Limite et continuité de fonctions réelles

Limite et continuité de fonctions réelles Denis Vekemans Introduction : on désigne par "fonction réelle" tout fonction d une variable réelle à valeurs réelles. 1 Limite finie 1.1 Définitions 1.1.1 Définition de point adhérent Soit D une partie de R. On dit qu un réel c est adhérent à D si pour tout ε > 0 il existe x D ]c ε, c + ε[, ce qui s écrit aussi si pour tout ε > 0, il existe x D tel que x c < ε. L ensemble des points adhérents à D est noté D. On déduit directement de la définition : Théorème 1 Soit D une partie de R. Le réel c est un point adhérent à D si et seulement si il existe une suite réelle (x n ) n N telle que n N, x n D et lim n x n = c. 1.1.2 Définition de limite finie en un point a réel Soit A R, f fonction réelle définie sur A et a un point adhérent à A. La limite en un point a réel d une fonction f existe et vaut l R si, quel que soit ε > 0, il existe une valeur δ > 0 telle que, lorsque x A est à une distance inférieure à δ de a, f(x) est à une distance inférieure à ε de l, ce qui s écrit Notation. l R, ε > 0, δ > 0, tel que x A on a ( x a δ = f(x) l ε). On note la limite l d une fonction réelle f au point a, Remarque. lim f(x) = l. Quelquefois on rappelle le domaine A de la fonction en écrivant lim,x A f(x) = l, ou si on veut marquer que a n est pas dans le domaine de définition de f, lim,x a f(x) = l (la définition de cette limite est ε > 0, δ > 0 tel que x A, on a 0 < x a δ = f(x) l ε). Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France 1

1.1. Définition de limite finie en l infini Un ensemble A réel est non borné supérieurement si, pour tout M R, il existe x A tel que x M. Soit A un ensemble réel non borné supérieurement et f une fonction réelle définie sur A. La limite en de f existe et vaut l R si, quel que soit ε > 0, il existe une valeur M R telle que, lorsque x A est plus grand que M, f(x) est à une distance inférieure à ε de l, ce qui s écrit Notation. l R, ε > 0, M R, x A on a (x M = f(x) l ε). On note la limite l d une fonction réelle f en, lim f(x) = l. x Un ensemble A réel est non borné inférieurement si, pour tout M R, il existe x A tel que x M. Soit A un ensemble réel non borné inférieurement et f fonction réelle définie sur A. La limite en de f existe et vaut l R si, quel que soit ε > 0, il existe une valeur M R telle que, lorsque x A est plus petit que M, f(x) est à une distance inférieure à ε de l, ce qui s écrit Notation. ε > 0, M R, x A on a (x M = f(x) l ε). On note la limite l d une fonction réelle f en, Complété de R lim f(x) = l. x On note R le complété de R, c est-à-dire R = R {, }. Ces notations vont permettre d éviter la répétition inutile de théorèmes selon que a soit réel fini, ou. à A". Ainsi, "A un ensemble réel non borné supérieurement" va s écrire "A R et un point adhérent à A". De même, "A un ensemble réel non borné inférieurement" va s écrire "A R et un point adhérent Dans ces notations, les points " " et " " sont pris dans le complété de R. 1.2 Unicité de la limite finie Théorème 2 Soit A R, f fonction réelle définie sur A et a R un point adhérent à A. Si f admet une limite l R au point a, cette limite est unique. Démonstration. Cas où a R. l 1 R, ε > 0, δ 1 > 0, tel que x A on a ( x a δ 1 = f(x) l 1 ε). l 2 R, ε > 0, δ 2 > 0, tel que x A on a ( x a δ 2 = f(x) l 2 ε). A supposer que l 1 > l 2, en choisissant ε = l 1 l 2 > 0, on obtient pour x A tel que x a min(δ 1, δ 2 ), 2l 1 +l 2 f(x) l 1+2l 2 puis par différence l 2 l 1 0, ce qui contredit l 1 > l 2. 2/1 Mathématiques

Cas où a = R. l 1 R, ε > 0, M 1 R, x A on a (x M 1 = f(x) l 1 ε). l 2 R, ε > 0, M 2 R, x A on a (x M 2 = f(x) l 2 ε). A supposer que l 1 > l 2, en choisissant ε = l 1 l 2 > 0, on obtient pour x A tel que x max(m 1, M 2 ), 2l 1 +l 2 f(x) l 1+2l 2 puis par différence l 2 l 1 0, ce qui contredit l 1 > l 2. Cas où a = R. Se traite comme précédemment. 1. Propriétés algébriques sur les limites finies Théorème Soit A R, f fonction réelle définie sur A, g fonction réelle définie sur A et a R un point adhérent à A. 1. Si les limites lim f(x) et lim g(x) existent et sont finies, alors la limite lim (f + g)(x) existe et lim(f + g)(x) = lim f(x) + lim g(x) ; 2. Si les limites lim f(x) et lim g(x) existent et sont finies, alors la limite lim (f g)(x) existe et lim(f g)(x) = lim f(x) lim g(x) ;. Si la limite lim f(x) existe et est finie bien que différente de zéro, alors la limite lim 1 lim f (x) = 1 lim f(x). 1.4 Cas particulier des fonctions réelles tendant vers 0 Théorème 4 1 (x) existe et f Soit A R, f fonction réelle définie sur A et a R un point adhérent à A. Il est équivalent de dire que lim f(x) = 0 et que lim f(x) = 0. Théorème 5 Soit A R, f fonction réelle définie sur A, g fonction réelle définie sur A et a R un point adhérent à A. Si lim f(x) = 0 et si la fonction réelle g est bornée sur A, alors lim f(x)g(x) = 0. Théorème 6 Soit A R, f fonction réelle définie sur A, g fonction réelle définie sur A et a R un point adhérent à A. Si x R, f(x) g(x) et si lim g(x) = 0, alors lim f(x) = 0. /1 Mathématiques

1.5 Propriétés liées à l ordre des fonctions réelles ou des limites finies Théorème 7 Soit A R, f fonction réelle définie sur A, g fonction réelle définie sur A et a R un point adhérent à A. Supposons que x A, f(x) g(x). Si de plus les limites lim f(x) et lim g(x) existent, alors Théorème 8 lim f(x) lim g(x). Théorème des gendarmes Soit A R, f fonction réelle définie sur A, g fonction réelle définie sur A, h fonction réelle définie sur A et a R un point adhérent à A. Supposons que x A, f(x) g(x) h(x). Si de plus, lim f(x) = lim h(x) = l, alors g possède une limite en a et 1.6 Limite de fonctions réelles composées Composée d une fonction réelle et d une suite Théorème 9 lim g(x) = l. Soit A R, f fonction réelle définie sur A et a R un point adhérent à A. Les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. lim f(x) = l ; 2. pour toute suite (x n ) n N dans A telle que lim n x n = a on a lim n f(x n) = l. Théorème 10 Soit A R, f fonction réelle définie sur A et a R un point adhérent à A. S il existe deux suites (x n ) n N et (y n ) n N dans A de limite a dont les suites (f(x n )) n N et (f(y n )) n N ne convergent pas vers une même limite, alors f n a pas de limite en a. Théorème 11 Soit A R, f fonction réelle définie sur A et a R un point adhérent à A. S il existe une suite (x n ) n N dans A de limite a telle que la suite (f(x n )) n N diverge, alors f n a pas de limite finie en a. Composée de deux fonctions réelles Théorème 12 Soit A R, f(a) B R, f : A R, g : B R, a R un point adhérent à A et b R un point adhérent à B. Si alors la limite en a de g f existe et lim f(x) = b et lim lim(g f)(x) = l. g(y) = l y b 4/1 Mathématiques

2 Limite infinie 2.1 Définition de limite infinie en un point a réel Soit A R, f fonction réelle définie sur A, et a un point adhérent à A. Nous dirons que la limite en a d une fonction réelle f vaut si quel que soit K R, il existe une valeur δ > 0 telle que, lorsque x A est à une distance inférieure à δ de a, f(x) est supérieur à K. Cette définition s écrit K R, δ > 0, x A, on a ( x a δ = f(x) K). Notations. On note la limite d une fonction réelle f en a, lim f(x) =. Soit A R, f fonction réelle définie sur A, et a un point adhérent à A. Nous dirons que la limite en a d une fonction réelle f vaut si quel que soit K R, il existe une valeur δ > 0 telle que, lorsque x A est à une distance inférieure à δ de a, f(x) est inférieur à K. Cette définition s écrit K R, δ > 0, x A, on a ( x a δ = f(x) K). Notations. On note la limite d une fonction réelle f en a, 2.2 Définition de limite infinie en l infini lim f(x) =. Soit A un ensemble réel non borné supérieurement et f fonction réelle définie sur A. La limite en de f existe et vaut si, quel que soit K R, il existe une valeur M R telle que, lorsque x A est plus grand que M, f(x) est supérieur à K, ce qui s écrit K R, M R, x A on a (x M = f(x) K). Notations. On note la limite d une fonction réelle f en, lim f(x) =. x Soit A un ensemble réel non borné supérieurement et f fonction réelle définie sur A. La limite en de f existe et vaut si, quel que soit K R, il existe une valeur M R telle que, lorsque x A est plus grand que M, f(x) est inférieur à K, ce qui s écrit K R, M R, x A on a (x M = f(x) K). Notations. On note la limite d une fonction réelle f en, lim f(x) =. x 5/1 Mathématiques

Soit A un ensemble réel non borné inférieurement et f fonction réelle définie sur A. La limite en de f existe et vaut si, quel que soit K R, il existe une valeur M R telle que, lorsque x A est plus grand que M, f(x) est supérieur à K, ce qui s écrit K R, M R, x A on a (x M = f(x) K). Notations. On note la limite d une fonction réelle f en, lim f(x) =. x Soit A un ensemble réel non borné inférieurement et f fonction réelle définie sur A. La limite en de f existe et vaut si, quel que soit K R, il existe une valeur M R telle que, lorsque x A est plus grand que M, f(x) est inférieur à K, ce qui s écrit K R, M R, x A on a (x M = f(x) K). Notations. On note la limite d une fonction réelle f en, lim f(x) =. x 2. Propriétés algébriques sur les limites infinies Théorème 1 Soit A R, f fonction réelle définie sur A, g fonction réelle définie sur A et a R un point adhérent à A. 1. Si lim f(x) = et si la fonction réelle g est bornée inférieurement, alors lim(f +g)(x) =. De même, si lim f(x) = et si la fonction réelle g est bornée supérieurement, alors lim(f + g)(x) =. 2. Si lim f(x) = + alors lim( f)(x) =. De même, si lim f(x) = alors lim( f)(x) = +.. Si lim f(x) = + et si la fonction réelle g est bornée inférieurement par une constante strictement positive, alors lim(f g)(x) = +. De même, si lim f(x) = et si la fonction réelle g est bornée inférieurement par une constante strictement positive, alors lim(f g)(x) =. Si lim f(x) = + et si la fonction réelle g est bornée supérieurement par une constante strictement négative, alors lim(f g)(x) =. De même, si lim f(x) = et si la fonction réelle g est bornée supérieurement par une constante strictement négative, alors lim(f g)(x) =. 4. Si lim f(x) = + alors lim f 1 2.4 Limite de fonctions réelles composées Théorème 14 1 (x) = 0. De même, si lim f(x) = alors lim (x) = 0. f Soit A R, f fonction réelle définie sur A et a R un point adhérent à A. Les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. lim f(x) = ; 2. pour toute suite (x n ) n N dans A telle que lim n x n = a on a lim n f(x n) =. 6/1 Mathématiques

Théorème 15 Soit A R, f fonction réelle définie sur A et a R un point adhérent à A. Les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. lim f(x) = ; 2. pour toute suite (x n ) n N dans A telle que lim n x n = a on a lim n f(x n) =. 2.5 Propriétés liées à l ordre des fonctions réelles ou des limites infinies Théorème 16 Soit A R, f fonction réelle définie sur A, g fonction réelle définie sur A et a R un point adhérent à A. Supposons que x A, f(x) g(x). 1. Si de plus, lim f(x) =, alors 2. Si de plus, lim g(x) =, alors lim g(x) =. lim f(x) =. Limites à gauche et à droite en un point a R Théorème 17 Soit B A R, f une fonction réelle définie sur A et a R un point adhérent à B. Considérons la restriction ˆf : B R de f à B, définie par ˆf(x) = f(x). Si f possède une limite en a alors ˆf possède aussi une limite en a et lim ; x B ˆf(x) = Remarque concernant la non-existence de limites. lim f(x). ; x A Soit A R, f une fonction réelle définie sur A et a R un point adhérent à A. Supposons qu il existe deux ensembles B 1 A et B 2 A tels que a soit adhérent à B 1 et à B 2. Si de plus lim f(x) lim f(x), ; x B 1 ; x B 2 on déduit du Théorème 17 que la limite de f au point a n existe pas. Limites à gauche et à droite Soit A R, f une fonction réelle définie sur A et a R un point adhérent à A. Si a est adhérent à A [a,+ [ et si la restriction f d : A [a,+ [ R, x f d (x) = f(x) de la fonction réelle f à A [a,+ [ possède une limite l d en a, on dit que l d est la limite à droite de f en a et on écrit lim f d(x) = lim f(x) = l d. ; x a De même, si a est adhérent à A ], a] et si la restriction f g : A ], a] R, x f g (x) = f(x) de la fonction réelle f à A ], a] possède une limite l g en a, on dit que l g est la limite à gauche de f en a et on écrit lim f g(x) = lim f(x) = l g. ; x a 7/1 Mathématiques

Théorème 18 Soit A R, f : A R et a un point adhérent à A ], a] et à A [a, [. Si f possède une limite en a alors elle y possède une limite à droite et une limite à gauche qui sont toutes deux égales à la limite en a de f. Théorème 19 Soit A R, f une fonction réelle définie sur A et a R un point adhérent à A ], a] et à A [a, [. Si f possède une limite à droite et une limite à gauche en a qui sont toutes deux égales à l, alors f possède une limite en a égale à ce même nombre l. Théorème 20 Soit A R, f une fonction réelle définie sur A et a A. Supposons que a est adhérent à A\{a} et considérons la fonction réelle ˆf : A \ {a} R, restriction de f à A \ {a}. Alors lim f(x) = f(a) si et seulement si lim ˆf(x) = f(a). ; x a.1 Théorèmes d existences des limites Fonctions réelles monotones Théorème 21 Théorème de la limite monotone. Soit f une fonction réelle définie sur ]a, b[ avec a R et b R. Si f est monotone sur ]a, b[, alors elle admet une limite (finie ou infinie) en a et en b : 1. si f est croissante sur ]a, b[ (a) si f est majorée sur ]a, b[, f admet une limite finie en b ; sinon, lim x b f(x) = ; (b) si f est minorée sur ]a, b[, f admet une limite finie en a ; sinon, lim f(x) = ; 2. si f est décroissante sur ]a, b[ (a) si f est minorée sur ]a, b[, f admet une limite finie en b ; sinon, lim x b f(x) = ; (b) si f est majorée sur ]a, b[, f admet une limite finie en a ; sinon, lim f(x) = ; 4 Utilisation de la notion de limite 4.1 Recherche d une droite asymptote à une courbe représentant une fonction réelle d une variable réelle à valeurs réelles. Soit a R. Soit une courbe C définie comme le graphe d une fonction réelle f définie sur [a,+ [. On définit la droite asymptote à la courbe C en comme une droite d d équation y = mx + p telle que la distance "verticale" v, de la droite d à la courbe C tende vers zéro lorsque x tend vers l infini, (c est-à-dire lim (f(x) mx p) = 0). x Si m = 0 on parle d asymptote horizontale et si m 0 d asymptote oblique. Un autre cas : celui des asymptotes verticales. Si la courbe C est définie comme le graphe d une fonction réelle f réelle définie sur A \ {a}, où a R est adhérent à A. On dit alors que la droite d équation x = a est 8/1 Mathématiques

une asymptote verticale si lim f(x) = + ou lim ; x<a f(x) = + ou lim ; x>a 4.2 Application à la notion d équivalent 4.2.1 Définitions f(x) = ou lim ; x<a f(x) =. ; x>a Soit A R, f une fonction réelle définie sur A, g une fonction réelle définie sur A et a R un point adhérent à A. 1. On dit que f et g sont équivalentes au voisinage de a R si le quotient f g Notation. tend vers 1 en a. f et g sont équivalentes au voisinage de a R (i.e. lim f(x) g(x) = 1) se note f(x) a g(x). 2. On dit que f est négligeable devant g au voisinage de a R si le quotient f g Notation. tend vers 0 en a R. f est négligeable devant g au voisinage de a R (i.e. lim f(x) g(x) = 0) se note f(x) = o a(g(x)).. On dit que f est dominée par g au voisinage de a R si le quotient f g Notation. est borné au voisinage de a. f est dominée par g au voisinage de a R (i.e. si a R, ε > 0, M > 0, on a ( x a ε = f(x) M) ; si a =, K R, M > 0, on a (x K = f(x) M) ; et si a =, g(x) g(x) K R, M > 0, on a (x K = f(x) g(x) M)) se note f(x) = O a(g(x)). Théorème 22 Soit A R, f une fonction réelle définie sur A, g une fonction réelle définie sur A et a R un point adhérent à A. 1. f(x) a g(x) ε F(A, R), f(x) = g(x)(1 + ε(x)) telle que lim ε(x) = 0; 2. f(x) = o a (g(x)) ε F(A, R), f(x) = g(x)ε(x) telle que lim ε(x) = 0. 4.2.2 Equivalents et limites Théorème 2 Soit A R, f une fonction réelle définie sur A, g une fonction réelle définie sur A et a R un point adhérent à A. 1. Si f(x) a g(x), f et g ont même signe au voisinage de a ; en outre, si lim f(x) = l R, alors lim g(x) = l. 2. Si f(x) = o a (g(x)), alors f(x) + g(x) a g(x). Théorème 24 Si lim f(x) = l R, alors f(x) a l. 9/1 Mathématiques

4.2. Equivalents usuels au voisinage de 0 n j p(x) = x j a i x i 0 a0 x j si a 0 0 (toute fonction réelle polynôme p de degré inférieur ou égal à n s écrit i=0 x j n j i=0 a ix i de façon unique j N ). p(x) r q(x) = xj i=0 a ix i 1 + 0 s i=1 b ix i a 0 x j si a 0 0 (toute fonction réelle rationnelle p P q s écrit r xj i=0 a ix i 1+ P s façon unique j Z ). (1 + x) α 1 0 αx pour α 0. ln(1 + x) 0 x. exp(1 + x) 1 0 x. sin(x) 0 x. cos(x) 1 0 x2 2. sinh(x) 0 x. cosh(x) 1 0 x2 2. 4.2.4 Opérations sur les équivalents Théorème 25 i=1 b ix i de Soit A R, f une fonction réelle définie sur A, g une fonction réelle définie sur A, h une fonction réelle définie sur A, i une fonction réelle définie sur A et a R un point adhérent à A. 1. L équivalent du produit est le produit des équivalents : f(x) a g(x) et h(x) a i(x) = f(x)h(x) a g(x)i(x). 2. L équivalent du quotient est le quotient des équivalents : 4.2.5 Croissances comparées usuelles en Théorème 26 Si 0 < α < β, alors f(x) a g(x) et h(x) a i(x) = f(x) h(x) x α = o (x β ). a g(x) i(x). Théorème 27 Si α > 0 et β > 0, alors Théorème 28 Si α > 0 et β > 0, alors (ln(x)) α = o (x β ). x α = o (exp(βx)). 10/1 Mathématiques

5 Continuité 5.1 Définition Soit A R, f une fonction réelle définie sur A et a A. 1. f est continue en a si lim f(x) = f(a). 2. La fonction réelle f est continue sur A si elle est continue en tout point a A.. Si la restriction de f à B A est continue, on dit que f est continue sur B. Notation. On note C(A) l ensemble des fonctions réelles continues sur A. Remarques. 1. Soit A R, f une fonction réelle définie sur A et a A. De façon équivalente une fonction réelle f est continue en a si lim f(x) existe. 2. Le dernier alinéa de la définition permet de définir la continuité à gauche et à droite comme pour les limites à gauche et à droite : f est continue à gauche en a si à droite en a si lim f(x) = f(a). ; x>a 5.2 Opérations algébriques sur la continuité Théorème 29 lim f(x) = f(a); f est continue ; x<a Soit A R, f une fonction réelle définie sur A, g une fonction réelle définie sur A et a A. Si f et g sont continues en a (respectivement sur A), alors 1. la fonction réelle f + g est continue en a (respectivement sur A) ; 2. la fonction réelle f g est continue en a (respectivement sur A) ;. et si de plus f(a) 0 (respectivement f ne s annule pas sur A), la fonction réelle 1/f est continue en a (respectivement sur A). 5. Continuité d une composée de fonctions réelles Théorème 0 Soit A R, f une fonction réelle définie sur A, g une fonction réelle définie sur f(a) et a A. Si f est continue en a (respectivement sur A) et si g est continue en f(a) (respectivement sur f(a)), alors la fonction réelle g f est continue en a (respectivement sur A). Théorème 1 Soit A R, f une fonction réelle définie sur A, a A. Soit (u n ) n N une suite à valeurs dans A. Si f est continue en a et si lim n u n = a, alors lim n f(u n) = f(a). 5.4 Prolongement par continuité Soit A R, f une fonction réelle définie sur A, a Ā\A. On dit que f est prolongeable par continuité en a si f admet une limite finie l en a. On prolonge f par continuité en a en ˆf définie par ˆf(x) = f(x) si x A et ˆf(a) = l. 11/1 Mathématiques

5.5 Théorèmes fondamentaux sur les fonctions réelles continues 5.5.1 Sur un segment [a, b] avec a R et b R Théorème 2 Théorème des valeurs intermédiaires Soit f une fonction réelle définie et continue sur [a, b] et α un nombre strictement compris entre f(a) et f(b). Alors il existe au moins un nombre c dans ]a, b[ tel que f(c) = α. Théorème Théorème de Weierstrass Soit f une fonction réelle définie et continue sur [a, b]. Alors f est bornée et atteint ses bornes, c est-à-dire Remarque. x m [a, b], x M [a, b], x [a, b], f(x m ) f(x) f(x M ). Soit f une fonction réelle définie et continue sur [a, b]. En utilisant les notations du théorème, on a Théorème 4 inf f(x) = f(x m) = min f(x) et sup f(x) = f(x M ) = max f(x). x [a,b] x [a,b] x [a,b] x [a,b] Soit f une fonction réelle définie et continue sur [a, b]. Soit m = min x [a,b] f(x) et M = max x [a,b] f(x) (qui existent d après le théorème de Bolzano-Weierstrass). L image par f du segment [a, b] est le segment [m, M]. 5.5.2 Sur un intervalle Une partie I de R est un intervalle lorsque "pour tout x, y dans I avec x < y, on a [x, y] I", ce qui s écrit aussi, "pour tout x, y dans I avec x < y, pour tout z R tel que x z y on a z I". Les intervalles de R sont de la forme : R, ], a], ], a[, [a, [, ]a, [, [a, b], [a, b[, ]a, b], ]a, b[, {a} ou, avec a et b réels tels que a < b. Théorème 5 Soit I un intervalle de R et f une fonction réelle définie et continue sur I. Alors f(i) est un intervalle. Cas des fonctions réelles monotones Soit A R, f une fonction réelle définie sur A. La fonction réelle f est dite croissante si, quels que soient x et y dans A, (x < y = f(x) f(y)). La fonction réelle f est dite décroissante si, quels que soient x et y dans A, (x < y = f(x) f(y)). La fonction réelle f est dite monotone si elle est croissante ou décroissante. La fonction réelle f est dite strictement croissante si, quels que soient x et y dans A, (x < y = f(x) < f(y)). La fonction réelle f est dite strictement décroissante si, quels que soient x et y dans A, (x < y = f(x) > f(y)). La fonction réelle f est dite strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante. 12/1 Mathématiques

Théorème 6 Soit I un intervalle réel et f une fonction réelle définie et continue sur I. Alors les deux assertions suivantes sont équivalentes 1. f est injective ; 2. f est strictement monotone. Théorème 7 Soit I un intervalle réel et f une fonction réelle définie, injective et continue sur I. Alors sa réciproque f 1 est continue sur l intervalle f(i). Références [1] D. Duverney, S. Heumez, G. Huvent, Toutes les mathématiques. MPSI PCSI PTSI TSI, Ellipses, 2004. [2] C. De Coster, Notes de cours. 1/1 Mathématiques