Etude du comportement mécnique du gypse Les essis mécniques rélisés en lbortoire sur des éprouvettes homogènes constituent le principl outil de détermintion des lois de comportement des solides en générl et des géomtériux en prticulier. En mécnique des roches et des sols, les données expérimentles utilisées pour définir ces lois de comportement proviennent d essis trixiux clssiques ou d essis spéciux, de type œdométrique ou de type brésilien. Dns ce mini-projet, on se limiter à un essi de compression unixile (essi trixil vec un confinement nul) et à un essi brésilien qui permet l mesure, d une fçon indirecte, de l résistnce à l trction. Les essis seront rélisés sur des éprouvettes de gypse. Résistnce en compression unixile Dns cet essi, l éprouvette, générlement cylindrique, est plcée entre les plteux d une presse (figure ), et l force xile est ugmentée jusqu à l rupture de l éprouvette. L vleur mximle F de l force permet de clculer l résistnce en compression unixile R c de l roche : R c = F/S vec S est l surfce de l section de l éprouvette. Résistnce à l trction Fig. : Dispositif expérimentl pour un essi de compression unixile L essi de résistnce à l trction indirecte, dit ussi essi brésilien, est rélisé en comprimnt entre les plteux de l presse une éprouvette cylindrique le long de deux génértrices opposées (figure ) : l rupture est obtenue pr trction u centre de l éprouvette. On évite insi les difficultés de collge des têtes nécessire dns les essis de trction directe. Si F est l effort fourni pr l presse u moment de l rupture, R le ryon de l éprouvette et H s huteur, l résistnce à l trction indirecte est donnée pr : R t = (F/πRH).
Trvil demndé Fig. : Essi de trction indirecte (essi brésilien). L homogénéité de l éprouvette est un fcteur importnt qui permet de déterminer un comportement moyen de l roche étudiée à prtir de mesures fites sur ses frontières. Qu en est-il de l homogénéité des éprouvettes de gypse?. Si l on suppose l déformtion homogène et le mtériu isotrope, les mesures de l force xile, de l huteur et du dimètre de l éprouvette permettent de déterminer entièrement l étt de contrinte et de déformtion. Dns quelle mesure cette homogénéité est-elle ssurée? 3. Réliser l essi de compression simple vec le dispositif expérimentl fourni et trcer l courbe contrinte-déformtion pour chque éprouvette. En déduire l résistnce en compression simple pour chque éprouvette. L résistnce en compression simple est une propriété ssez dispersée ; qu en est-il des vleurs trouvées pour le gypse? 4. L mesure des déformtions lors d une compression unixile permet de déterminer les prmètres élstiques de déformbilité de l roche : module de Young (pente de l courbe de déformtion longitudinle) et coefficient de Poisson (rpport de l déformtion trnsversle à l déformtion longitudinle). Déterminer le module de Young de chque éprouvette. 5. Lorsque les déformtions sont mesurées à prtir des déplcements des plteux de l presse (mesures dites globles), l mchine et l échntillon se déforment u fur et à mesure que l chrge ugmente, qu en est-il donc du vri module de Young et dns quelle mesure peut-on dire que ce qu on déterminé comme prmètre est vriment intrinsèque à l roche? 6. Réliser l essi de trction brésilien et déterminer l résistnce à l trction pour chque éprouvette. 7. Le critère de rupture le plus utilisé pour les géomtériux isotrope est celui de Mohr-Coulomb. A prtir des vleurs moyennes de l résistnce en compression simple et celle à l trction, déterminer les deux prmètres qui crctérisent ce critère, à svoir, l ngle de frottement et l cohésion. Un essi de trction indirecte est crctérisé pr les contrintes principles σ = R t, σ = 0, σ 3 = kr c et on ppliquer le coefficient k trouvé en nnexe. Dns le cs de l compression unixile on : σ = σ = 0 et σ 3 = R c 8. A l fin de chque essi, observer l orienttion de l surfce de rupture et l justifier.
Annexe : Clcul numérique de l solution élstique de l essi brésilien 3 Le tritement des problèmes qui comportent une ou plusieurs zones de contct est toujours délict, cr l définition des conditions ux limites pose toujours question. Pr illeurs, les contcts sont souvent à l source de grndes concentrtions de contrinte sur des zones très réduites. Dns le cs du système étudié ici, les conditions sont fvorbles dns l mesure où l on s intéresse à l étt de contrinte d une zone (le centre du cylindre) qui est éloignée de l zone de contct. C est cependnt l occsion d étudier l distribution des contrintes dns l structure, et de juger de l homogénéité du chmp u centre du cylindre. Trois pproches sont utilisées, deux pproches nlytiques et une pproche de simultion numérique. Les deux pproches nlytiques sont : l solution de Hertz, que l on peut pr exemple trouver dns [] l solution de Muskhelishvili, que l on trouve dns [] L simultion numérique met en œuvre une technique de clcul pr éléments finis. Solution de Hertz Hertz fourni des solutions de problèmes de contcts entre corps élstique. Les solutions les plus connues concernent deux cyclindres ou deux sphères, qui peuvent voir des ryons différents, et qui sont en contct le long d une génértrice. Pour une force d ppui donnée, l théorie de Hertz fournit l tille de l zone de contct,, qui évolue comme l rcine crrée de l force, l pression normle sous le contct, et les contrintes normles principles à l intérieur des cylindres dns le pln de symétrie défini pr l génértrice et le segment qui joint les centres des sections. L figure ci-dessous précise l géométrie et les nottions utilisées. E = ν + ν E E R = + R R Les R i sont les ryons de chque cylindre, E i les modules de Young et ν i les coefficients de Poisson. L surfce de contct et l pression mximle de contct F 0 peuvent être clculées grâce ux reltions : = ( 4FR πe ) / F 0 = F π Les contrintes principles suivnt l xe x, i.e x = 0 sont données pr les reltions suivntes ([]) : σ = F 0 { ( + σ = F 0 ( + ) )( + ) ) / ) ) / σ 3 = ν(σ + σ ) dns le cs des déformtions plnes. Solution nlytique ) } L essi brésilien dmet une solution nlytique, qui été étblie pr Muskhelishvili. L démrche permettnt de déterminer cette solution est
présentée dns []. Il n y plus deux cylindres en jeu cette fois-ci ; l uteur considère plutôt une force ppliquée ponctuellement selon l génértrice d un cylindre. Sur l xe x = 0, les contrintes s écrivent lors : Clcul éléments finis σ = F HπR σ = F 3R + x HπR R x L méthode des éléments finis est une méthode numérique permettnt de résoudre des problèmes de physique ou plus générlement des équtions différentielles vec conditions ux limites, et ps seulement des problèmes de mécnique! L méthode consiste à rechercher une solution pprochée de l solution excte sous l forme d un chmp défini pr morceux sur des sous domines. L résolution d un problème pr éléments finis se fit en plusieurs étpes. Tout d bord, on procède à l division du domine d étude en sous domines : c est le millge. Ce millge est constitué d éléments et de noeuds. On choisit ensuite une fmille de chmps locux dns chque sous 4 domine, et des conditions de continuité qu on impose ux frontières des sous domines. Il fut noter que ces deux étpes sont essentielles pour l qulité de l solution pprochée. Le problème se rmène insi à un problème discret : c est ce que l on ppelle l discrétistion. L solution pprochée est complètement déterminée pr les vleurs ux nœuds des éléments. Il suffit donc de trouver les vleurs à ttribuer ux nœuds pour décrire une solution pprochée. On exploite enfin l solution pour juger de s qulité numérique. Cette méthode été mise en oeuvre pour l essi brésilien. Les figures suivntes permettent de visuliser les contrintes σ, σ et σ. Questions A. Connissnt l solution de Hertz pour deux cylindres en contct, en déduire l solution pour un cylindre en contct vec un pln rigide. Est-ce que ce choix (pln rigide) vous prît judicieux? A. Trcer sur le même digrmme l évolution des contrintes σ, insi que des contrintes σ, pour l solution de Hertz, l solution nlytique et l solution de clcul pr éléments finis. Commenter les différences obtenues. Quelle solution vous prît-il préférble de considérer?
5 Les fichiers comportnt les résultts en contrinte ( σ, σ et σ ) sur l xe x peuvent être téléchrgés ICI. Figure A : Crtes de contrintes σ, σ et σ pour une force ppliquée F = 5 N Références [] J.C Jeger nd Neville G. W Cook. Fundmentls of rock mechnics. Methuen, London, 969. [] K.L Johnson. Contct Mechnics. Cmbridge University Press, Cmbridge, 985.