Seconde 2 2-24 Sujet Exercice : ( points) DBG est un triangle équilatéral. C est le demi-cercle de centre A et de diamètre [BD]. ) Montrer que (DP) et (BG) sont perpendiculaires. M est le point d intersection des droites (DP) et (BG) 2) Montrer que M appartient au demi-cercle C ) On donne BD = 5 cm. Calculer BC et AP. 4) Calculer l angle a DAC. Exercice 2 : Aire d un rectangle (9 points) On a tracé un quart de cercle de centre A et de rayon 5. AMNP est un rectangle avec M appartenant à [AB], N au quart de cercle et P à [AC]. On donne la table de valeurs et la formule ci-dessous : AM Aire(AMNP) 4,9 2 9,2 2, 4 2, 5, Aire(AMNP) = AM 25 AM² ) La longueur AM (en cm) varie quand on déplace M sur le segment [AB]. Entre quelles valeurs AM peut-elle varier? 2) Quelle est l aire du rectangle AMNP lorsque AM = 4? ) L aire de AMNP est-elle exactement égale à 9,2 si AM = 2? 4) a) On définit la fonction f qui à AM associe l aire du rectangle AMNP. On a ainsi f(x) = x 25 x² Quelle est la variable? Préciser l ensemble de définition de f. b) Quelle est l image de par f? c) Quels sont les antécédents de par f? d) Interpréter les questions b et c géométriquement. 5) Justifier la formule donnant l aire du rectangle AMNP en fonction de la largeur AM. Exercice : (5 points) La fonction f admet ce tableau de variation. x f(x) -2 2-5 4 ) Quel est l ensemble de définition de f? 2) Décrire le sens de variation de f. ) Quel est le maximum de f? Quel est le minimum de f? 4) Tracer une courbe pouvant représenter f.
Seconde 2 2-24 Sujet 2 Exercice : Aire d un rectangle ( points) ABC est un triangle équilatéral inscrit dans le cercle C. G est un point libre du petit arc c BC, distinct de B et C. On trace la droite (AG) qui coupe le segment [BC] en F. La parallèle à la droite (AG) passant par B coupe la droite (CG) en H. ) Quelle est la nature du triangle BGH? Justifier. 2) Justifier que CH CG = HB. En déduire que GF GB + GC = GF ) Application : on suppose que GC = GB. Exprimer GF en fonction de GB. Exercice 2 : Aire d un rectangle (9 points) BM Aire(AMNP) 4,7 4 4,7 8, 9 8, 4,7 2 2, On donne :Aire(AMNP) = 5 BM BM². ) La longueur BM (en cm) varie quand on déplace M sur le segment [AB]. Entre quelles valeurs BM peut-elle varier? 2) Quelle est l aire du rectangle AMNP lorsque BM =? ) L aire de AMNP est-elle exactement égale à 4,7 si BM =? 4) a) On définit la fonction f qui à BM associe l aire du rectangle AMNP. On a ainsi f(x) = 5x x². Quelle est la variable? Préciser l ensemble de définition de f. b) Quelle est l image de par f? c) Quels sont les antécédents de par f? d) Interpréter les questions b et c géométriquement. 5) Justifier la formule donnant l aire du rectangle AMNP en fonction de la largeur BM. Exercice : (5 points) La fonction f admet ce tableau de variation. x f(x) - -5 2-2 ) Quel est l ensemble de définition de f? 2) Décrire le sens de variation de f. ) Quel est le maximum de f? Quel est le minimum de f? 4) Tracer une courbe pouvant représenter f.
Seconde 2 2-24 Sujet Exercice : ( points) DBG est un triangle équilatéral. C est le demi-cercle de centre A et de diamètre [BD]. ) Montrer que (DP) et (BG) sont perpendiculaires. M est le point d intersection des droites (DP) et (BG) 2) Montrer que M appartient au demi-cercle C ) On donne BD = 5 cm. Calculer BC et AP. 4) Calculer l angle a DAC. ) Le triangle BCD est rectangle en C car inscrit dans un demi-cercle dont un côté est un diamètre de ce demi-cercle. Donc (BC) est la hauteur issue de B du triangle BDG. (GA) est la hauteur issue de G du triangle BDG. P intersection des hauteurs (BC) et ( AG) est l orthocentre du triangle BDG. (DP) est la troisième hauteur du triangle BDG (car les hauteurs d un triangle sont concourantes). Donc les droites (DP) et (BG) sont perpendiculaires. 2) Le triangle DMB est rectangle en M et son cercle circonscrit est confondu avec celui du triangle BDC. Donc le point M appartient au demi-cercle C. ) En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle BDC rectangle en C, on a : BD² = CD² + BC² BC² = BD² - CD² = 25 2,5² = 25 25 4 = 75 4 BC = 75 4 = 75 4 = 25 = 5 2 2 4, cm P est aussi le centre de gravité du triangle BDG. Donc AP = AG Or AG = BC. Donc : AP = 5,44 cm 4) DC = DA = DB 2 et a ADC =, donc le triangle ADC est isocèle avec un angle de mesure égal à : c'est donc un triangle équilatéral. Donc a DAC =.
Seconde 2 2-24 Sujet Exercice 2 : Aire d un rectangle (9 points) On a tracé un quart de cercle de centre A et de rayon 5. AMNP est un rectangle avec M appartenant à [AB], N au quart de cercle et P à [AC]. On donne la table de valeurs et la formule ci-dessous : AM Aire(AMNP) 4,9 2 9,2 2, 4 2, 5, Aire(AMNP) = AM 25 AM² ) La longueur AM (en cm) varie quand on déplace M sur le segment [AB]. Entre quelles valeurs AM peut-elle varier? 2) Quelle est l aire du rectangle AMNP lorsque AM = 4? ) L aire de AMNP est-elle exactement égale à 9,2 si AM = 2? 4) a) Quelle fonction f peut-on associer à cette situation? Quelle est la variable? Préciser son ensemble de définition. b) Quelle est l image de par f? c) Quels sont les antécédents de par f? d) Interpréter les questions b et c géométriquement. 5) Justifier la formule donnant l aire du rectangle AMNP en fonction de la largeur AM. ) M [AB] donc AM [ ;5] 2) D après le tableau, lorsque AM = 4 cm alors Aire(AMNP) = 2 Avec la formule : Aire(AMNP) = 4 25 4² = 4 9 = 4 = 2 ) Avec la formule, Aire(AMNP) = 2 25 2² = 2 2 9, L aire de AMNP n est pas égale exactement à 9,2 si AM = 2 (valeur exacte 2 2). 4) a) On peut définir la fonction f qui a la longueur AM associe l aire du rectangle AMNP. f est donc définie par f(x) = x 25 x² La variable x représente la longueur AM. L ensemble de définition de AM est l intervalle [ ;5]. b) f() = 25 ² = = 4 = 2 L image de par f est. c) Pour déterminer les antécédents éventuels de par f, on résout l équation f(x) = avec x [ ;5]. f(x) = x 25 x² = x = ou 25 x² = x = ou 25 x² = x = ou (5 x)(5 + x) = x = ou x = 5 ou x = -5 4
Seconde 2 2-24 Sujet -5 n appartient à l ensemble de définition de f ([ ;5]). Donc les antécédents de par f sont et 5. d) Lorsque AM =, l aire du rectangle est égale à 2. Lorsque AM = (c est-à-dire M = A) ou bien lorsque AM = 5 (c est-à-dire M = B), alors l aire du rectangle est égale à. (le rectangle est aplati.) 5) f(x) = Aire(AMNP) = AM MN = x MN. Pour exprimer MN en fonction de x, on utilise le théorème de Pythagore appliqué dans le triangle AMN rectangle en M : AN² = AM² + MN² Soit 5² = x² + MN² Donc MN² = 25 x² et MN = 25 x² car MN. Donc f(x) = x 25 x² Exercice : (5 points) La fonction f admet ce tableau de variation. x f(x) -2 2-5 4 ) Quel est l ensemble de définition de f? 2) Décrire le sens de variation de f. ) Quel est le maximum de f? Quel est le minimum de f? 4) Tracer une courbe pouvant représenter f. ) L ensemble de définition de f est l intervalle [ ;]. 2) f est décroissante sur [ ;2], croissante sur [2 ;] et décroissante sur [ ;]. ) Le maximum de f est 4. Le minimum de f est -5. 4) 5
Seconde 2 2-24 Sujet 2 Exercice : Aire d un rectangle ( points) ABC est un triangle équilatéral inscrit dans le cercle C. G est un point libre du petit arc c BC, distinct de B et C. On trace la droite (AG) qui coupe le segment [BC] en F. La parallèle à la droite (AG) passant par B coupe la droite (CG) en H. ) Quelle est la nature du triangle BGH? Justifier. 2) Justifier que CH CG = HB. En déduire que GF GB + GC = GF ) Application : on suppose que GC = GB. Exprimer GF en fonction de GB. ) Dans le cercle Cles angles inscrits a AGC et a ABC interceptent le même arc a AC : ils sont de même mesure. Or, a ABC = puisque ABC est un triangle équilatéral. Donc a AGC = De même les angles inscrits a AGB et a ACB interceptant le même arc a AB sont de même mesure. Donc a AGB = a ACB = Or, a CGH = a CGA + a AGB + a BGH L'angle a CGH étant plat, on a donc : a BGH = a CGH - a CGA - a AGB = 8 = Les angles alternes-internes a AGB et a GHB déterminés par les droites parallèles (AG) et (BH) et la sécante (CH) sont donc de même mesure. Donc a GHB = a AGB = Le triangle BGH ayant 2 angles de même mesure de est donc équilatéral 2) Les droites (GF) et (BH) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles CGF et CHB : On obtient directement : CG CH = GF BH GB + GC = BH + (car comme BGH est équilatéral alors GB = BH) GC GB + BH + GC GH + CG = = (car comme BGH est équilatéral alors BH = GH) GC BH GC BH GC GB + GC = CH BH GC Or, comme CG CH = GF, alors CG BH = CH GF BH D'où : GB + GC = CH CH GF = GF
Seconde 2 2-24 Sujet 2 ) Si GC = GB alors GC = GB Et GB + GC = GB + GB = 4 GB Soit 4 GB = GF Soit GF = GB 4 Exercice 2 : Aire d un rectangle (9 points) BM Aire(AMNP) 4,7 4 4,7 8, 9 8, 4,7 2 2, Aire(AMNP) = 5 BM BM². ) La longueur BM (en cm) varie quand on déplace M sur le segment [AB]. Entre quelles valeurs BM peut-elle varier? 2) Quelle est l aire du rectangle AMNP lorsque BM =? ) L aire de AMNP est-elle exactement égale à 4,7 si BM =? 4) a) On définit la fonction f qui à BM associe l aire du rectangle AMNP. On a ainsi f(x) = 5x x². Quelle est la variable? Préciser l ensemble de définition de f. b) Quelle est l image de par f? c) Quels sont les antécédents de par f? d) Interpréter les questions b et c géométriquement. 5) Justifier la formule donnant l aire du rectangle AMNP en fonction de la largeur BM. ) M [BM] donc BM [ ;5]. 2) D après le tableau, pour BM = cm, on a Aire(AMNP) = 8 cm². D après la formule, pour BM = cm, on a Aire(AMNP) = 5 ² = 2 = 8 cm². ) D après la formule, pour BM = cm, on a Aire(AMNP) = 5 ² = 5 = 4 4,7 Donc l aire de AMNP n est pas exactement égale à 4,7 si BM =. 4) a) La variable x représente la longueur BM. L ensemble de définition de f est l intervalle [ ;5]. b) f() = 5 ² = 5 = 2 7
Seconde 2 2-24 Sujet 2 c) Pour déterminer les antécédents éventuels de par f, on résout l équation f(x) = avec x [ ;5]. f(x) = 5x x² = x 5 x = x = ou 5 x = x = ou x = 5 Les antécédents de par f sont et 5. d) Pour BM = cm l aire du rectangle AMNP est égale à 2 cm². Pour BM = (M = B) ou BM = 5 (M = A), alors l aire du rectangle AMNP est égale à. (Le rectangle AMNP est aplati.) 5) Aire(AMNP) = AM MN AM = AB BM = 5 x Pour exprimer MN en fonction de x, on utilise le théorème de Thalès dans les triangles BMN et BAC (les droites (AC) et (MN) sont parallèles car toutes deux perpendiculaires à la même droite (AB).) : BM BA = MN AC Soit : x 5 = MN 5 D où : MN = 5 5 x = x Donc f(x) = Aire(AMNP) = (5 x) x = 5 x - x² = 5x x² Exercice : (5 points) La fonction f admet ce tableau de variation. x f(x) - -5 2-2 ) Quel est l ensemble de définition de f? 2) Décrire le sens de variation de f. ) Quel est le maximum de f? Quel est le minimum de f? 4) Tracer une courbe pouvant représenter f. ) L ensemble de définition de f est l intervalle [- ;]. 2) f est croissante sur [- ;], décroissante sur [ ;2] et croissante sur [2 ;]. ) Le maximum de f est. Le minimum de f est -5. 4) 8
Seconde 2 2-24 Sujet 2 9