UITÉ 6 : LA PROPORTIOALITÉ UMÉRIQUE POUR DÉBUTER Il fau rappeler - Définiion de grandeur : Une grandeur es une caracérisique qui es mesurée, e la valeur es exprimée par un nombre. Le concep de grandeur es uilisé en mahémaique pour désigner des noions associées à divers phénomènes elles que la longueur, les aires, les volumes, les masses, les angles, les viesses, les durées... - Définiion de rappor e proporion On appelle rappor de deux nombres «a» e «b» le quoien exac (résula de la a division) de ces deux nombres : b a c On appelle proporion, l'égalié de deux rappors fracionnaires : c'es une forme. b d Propriéé : a db c. celle-ci on doi l uiliser pour calculer le quarième proporionnel. - Calcul de pourcenage a a% de 1. Proporionnalié direce Deux grandeurs son dies direcemen proporionnelles lorsqu elles son liées par une relaion de la forme a k b k désignan une consane numérique non nulle appelé coefficien de proporionnalié direce On remarque que la relaion b a k (a k b) s'inerprèe graphiquemen comme l'équaion d'une droie du plan passan par l'origine (foncion linéaire), k es alors le coefficien direceur de cee droie. On peu aussi consruire le ableau de valeurs. oublie pas : Grandeur G Grandeur G a b c k a' b' c' 1
2. Proporionnalié inverse Deux grandeurs son dies inversemen proporionnelles lorsqu elles son liées par une relaion de la forme a bk k désignan une consane numérique non nulle appelé coefficien de proporionnalié inverse k On remarque que la relaion a bk ( a ) s'inerprèe graphiquemen comme l'équaion d'une b hyperbole équilaère. On peu aussi consruire le ableau de valeurs. Exemples : Plus on emploiera de salariés pour faire un ravail, moins de emps on mera ; la viesse d un rain es inversemen proporionnelle à la durée du raje. Le nombre de journées nécessaires pour accomplir un ouvrage es inversemen proporionnel au nombre d heures de ravail par jour, ec. oublie pas : Grandeur G Grandeur G a b c a a b b c c k Exercice : Peu-on calculer a, b, c e d afin que les suies de valeurs en x e y ci-dessous soien proporionnelles? Remarque : x 18 a b 10 1 3 19,2 y 45 7 1 25 c d 48 Si un véhicule roule à viesse consane v exprimée en km/h, sa disance parcourue en un emps exprimé en heures sera d v. Lorsque v 60km/h, on aura pour oue valeur de que d 60. (d/60 proporionnalié direce). Mais si la disance es de km,on aura que v (proporionnalié inverse) Si le prix du lire de gas-oil es de 0,98, n désignan la quanié de lires souirée, le prix payé à la pompe sera p 0,98n. Lorsque le prix affiché es 33,81, la quanié souirée es alors n 33,81 / 0,98 34,5 lires.(proporionnalié direce) Le ableau suivan n'es pas un ableau de proporionnalié enre les variables x e y. Cherchez l'erreur! x 24 18 8 11 10 76 21 y 36 27 12 16,5 15 112 31,5 Réponse : 76/112 es en désaccord avec 24/36 2/3. La suppression de la colonne correspondane fournirai un ableau de proporionnalié. 2
3. La règle de rois direce e inverse Dans la règle de rois direce, les ermes éan rangés suivan leur ordre naurel, le premier erme es au second, comme le roisième es au quarième, c'es-à-dire, que si le second es plus grand ou plus pei que le premier, le quarième es aussi plus grand ou plus pei que le roisième dans la même proporion. GRADEUR 1 GRADEUR 2 a ----------------------------- b c ----------------------------- d a b c d Mais dans la règle inverse, le quarième erme es auan au-dessus du roisième, que le second es au-dessous du premier. GRADEUR 1 GRADEUR 2 a ----------------------------- b c ----------------------------- d a d c c on di dans la règle de rois direce : si rois oises de bâimen coûen ving livres, combien en coûeron six? C'es-à-dire, ombre de oises prix 3 ----------------------------- 20 6 ----------------------------- x Mais dans l'inverse, on di : 3 20 ; 3x120 ; x40 6 x Six oises de bâimen coûeron quarane livres; Si ving ouvriers fon dix oises de bâimen en quare jours, en combien de emps quarane les feron-ils? C'es-à-dire, ombre d ouvriers emps 20 ----------------------------- 4 40 ----------------------------- x 40 20 4 x ; 8040x ; x2 Quarane ouvriers les feron en deux jours. 3
4. Des parages direcemen e inversemen proporionnels Pour parager une quanié,, en pars direcemen proporionnels a «a», «b» e «c», chaque par es obenue en muliplian la consane de proporionnalié k par chaque a b c nombre «a», «b» e «c». C es à-dire : par1 par2 par3 ; ; a a b c b a b c c a b c Une somme de 500 es à parager enre 4 personnes A, B, C e D proporionnellemen à leur âge 32 ans, 28 ans, 25 ans, 15 ans. par1 500 500 ; par 1 32 160 32 32 28 25 15 par2 500 500 ; par 2 28 140 28 32 28 25 15 par3 500 500 ; par 3 25 125 25 32 28 25 15 par4 500 500 ; par 4 15 75 15 32 28 25 15 Pour parager une quanié,, en pars inversemen proporionnels a «a», «b» e «c», chaque par es obenue en divisan la consane de proporionnalié k enre 1 1 1 chaque nombre «a», «b» e «c». C es à-dire : Par 1 1 1 1 :a; par 2 1 1 1 :b; par 3 1 1 1 :c On parage une somme de 295 enre rois personnes A, B e C en pars inversemen proporionnels aux nombres 2, 5 e 7. Calculer la par de chacune. D abord, on calcule k 1 1 1 Après, on calcule les quaniés: Quanié 1 350 :2 175 Quanié 2 350 :5 70 Quanié 3 350 :7 50 1 2 295 1 5 1 7 295 350 59 70 4
5. La proporionnalié double Des problèmes de proporionnalié double: Ce son des problèmes dans lesquels une grandeur varie proporionnellemen, du moins, à deux variables indépendanes. On raie le problème en fixan une donnée e en ravaillan sur les deux aures, puis on coninue en faisan varier la roisième donnée. (le quarième, ec.) 4 boulangers fon 4 pains en 4 minues. Combien de pains fon 12 boulangers en 12 minues? grandeur 1 grandeur 2 grandeur 3(inconnue) nombre de boulanger emps nombre de pains 4 4 4 12 12 x Si on fixe la grandeur 2, les grandeurs 1 e 3 son direcemen proporionnelles Si on fixe la grandeur 1, les grandeurs 2 e 3 son direcemen proporionnelles Alors : direce direce 4 12 4 12 4 x Un jardinier consomme 630l d eau par semaine pour arroser ous les jours ses 45 arbres. Combien de lires d eau supplémenaires devra--il prévoir pour arroser les 15 arbres de son voisin pendan les vacances (4 semaines) de celui-ci? grandeur 1 grandeur 2 grandeur 3(inconnue) nombre d arbres nombre de semaines nombre de lires d eau 45 1 630 15 4 x Si on fixe la grandeur 2, les grandeurs 1 e 3 son direcemen proporionnelles Si on fixe la grandeur 1, les grandeurs 2 e 3 son direcemen proporionnelles Alors : direce direce 45 15 1 4 630 x cinq phoocopieuses meen 6 minues pour faire 600 phoocopies. Combien de emps 7 phoocopieuses meron-elles pour faire 1400 phoocopies? grandeur 1 grandeur 2 grandeur 3(inconnue) nombre de phoocopieuses nombre de phoocopies minues 5 600 6 7 1400 x Si on fixe la grandeur 2, les grandeurs 1 e 3 son inversemen proporionnelles Si on fixe la grandeur 1, les grandeurs 2 e 3 son direcemen proporionnelles Alors : inverse direce 7 5 600 1400 6 x 5
6. Des problèmes avec des pourcenages Un pourcenage es une façon d'exprimer un nombre comme une fracion de cen, généralemen en uilisan le signe % a a% On uilise le pourcenage seulemen lorsqu'un nombre représene une proporion ou une fracion d'un ensemble. La formule suivane perme de calculer un pourcenage à parir de deux valeurs données. Cela perme de siuer la première valeur par rappor à la deuxième. a Rappelle :a% de Le pourcenage comme une règle de rois direce: a% de b es c alors a--------- c----------b Exemple1: 10% de 30 es x 10% de x es 3 x% de 30 es 3 10-------- 10 --------- x --------- x----------30 3 ------------ x 3 ------------30 Exemple2: Il y a 200 élèves au lycée, 25% des élèves poren des lunees. Combien d élèves poren des lunees? 25 25%de 200 200 50 élèves Exemple 3: Dans une classe de 25 élèves il y a 13 filles. Quel es le pourcenage de filles? 13 On applique la formule:., Donc il y a 52% de filles dans cee classe. 25 On peu vérifier le résula en calculan 52% de 25. 6
Pourcenage e évoluion Remarque: Il n y a qu une formule universelle à reenir e un seul schéma dès qu on a affaire à des hausses e des baisses en ou genre, c es celle là : y 1 CM y 2 Valeur avan évoluion Coefficien muliplicaif Valeur après évoluion Augmenaion ou diminuion (évoluion) en pourcenage Avec cee formule, on peu faire ous les exercices dans lesquels on a des hausses e des baisses. Il fau juse parfois repérer ce qui serai la valeur d avan e celle d après. Ce qui es la clé qui change, c es le CM!! Le fameux coefficien muliplicaif!! Ce qu il fau reenir : Si c es une hausse de % alors CM 1 + (+)% Si c es une baisse de % alors CM 1 )% Ça augmene de 25%, alors CM 1 + 25 1 + 0,25 1,25 Ça baisse de 36% alors CM 1 36 1 0,36 0,64 Après il fau savoir revenir sur ses pas!! c es-à-dire cela équivau à calculer c es-à-dire cela équivau à calculer ( Si au cours d un calcul on obien une valeur d un CM e qu on veu savoir si ça fai une hausse ou une baisse, il suffi d effecuer le calcul CM 1 e de muliplier ce résula par. Si le résula obenu es posiif, c es une hausse!! E on obien même le aux de la hausse en résula!! CM 1,38 1,38 1 0,38 e 0,38 38 C es donc une hausse de 38 %. Si le résula obenu es négaif, c es une baisse!! E on obien même le aux de la baisse en résula!! 7
CM 0,48 0,48 1-0,52 e - 0,52-52 C es donc une baisse de 52 %. Remarque : Si par hasard CM 1, ça veu dire que ça n a pas varié Pourcenages enchaînés : Évoluions successives Si on enchaîne les évoluions (des hausses e des baisses), on prend les coefficiens muliplicaifs de chacun e on les muliplie ous enre eux, cela donne un coefficien muliplicaif CM global, alors : valeur après évoluion CM valeur avan évoluion On augmene de 30% e on baisse de 40%!! «On augmene de 30%» : CM 1 1 + 0,3 1,3 «On baisse de 40%» : CM 2 1 0,4 0,6 On obien alors le CM global : CM CM 1 CM 2 1,3 0,6 0,78 On peu même s inéresser à ce que ça donne!! CM 0,78 donc 0,78 1-0,22 e 0,22-22 donc c es une baisse de 22 %!! E en plus ça marche encore si on fai plein d évoluions (ça augmene de 15%, ça baisse de 10%, ça augmene de 30%, ça augmene de 20% : 1,15 0,9 1,3 1,2) «Pourcenage de pourcenage» C es quand on prend une par d une par de quelque chose. On muliplie les aux e on divise par pour avoir le aux de cee «sous-par» dans le oal Exemple: Dans une enreprise, il y a 40% d hommes e parmi ces hommes il y a 30% de cadres. On demande alors la par en pourcenage d hommes cadres dans l enreprise Il y a donc 12% d hommes cadres dans l enreprise. 7. L inérê simple 40 30 1200 12 L inérê simple, I, es le revenu d une somme d argen prêée (ou placée). Le monan de l inérê es foncion du capial, C, du aux de placemen, r%, e de la durée du placemen,. Remarque : Durée de placemen : Le monan de l inérê varie selon la durée du prê. Celle-ci peu-êre calculée en jours, en quinzaines, en mois ou années. Le calcul de la durée se fai selon les règles suivanes : Une année compe 360 jours, 24 quinzaines, 12 mois. Si la durée es calculée en jours, les mois son compés à leur juse valeur. Sans aure indicaion, le mois de Février compe 28 jours. 8
Quelle es la durée d un placemen effecué du 5 Sepembre au 15 Décembre? Sepembre: 30-5 25 Ocobre 31 ovembre 30 Décembre 15 101 jours Si la durée es calculée en quinzaines: on compe les quinzaines à parir du 1er ou du 16 de chaque mois qui sui le dépô, à parir du 1erou du 16 qui précède le rerai. Si la durée es calculée en mois, on ne ien pas compe de la durée réelle des mois. FORMULES: I (durée en années) I (durée s en mois) 12 I (durée en jours) 360 I (durée en semesre) 2 I (durée en quadrimesre) 3 I (durée en rimesre) 4 Le capial final (valeur acquise) En ajouan à un capial les inérês qu il a produi à la suie d un placemen, on obien la somme don dispose désormais le propriéaire des fonds. Cee somme es la valeur acquise C F C + I Aciviés : 1. Quel inérê un capial de 3 200, placé à 7.5% pendan 5 ans produi-il? 3200 7.5 5 I 2. Quel inérê un capial de 6 420 placé à 10% l an pendan 8 mois produi-il? 6420 10 8 I 12 12 3. Quel inérê un capial de 2 000, placé à 9% pendan 15 quinzaines, produi-il? 2000 9 15 I 24 24 4. Quel inérê un capial de 12 000, placé à 4.5% du 23 Aoû au 11 Juin, produi-il? 12000 4.5 264 I 360 360 aoû 31-23 ; sepembre 30 ; ocobre 31; novembre 30 ; décembre 31 ; janvier 31 ; février 28 ; mars 31 ; avril 30 ; mai 31 ; juin 11 TOTAL : 9+30+31+30+31+31+28+31+30+31+11293 jours 9
5. Calculer la valeur acquise par un capial de 20 000 placé à 12% l an, pendan 270 jours? 20000 12.5 270 I 360 360 C F C + I 20000+ 20000 12.5 270 360 10