ], [, de rayon r i = a ii ], [ Le dessin illustre le fait que le nombre est la seule valeur propre de module égal à de A S r Les autres valeurs propres sont de module strictement inférieur à Deuxième preuve Si λ est de module, et différente de λ = e i θ, cos θ < λ a ii = (cos θ a ii ) + i sin θ = (cos θ a ii ) + sin θ = + a ii a ii cos θ > a ii cos θ> a ii + a ii a ii = ( a ii ) Ce qui est contadictoire avec l inégalité : λ a ii a ii 8
y B i O a ii x Fig Valeurs propres de A S r ) Donc : si A Sr, est la seule valeur propre de module, les autres sont de module strictement inférieur à On a vu à la question B-4-(c) que les valeurs propres de A S r sont de module inférieur ou égal à Le déterminant est le produit des racines dans C du polynôme caractéristique de A, ie ici les valeurs propres ; il est donc inférieur ou égal à 6 ) Montrons par récurrence sur r, que, pour toute matrice M = [m i ] M r (R), telle que : (P) (i, ) N r, m i ], [ et i N r, a i = on a det M < Pour r =, la propriété est claire, le déterminant d une matrice carrée d ordre étant égal à son unique coefficient Faisons l hypothèse de récurrence : toute matrice d ordre r, dont tous les termes sont strictement compris entre et dont la somme des termes de chaque ligne est inférieure ou égale à a son déterminant en module strictement inférieur à Soit M = [m i ] M r (R) vérifiant la propriété (P) Il est clair que tous les sous-matrices carrées d ordre (r ) vérifient aussi (P) développons le déterminant de M par rapport à la première ligne : det M = a ( ) + D = Les D étant des déterminants de sous-matrices carrées d ordre (r ) de A vérifient, d après 9
l hypothèse de récurrence : N r, D < Comme les a sont strictement positifs : det M a D < = a = det M < = On a montré par récurrence sur r, que, pour toute matrice M = [m i ] M r (R), telle que : (P) (i, ) N r, m i ], [ et i N r, a i = on a det M < C est le cas en pariculier pour une matrice stochastique stricte qui, évidemment, vérifie la propriété (P) A S r = det M < ) (a) Soit A = [a i ] Sr Les coefficients ont un minimum α > Soit ε = min(α, ) Evidemment 4 ε ], [ et (i, ) N r, a i ε (b) Comme A n+ = AA n, alors : (i, ) N r, a (n+) i = a ik a (n) k (c) On va s appuyer dans toute cette question sur le fait que, quel que soit N r, il existe i N r tel que α (n) = a (n) i et i N r tel que β (n) = a (n) i Comme i N r, a ik =, on peut écrire : a (n+) i = ( ) ( ) a ik a (n) k ε α(n) ε a (n) k α(n) }{{} }{{} Cette somme de termes positifs est supérieure ou égale à chacun de ses termes En particulier : De même : β (n) a (n+) i a (n+) i = ε(β (n) ) = εγ (n) ( ) a ik β (n+) a (n) k ε }{{} ( ) β (n+) a (n) k }{{} Cette somme de termes positifs est supérieure ou égale à chacun de ses termes En particulier : (d) Soit N r { i N r, a (n+) i β (n) a (n+) i β (n) a (n+) i ε(β (n) εγ (n) = en particulier { ) = εγ (n) α (n+) β (n) β (n+) εγ (n) = { α (n) β (n+) α (n+) β (n)
D où : Et, par addition : D où : (α (n+) ) + (β (n) α (n) α (n+) β (n+) β (n) β (n+) ) εγ (n) = γ (n+) εγ (n+) εγ (n) ( ε) (e) Posons q = ε ], [ par une récurrence claire, on trouve : n, β (n) Comme α (n) = β (n) adacentes permet de conclure : γ (n) et que α (n) = γ (n) q (n ) γ () q < α (n+) β (n+) + γ (n) εγ (n) β (n), le théorème des suites Les suites adacentes (α (n) ) et (β (n) ) convergent et ont la même limite Donc, quel que soit N r, toutes les suites (a (n) i ), i = r convergent vers la même limite l A n A = l l r l l r Notons que les lignes de A sont identiques D après la question B--(c), la matrice A est stochastique Donc l + + l r = 8 ) r = 3 A = La matrice est bien élément de S3 A existe et elle est stochastique Ses lignes sont égales Ici, t A S3 aussi, donc ( t A existe, est stochastique et ses lignes sont identiques Or, évidemment ( t A) = ( t (A ) Donc, les colonnes de A sont identiques : l l l A = l l l l 3 l 3 l 3 Comme elle est stochastique 3l = 3l = 3l 3 = Ainsi : A = 3 Par ailleurs, le polynôme caractéristique de A est χ A (λ) = ( λ)(λ + ) A admet et, de module strictement inférieur à, pour valeurs propres