Champs produits par des circuits simples

Champs produits par des circuits simples A. Symétries et notion de vecteur axial Comme en électrostatique l utilisation d éventuelles symétries et/ou invariances de la distribution de courants peut simplifier la détermination du champ magnétique. Nous devons cependant avoir conscience de la nature particulière du champ magnétique. Revenons à la loi de Biot et Savart. Considérons le champ db créé en un point M par un élément de courant filiforme i dl passant par un point P. Comme indiqué sur la figure suivante, intéressons-nous à la situation symétrique par rapport à un plan (Π). Les points P, M et l élément i dl représentent les symétriques. Par contre le champ magnétique db est obtenu par un produit vectoriel : db' = K i dl ' u' r 2 Nous constatons facilement sur la figure (et cela se vérifie par calcul) que celui-ci est en fait égal à l opposé du symétrique du vecteur db, noté db". Le champ magnétique est un vecteur antisymétrique, un pseudo-vecteur ou encore un vecteur axial. Il a le même comportement qu un vecteur rotation Ω en mécanique. Fig. 1 : Symétrie par rapport à un plan du champ magnétique créé par un élément de courant. Ainsi s il existe un plan de symétrie dans la distribution de courants le champ magnétique est antisymétrique par rapport à ce plan. Au point M symétrique de M le champ magnétique est S. Tisserant PHY11 : Electromagnétisme VIII - 1

opposé au symétrique du champ en M. En particulier en tout point du plan de symétrie le champ magnétique, devant être son propre antisymétrique, est normal au plan. D autre part, s il existe un plan d antisymétrie dans la distribution de courants le champ magnétique est symétrique par rapport à ce plan. En particulier en tout point du plan d antisymétrie le champ magnétique, devant être son propre symétrique, est tangent au plan. B. Courants à distribution circulaire ou cylindrique B.1. Champ magnétique sur l axe d une spire Considérons une spire plane, de rayon R, conductrice filiforme parcourue par un courant (fig. 2). Nous choisissons une orientation de la spire et nous notons i la valeur algébrique de l intensité du courant parcourant celle-ci. Soit Oz l axe passant par le centre O de la spire et orienté en conformité avec la spire (tire-bouchon). Nous cherchons à calculer le champ magnétique créé par la spire en un point M de cet axe. Fig. 2 : Spire parcourue par un courant. Tout plan contenant l axe Oz est plan d antisymétrie pour le courant. Le champ magnétique se situe donc dans ce plan. L axe Oz étant l intersection de deux de ces plans, le champ magnétique est porté par l axe. Calculons la projection sur l axe Oz du champ magnétique créé par un élément de courant i dl. Pour cela nous nous plaçons dans le plan contenant l axe et le point P. Les variables utilisées sont explicitées sur la figure 3. Fig. 3 : Spire parcourue par un courant. En valeur algébrique nous avons : db z = μ 0 i dl r 2 sinθ S. Tisserant PHY11 : Electromagnétisme VIII - 2

où r représente la distance PM. Si nous sommons la contribution de l ensemble de la spire il vient : L angle θ est défini par : Ce qui nous donne : B= μ 0 i 2 π R r 2 sinθ sinθ= R r B= μ 0 i 2 R 2 r 3 Nous pouvons exprimer la distance r en fonction du rayon de la spire et de la coordonnée z du point M : r 2 =R 2 +z 2 r 2 R 2=1+z2 R 2 Nous avons donc pour l expression du champ magnétique en fonction de z : B(z)= μ / 0 i 2 R 1+z2 R 2 La courbe présentée sur la figure suivante indique l allure de cette fonction. Fig. 4 : Allure de l intensité du champ magnétique créé par une spire. Déterminons les positions du maximum et des points d inflexion. Pour simplifier le calcul des dérivées nous pouvons écrire : B z =B r r z Reprenons l expression de B en fonction de la distance r : B= μ 0 i 2 R 2 =A r-3 r3 S. Tisserant PHY11 : Electromagnétisme VIII - 3

Nous avons pour sa dérivée : D autre part nous avons : Ce qui nous donne : B r = 3 A r-4 r 2 =R 2 +z 2 2 r dr=2 z dz r z =z r Nous pouvons donc calculer la dérivée du champ magnétique par rapport à la variable z : Le champ magnétique est maximum en z = 0 : B z = 3 A r-4 z r = 3 A r-5 z Pour la dérivée seconde il vient : B 0 = μ 0 i 2 R B r = 3 A 5 r-6 z2 z z+r-5 B z 2 = 3 A 5 r-6 z r z+r-5 B z 2 =3 A r-7 (5 z 2 r 2 ) Celle-ci s annule pour : 5 z 2 =r 2 =R 2 +z 2 z 2 = R2 4 La courbe de la figure 4 présente deux points d inflexion pour : B.2. Bobines de Helmholtz z=± R 2 Considérons deux spires identiques, de rayon R, parcourues par des courants de même sens et de même intensité i. Nous disposons ces deux spires normalement à un axe Oz de telle sorte que leurs centres se situent sur cet axe (fig. 5). Nous choisissons l origine O au milieu du segment joignant les deux centres. Nous notons d la longueur de ce segment. D après le principe de superposition le champ magnétique créé par ces deux spires est la somme des champs induits par chacune des spires : B(M)=B 1 (M)+B 2 (M) S. Tisserant PHY11 : Electromagnétisme VIII - 4

Pour un point M d abscisse z sur l axe Oz nous avons donc : B(z)=B 1 (z 1 )+B 2 (z 2 ) où B 1 et B 2 représentent le champ magnétique créé par une spire, calculé au paragraphe précédent, et avec : z 1 =z+ d 2 et z 2 =z- d 2 Fig. 5 : Bobines de Helmholtz. Sur la figure 6 nous avons tracé l allure de cette somme pour deux situations assez différentes. A droite les deux spires sont côte-à-côte (d = 0), la courbe est évidemment similaire à celle d une seule spire, avec une amplitude du champ double. A gauche les deux spires sont relativement écartées. On observe un minimum en O et des maxima au niveau des deux centres. Fig. 6 : Champ créé par des bobines de Helmholtz très proches (à droite) ou assez éloignées (à gauche). Considérons la courbure de ces courbes en z = 0. Celle-ci est négative pour la courbe de droite et positive pour la courbe de gauche. Il doit donc exister une situation pour laquelle la courbure à l origine s annule. Déterminons quelle est alors la distance entre les deux bobines. La courbure est déterminée par la dérivée seconde : B z 2(z)= B 1 z 2 (z 1)+ B 2 z 2 B 2 S. Tisserant PHY11 : Electromagnétisme VIII - 5

Avec les notations du paragraphe précédent nous pouvons écrire : Et : B 1 z 2 (z 1)=3 A r 1-7 (5 z 1 2 r 1 2 ) B 2 z 2 (z 2)=3 A r 2-7 (5 z 2 2 r 2 2 ) Pour z = 0 nous avons : z 1 = d 2 et z 2= d 2 r 1 =r 2 Nous pouvons donc écrire : B z 2(0)=6 A r 1-7 (5 z 1 2 r 1 2 ) Nous avons vu que cette expression s annule pour : z 1 =± R 2 La courbure en z = 0 de la courbe représentant le champ magnétique créé par les deux spires est donc nulle pour d = R. C est ce que nous pouvons constater sur la figure 7. Dans cette situation les bobines créent un champ magnétique uniforme dans un volume assez grand autour de O. Fig. 7 : Champ créé par des bobines de Helmholtz en position optimale. B.3. Solénoïde Un solénoïde à spires jointives (fig. 8) constitue la réalisation pratique d une nappe de courant cylindrique. Si nous notons n le nombre de spires par unité de longueur nous avons pour la densité surfacique de courant équivalente : j S =n i S. Tisserant PHY11 : Electromagnétisme VIII - 6

Nous cherchons à calculer le champ magnétique en un point M situé sur l axe du solénoïde. Celui-ci étant axe d antisymétrie pour la distribution de courants, le champ est porté par l axe. Commençons par considérer le champ élémentaire créé par une tranche du solénoïde. Pour ce calcul nous choisissons le point M comme origine sur l axe z. L orientation du courant dans le solénoïde définit celle de l axe. Nous notons z l abscisse du centre de la tranche et dz son épaisseur infinitésimale. Fig. 8 : Calcul du champ magnétique sur l axe d un solénoïde. Nous pouvons assimiler cette tranche de solénoïde à une spire de rayon R ayant pour contribution au champ magnétique en M : db(z)= μ 0 I 2 L intensité I du courant circulant dans cette spire est proportionnelle à l épaisseur de la tranche : I=j S dz=n i dz La longueur r et l angle θ (fig. 8) sont directement reliés à l abscisse z de la spire et à son rayon R : r= R sinθ R 2 r 3 z=r cosθ= R tanθ La largeur dz de la tranche correspond à un angle dθ : z θ = R sin 2 θ dz= R dθ sin 2 θ En reportant les expressions de r et dz, nous pouvons écrire pour le magnétique en M : S. Tisserant PHY11 : Electromagnétisme VIII - 7

Soit en simplifiant : db(θ)= μ 0 n i 2 R dθ sin 2 θ R 2 sin θ R 3 db(θ)= μ 0 n i 2 sinθdθ Le champ magnétique créé par l ensemble du solénoïde correspond à la superposition des contributions de toutes les tranches. Ce qui nous donne : z 2 B(M)= db(x) z 1 θ 2 = db(θ) θ 1 où z 1 et z 2 (θ 1 et θ 2 ) désignent les abscisses des deux extrémités du solénoïde par rapport au point M, comme indiqué sur la figure 8. L intégration par rapport à θ nous conduit à : B(M)= μ 0 n i 2 (cosθ 2 cosθ 1 ) La figure suivant illustre l allure du champ magnétique le long de l axe Oz d un solénoïde de longueur L. Fig. 9 : Champ le long de l axe d un solénoïde de longueur L. Au centre O du solénoïde nous avons : B 0 =μ 0 n i cosθ avec pour un solénoïde de rayon R et de longueur L : tanθ= 2 R L Pour un solénoïde infini (θ = 0) le champ est constant : B=μ 0 n i S. Tisserant PHY11 : Electromagnétisme VIII - 8

C. Champ produit par un tore Un tore de révolution désigne la surface obtenue par la rotation d une courbe plane fermée (la section du tore) autour d une droite située dans le plan de la courbe. Par exemple la figure 10 présente le tore obtenu par rotation d un cercle vertical autour d une droite verticale située à une distance au centre du cercle supérieure à son rayon. Fig. 10 : Tore de révolution de section circulaire. Considérons un tore de section quelconque sur lequel sont enroulées N spires jointives traversées par un courant d intensité i. Etant donnée la symétrie cylindrique du tore nous pouvons affirmer que les lignes de champ sont des cercles orthogonaux à l axe de révolution et centrés sur celui-ci. Appliquons le théorème d Ampère le long d un de ces cercles de rayon r. Nous avons pour la circulation du champ magnétique : B dl (Γ) =2 π r B(r) Celle-ci est proportionnelle à l intensité enlacée I. Nous devons distinguer deux situations : - le cercle se situe à l extérieur du tore : I = 0 ; - le cercle se situe à l intérieur du tore : I = N i. Le champ magnétique est donc nul à l extérieur du tore. A l intérieurr du tore il a pour module : B(r)= μ 0 N i 2 π r où r représente la distance à l axe de symétrie du tore. Si R représente le rayon de la trajectoire du barycentre de la section nous pouvons écrire : B(R)= μ 0 N i 2 π R =μ 0 n i où n représente le nombre de spires par unité de longueur. Le champ médian du tore a une expression similaire à celui d un solénoïde de longueur infinie. S. Tisserant PHY11 : Electromagnétisme VIII - 9

D. Dipôle magnétique Au début de ce chapitre nous avons évalué le champ magnétique créé par une spire le long de son axe. Nous intéressons ici au champ magnétique induit en un point quelconque situé à grande distance de la spire. Fig. 11 : Calcul du potentiel vecteur induit par une spire. Commençons par évaluer le potentiel vecteur. Pour un circuit linéique (orienté) traversé par un courant d intensité i (algébrique), en utilisant la jauge de Coulomb, nous avons au point M : A(M)= μ 0 i dl P r le point P circulant sur la spire dans le sens positif. Pour alléger les expressions la variable r représente ici la distance PM. Plaçons nous dans un repère orthonormé (O,e x,e y,e z ) avec O pris au barycentre de la spire (celle-ci n est pas nécessairement plane). Considérons une des composantes du potentiel vecteur, par exemple A x : A x =A e x = μ 0 i e x r dl P Cette expression fait apparaître la circulation d un vecteur e x le long du circuit. Le théorème r de Stokes nous permet de transformer cette circulation en un flux : e x r dl () = rot P e x r ds () où (Σ) est une surface orientée s appuyant sur la spire (Γ). Comme la distance r dépend de M et de P, l indice P indique que le rotationnel porte sur les coordonnées de P (pour M fixe). D autre part nous avons : Le vecteur e x étant fixe il reste : rot P e x r =1 r rot P e x +grad P 1 r e x rot P e x r =grad P 1 r e x S. Tisserant PHY11 : Electromagnétisme VIII - 10

Dans le paragraphe D.2 du chapitre précédent nous avons trouvé que : grad 1 r = 1 r 2 u P où u P est le vecteur unitaire dirigé de P vers M. Reportons ce résultat dans l expression de la composante du potentiel vecteur. Nous obtenons : A x = μ 0 i u P r 2 e xds () En utilisant l invariance du produit mixte par permutation circulaire il vient : A x = μ 0 i ds u P r 2e x () En suivant la même démarche pour les deux autres composantes nous aurions obtenu des résultats similaires. Nous pouvons donc écrire pour le potentiel vecteur : Ce résultat est valable pour tout point M. A(M)= μ 0 i ds u P r 2 Considérons un point situé à grande distance de la spire (r grand devant les dimensions de la spire) nous pouvons considérer qu au premier ordre : () PM OM =r u où r représente cette fois la distance OM et u le vecteur unitaire dirigé de O vers M. Nous pouvons donc considérer cette distance et ce vecteur constant dans l intégration. Ce qui nous permet d écrire : avec : A(r)= μ 0 m u r 2 = μ 0 m=i ds () m r r 3 Cette expression du potentiel vecteur est similaire à celle obtenue pour le potentiel électrostatique d un dipôle. Pour cette raison la spire est également appelée dipôle magnétique et la quantité m représente son moment magnétique. Pour une spire plane nous avons : m=i S Dans le système international d unités le moment magnétique s exprime en A m 2. Remarque : La surface de la spire peut s écrire : S. Tisserant PHY11 : Electromagnétisme VIII - 11

S= 1 2 dl OP (Γ) La figure suivante illustre le potentiel vecteur pour une telle spire. Fig. 12 : Potentiel vecteur en un point éloigné de la spire. Connaissant le potentiel vecteur nous pouvons évaluer le champ magnétique créé par un dipôle magnétique en utilisant la relation : B=rot M A Pour plus de clarté par rapport à la discussion précédente, nous avons introduit un indice M pour rappeler que le rotationnel ici est à calculer par rapport aux coordonnées du point M. Pour simplifier le calcul nous utilisons des coordonnées sphériques prises par rapport à un repère orthonormé direct (O,e x,e y,e z ) avec le vecteur unitaire e z choisi parallèle au moment magnétique : m=m e z Fig. 13 : Coordonnées polaires dans le plan défini par le moment magnétique et le point M. Nous avons alors : m u=m e z u=msinθe φ S. Tisserant PHY11 : Electromagnétisme VIII - 12

Le potentiel vecteur s écrit donc : A(r)= μ 0 msinθ r 2 e φ Par rapport repère (e r,e θ,e φ ) seule sa troisième composante A φ est non nulle. En coordonnées sphériques le rotationnel a pour expression : rot A 1 rsinθ θ (sinθa φ) θ φ 1 r 1 A r sinθφ r r A φ 1 r r (r A θ) A r θ L expression du champ magnétique se limite donc à : B B r = 1 B θ = 1 r B φ =0 rsinθθ (sinθa φ) r r A φ La troisième composante étant nulle le champ magnétique se trouve dans le plan défini par le moment magnétique m et le point M. Partant de : Il vient : A φ = μ 0 msinθ r 2 sinθa φ = μ 0 msin θ r 2 θ (sinθa φ)= μ 0 2 msinθcosθ r 2 Ce qui nous donne pour la première composante du champ magnétique : Ce que nous pouvons encore écrire : D autre part : B r = μ 0 B r = μ 0 2 mcosθ r 3 2 m u r 3 S. Tisserant PHY11 : Electromagnétisme VIII - 13

r A φ = μ 0 msinθ r r r A φ= μ 0 msinθ r 2 Ce qui nous donne pour la seconde composante du champ magnétique : B θ = μ 0 msinθ r 3 Nous obtenons pour le champ magnétique créé par un dipôle magnétique des composantes similaires à ce que nous avions pour le dipôle électrostatique. Les études des lignes de champs d un dipôle électrostatique sont donc transposables aux lignes de champ magnétique. Par exemple la figure suivante visualise ces lignes de champ pour un moment magnétique vertical (matérialisé par le vecteur). Fig. 14 : Lignes d induction magnétique d un dipôle. Un barreau aimanté (aimant permanent) à grande distance peut être assimilé à un dipôle magnétique dont le moment magnétique est dirigé du Sud vers le Nord de l aimant. Les lignes de champ magnétique (à l extérieur du barreau) sont orientées du Nord vers le Sud. Par analogie nous pouvons définir des pôles pour des circuits. La figure suivante illustre ces pôles pour une spire en fonction du sens du courant. Le tire-bouchon s enfonce du Sud vers le Nord. Fig. 15 : Pôles Sud et Nord d une spire. S. Tisserant PHY11 : Electromagnétisme VIII - 14