La conjecture de Kakeya
Site : http://catalogue-editions.ens-lyon.fr Vincent Borrelli
Question de Kakeya (1917): Sōichi Kakeya (1886-1947) Quelle est la plus petite aire à l intérieur de laquelle il est possible de déplacer une aiguille de manière à la retourner complètement.
Aire = 0,78539...
Aire = 0,70477...
Aire = 0,57735...
Aire = 0,44861...
Aire = 0,39269...
Aire ( 0,44843... )
Aire = 0,39140 1ère idée : augmenter le nombre d éléments en les superposant.
2ème idée : la translation gratuite
Théorème de Kakeya pour les aiguilles parallèles : On peut passer d une position de l aiguille à une seconde position parallèle à la première en balayant une aire aussi petite que l on veut.
La solution de Besicovich Abram Besicovich (1891-1970) Абрам Самойлович Безикович
8 subdivisions + 3 étages judicieusement choisis donnent une aire égale à 0,23767..., c est-à-dire inférieure à 1 / 2 du secteur initial. inférieur à 24.117.248 subdivisions + 11 étages donnent une aire inférieure à 1 / 5 12393906174523604992 subdivisions + 30 étages donnent une aire inférieure à 1 / 10
Théorème de Besicovich (1928) : Il est possible de retourner l aiguille à l intérieur d une aire aussi petite que l on veut.
Abandon de la notion de mouvement : Nouvelle conjecture de Kakeya : Quelle est l aire minimale susceptible de contenir l aiguille dans toutes ses directions? Réponse de Besicovich : Cette aire, c est zéro.
Fabrication d ensembles fractals
Un procédé de construction : par évidements successifs adumalàleconcevoirdanssatotalité.cettesituationserencontre fréquemment en mathématiques, y compris pour les objets les plus simples : une droite par exemple se conçoit mentalement comme un segment que l on peut prolonger indéfiniment, d ailleurs c est un segment que l on dessine et c est l imagination qui fait le reste. Dans le cas du pentagone, au lieu de ce prolongement par extension, le travail de l imagination procède en un évidement réitéré indéfiniment à l intérieur de la figure.ajoutonsqu entouterigueur cette figure, tout comme la droite, ne devrait pas être visible, son aire étant nulle. Par ce même procédé on peut fabriquer toutes sortes d objets dont l aire vaut zéro, en voici un Aire = 1 Aire = 0.82498... Aire = 0.68059... Aire = 0 formé à partir du triangle. Dans l illustration ci-dessus, l objet initial est un assemblage de pentagones et l opération d évidement consiste à remplacer chaque pentagone par une réductionad hoc de la figure de départ. L objet qui en résulte, en poursuivant ce procédé indéfiniment, a une aire égale à zéro. A chaque étape l aire des constructions intermédiaires est de plus en plus petite et, à la limite, elle vaut zéro. L objet final étant le fruit d uneinfinitéd étapes,l esprit Aire = 1 Aire = 0.8125 100 Aire = 0.66015... Aire = 0 Al opposédeceprocédéd évidement,onpeutimaginerunprocédéd extension.eneffet, cette idée initiée par Péano d un ligne indéfiniment repliée et qui ne cesse de se recouper ou de se ramifier donne lieu à certaines figures dont l aire reste égale à zéro (contrairement à c e l l e d e P é a n o ) m a i s d o n t l a s t r u c t u r e e s t p l u s r i c h e q u e c elle d une courbe ordinaire.
A T C B H ( T ) A 0,5 U H ( T ) B 0,5 U H C 0,5 ( T ) = T
L objet limite n existe pas toujours : épaisseur divisée par 3 rayon x 2
... Figure limite?
Théorème de Besicovich II : Il existe des surfaces d aire nulle contenant l aiguille dans toutes les directions du plan.
La dimension fractale ou dimension de Hausdorff - Besicovich Felix Hausdorff (1868-1942)
île de Gosper Empilement d Apollonius Flocon hexagonal environ 1,13 2ln(3) ln(7) environ 1,31 environ 1,5
1ère approche intuitive :
n(r) r 1 = 0,5 n(r) r d = a 0,5 une limite finie
ln3 d = = 1,5849... ln 2 r = 1 1 carré : 2 x 3 r = 0,5 3 carrés : 2 x 3 r = 0,25 9 carrés : 2 x 3 r = 0,125 27 carrés ln3 1 1 " ln 2 = 3 $ 1% ln3 # 2& ' ln 2 " = 9 $ 1% ln3 # 4& ' ln 2 " = 27 $ 1% ln3 # 8& ' ln 2 =
Dimension de Hausdorff - Besicovich Si E est une partie compacte de X espace métrique, on pose N(r) le nombre de boules ouvertes de rayon r nécessaires pour recouvrir E. La «dimension» de E est le nombre d tel que : N (r) r s 0 si s > d N (r) r s si s < d. Si E est une partie de X espace euclidien, on appelle dimension de Hausdorff - Besicovich de E, le nombre d égal à : inf { s ; H s (E) = 0 } qui est aussi égal à sup{ s ; H s (E) = } Avec H s (E) = lim r 0!# " $# inf diam(b i )<r $ & % '& + i=1 diam( B i ) ( ) s ;E B i i=1 (& (& )) *& *& les B i étant des sous-ensembles de X.
Le masque de la guerre (S. Dali) dim = 0,705...
Il existe des figures planes sans aire, mais de dimension 2
Une trajectoire du mouvement Brownien est aussi une «surface d aire nulle» (Paul Lévy 1948)
Propriété de l ensemble exhibé par Besicovich : La surface d aire nulle contenant l aiguille dans toutes les directions du plan donnée par Besicovich est de dimension 2 «Les aiguilles tournent le mystère demeure» site : image des maths
Conjecture de Kakeya : Existe-t-il des surfaces de dimension plus petite que 2 contenant l aiguille dans toutes les directions du plan? Réponse : NON (démontré par Roy Osborne Davies en 1971) : La dimension 2 est bien la dimension minimale.
Problème de Kakeya en dimension 3
1 1 Volume = π 6 = 0.52359... Volume = 1 = 0.33333... 3 Théorème de Besicovich III : Il existe des solides de volume nul contenant l aiguille dans toutes les directions de l espace. Ce résultat se généralise aux espaces de dimension 4, 5, 6 etc.
Exemple de fractales et leur dimension dans l espace 3D :... Tétraèdre de Sierpinski dim = 2 Éponge de Menger ln(20) dim = ln3
Comme pour la dimension 2, la construction proposée par Besicovich maximise la dimension : sa dimension fractale est égale à 3. Conjecture de Kakeya pour la dimension 3 : Existe-t-il des surfaces de dimension plus petite que 3 contenant l aiguille dans toutes les directions de l espace? Conjecture de Kakeya pour toute dimension : Existe-t-il des surfaces de dimension plus petite que n contenant l aiguille dans toutes les directions de l espace de dimension n?
Situation en 2015 : Pour la dimension 3 : Résultat de 1995 : La dimension minimale est 2,5 (Thomas Wolff) Amélioré en 2000 : La dimension minimale est 2,5000000001!!! (Katz, Laba, Tao)
Situation en 2015 : Pour les dimensions supérieures ou égales à 4: La formule de Jean Bourgain (1999) : La dimension minimale est 0,52 x dim + 0,48 Selon la conjecture Résultat de Bourgain En dimension 4 4 2.56 En dimension 5 5 3.08 En dimension 10 10 5.68 En dimension 100 100 52.48
Situation en 2015 : Pour les dimensions n strictement supérieures à 4: La formule de Katz et Tao (2002) : La dimension minimale est ( 2 2) n 4 ( ) + 3 Par exemple pour n = 100 on trouve 59,23 (Bourgain : 52,48)
Situation en 2015 : Problème de Kakeya dans un corps fini (Dvir 2009): ON THE SIZE OF KAKEYA SETS IN FINITE FIELDS ZEEVDVIR Abstract. A Kakeya set is a subset of n, where is a finite field of q elements, that contains a line in every direction. In this paper we show that the size of every Kakeya set is at least C n q n,wherec n depends only on n. This answers a question of Wolff [Wol99]. 1. Introduction ya set (also called a Be n every directio 2
Fin