E(x, y, ω, t)p(ωt + φ(x, y, ω, t))dω. T = 1 ν = 2π ω. 1 x ]2kπ, π + 2kπ[ k Z P(t) = 1 x ]π + 2kπ, 2(k + 1)π[ k Z

Å Ø Ö Á Å Ø Ó ÒÙÑ Ö ÕÙ Ð Ñ ÒØ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ù Ò Ð Ú Î ÒÒÓØ Ñ Ö ¾¼¼

¾

Ì Ð Ñ Ø Ö ½ Ä Ò ÙÜ ½º½ Æ ØÙÖ Ò ÙÜ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ È Ö ÔØ ÓÒ Ò ÙÜ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º½ È Ö ÔØ ÓÒ Ö ÕÙ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º¾ È Ö ÔØ ÓÒ Ð³ ÑÔÐ ØÙ Ø Ð³ ÒÚ ÐÓÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º È Ö ÔØ ÓÒ Ð Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º ËØÖÙØÙÖ Ñ Ø Ñ Ø Õ٠г Ô Ò ÙÜ Ø ØÖ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½º º½ ij Ô Ò ÙÜ Ô Ý ÕÙ L 2 (R, dt) º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½º º¾ È Ö ÔØ ÓÒ ÒØ Ö Ø Ò ÙÜ Ö Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½º º Á Ð Ø ÓÒ Ò ÙÜ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾ Ù Ð Ø Ø ÑÔ ¹ Ö ÕÙ Ò Ö Ø ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ½ ¾º½ Ë Ö ÓÙÖ Ö ³ÙÒ Ò Ð Ô Ö Ó ÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ³ÙÒ Ò Ð ÕÙ ÐÓÒÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÈÖÓÔÖ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ð ÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ³ÙÒ Ò Ð Ô Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÌÖ Ø Ñ ÒØ Ù Ò Ð ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ ÐØÖ Ø ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò ÖØ ½ º½ ÐØÖ Ø ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÈÖÓ Ù Ø ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º ÈÖÓÔÖ Ø Ù ÔÖÓ Ù Ø ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ù Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º Ü ÑÔÐ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ù Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º º½ ÅÓÝ ÒÒ Ð ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º º¾ ÇÔØ ÕÙ ÓÙÖ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ÒØ ÐÐÓÒÒ ¾ º½ ÈÖ Ò Ô Ð³ ÒØ ÐÐÓÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ò ³ÙÒ Ò Ð ÒØ ÐÐÓÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÒØ ÐÐÓÒÒ Ö Ð Ø ÒØ ÐÐÓÒÒ ÙÖ¹ ÒØ Ö Ø ÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÉÙ ÒØ Ø ÓÒ ³ÙÒ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾

Ì Ä Ë Å ÌÁ Ê Ë

Ô ØÖ ½ Ä Ò ÙÜ ½º½ Æ ØÙÖ Ò ÙÜ Ò Ø ÓÒ ½º ÍÒ Ò Ð Ø ÙÒ Ö Ò ÙÖ Ô Ý ÕÙ Ù ÔØ Ð Ú Ö Ö Ò Ð Ø ÑÔ ÓÙ Ò Ð³ Ô º ÙÜ Ü ÑÔÐ ÑÔÓÖØ ÒØ Ò ÙÜ Ð Ò ÙÜ ÓÙ Ø ÕÙ Ô Ý ÕÙ Ñ ÒØ Ð ³ Ø ³ÓÒ ÓÑÔÖ ÓÒ¹ ÓÑÔÖ ÓÒ Ð³ Öº ÁÐ ³ Ø ÓÒ ³ÙÒ ÕÙ ÒØ Ø Ô Ý ÕÙ ÕÙ Ú Ö Ò Ð³ Ô Ø Ò Ð Ø ÑÔ f(x, t) ÔÓÙÖ ÑÔÐ Ö Ð³ Ü (Ox) Ø ÓÒ Ö ÓÑÑ Ð Ö Ø ÓÒ ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ð ÓÙÖ Ø ÔÓÒØÙ ÐÐ Ø ØÙ ÙÖ Ø Ü µº ËÓÙÚ ÒØ ÓÒ Ò ÓÒ Ö Ð ÓÒ ÕÙ³ г Ò ÖÓ Ø ÓÒ Ñ ÓÒ ÓÙ Ö ÔØ ÓÒ x 0 Ò Ð ÓÒ Ö Ñ Ò ÙÒ ÑÔÐ Ò Ð Ø ÑÔÓÖ Ð g(t) = f(x 0, t)º Ð Ò ÙÜ ÓÔØ ÕÙ Ô Ý ÕÙ Ñ ÒØ Ð ³ Ø ³ÓÒ Ð ØÖÓÑ Ò Ø ÕÙ º ÁÐ ³ Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ ³ÙÒ ÕÙ ÒØ Ø Ô Ý ÕÙ ÕÙ Ú Ö Ò Ð³ Ô Ø Ò Ð Ø ÑÔ f(x, y, z, t) (Oz) Ø Ð Ö Ø ÓÒ ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ø Ð ÔÐ Ò (Oxy) Ø Ð ÔÐ Ò Ð³ Ñ µº ÇÒ ³ ÒØ Ö Ò Ò Ö Ð Ð Ô Ö ÔØ ÓÒ Ñ Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ x 0 Ö Ñ Ò ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓÙÖ ÙÒ Ñ Ü ÙÒ Ò Ð Ô Ø Ð g(x, y) = f(x, y, z 0 )º ÙÜ ØÝÔ Ò ÙÜ ÓÒØ Ò ÙÜ ÓÒ ÙÐ ØÓ Ö ÕÙ ÔÖ ÒØ ÒØ ÓÙ Ð ÓÖÑ Ò Ö Ð f(t) = ÔÓÙÖ ÙÒ Ò Ð Ò Ô Ò ÒØ ÕÙ t ÓÙ f(x, y, t) = 0 0 E(ω, t)p(ωt + φ(ω, t))dω E(x, y, ω, t)p(ωt + φ(x, y, ω, t))dω ÔÓÙÖ ÙÒ Ñ Ó Ò Ð ÙÜ P Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ 2π¹Ô Ö Ó ÕÙ º Ò ³ Ò ÐÝ Ö Ð Ö ÒØ Ð Ñ ÒØ ÓÒ Ø ØÙØ Ò ÙÜ ÓÒ ÖÓÒ Ð Ð Ñ Ø Ð ÔÐÙ ÑÔÐ Ø Ò ÔÖ Ñ Ö Ð Ù Ð Ò ÙÜ Ð ÓÖÑ ÔÓÙÖ ÑÔÐ Ö ÓÒ Ò Ö ÔÐÙ Ö Ö Ò Ð Ô Ò Ò x, yµ f(t) = EP(ωt + φ) E R +, ω R +, φ [0, 2π[ E Ø ÔÔ Ð ÑÔÐ ØÙ Ù Ò Ð ω Ð ÔÙÐ Ø ÓÒ Ù Ò Ð Ø φ Ð Ô º ÇÒ ÒØÖÓ Ù Ø Ð Ñ ÒØ T Ð Ô Ö Ó Ù Ò Ð Ø ν Ö ÕÙ Ò ÒØ ÕÙ T = ν = 2π ω ÇÒ Ø Ò Ù ÐÓÖ Ð Ò ÙÜ Ò ÓÒØ ÓÒ Ð ÓÒØ ÓÒ P Ð Ò ÙÜ Ð ÔÐÙ Ö ÕÙ ÒØ Ø ÒØ Ð Ò ÙÜ ÒÙ Ó ÙÜ EP(ωt + φ) = E cos(ωt + φ) Ð Ò ÙÜ ÓÔØ ÕÙ ÓÒØ ØÓÙ ÓÙÖ ØØ Ò ØÙÖ µº Ð Ò ÙÜ Ö Ò ÙÜ { x ]2kπ, π + 2kπ[ k Z P(t) = x ]π + 2kπ, 2(k + )π[ k Z

À ÈÁÌÊ ½º Ä Ë ËÁ Æ Í Ð Ò ÙÜ ØÖ Ò ÙÐ Ö { 2 P(t) = π t + + 4k 2 π t 3 4k x ]2kπ, π + 2kπ[ k Z x ]π + 2kπ, 2(k + )π[ k Z Ø ÓÒ Ô ÙØ Ö ÕÙ Ö ÙÒ Ò Ð Ô ÖØ Ö Ò³ ÑÔÓÖØ ÕÙ ÐÐ ÓÒØ ÓÒ g : [0, 2π] R Ò ÔÓ ÒØ ÕÙ P Ø Ó Ø ÒÙ Ò Ö ÔÖÓ Ù ÒØ g ÙÖ ØÓÙØ Ð Ô Ö Ó º ÈÓÙÖ ÑÔÐ Ö Ô ÖØ Ö ÔÓ ÒØ ÓÒ Ò ÓÒ Ö Ö Ò Ô Ö Ö Ô ÕÙ Ò ÙÜ ÒÙ Ó Ùܺ Ò ÙÜ ÔÐÙ ÓÑÔÐ Ü Ø ÔÐÙ Ö ÓÒØ Ó Ø ÒÙ ÕÙ Ò Ð ÓÒ Ø ÒØ Ò ÙÜ ÔÖ ÒØ ÓÒØ ÑÓ ÙÐ Ò Ð Ø ÑÔ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ ³ ÑÔÐ ØÙ f(t) = E(t)cos(ωt + φ) ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ò ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ô f(t) = E cos(ω(t)t + φ) f(t) = E cos(ωt + φ(t)) ÇÒ ÒÓØ Ö ÕÙ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ô Ø ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ò ÓÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÒ Ö ÒØ ÙÒ Ö ÕÙ Ò ÑÓÝ ÒÒ ω 0 Ø φ 0 = φ(0) ÓÒ Ô ³ÙÒ Ð³ ÙØÖ Ò ÔÓ ÒØ ½ ÓÒ ÐÓÖ φ(t) = (ω(t) ω 0 )t + φ 0 ω(t) = ω 0 + φ(t) φ 0 t ω(t)t + φ 0 = ω 0 t + φ(t) Ä Ò ÙÜ Ð ÔÐÙ ÒØ Ö ÒØ ÔÖ ÒØ ÒØ ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ ÙÒ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ ³ ÑÔÐ ØÙ Ø ÙÒ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ò f(t) = E(t)cos(ω(t)t + φ) Ä ÓÒØ ÓÒ t E(t) Ø ÐÓÖ ÔÔ Ð ÒÚ ÐÓÔÔ Ù Ò Ð Ø Ð ÓÒØ ÓÒ t cos(ω(t)t + φ) Ø ÔÔ Ð ÔÓÖØ Ù Ù Ò Ðº ½ ÓÒ ÙÔÔÓ ÕÙ φ Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ö Ú Ð ÓÒ ÒÓØ ÓÒ ÕÙ ω(0) = ω 0 + φ (0)º

½º¾º È Ê ÈÌÁÇÆ Ë ËÁ Æ Í 0.5 5 0 5 20 25 30-0.5 - ÇÒ ÒÓØ Ö ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ g : [0, 2π] R Ö ÔÖÓ Ù Ø Ô Ö Ó ÕÙ Ñ ÒØ ÔÓÙÖ ÓÒ ØÖÙ Ö P Ð ÓÒØ ÓÒ t E(t) Ø t ω(t) Ô ÙÚ ÒØ ØÖ ÔÖÓ Ù Ð ØÓ Ö Ð Ú Ð ÙÖ ÓÒØ ÓÒ Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ t Ø ÐÓÖ Ø ÖÑ Ò Ô Ö ÙÒ ÐÓ ÔÖÓ Ð Ø µº ³ Ø Ð Ò ÙÜ ÖÙ Ø º ÙÜ Ò ÙÜ Ô ÙÚ ÒØ ØÖ ÙÔ ÖÔÓ Ô Ö Ü ÑÔÐ ³ Ð ÓÒØ Ù ÙÜ ÓÙÖ µ ÓÒ ÐÓÖ ÓÑÑ Ò Ð Ö ÙÐØ ÒØ f(t) = f (t) + f 2 (t) = E (t)cos(ω (t) + φ ) + E 2 (t)cos(ω 2 (t) + φ 2 ) Ò Ò ÓÒ Ô ÙØ ÙÔ ÖÔÓ Ö ÙÒ Ò Ò Ø Ò ÙÜ f(t) = Ò ÒØ Ð Ò Ñ ÒØ Ú Ö Ð Ù Ú ÒØ ÓÒ f(t) = 0 E σ (t)cos(ω σ (t)t + φ σ )dσ φ(ω, t) = (ω σ (t) ω)t + φ σ 0 E(ω, t) = E σ (t) ω = σ E(ω, t)cos(ωt + φ(ω, t))dω Ø ÓÒ Ö ØÖÓÙÚ Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ò Ö Ð Ò ÙÜ ÓÒ ÙÐ ØÓ Ö ÓÒÒ Ò ÙØ Ô Ö Ö Ô º ½º¾ ½º¾º½ È Ö ÔØ ÓÒ Ò ÙÜ È Ö ÔØ ÓÒ Ö ÕÙ Ò Ä ØÙ Ø ÓÒ Ø Þ ÑÔÐ ÔÓÙÖ Ð Ò ÙÜ Ð ØÖÓÑ Ò Ø ÕÙ ÙÐ Ò ÙÜ Ö ÕÙ Ò Óѹ ÔÖ ÒØÖ 4.0 3 Ø 7.0 3 ÀÞ ÓÒØ Ô ÖÙ Ô Ö Ð³ к Ä Ö ÒØ Ö ÕÙ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÜ ÓÙÐ ÙÖ ÁÊ ÖÓÙ ÓÖ Ò ÙÒ Ú ÖØ Ð Ù Ú ÓÐ Ø ÍÎ < 4 4 4.8 4.8 5. 5. 5.3 5.3 5.8 5.8 6.9 6.9 7.9 > 7.9 0 3 ÀÞ ÇÒ ÒÓØ Ö ÕÙ Ð ÓÙÐ ÙÖ Ð Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ Ò ÙÜ ÓÒØ Ð Ö ÕÙ Ò ÓÖÖ ¹ ÔÓÒ ÒØ ØÓÙØ Ð Ô ØÖ Ú Ð º È Ý ÕÙ Ñ ÒØ ÓÒ Ò Ô ÖÓ Ø Ò Ö Ð Ø ÕÙ ÓÙÐ ÙÖ ÔÖ Ñ Ö ÖÓÙ Ú ÖØ Ø Ð Ù Ð Ö ÔÓÒ Ö ÔØ ÙÖ ÓÔØ ÕÙ Ø ÒØ ØÝÔ Ù Ò ÒØÖ ÙÖ ÓÙÐ ÙÖ R G B Ä Ö ÓÙÚÖ Ñ ÒØ Ö ÔÓÒ ÙÜ Ò ÙÜ Ô ÖÑ Ø Ù ÖÚ Ù Ö ÓÒ Ø ØÙ Ö ØÓÙØ ÓÙÐ ÙÖ Ô ÖØ Ö Ð³ ѹ ÔÐ ØÙ Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ ØÖÓ ØÝÔ Ø Ø ÙÖ Ð³ к Ô ÖÑ Ø Ð Ñ ÒØ ÓÒ ØÖÙ Ö Ò³ ÑÔÓÖØ ÕÙ ÐÐ ÓÙÐ ÙÖ Ò Ô Ö ÔØ ÓÒµ Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ ØÖÓ Ò ÙÜ Ö ÕÙ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÜ ØÖÓ ÓÙÐ ÙÖ ÔÖ Ñ Ö º Ù Ò Ú Ù Ò ÙÜ ÓÙ Ø ÕÙ Ð Ô Ö ÔØ ÓÒ Ð³ÓÖ ÐÐ Ø Ò Ù ÙÜ Ö ÕÙ Ò Ò Ö ÙÖ ¾¼ ÀÞ ÓÒØ Ô ÖÙ ÓÑÑ ÙÒ ÖÝØ Ñ

À ÈÁÌÊ ½º Ä Ë ËÁ Æ Í Ö ÕÙ Ò Ù Ù ¼ ÀÞ ÓÒØ Ô ÖÙ ÓÑÑ ÙÒ ÒÓØ º Ò Ð Ö ÔØ ÓÒ Ò Ð ÓÑ Ò Ø ÑÔÓÖ Ð ³ÙÒ Ò Ð ÓÙ Ø ÕÙ Ø ØÓÙØ Ø Ô ÖØ Ò ÒØ Ð Ö ÕÙ Ò Ø Ô ÖÙ ÓÑÑ ÙÒ ÖÝØ Ñ Ô Ö ÓÒØÖ ÙÒ Ö ÔØ ÓÒ Ò Ð ÓÑ Ò Ð Ö ÕÙ Ò Ö ÔÐÙ Ô ÖØ Ò ÒØ ÔÓÙÖ Ð Ò ÙÜ Ô ÖÙ ÓÑÑ ÒÓØ Ø ÓÒØ Ð³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ø ÑÔÓÖ ÐÐ Ò³ Ø Ô Ø Ò Ù Ô Ö Ð³ÓÖ ÐÐ º ÆÓÙ Ö Ú Ò ÖÓÒ ÙÖ Ð Ö ÔØ ÓÒ Ò ÙÜ Ò Ö ÕÙ Ò º Ä ÓÒ ÓÒØ Ò Ö Ð Ñ ÒØ Ð Ò ØÖÓ ÓÙÐ ÙÖ Ö Ú Ñ ÙÑ Ù 50 500 ÀÞ 500 5000 ÀÞ 5 20 ÀÞ Ä ÓÒØ ÒÙÙÑ Ö ÕÙ Ò ÓÙ Ø ÕÙ Ô ÖÙ Ô Ö ÒÓØ Ø ØÖ Ø ÓÒÒ ÐÐ Ñ ÒØ ÕÙ ÒØ ÓÒ Ö ÑÔÐ ÓÒØ ÒÙÙÑ Ô Ö ÙÒ Ö Ö ÕÙ Ò Ø ÖÑ Ò Ö ÑÔÐ ÒØ Ð Ð ÖÓÑ Ø ÕÙ ÓÒØ ÒÙ Ô Ö ÙÒ Ñ Ò Ô Ð Ö f do ré mi fa sol la si do Ò Ð Ý Ø Ñ Ó ÒØ Ð Ð Ô Ð Ö ÓÒØ ÔÔ Ð ØÓÒ º ÙÜ ØÓÒ ÓÒ ÙØ ÓÒØ Ø Ð ÕÙ Ð Ö ÔÔÓÖØ Ö ÕÙ Ò Ó Ø f 2 f 9 8 Ò Ð³ ÖØ Ò Ö ÕÙ Ò ÒØÖ ÙÜ ØÓÒ ÓÒ ÙØ Ò³ Ø Ô ÓÒ Ø ÒØ Ø Ô Ò Ð Ö ÕÙ Ò Ò Ø Ð f f 8 º Ä ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÒØ Ð ÔÖ Ò Ð Ñ ÒØ Ò ÓÑÔØ Ñ ¹ØÓÒ Ü ÑÔÐ ÒØÖ Ó Ø Ó ÓÙ ÒØÖ Ö Ø Ö µ Ñ ¹ØÓÒ ÓÒØ Ø ÖÓÑ Ø ÕÙ º ÁÐ Ý ÓÒ ÒØÖ ÙÜ ÒÓØ ³ÙÒ Ð Ú Ö ÒØÖ ÙÜ ØÓÙ Ð Ò µ ÙÒ ØÓÒ Ù ÒØÖ Ð Ñ Ø Ð Ø ÒØÖ Ð Ø Ð Ó ÔÓÙÖ Ð ÕÙ Ð Ð Ò³Ý ÕÙ³ÙÒ Ñ ¹ØÓÒ Ø ØÓÑ ÕÙ µº Ä Ñ ¹ØÓÒ ÖÓÑ Ø ÕÙ ÓÒØ ÔÓÖØ Ô Ö Ð ØÓÙ ÒÓ Ö º Ä Ö Ö Ò Ð³ÓÖ Ò µ ÔÓÙÖ ØØ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ ÔÔ Ð Ð Ô ÓÒ Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð Ð Ù Ñ ÓØ Ú ÕÙ ØÖÓÙÚ f diapason = 440Hzº ÈÐÙ ÔÖ Ñ ÒØ Ð ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÒØ Ð ÑÓ ÖÒ Ø ÑÑ Ø ÑÔ Ö µ Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð ÓÖÑÙÐ f noct,n ton = f diapason 2 noct 3+ n ton 0 2 Ó n oct Z Ø Ð ÒÙÑ ÖÓ Ð³ÓØ Ú Ø n ton =,..., 2 Ø Ð ÒÙÑ ÖÓ Ð ÒÓØ ÒÓØ Ó Ó Ö Ö Ñ ÓÐ ÓÐ Ð Ð Ö Ñ ÓÐ Ð n ton ½ ¾ ½¼ ½½ ½¾ f 3,nton ÀÞµ ¾ ½º ¾ º½ ¾ º ½½º½ ¾ º º¾ º ¾ ½ º ¼ º½ º Ä ØÖ Ø Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ò ÙÜ Ò Ø Ù ÙÒ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ö ÕÙ Ò Ó Ø Ò Ø ÑÔ µ Ù Ø ÕÙ Ð Ý Ø Ñ Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ó Ú ÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ð Ò ÙÜ Ô Ö Ö ¼ Ø ½º Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ø Ò ÙÜ Ö ÚÙ ÙÐØ Ö ÙÖ Ñ ÒØ Ò ÓÙÖ º ÁÐ Ö Ø ÒØ Ö ÒØ ÒÓØ Ö ÕÙ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò ÙÜ ÓÙ Ø ÕÙ Ô ÖÙ Ò Ö ÕÙ Ò Ô Ö ÙÒ Ý Ø Ñ Ô Ý ÕÙ Ð Ñ Ø Ø Ð ÙÒ Ò ØÖÙÑ ÒØ ÑÙ ÕÙ Ú ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò ÓÖ ÓÙ Ñ Ö Ö ÓÒ Ò µ Ø Ô Ö ÙÒ Ý Ø Ñ Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ò Ö ÒØ ÕÙ ØÖ Ô Ùº ½º¾º¾ È Ö ÔØ ÓÒ Ð³ ÑÔÐ ØÙ Ø Ð³ ÒÚ ÐÓÔÔ Ä³ Ð ÓÑÑ Ð³ÓÖ ÐÐ Ò ÓÒØ Ô Ö Ö Ø Ñ ÒØ Ò Ð Ð³ ÑÔÐ ØÙ ³ÙÒ Ò Ð Ñ ÓÒ ÒØ Ò Ø º ÐÐ ¹ Ò Ð ÑÔÐ ³ÙÒ Ò Ð ÑÓÒÓ ÖÓÑ Ø ÕÙ f(t) = E cos(ωt + φ) Ø I = E 2 º Ò ÕÙ ØØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô ÒØ Ù Ò Ð f ÓÒ ÒØ Ò Ø Ó Ø Ð Ö Ñ ÒØ Ò Ð Ø ÙØ Ð Ô Ö ÒÓØ Ø ÓÒ ÓÑÔÐ Ü ı 2 = µ f(t) = Ee ı(ωt+φ)

½º¾º È Ê ÈÌÁÇÆ Ë ËÁ Æ Í Ä Ò Ð Ö Ð Ø ÒØ Ó Ø ÒÙ ÓÑÑ Ð Ô ÖØ Ö ÐÐ Ù Ò Ð ÓÑÔÐ Ü º ÇÒ ÐÓÖ I = f(t) 2 ØØ ÒÓØ Ø ÓÒ ÓÑÔÐ Ü Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÒØ ÙØ Ð ÔÓÙÖ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ð Ø ³ ÒØ Ö Ö Ò f(t) = E e ı(ωt+φ) + E 2 e ı(ω2t+φ2) I(t) = f(t) 2 = E 2 + E2 2 + E E 2 ( e ı((ω ω2)t+φ φ2) + e ı((ω ω2)t+φ φ2)) = I + I 2 + 2E E 2 cos((ω ω 2 )t + φ φ 2 ) I + I 2 ij ÒØ Ò Ø ³ÙÒ ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ ÙÜ Ö ÕÙ Ò Ò³ Ø ÓÒ Ô Ð ÓÑÑ ÒØ Ò Ø Ñ ØØ ÓÑÑ ÑÓ ÙÐ Ô Ö ÙÒ Ø ÖÑ ³ ÒØ Ö Ö Ò ¾ º ØØ Ô Ö ÔØ ÓÒ Ð³ ÒØ Ò Ø ÔÐÙØØ Õ٠г ÑÔÐ ØÙ Ø Ù Ù Ø ÕÙ Ð Ý Ø Ñ Ô Ý ÓÐÓ ÕÙ ÓÒØ Ò Ð Ð³ Ò Ö Ö Ù Ù Ò Ðº ÇÖ Ð³ ÒØ Ò Ø Ø Ð³ Ò Ö Ö Ù Ô Ö ÙÒ Ø Ø ÑÔ ³ÙÒ Ò Ðº ij Ò Ö ØÓØ Ð ÔÓÖØ Ô Ö ÙÒ Ò Ð Ø ÓÒ E f = f(t) 2 dt ÇÒ ÒØÖÓ Ù Ø Ð Ñ ÒØ Ð ÔÙ Ò ÑÓÝ ÒÒ ØÖ Ò ÔÓÖØ Ô Ö ÙÒ Ò Ð T/2 P f = lim f(x) 2 dx T + T T/2 ÇÒ ÒÓØ Ö Ò Ò ÕÙ Ð Ý Ø Ñ Ô Ý ÓÐÓ Õ٠г Ð Ø Ð³ÓÖ ÐÐ µ ÔÖ ÒØ ÒØ ÙÒ Ö ÔÓÒ ÐÓ Ö Ø Ñ Õ٠г ÒØ Ò Ø Ò Ùܺ ÈÓÙÖ Ù Ñ ÒØ Ö Ð Ô Ö ÔØ ÓÒ Ð ÙØ ÙÖ ³ÙÒ Ò Ð ³ÙÒ ÙÒ Ø ÙÒ µ Ð ÙØ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ð³ ÒØ Ò Ø Ù Ò Ð Ô Ö ½¼º ÄÓÖ ÕÙ³ÙÒ ÓÒ ÔÖ ÒØ ÙÒ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ ³ ÒÚ ÐÓÔÔ Ð Ô Ö ÔØ ÓÒ ØØ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ø Ö ÒØ Ò ÓÒØ ÓÒ Ð Ú Ø ØØ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒº È Ö Ü ÑÔÐ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ô Ö Ó ÕÙ Ö ÕÙ Ò Ð³ÓÖ Ö ½¼ ÀÞ ÖÓÒØ Ô ÖÙ ÓÑÑ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ô Ö Ó Õ٠г ÒØ Ò Ø Ù ÓÒ ÓÒ ÙÔÔÓ ÕÙ Ð Ö ÕÙ Ò Ð ÔÓÖØ Ù ÓÒØ Ð³ÓÖ Ö ½¼¼ ÀÞ Ø ÓÒØ ÓÒ Ô ÖÙ ÓÑÑ ÒÓØ µº Ñ Ò Ö Ò Ö Ð Ð ÙÖ ÙÖ Ð ÕÙ ÐÐ ÙÒ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ð³ ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ò Ø Ú Ø ØÖ ÙÔ Ö ÙÖ Ð Ô Ö Ó Ð ÔÓÖØ Ù Ð ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ø Ô ÖÙ ÓÑÑ ÙÒ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ð³ ÒØ Ò Ø º ÈÓÙÖ ÙÒ Ò ØÖÙÑ ÒØ ÑÙ ÕÙ ÒÖ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ð³ ØØ ÕÙ Ð ÒÓØ Ø ÙØ ÙÖ ³ Ø Ð Ñ ÒØ Ø ÐØÙÖ Ù ÓÒµº Ò Ð³ ØØ ÕÙ Ø ØÖ ÖÙØ Ð ÔÓÙÖ ÙÒ Ô ÒÓ Ø ØÖ ÔÖÓ Ö Ú ÔÓÙÖ ÙÒ Ú ÓÐÓÒº ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ ³ ÒÚ ÐÓÔÔ ÙÖ ÙÖ Ù Ñ Ñ ÓÖ Ö ÕÙ Ð Ô Ö Ó Ð ÔÓÖØ Ù Ò ÓÒØ ÔÐÙ Ø Ò Ù Ô Ö Ð³ÓÖ ÐÐ ÓÑÑ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ø ÑÔÓÖ ÐÐ Ò Ð³ ÒØ Ò Ø º ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ ÓÒØ ÐÓÖ Ô ÖÙ ÓÑÑ Ð Ø ÜØÙÖ Ù ÓÒ Ü ÑÔÐ ÒØÖ ÙÒ ÒÓØ Ô ÒÓ ÕÙ Ø ØÖ ÔÙÖ ÒÚ ÐÓÔÔ ÔÐ Ø µ Ø ÙÒ ÒÓØ Ù Ø Ö Ð ØÖ ÕÙ ÒÚ ÐÓÔÔ ÔÖ ÒØ ÒØ ÙÓÙÔ ³Ó ÐÐ Ø ÓÒ µº ½º¾º È Ö ÔØ ÓÒ Ð Ô Ä Ô Ò ÙÜ ÓÔØ ÕÙ Ø ÓÙ Ø ÕÙ µ Ò³ Ø Ô Ö Ø Ñ ÒØ Ô ÖÙ º Ø Ú ÒØ ÔÙ ÕÙ ÐÐ ¹ Ø Ö ØÖ Ö ÐÐ Ô Ò Ù Ó Ü Ð³ÓÖ Ò t = 0 Ù Ø ÑÔ µº Ä Ô Ò³ Ø ÓÒ Ô ÙÒ ÕÙ ÒØ Ø Ô Ý ÕÙ Ô Ö ÓÒØÖ Ð Ö Ò Ô ÐÐ ÙÒ Ò Ô Ý ÕÙ ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ Ð ÓÖÑÙÐ ÒØ Ö Ö Ò µº ÍÒ Ö Ò Ô Ô ÙØ ÓÒ ØÖ Ô ÖÙ ÓÒ Ø ÓÒ ³ ÚÓ Ö ÙÒ Ö ÔØ ÓÒ Ø Ö Ó ÓÔ ÕÙ º ÈÓÙÖ Ð Ò ÙÜ ÓÔØ Õ٠г Ð ÖÓ Ø Ø Ð³ Ð Ù Ö Ó Ú ÒØ Ò ³ÙÒ Ñ Ñ ÔÓ ÒØ ÙÒ ÙÒ Ò Ð ÕÙ Ò Ö Ò ÕÙ Ô Ö Ð ÙÖ Ô ÐÐ ¹ Ô Ò ÒØ Ù Ñ Ò Ô ÖÓÙÖÙ Ô Ö Ð Ò Ð ¾ ÓÒ ÒÓØ Ö ÕÙ³ Ð Ø ÔÓ Ð Ô Ö ÒÓØ Ø ÓÒ ÓÑÔÐ Ü ÔÓÙÖ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ð Ô ÒÓÑ Ò ³ ÒØ Ö Ö Ò Ò ÒÑÓ Ò ÐÙ ¹ ÔÖ ÒØ ÙÒ ØÖÙØÙÖ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ ÒØ ÕÙ ÐÐ ÒÓÑ Ö ÓÑÔÐ Ü z + z 2 2 = z 2 + z 2 2 + 2R(z z 2 )º Ä ÑÓ Ð Ò ØÙÖ Ð Ò ÙÜ Ø ÓÒ Ò ÓÒ ØÖÙ Ø ÙÖ Ð ÒÓÑ Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Ô ÙÖ Ð ÒÓÑ Ö Ö Ð º

½¼ À ÈÁÌÊ ½º Ä Ë ËÁ Æ Í k 2 k f droit (t) = Ee ı(ωt+r C k d l+φ 0) f gauche (t) = Ee ı(ωt+r C k2 d l+φ 2 0) φ = k2 d l C 2 k d l C ÈÐÙ Ð ÔÓ ÒØ ÓÙÖ Ø ÐÓ Ò ÑÓ Ò Ð Ö Ò ÒØÖ Ð Ñ Ò Ô ÖÓÙÖÙ Ø Ö Ò Ø ÓÒ ÔÐÙ Ð Ö Ò Ô Ù» ÖÓ Ø Ø Ð º Ò Ð ÖÚ Ù ÒØ ÖÔÖ Ø Ð Ö Ò Ô ÓÑÑ ÙÒ Ñ ÙÖ Ð Ø Ò Ð ÓÙÖ ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ð Ú ÓÒ Ñ Ò ÓÒ º ÈÓÙÖ Ð Ò ÙÜ ÓÙ Ø ÕÙ Ð ÔÖ Ò Ô Ø Ð Ñ Ñ Ö Ò Ô Ø ÒØ Ò Ø Ò ÙÜ ÒØÖ Ð ÓÖ ÐÐ ÖÓ Ø Ø Ù Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ö Ô Ö Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ô Ø Ð Ð ÓÙÖ º Æ ÒÑÓ Ò Ý Ø Ñ Ô Ý ÓÐÓ ÕÙ Ø ÑÓ Ò ÕÙ ÔÓÙÖ Ð Ò ÙÜ ÓÔØ ÕÙ ³Ó Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ù Ó º½ Ö ÑÔÐ ÒØ Ð Ý Ø Ñ Ø Ö Ó Ð ÕÙ µº ½º ½º º½ ËØÖÙØÙÖ Ñ Ø Ñ Ø Õ٠г Ô Ò ÙÜ Ø ØÖ Ù¹ Ø ÓÒ Ä³ Ô Ò ÙÜ Ô Ý ÕÙ L 2 (R, dt) ÇÒ ÚÙ ÕÙ³ÙÒ Ò Ð Ø Ö ÔÖ ÒØ Ô Ö ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ù Ø ÑÔ Ú Ð ÙÖ Ò C Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ð ÒØ Ö Ö Ò µº ÔÐÙ ÓÒ Ó Ø ÔÓÙÚÓ Ö Ø ÓÒÒ Ö ÙÜ ÓÒØ ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ ÒØ Ò ÙÜ ÔÓÙÖ Ð ÙÔ ÖÔÓ Öµº Ø Ò Ò ÓÒ ÚÙ Õ٠г ÒØ Ö Ð Ù ÑÓ ÙÐ ÖÖ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ð³ Ò Ö ÔÓÖØ Ô Ö ÙÒ Ò Ð ÐÐ ¹ Ú ÒØ ØÖ Ò Ð ÓÒØ ÓÒ Ó Ú ÒØ ØÖ ÖÖ ÓÑÑ Ð f(t) 2 dt < + Ò Ø ÓÒ ¾º ij Ò Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ Ú Ð ÙÖ ÓÑÔÐ Ü ÖÖ ÓÑÑ Ð ÑÙÒ ³ÙÒ ØÖÙØÙÖ ³ ¹ Ô Ú ØÓÖ Ð Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ô Ö ÙÒ Ð Ö µ Ø Ð ÒÓÖÑ f = f(t) 2 dt Ø ÒÓØ L 2 (R, dt) ÔÖ ÚÓ Ö ÒØ Ð ÓÒØ ÓÒ ÕÙ Ò Ö Ò ÒØ ÕÙ ÔÓÙÖ ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò ÔÓ ÒØ µº L 2 (R, dt) Ø ÙÒ Ô À Ð ÖØ ³ Ø Ö ÕÙ ÓÒ ÓÒÒ ÙÒ Ù Ø Ò ÙÜ (f n (t)) n N Ø ÐÐ ÕÙ Ð Ö Ò ÒØÖ ÙÜ Ò ÙÜ ÓÒ ÙØ Ú ÒØ ÒÙÐÐ Ð Ð Ñ Ø ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÒ Ò Ð Ð Ñ Ø f(t) L 2 (R, dt) Ø Ð ÕÙ lim f n+ f n = 0 n lim f n f = 0 n

½º º ËÌÊÍ ÌÍÊ Å ÌÀ Å ÌÁÉÍ Ä³ ËÈ Ë ËÁ Æ Í Ì ÁËÌÊÁ ÍÌÁÇÆË ½½ ½º º¾ È Ö ÔØ ÓÒ ÒØ Ö Ø Ò ÙÜ Ö Ð Ø ÍÒ Ø Ø ÙÖ Ò ÙÜ Ö Ð Ø Ò Ø Ø Ô ÙÒ Ò Ð Ò Ø ÒØ Ò Ñ ÒØ Ñ ÒØ Ö Ð Ò Ð ÙÖ ÙÒ Ô Ö Ó T T T 0 f(t )dt t [T, 2T] 2T f(t) f p (t) = T T f(t )dt t [2T, 3T] 3T T 2T f(t )dt t [3T, 4T]... ÔÐÙ Ð Ö ÔÓÒ Ù Ö ÔØ ÙÖ ÙÖ ÙÒ Ô Ö Ó Ö ÔØ ÓÒ Ò³ Ø Ô Ò Ö Ñ ÒØ ÔÐ Ò Ñ Ô ÙØ ØÖ ÙÒ ÓÒØ ÓÒº ³ÙÒ Ñ Ò Ö Ò Ö Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ö ÔØ ÓÒ ÒØ Ö Ø Ø Ö ÔÖ ÒØ Ô Ö ÙÒ ÓÒØ ÓÒ g Ø ÐÐ ÕÙ Ð Ö ÙÐØ Ø Ð Ô Ö ÔØ ÓÒ Ø g f = g(t)f(t)dt ÍÒ Ö ÔÓÒ ÔÐ Ò Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð ÓÒØ ÓÒ ÔÓÖØ Π(t) = { t < 2 0 ÒÓÒ Ò ÓÒ ÒØ Ö Ð Ò Ð ÙÖ ÙÒ Ò ØÖ t.4.2 0.8 0.6 0.4 0.2-2 -.5 - -0.5 0.5.5 2 Π f = /2 /2 f(t)dt Ä ÓÒØ ÓÒ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ ÒØ ÓÒ Ð Ö ÔÓÒ Ý Ø Ñ ÙÒ Ò Ð ÓÒØ ÐÐ ¹Ñ Ñ Ò ÙÜ Ñ ÕÙ ÔÔ ÖØ ÒÒ ÒØ ÙÒ Ð ÔÐÙ Ö Ù Ø ÕÙ L 2 º Ò Ø ÓÒØ ÓÒØ ÓÒ ÙÔÔÓÖØ ÓÖÒ ³ Ø Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø a Ø b Ò R Ø Ð ÕÙ f(t) = 0 t < a Ø t > bµº ÇÒ ÒÓØ Ø Ò Ñ Ð D(R, dt)º Ä ÓÒØ ÓÒ ÙÔÔÓÖØ ÓÖÒ ÓÒØ Ò Ø Ð Ò ÙÜ Ö Ð Ø Ù ÔÓ ÒØ ÚÙ Ô Ý ÕÙ a Ö ÔÖ ÒØ ÒØ Ð Ø ÙØ ³ Ñ ÓÒ Ù Ò Ð Ø b Ð Ò Ð³ Ñ ÓÒº ÐÓÖ ÕÙ Ò L 2 ØÖÓÙÚ Ò ÙÜ ÕÙ ÓÒØ Ñ ÔÙ ØÓÙ ÓÙÖ t µ Ø ÓÒØ Ð³ Ñ ÓÒ Ò ³ ÖÖ Ø Ñ t + º ½º º Á Ð Ø ÓÒ Ò ÙÜ ÓÒ ÖÓÒ Ð ÓÒØ ÓÒ Π n (t) = nπ(nt) = { n t < 2n 0 ÒÓÒ ÓÒØ Ò ÙÜ Ö Ð Ø Π n Dµ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÒ Ò ØÖ ³ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ú ÒØ ÔÐÙ Ò ÔÐÙ Ð Ú nº ÍÒ Ò Ð f L 2 Ø ÓÒ ÒØ Ö ÓÑÑ Π n f = Π n (t)f(t)dt = 2n 2n ( nf(t)dt = n F( 2n ) F( ) 2n ) Ó F Ø ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú fº Ò ÒØ Ø Ò Ö n Ú Ö Ð³ Ò Ò ÓÒ ÙÒ Ò ØÖ ÕÙ Ú ÒØ ÔÐÙ Ò ÔÐÙ Ð ÔÓÙÖ ÓÒ ÒØÖ Ö ÙÖ Ð ÔÓ ÒØ t = 0º ÇÒ Ô ÙØ ÓÒ Ô Ò Ö ÕÙ³ Ò ÒØ Ö ÒØ Ð Ò Ð ÙÖ ÙÒ Ò ØÖ ÔÐÙ Ò ÔÐÙ ÓÙÖØ Ð Ö ÙÐØ Ø

½¾ À ÈÁÌÊ ½º Ä Ë ËÁ Æ Í Ø Ò Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ù Ò Ð Ò ¼º Ò Ø lim Π n f = lim n n Π n (t)f(t)dt = lim n (F(/(2n)) F( /(2n))) n F(0 + h/2) F(0 h/2) = lim h 0 h = F (0) = f(0) ÍÒ Ý Ø Ñ Ô Ö Ø Ð Ð Ñ Ø n µ ÕÙ Ñ ÙÖ Ð Ò Ð Ð³ Ò Ø ÒØ t = 0 ÚÖ Ø ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ö δ f = f(0) Ó δ Ö Ø Ð ÓÒØ ÓÒ Ù Ò Ð ÑÔÙÐ ÓÒÒ Ð Õ٠гÓÒ Ó Ø Ò Ö Ø ÓÒ ÔÓÙÚ Ø ÒØ ÖÚ ÖØ Ö Ð Ð Ñ Ø Ø Ð³ ÒØ Ö Ð lim n + Π n (t)f(t)dt = δ(t)f(t)dt Ò ÒØ Ò Ù Ð Ð Ñ Ø Ø Ð³ ÒØ Ö Ð Ò Ô ÙÚ ÒØ Ô ØÖ ÒØ ÖÚ ÖØ Ø Ð³Ó Ø δ Ò³ Ø Ô ÙÒ ÓÒØ ÓÒ δ(t) = 0 t 0 Ø δ(0) = µº Ä³Ó Ø δ Ø Õ٠гÓÒ ÔÔ ÐÐ ÙÒ ØÖ ÙØ ÓÒ δ Ø Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Ö µ Ø ÓÒ Ø ÕÙ δ Ø Ð Ð Ñ Ø Ð Π n Û lim n Π n(t) = δ(t) lim Π n (t)f(t)dt = n δ(t)f(t)dt = f(0) f L 2 t 4 3.5 3 2.5 2.5 0.5 --0.75-0.5-0.25 0.250.50.75 t 2 4 3.5 3 2.5 2.5 0.5 --0.75-0.5-0.25 0.250.50.75 t 3 4 3.5 3 2.5 2.5 0.5 --0.75-0.5-0.25 0.250.50.75 t 4 3.5 3 2.5 2.5 0.5 --0.75-0.5-0.25 0.250.50.75 ij Ò Ñ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ñ Ð Ð Ñ Ø Ð Ò ÙÜ Ö Ð Ø µ Ø ÒÓØ D (R, dt)º Ä Ô ÓÒØ ÓÒ ÙÜ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÒØ ÓÒ Ò Ö Ð Ú ÔÖÓÔÖ Ø ØÖ Ò ÓÑÑ δµ ØÖ Ù Ø Ð Ø Õ٠гÓÒ ÔÖÓ ÙÒ Ð Ø ÓÒ ÙÙÒ Ý Ø Ñ Ô Ý ÕÙ Ö Ð Ò ÔÖ ÒØ ÙÒ Ò Ð ÑÔÙй ÓÒÒ Ð Ñ Ù Ñ ÙÜ ÙÒ Ò Ð Ñ ÙÖ ÙÒ Ò ØÖ Ø ÑÔÓÖ ÐÐ Ð µº ÆÓØÓÒ ÕÙ Ð Ò ÙÜ ÓÒ Ñ ÒØ ÙÜ Õ٠гÓÒ ÓÒ Ö Ò Ð Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ f(t) = Ee ı(ωt+φ) Ò ÓÒØ Ô Ò ÙÜ Ô Ý ÕÙ ÔÙ ÕÙ f = + Ñ Ð Ø ÓÒ Ò ÙÜ Ù ØÝÔ f n (t) = Π(t/n)Ee ı(ωt+φ) ÔÓÙÖ Ð ÕÙ Ð f n 2 = n/2 n/2 E 2 dt = ne 2 < Û lim n f n(t) = f(t) Ò ÙÜ Ð ÓÒØ ÓÒ ØÖ ÙØ ÓÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ Ð Ð ÓÒØ ÓÒ ÕÙ Ò ÓÒØ Ô ÖÖ ÓÑÑ Ð Ò ÙÜ ØÖ Ò ÔÓÖØ ÒØ ÙÒ Ò Ö Ò Ò µ Õ٠гÓÒ ÔÔ ÐÐ ØÖ ÙØ ÓÒ Ö ÙÐ Ö Ð ØÖ ÙØ ÓÒ ÕÙ Ò Ô ÙÚ ÒØ Ô ØÖ Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ ÓÑÑ δ ÓÒØ ÔÔ Ð Ò ÙÐ Ö µº ÄÓÖ Õ٠гÓÒ Ú ÙØ ÙÒ ÑÔÙÐ ÓÒ Ò ÔÓ ÒØ t 0 Ö ÒØ 0 ÓÒ ÙØ Ð Ð ØÖ ÙØ ÓÒ δ t0 (t) = δ(t t 0 ) δ t0 f = δ(t t 0 )f(t)dt = f(t 0 ), f L 2

Ô ØÖ ¾ Ù Ð Ø Ø ÑÔ ¹ Ö ÕÙ Ò Ö Ø ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ÓÑÑ ÓÒ Ð³ ÚÙ Ð Ò ÙÜ Ô ÙÚ ÒØ ØÖ Ô ÖÙ Ó Ø Ò Ø ÑÔ Ó Ø Ò Ö ÕÙ Ò º ÁÐ Ø ÓÒ Ò Ö ÔÓÙÚÓ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ò Ø ÑÔ t Ò sµ Ø Ò Ö ÕÙ Ò ν Ò s ÀÞµ Ø ÔÓÙÚÓ Ö Ô Ö Ð³ÙÒ Ð³ ÙØÖ º ³ Ø Ð ÙØ Ô ØÖ º ¾º½ Ë Ö ÓÙÖ Ö ³ÙÒ Ò Ð Ô Ö Ó ÕÙ ÓÒ ÖÓÒ ÙÒ Ò Ð Ô Ö Ó ÕÙ Ð Ñ ÒØ Ö f(t) = Ee ı(ωt+φ) ÁÐ Ø Ð Ö ÔÙ ÕÙ Ò Ð Ò³ Ø ÓÑÔÓ ÕÙ ³ÙÒ ÙÐ Ö ÕÙ Ò ν 0 = ω 2π ÕÙ Ò Ð³ Ô Ö ÕÙ Ò Ð Ò Ð Ö Ö ÔÖ ÒØ Ô Ö ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ò³ Ò ÕÙ ÒØ ÕÙ Ð Ú Ð ÙÖ ν 0 ³ Ø Ö ÙÒ ØÖ ÙØ ÓÒ Ö f(t) = Ee ı(ωt+φ) ˆf(ν) = Ee ıφ δ(ν ν 0 ) Ä Ô Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ù Ò Ð Ò Ø ÑÔ f Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ò ˆf Ø ÔÔ Ð ØÖ Ò ¹ ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ÓÒ ÒÓØ ˆf(ν) = TF[f](ν) Ø f(t) = TF [ ˆf](t)µ ÈÓÙÖ ÙÒ Ò Ð Ô Ö Ó ÕÙ ÕÙ ÐÓÒÕÙ ÓÒ ÑÓÒØÖ Ð Ö ÙÐØ Ø Ù Ú ÒØ Ì ÓÖ Ñ ½º ËÓ Ø t f(t) ÙÒ ÓÒØ ÓÒ T ¹Ô Ö Ó ÕÙ f(t + T) = f(t) tµº ÐÓÖ ÓÒ Ô ÙØ Ö Ö f ÓÙ Ð ÓÖÑ ³ÙÒ Ö Ú Ø ν 0 = T f(t) = c k = T + k= T/2 T/2 c k e ı2πkν0t f(t)e ı2πkν0t dt Ò Ø ÓÒ º ËÓ Ø f ÙÒ ÓÒØ ÓÒ T ¹Ô Ö Ó Õ٠г Ò Ñ Ð Ó ÒØ c k Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ Ø ÔÔ Ð Ô ØÖ Ò Ö ÕÙ Ò Ù Ò Ð fº Ä ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ò Ö ÓÙÖ Ö ÓÑÔÓ Ð Ò Ð Ô Ö Ó ÕÙ Ò ÙÒ ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ Ò ÙÜ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÒØ Ð Ö ÕÙ Ò ÓÒØ ÑÙÐØ ÔÐ Ð Ö ÕÙ Ò Ô Ö Ó Ø º Ä Ô ØÖ Ö Ø {c k, k Z} Ö ÔÖ ÒØ Ò Ð ÔÓ ÙÒ Ò ÙÜ Ð Ñ ÒØ Ö Ò Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒº ØØ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ö Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ò ³ÙÒ Ò Ð Ô Ö Ó ÕÙ f(t) = + k= c k e ı2πkν0t TF ˆf(ν) = + k= c k δ(ν kν 0 ) ½

½ À ÈÁÌÊ ¾º Í ÄÁÌ Ì ÅÈ˹ Ê ÉÍ Æ Ë ÊÁ Ì ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÇÍÊÁ Ê Ò Ø ÓÒ º ËÓ Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ T ¹Ô Ö Ó ÕÙ fº ν 0 = T Ø ÔÔ Ð Ö ÕÙ Ò ÓÒ Ñ ÒØ Ð fº Ä ÓÒ¹ Ø ÓÒ t c k e ı2πkν0t Ú k Z ÓÒØ ÔÔ Ð ÖÑÓÒ ÕÙ fº c k 2 Ø Ð ÔÓ Ð k¹ Ñ ÖÑÓÒ ÕÙ Ò Ð Ò Ð fº Ò ÙÒ ÓÒ ³ Ø Ð ÔÖ Ò Ø Ð ÔÓ Ö Ð Ø Ö ÒØ ÖÑÓÒ ÕÙ ÕÙ ÑÓ Ð Ø Ñ Ö ÕÙ Ö Ò ÙÒ Ä ¼ ÀÞ ³ÙÒ Ù Ø Ö Ù Ñ Ñ Ä ³ÙÒ Ø µº Re f t 4 3 2-2 - 2 t TF f Ν 0.8 0.6 0.4 0.2-5 -0-5 5 0 5 Ν È ÖØ Ö ÐÐ f(t) = + k= k! eı2πk3t Ø ˆf(ν) ¾º¾ ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ³ÙÒ Ò Ð ÕÙ ÐÓÒÕÙ ÄÓÖ ÕÙ³ÙÒ Ò Ð ÔÖ ÒØ ÙÒ Ô Ö Ó Ø ÓÒ ÚÙ Õ٠гÓÒ ÔÓÙÚ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ö ÐÙ ¹ г ³ÙÒ ÓÑÑ Ö Ø ÙÖ Ð Ò ÙÜ Ð Ñ ÒØ Ö e ı2πνt ÔÓÙÖ Ð Ö ÕÙ Ò ν ÑÙÐØ ÔÐ Ð Ö ÕÙ Ò ÓÒ Ñ Ò¹ Ø Ð º Ò Ð³ Ò Ô Ö Ó Ø Ð Ø Ð Ö ÕÙ Ð Ò Ð Ò Ú ÓÑÔÓ Ö ÙÖ ÙÒ Ò Ñ Ð Ö Ø Ö ÕÙ Ò Ñ ÙÖ ØÓÙØ Ð ÓÒØ ÒÙÙѺ Ò ÙØ Ð ÒØ ÙÒ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÙÖ ØÓÙ Ð Ò ÙÜ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÒ ØÖÓÙÚ Ð Ò Ø ÓÒ Ò Ö Ð Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ò Ø ÓÒ º ËÓ Ø f L 2 (R, dt) ÓÒ Ò Ø Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ù Ò Ð f Ô Ö ½ Ú ˆf(ν) = TF[f](ν) = f(t) = TF [ ˆf](t) = f(t)e ı2πνt dt ˆf(ν)e ı2πνt dν Ò Ð Ô ØÖ Ò Ö ÕÙ Ò f Ø Ð ÓÒØ ÓÒ ν ˆf(ν)º Ì ÓÖ Ñ ¾ ÓÖÑÙÐ È Ö Ú Ð¹ÈÐ Ò Ö Ðµº ËÓ Ø f, g L 2 (R, dt) ÙÜ Ò Ùܺ ÐÓÖ ÓÒ g(t)f(t)dt = g f = ĝ ˆf ĝ(ν) ˆf(ν)dν Ð ÓÖÑÙÐ È Ö Ú Ð¹ÈÐ Ò Ö Ð ÓÒ Ø Ö Õ٠г Ò Ö ØÓØ Ð ØÖ Ò ÔÓÖØ Ô Ö ÙÒ Ò Ð Ô ÙØ ØÖ ÐÙÐ Ó Ø Ô ÖØ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ø ÑÔ Ó Ø Ô ÖØ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ò E f = f(t) 2 dt = ˆf(ν) 2 dν ÇÒ Ø ÕÙ t f(t) 2 Ø Ø Ð Ò Ø ³ Ò Ö Ô Ö ÙÒ Ø Ø ÑÔ ØÖ Ò ÔÓÖØ Ô Ö Ð Ò Ðº Ä ÓÒØ ÓÒ ν S f (ν) = ˆf(ν) 2 Ø Ð³ Ò Ö Ô Ö ÙÒ Ø Ö ÕÙ Ò ØÖ Ò ÔÓÖØ Ô Ö Ð Ò Ðº ÙØÖ Ñ ÒØ Ø S f (ν)dν = ˆf(ν) 2 dν Ø Ð³ Ò Ö ØÖ Ò ÔÓÖØ Ò Ð Ö ÕÙ Ò ν ν + dν Ô Ö Ð Ò Ðº Ò Ø ÓÒ º ÇÒ ÔÔ ÐÐ Ð ÓÒØ ÓÒ ν S f (ν) = ˆf(ν) 2 Ò Ø Ô ØÖ Ð ³ Ò Ö Ë µº ½ Ò Ø ØØ Ò Ø ÓÒ ³ ÔÔÐ ÕÙ D Ð ÓÑ Ò Ð³ÓÔ Ö Ø ÓÒ TF Ø Ò Ù Ø Ø Ò Ù L 2 Ô Ö ÔÖÓÔÖ Ø Ð Ñ Ø

¾º º ÈÊÇÈÊÁ Ì Ë Ë ÌÊ ÆË ÇÊÅ Ë ÇÍÊÁ Ê ½ ¾º ÈÖÓÔÖ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ä Ò Ö Ø ÌÖ Ò ÔÓ Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ù ÓÒ α, β C, f, g L 2 TF[αf + βg](ν) = αtf[f](ν) + βtf[g](ν) αf + βg = α ˆf + βĝ f L 2 f T (t) = f( t) TF[f T ](ν) = ˆf( ν) Ò Ñ ÒØ ³ ÐÐ ÌÖ Ò Ð Ø ÓÒ ÅÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ô f L 2 TF[f](ν) = ˆf( ν) f L 2, α R TF[f(αt)] = α ˆf( ν α ) f L 2 ı2πνt0, t 0 R TF[f(t t 0 )] = e ˆf(ν) f L 2, ν 0 R TF[e ı2πν0t f(t)] = ˆf(ν ν 0 ) Ö Ú Ø ÓÒ f L 2, f L 2, n N, TF[f ](ν) = f (ν) = df (ν) = 2ıπν ˆf(ν) dt TF[f (n) ](ν) = f (n) (ν) = d n f dt n (ν) = (2ıπν)n ˆf(ν) f L 2, n N, g(t) = ( 2ıπt) n f(t) TF[g] = ˆf (n) (ν) = dn ˆf dν n (ν) ¾º ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ð ÕÙ f(t) TF(f)(ν) = ˆf(ν) Π(t) sin(πν) = sinc(πν) πν δ(t) δ(ν) e ı2πν0t δ(ν ν 0 ) δ(ν ν 0 ) + δ(ν + ν 0 ) cos(2πν 0 t) 2 δ(ν ν 0 ) δ(ν + ν 0 ) sin(2πν 0 t) 2ı e πt2 e α t vp[ t ] e πν2 2α α 2 + 4π 2 ν 2 ıπsgn(ν) sgn(t) ı π vp[ ν ] H(t) 2 δ(ν) ı 2π vp[ ν ] Ð ÓÒØ ÓÒ Ò Ø ÒØ Ò Ô Ö t < 0 sgn(t) = 0 t = 0 + t > 0

½ À ÈÁÌÊ ¾º Í ÄÁÌ Ì ÅÈ˹ Ê ÉÍ Æ Ë ÊÁ Ì ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÇÍÊÁ Ê Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Ú Ð ÙÖ ÔÖ Ò Ô Ð Ø Ò Ô Ö f L 2, vp[ t ] f = lim ǫ 0 ], ǫ[ ]+ǫ,+ [ f(t) dt t vp[ t ] = Û lim t ( Π( ǫ 0 t 2ǫ )) Ø Ð ÓÒØ ÓÒ À Ú Ø Ò Ô Ö 0 t < 0 H(t) = 2 t = 0 + t > 0

¾º º ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÇÍÊÁ Ê ³ÍÆ ËÁ Æ Ä ËÈ ÌÁ Ä ½ t 0.8 0.6 0.4 0.2 - -0.75-0.5-0.25 0.25 0.5 0.75 t sinc ΠΝ 0.8 0.6 0.4 0.2-6 -4-2 2 4 6 Ν -0.2-0.4 t TF.4 0.8.2 0.6 0.8 0.4 0.6 0.2 0.4 0.2-4 -2 2 4 t -4-2 2 4 Ν cos 2ΠΝ0t 0.75 0.5 0.25 - -0.75-0.5-0.25 0.25 0.5 0.75 t -0.25-0.5-0.75 - e Πt2 0.8 0.6 0.4 0.2-3 -2-2 3 t TF cos 2ΠΝ0t 3 2.5 2.5 0.5-6 -4-2 2 4 6 Ν e ΠΝ2 0.8 0.6 0.4 0.2-3 -2-2 3 Ν 0 8 6 4 2 e Α t 2 Α Α 2 4 Π 2 Ν 2 0.8 0.6 0.4 0.2-2 3 t t 4 2-2 -.5 - -0.5 0.5.5 2 t -2-4 -4-3 -2-2 3 4 Ν sgn Ν 0.75 0.5 0.25-3 -2-2 3 Ν -0.25-0.5-0.75 - ¾º ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ³ÙÒ Ò Ð Ô Ø Ð ÍÒ Ò Ð Ô Ø Ð (x, y) f(x, y) (x, y) Ò mµ ÓÑÑ ÙÒ Ñ ÔÓ Ù ÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ò Ô Ø Ð (ν x, ν y ) Ò m µº Ò Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ø TF[f](ν x, ν y ) = ˆf(ν x, ν y ) = Ä ÔÖÓÔÖ Ø ÓÒØ ÐÓÖ Ð Ñ Ñ ÕÙ ÔÓÙÖ ÙÒ Ò Ð Ø ÑÔÓÖ Ðº f(x, y)e ı2π(νxx+νyy) dxdy

½ À ÈÁÌÊ ¾º Í ÄÁÌ Ì ÅÈ˹ Ê ÉÍ Æ Ë ÊÁ Ì ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÇÍÊÁ Ê

Ô ØÖ ÌÖ Ø Ñ ÒØ Ù Ò Ð ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ ÐØÖ Ø ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò ÖØ Ò Ô ØÖ ÓÒ ³ ÒØ Ö Ù ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÙÜ Ô Ö ÙÒ Ý Ø Ñ Ò ÐÓ ÕÙ Ó٠г Ø ÕÙ³ÙÒ Ý Ø Ñ ÒØ ÖÑ Ö ÙÖ ÙÒ Ò Ð Ò Ð ³ ÒØÖ Ý Ø Ñ ØÖ Ø ÒØ Ð Ò Ð Ò Ð ÓÖØ Ü ÑÔÐ Ò Ð Ð ØÖ ÕÙ ÙØ¹Ô ÖÐ ÙÖ Ò Ð ÓÙ Ø ÕÙ Ò Ø Ü ÑÔÐ Ð Ý Ø Ñ ÖØ ÓÒÚ ÖØ Ö Ð Ò ØÙÖ Ô Ý ÕÙ Ù Ò Ðº ÍÒ Ø Ð Ý Ø Ñ ³ Ð Ø Ø Ð Ò³ Ø Ö Ø Ô Ð Ò Ð ÐÙ ¹Ñ Ñ Ñ ÙÐ Ñ ÒØ ÓÒ ÙÔÔÓÖØ Ô Ý ÕÙ µ Ñ Ò Ð Ö Ð Ø Ð Ý Ø Ñ Ö Ø ØÙØ ÓÒ ÑÓ ÒØ Ð Ò Ð Ù Ð ÙÖ ÑÔ Ö Ø ÓÒ Ø Ð ÙÖ Ð Ñ Ø Ø ÓÒ Ô Ý ÕÙ º Ò Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ Ù Ò Ð Ø Ò Ø ÙÒ ÐØ Ö Ø ÓÒ Ù Ò Ð Ô Ö Ð Ý Ø Ñ º Å Ò ³ ÙØÖ Ü ÑÔÐ Ð ÑÓ Ø ÓÒ Ù Ò Ð Ô Ö Ð Ý Ø Ñ Ø Ð ÙØ Ö Ö Ü ÑÔÐ ¾ ÙÒ Ù Ø Ö Ð ØÖ ÕÙ Ò Ð Ð ØÖÓ¹ ÓÙ Ø ÕÙ Ù ÓÖ Ô Ð ØÓÖ ÓÒ Ò Ð ØÓÖ Ù ÁÐ Ú ÓÒ ³ Ö ÑÓ Ð Ö Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ñ ÒØ Ð³ Ø ³ÙÒ Ý Ø Ñ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ù Ò Ð Ô Ö ÙÒ ÓÔ Ö Ø ÙÖ H ÓÙ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ò f in (t) H f out (t) ˆf in (ν) Ĥ ˆf out (ν) º½ ÐØÖ Ø ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò ÖØ ÓÒ ÖÓÒ ÙÒ Ò Ð ³ ÒØÖ ν ˆf in (ν) Ò ÙÒ Ý Ø Ñ ÕÙ Ú ÚÓ Ö ÔÓÙÖ Ø Ò ÓÒ ÖÚ Ö ÕÙ Ð Ö ÕÙ Ò ØÖÓÙÚ ÒØ ÒØÖ [ν 0 ν, ν 0 + ν] ³ Ø Ô Ö Ü ÑÔÐ Ð Ò Ø Ð Ô ÓÒ ÓÒ Ò ÓÒ ÖÚ ÕÙ Ð Ö ÕÙ Ò Ñ ÙÑ Ð Ñ ÙÜ Ô ÖÙ Ô Ö Ð³ÓÖ ÐÐ Ò Ð Ñ Ø Ö Ð ÕÙ ÒØ Ø ³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ØÖ Ò Ñ ØØÖ µ ÓÒ ÐÓÖ { ˆf in (ν) Ĥ ˆf ˆfin (ν) ν [ν 0 ν, ν 0 + ν] out (ν) = 0 ÒÓÒ ÍÒ Ø ÐÐ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ³ ÔÔ ÐÐ ÙÒ ÐØÖ º ÇÒ ÚÓ Ø ÕÙ Ò Ð³ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ Ò ÓÒ ÖÚ Ö ÕÙ ÖØ Ò Ö ÕÙ Ò Ô ÙØ ØÖ Ö Ø ÓÑÑ Ù Ø ) ˆf out (ν) = ˆf ν ν0 in (ν)π( 2 ν ijÓÔ Ö Ø ÙÖ ÓÒ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ð Ò Ð ³ ÒØÖ Ô Ö Ð ÓÒØ ÓÒ ÔÓÖØ ν Π((ν ν 0 )/(2 ν))º ³ÙÒ Ñ Ò Ö Ò Ö Ð ÙÒ ÐØÖ Ô ÙØ Ù Ð Ù ÙÔÔÖ Ñ Ö ÖØ Ò Ö ÕÙ Ò ÓÒØ ÒØ Ö Ð ØØ ÒÙ Öº Ñ Ñ ÖØ Ò Ö ÕÙ Ò ÔÓÙÖÖ ÒØ ØÖ ÑÔÐ º Ò ÓÒ Ò Ð³ Ô Ö ÕÙ Ò ½

¾¼ À ÈÁÌÊ º ÌÊ ÁÌ Å ÆÌ Í ËÁ Æ Ä ÇÆÎÇÄÍÌÁÇÆ ÁÄÌÊ Ì ÇÆ ÌÁÇÆË ÌÊ ÆË ÊÌ Ò Ø ÓÒ º ij Ø ÓÒ ³ÙÒ Ý Ø Ñ ÐØÖ ÙÖ ÙÒ Ò Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ö ÕÙ Ò Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ù Ò Ð ³ ÒØÖ Ô Ö ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ν Ĥ(ν) D(R, dν) Ä ÓÒØ ÓÒ Ĥ Ø ÔÔ Ð ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò Öغ ˆf out (ν) = ˆf in (ν)ĥ(ν) ÍÒ Ü ÑÔÐ ÒØ Ö ÒØ ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò ÖØ Ø ÐÙ Ù ÐØÖ Ô ¹ ( ) ν Ĥ(ν) = Π 2ν c ÐØÖ ÙÔÔÖ Ñ ØÓÙØ Ð Ö ÕÙ Ò Ù Ù ν c ν c Ø ÔÔ Ð Ö ÕÙ Ò ÓÙÔÙÖ Ù ÐØÖ µº ÇÒ Ö Ú Ò Ö ÙÖ Ø Ü ÑÔÐ ÔÐÙ Ø Ö Ö Ð ÔÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ý ÕÙ º º¾ ÈÖÓ Ù Ø ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ ÇÒ ÚÙ ÓÑÑ ÒØ Ø ÑÓ Ð Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ³ÙÒ Ò Ð Ò Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ò º ÇÒ ³ Ò¹ Ø Ö Ñ ÒØ Ò ÒØ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ø ÑÔ ³ÙÒ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ù Ò Ðº ÇÒ Ø ÕÙ Ð Ô ³ÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÙÒ ÙØÖ Ø Ð³ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Öº ÇÒ ÑÓÒØÖ Ð Ö ÙÐØ Ø Ù Ú ÒØ Ì ÓÖ Ñ º ËÓ ÒØ ˆf, ĝ L 2 (R, dν) ÐÓÖ Ó f = TF [ ˆf] Ø g = TF [ĝ]º TF [ ˆfĝ](t) = f(ξ)g(t ξ)dξ Ò Ø ÓÒ º ÇÒ ÔÔ ÐÐ ÔÖÓ Ù Ø ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ð ÐÓ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ : L 2 L 2 L 2 Ò Ô Ö ÇÒ ÓÒ f(t) g(t) = TF[f g](ν) = ˆf(ν)ĝ(ν) ÇÒ ÓÒ ÔÓÙÖ Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ Ù Ò Ð f(ξ)g(t ξ)dξ ˆf out (ν) = f in (ν)ĥ(ν) TF [ ˆfĝ](t) = f(t) g(t) f out (t) = TF [ ˆf out ](t) = TF [ ˆf in Ĥ](t) = = f in (t) H(t) f in (ξ)h(t ξ)dξ Ó H Ø ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ÒÚ Ö Ð ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò Öغ ÇÒ ÓÒ Ò Ø ÓÒ º ij Ø ÓÒ ³ÙÒ Ý Ø Ñ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ù Ò Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ø ÑÔ Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð ÔÖÓ Ù Ø ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ù Ò Ð ³ ÒØÖ Ô Ö ÙÒ ÓÒØ ÓÒ t H(t) D(R, dt) f out (t) = f in (t) H(t) Ä ÓÒØ ÓÒ H Ø ÔÔ Ð Ö ÔÓÒ ÑÔÙÐ ÓÒÒ ÐÐ Ù Ý Ø Ñ º ÇÒ ÔÔ ÐÐ H Ö ÔÓÒ ÑÔÙÐ ÓÒÒ ÐÐ Ö Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Ö ÙÒ ÑÔÙÐ ÓÒ Ø ÑÔÓÖ ÐÐ µ Ø Ð³ Ð Ñ ÒØ Ò ÙØÖ Ù ÔÖÓ Ù Ø ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ δ(t) H(t) = δ(ξ)h(t ξ)dξ = H(t) Ò Ð Ò Ð Ò ÒØÖ Ø ÙÒ ÑÔÙÐ ÓÒ f in (t) = δ(t) Ð Ò Ð ÓÖØ Ö Ð Ö ÔÓÒ ÑÔÙÐ ÓÒÒ ÐÐ ψ out (t) = H(t)º

º º ÈÊÇÈÊÁ Ì Ë Í ÈÊÇ ÍÁÌ ÇÆÎÇÄÍÌÁÇÆ ¾½ º ÈÖÓÔÖ Ø Ù ÔÖÓ Ù Ø ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ò ÙØÖ ÓÑÑÙØ Ø Ú Ø Ó Ø Ú Ø f L 2 f, g L 2 f(t) δ(t) = δ(t) f(t) = f(t) f(t) g(t) = g(t) f(t) f, g, h L 2 f(t) (g(t) h(t)) = (f(t) g(t)) h(t) = f(t) g(t) h(t) Ä Ò Ö Ø f, g L 2, α, β C f(t) (αg(t) + βh(t)) = αf(t) g(t) + βf(t) h(t) º Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ù Ð Ø Ê ÔÖ ÒÓÒ Ð³ Ü ÑÔÐ Ù ÐØÖ Ô ¹ Ô Ö Ø ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò ÖØ Ø ÇÒ ÓÒ ÔÓÙÖ Ö ÔÓÒ ÑÔÙÐ ÓÒÒ ÐÐ ( ) ν Ĥ(ν) = Π 2ν c H(t) = TF [Ĥ](t) = sin(2πν ct) πt ³Ó f in (t) = δ(t) f out (t) = sin(2πνct) πt º ÓÒ f out (t) 0 ÔÓÙÖ t < 0 ÓÒ Ö Ó Ø Ð Ò Ð Ú ÒØ ÕÙ ÐÙ ¹ Ò³ Ø Ø Ñ Ò Ò Ô Ú ÓÐ Ö Ð ÔÖ Ò Ô Ù Ð Ø ÙÒ ÐØÖ Ø ÑÔ Ö Ð Ó Ø ÓÒ Ú Ö Ö H(t) = 0 t < 0º ÁÐ ÙØ ÓÒ Ú ÐÐ Ö ÕÙ H(t) = H 0 (t)h(t) Ó H 0 Ø ÙÒ Ö ÔÓÒ ÑÔÙÐ ÓÒÒ ÐÐ ÕÙ ÐÓÒÕÙ º ÇÒ ÐÓÖ Ĥ(ν) = 2Ĥ0(ν) ı 2π H 0(ν) vp[ ν ] = 2Ĥ0(ν) ı 2π lim H 0 (ξ) ǫ 0 ξ ν dξ R\[ ǫ,ǫ] º ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÇÒ Ö ÔÔ ÐÐ ÕÙ Ð Ò Ø Ô ØÖ Ð ³ Ò Ö ³ÙÒ Ò Ð f Ø ÓÒÒ Ô Ö S f (ν) = ˆf(ν) 2 ÇÒ ³ ÒØ Ö Ð³ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð Ë Ò Ð³ Ô Ù Ø ÑÔ R f (t) = TF [S f ](t) = f(t) f( t) = f(ξ)f(ξ t)dξ Ò Ø ÓÒ ½¼º Ä ÓÒØ ÓÒ R f = f f T Ø ÔÔ Ð ÓÒØ ÓÒ ³ ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ fº R f (0) = f(ξ) 2 dξ = E f

¾¾ À ÈÁÌÊ º ÌÊ ÁÌ Å ÆÌ Í ËÁ Æ Ä ÇÆÎÇÄÍÌÁÇÆ ÁÄÌÊ Ì ÇÆ ÌÁÇÆË ÌÊ ÆË ÊÌ Ò ¼ Ð ÓÒØ ÓÒ ³ ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ø Ð³ Ò Ö ØÓØ Ð Ù Ò Ðº ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ f Ó Ø T ¹Ô Ö Ó ÕÙ ÐÓÖ R f (T) E f = E f = = E f f(ξ)f(ξ T)dξ f(ξ)f(ξ)dξ R f (T)/R f (0) = ØÖ Ù Ø Ð Ø ÕÙ f(t T) = f(t) tº Ò Ø Ð ÓÒØ ÓÒ ³ ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÒÓÖÑ t R f (t)/r f (0) Ñ ÙÖ Ð Ö Ñ Ð Ò Ù Ò Ð ÓÖ Ò Ð Ú Ð Ò Ð ØÖ Ò Ð Ø Ò Ð Ø ÑÔ ³ÙÒ ÙÖ t Ö Ø Ö t t > 0 ÓÙ Ú Ò t t < 0µº R f (t)/r f (0) = Ð Ò Ð ØÖ Ò Ð Ø Ø Ð Ù Ò Ð ÓÖ Ò Ðº R f Ô ÖÑ Ø ÓÒ Ö Ô Ö Ö Ð Ö ÙÐ Ö Ø ³ÙÒ Ò Ð ÑÓØ Ö Ô Ø Øººº ÐÐ Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÒØ ÙØ Ð ÔÓÙÖ Ö Ô Ö Ö Ö ÙÐ Ö Ø Ø ÑÓØ Ò ÙÒ Ò Ð ØÖ ÖÙ Ø º ÇÒ Ô ÙØ Ò Ö Ð Ö Ò Ö ÒØ ØÙ Ö Ð Ö Ñ Ð Ò ÒØÖ ÙÜ Ò ÙÜ ÕÙ ÐÓÒÕÙ Ò Ø ÓÒ ½½º ËÓ ÒØ f, g L 2 ÙÜ Ò Ùܺ ÇÒ ÔÔ ÐÐ ÓÒØ ÓÒ ³ ÒØ ÖÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò ÙÜ f Ø g Ð ÓÒØ ÓÒ R fg (t) = f(t) g( t) = f(ξ)g(ξ t)dξ Ò Ð Ò Ð g Ø Ò Ø Ð Ò Ð f Ö Ø Ö ³ÙÒ Ð Ô Ø ÑÔ T ÓÒ ÙÖ R fg (T) Rf (0)R g (0) = Ä ÓÒØ ÓÒ ³ ÒØ ÖÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÒÓÖÑ R fg (t)/ R f (0)R g (0) Ô ÖÑ Ø Ñ ÙÖ Ö Ð Ö Ñ Ð Ò ÙÜ Ò Ùܺ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö f Ø g Ö Ñ Ð ÒØ Ð ÔÐÙ ÐÓÖ ÕÙ g Ø ØÖ Ò Ð Ø Ù Ð Ô Ø ÑÔ T Ø Ð ÕÙ R fg (T)/ R f (0)R g (0) Ó Ø Ñ Ü Ñ Ðº º Ü ÑÔÐ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ù Ò Ð º º½ ÅÓÝ ÒÒ Ð ÒØ ÁÐ ³ Ø Ð Ö ÔÓÒ ÑÔÙÐ ÓÒÒ ÐÐ H(t) = Π(αt), α R Ø ÓÒ Ð ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò ÖØ Ĥ(ν) = sin( πν α ) πν f out (t) = = = f in (t) H(t) t+ 2α t 2α f in (t)π(αt αξ)dξ f in (ξ)dξ ØØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÕÙ ÑÓÝ ÒÒ Ð Ò Ð ÙØÓÙÖ ÕÙ ÔÓ ÒØ t ÙÖ ÙÒ Ò ØÖ ± Ò ÙÔÔÖ Ñ ÒØ Ð Ú Ö Ø ÓÒ ÕÙ ÖÓÙÐ ÒØ ÙÖ ÙÒ ÙÖ Ò Ö ÙÖ α º º º¾ ÇÔØ ÕÙ ÓÙÖ Ö 2α Ð Ð Ò Ð ÍÒ Ý Ø Ñ ³ Ñ Ö Ô ÙØ ØÖ Ö ÔÖ ÒØ Ô Ö ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò ÖØ Ĥ(ν x, ν y )º Ò ÙÒ Ñ ØÖ Ú Ö ÙÒ Ý Ø Ñ ÓÔØ ÕÙ Ú Ö I out (x, y) = I in (x, y) H(x, y)

º º ÅÈÄ Ë ÌÊ ÁÌ Å ÆÌ Í ËÁ Æ Ä ¾ Îout(ν x, ν y ) = Îin(ν x, ν y )Ĥ(ν x, ν y ) ÇÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ³ Ò Ð Ö Ó Ö ÒØ Ð³ ÑÔÐ ØÙ Ð Ø Ö Ø ÓÒ Ø Ð Ì ÒÚ Ö Ð ÔÙÔ ÐÐ º ÈÓÙÖ ÙÒ Ó Ø ÔÓÒØÙ Ð Ò ÔÓ Ø ÓÒ (x 0, y 0 ) ÚÙ ØÖ Ú Ö ÙÒ Ð ÒØ ÐÐ ÓÒ I in (x, y) = δ(x x 0 )δ(y y 0 ) νx 2 Ĥ(ν x, ν y ) = circ + ν2 y ν c Ó circ(r) = { r 0 ÒÓÒ ν c = sin(θ max) γλ θ max Ø ÒØ Ð³ Ò Ð ÕÙ Ø Ð Ö ÝÓÒ Ù Ð³Ó Ø Ô Ö ÐРРг Ü ÓÔØ ÕÙ Ú Ð Ö ÝÓÒ Ð ÔÐÙ ÒÐ Ò Ù Ð³Ó Ø Ø Ô ÒØ ØÖ Ú Ö Ð Ð ÒØ ÐÐ λ Ø Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ ³ÓÒ Ù Ö ÝÓÒ ÐÙÑ Ò ÙÜ Ù Ð³Ó Ø γ Ø Ð Ö Ò Ñ ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÐ º H(x, y) = TF [Ĥ](x, y) = J (2π x 2 + y 2 ν c ) x2 + y 2 ν c Ó J (z) Ø Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÒØ ÓÒ Ðº ³Ó I out (x, y) = (δ(x x 0 )δ(y y 0 )) H(x, y) = J (2π (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 ν c ) (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 ν c Ì Ö Ø ÓÒ Ø ³ ÖÝ J r r 0.5 0.4 0.3 0.2 0. -5-0 -5 5 0 5 r -0.

¾ À ÈÁÌÊ º ÌÊ ÁÌ Å ÆÌ Í ËÁ Æ Ä ÇÆÎÇÄÍÌÁÇÆ ÁÄÌÊ Ì ÇÆ ÌÁÇÆË ÌÊ ÆË ÊÌ

Ô ØÖ ÒØ ÐÐÓÒÒ º½ ÈÖ Ò Ô Ð³ ÒØ ÐÐÓÒÒ ÓÒ ÖÓÒ f L 2 (R, dt) ÙÒ Ò Ðº ÁÐ ³ Ø ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ ÓÙ ÔÖ ÕÙ Ô ÖØÓÙØ ÓÒØ ÒÙ µ Ù Ø ÑÔ Õ٠гÓÒ Ò Ô ÙØ Ô Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø ÐÐ ÕÙ ÐÐ Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ ÕÙ Ó Ø ÔÓÙÖ Ò Ö Ö Ð Ò Ð Ô Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ ÓÙ ÔÓÙÖ ÕÙ Ö Ö ÒÙÑ Ö ÕÙ Ñ ÒØ ÙÒ Ò Ð Ò ÐÓ ÕÙ µº ÁÐ Ú ÓÒ ÐÐÓ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö ÒÙÑ Ö ÕÙ Ñ ÒØ Ô Ö ÙÒ Ù Ø ÒÓÑ Ö µ Ð Ò Ð ³ Ø Õ٠гÓÒ ÔÔ ÐÐ ÙÒ Ò Ð ÒØ ÐÐÓÒÒ º ÇÒ Ò Ú ÓÒ ÓÒ ÖÚ Ö Ð Ò Ð ÕÙ³ Ò Ø ÒØ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÙ ÔÓ Ø ÓÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ³ Ø ÙÒ Ò Ð Ô Ø Ðµ {..., t 2, t, t 0, t, t 2,...}º ØØ Ù Ø ÔÓ ÒØ Ø ÔÔ Ð ÒØ ÐÐÓÒÒ º ÈÓÙÖ ÑÔÐ Ö ÓÒ Ú ÙÔÔÓ Ö Õ٠г ÒØ ÐÐÓÒÒ Ø Ô Ö Ó ÕÙ Ø ÒØÖÓ Ù Ö T e Ð Ô Ö Ó ³ ÒØ ÐÐÓÒÒ t k = kt e k Z ÓÒ ÔÓ ÔÐÙ Ð Ö Ö Ò t 0 = 0µº Ä Ò Ð ÒØ ÐÐÓÒÒ Ø ÓÒ Ð Ù Ø (f(kt e ), k Z) Õ٠гÓÒ Ô ÙØ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ô Ö Ð ØÖ ÙØ ÓÒ f e (t) = + k= Ó Ø Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Ô Ò Ö f(t)δ(t kt e ) = ( ) t f(t) T e T e (t) = + k= δ(t k) º¾ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ò ³ÙÒ Ò Ð ÒØ ÐÐÓÒÒ ËÓ Ø f L 2 ÙÒ Ò Ð Ò ÐÓ ÕÙ f e ÓÒ ÒØ ÐÐÓÒÒ Ø T e Ð Ô Ö Ó ³ ÒØ ÐÐÓÒÒ º Ä Ö ÔÖ Ò¹ Ø Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ò Ù Ò Ð ÒØ ÐÐÓÒÒ Ø ÓÒÒ Ô Ö ½ ˆf e (ν) = TF[f e ](ν) = T TF[f e (./T e )](ν) = ˆf(ν) (T e ν) = + k= = T e + k= ˆf(ν) δ(t e ν k) ˆf(ν) δ(ν k T e ) Ò Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ò ³ÙÒ Ò Ð ÒØ ÐÐÓÒÒ Ò Ø ÑÔ Ø ÙÒ Ô ØÖ Ô Ö Ó ÕÙ Ð Ô Ö Ó Ô ØÖ Ð Ø ÒØ ν e = T e º ½ TF[ ] = ¾

¾ À ÈÁÌÊ º À ÆÌÁÄÄÇÆÆ Ì ÓÖ Ñ Ì ÓÖ Ñ Ë ÒÒÓÒµº ËÓ Ø f ÙÒ Ò Ð Ò ÐÓ ÕÙ ÓÒØ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ò ˆf Ø ÙÔÔÓÖØ ÓÖÒ º ÈÓÙÖ ÓÒÚ ÖØ Ö Ò Ð Ò ÐÓ ÕÙ Ò ÙÒ Ò Ð ÒÙÑ Ö ÕÙ Ò Ô ÖØ ³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ð ÙØ ÕÙ Ð Ö ÕÙ Ò ³ ÒØ ÐÐÓÒÒ ν e = T e Ó Ø Ù Ñ Ò ÑÙÑ ÓÙ Ð Ð Ö ÕÙ Ò ÓÙÔÙÖ ν c ˆfº Ä Ö ÕÙ Ò ÓÙÔÙÖ Ø ÒØ Ò ÓÑÑ Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø Ö Ð ÔÓ Ø ν c Ø Ð ÕÙ ˆf(ν) = 0 ν > ν c Ø ν < ν c º ÓÙÐ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ò ³ÙÒ Ò Ð ÒØ ÐÐÓÒÒ ˆf e (ν) = ν e + k= ˆf(ν) δ(ν kν e ) Ò Ð ÑÓØ ˆf(ν) ÕÙ Ø Ø ÐÐ 2ν c µ Ø Ö ÔÖÓ Ù Ø Ô Ö Ó ÕÙ Ñ ÒØ Ô Ö ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ ν e ÙÖ Ð³ Ü Ö ÕÙ Ò º ν e > 2ν c Ð Ý ÙÒ Ú ÒØÖ Ð Ö Ô Ø Ø ÓÒ ÑÓØ ÓÒ ÙÒ ÙÖ¹ ÒØ ÐÐÓÒÒ º ν e = 2ν c Ð ÑÓØ ³ Ò Ò ÒØ Ö Ø Ñ ÒØ Ð ÙÒ ÔÖ Ð ÙØÖ ÓÒ ÙÒ ÒØ ÐÐÓÒÒ Ö Ø ÕÙ º ν e < 2ν c Ð ÑÓØ ÚÓÒØ ÙÔ ÖÔÓ Ö Ð ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ ÑÓØ ÙÖ Ð ÞÓÒ Ö ÓÙÚÖ Ñ ÒØ Ð Ö Ô Ø Ø ÓÒ Ú ÔÖÓ Ù Ö ÒØ Ö Ö Ò Ô ØÖ Ð ˆf Ò Ö ÔÐÙ ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ ÜØÖ Ø Ð ˆfe ÓÒ ÓÒ Ô Ö Ù Ð³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº ÇÒ ÙÒ ÓÙ ¹ ÒØ ÐÐÓÒÒ Ö ÔÐ Ñ ÒØ Ô ØÖ Ð ÒÓÖ ÔÔ Ð Ö ÓÙÚÖ Ñ ÒØ Ô ØÖ Ðµº Ò Ð ÔÖ Ø ÕÙ ÓÒ Ò Ô ÙØ Ô ÒØ ÐÐÓÒÒ ÙÒ Ò Ð Ú ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò Ò ³ ÒØ ÐÐÓÒ º ËÓ Ø N N Ð ÒÓÑ Ö ³ ÒØ ÐÐÓÒ Ø Ú Ñ ÒØ ÙØ Ð º ÇÒ ÐÓÖ ( ) νe t f e (t) = f(t) (ν e t)π N ³Ó ˆf e (ν) = ˆf(ν) (T e ν) sin(πnt eν) πν ÍÒ ÒØ ÐÐÓÒÒ Ò ÔÖÓÚÓÕÙ ÓÒ ÙÒ ØØ ÒÙ Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ò ÙÜ ÓÖ ÑÓØ ˆf ÓÒ ÙÔÔÓ ØÓÙ ÓÙÖ ÕÙ ÐÐ ¹ Ø ÓÖÒ µ ØØ ÒÙ Ø ÓÒ ÕÙ Ô ÙØ ÔÓÖØ Ö ÙÖ ØÖ Ö Ò Ô ÖØ Ù ÑÓØ Ð ÒÓÑ Ö ³ ÒØ ÐÐÓÒ Ø Ð º º ÒØ ÐÐÓÒÒ Ö Ð Ø ÒØ ÐÐÓÒÒ ÙÖ¹ ÒØ Ö Ø ÙÖ ÓÒ ÖÓÒ ÙÒ Ò Ð Ò ÐÓ ÕÙ f ÔÓÖØ Ô Ö ÙÒ ÙÔÔÓÖØ Ô Ý ÕÙ ÓÒ ÓÙ Ø ÕÙ ÓÒ Ð ¹ ØÖ ÕÙ ºººµ Õ٠гÓÒ Ö ÒÙÑ Ö Öº ÇÒ Ó Ø ÓÒ ÔÓ Ö ³ÙÒ Ý Ø Ñ ³ ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ò Ðº È Ý ¹ ÕÙ Ñ ÒØ Ð Ø ÑÔÓ Ð Ö ÕÙ Ö ÙÒ Ø Ð Ý Ø Ñ ÕÙ Ó Ø Ô Ð Ñ ÙÖ Ö Ò Ø ÒØ Ò Ñ ÒØ Ð Ú Ð ÙÖ Ù Ò Ð Ò ÐÓ ÕÙ º ÙØÖ Ñ ÒØ Ø Ð Ø ÑÔÓ Ð ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÒ Ý Ø Ñ Ô Ý ÕÙ ÓÒØ Ð Ö ÔÓÒ ÑÔÙÐ ÓÒÒ ÐÐ Ó Ø δ Ñ ÙÐ Ñ ÒØ Ý Ø Ñ ÕÙ ÒØ Ö ÒØ Ð Ò Ð ÙÖ ÙÒ Ò ØÖ Ø ÑÔÓÖ ÐÐ Ú Ð ÔÓÒ Ö Ø ÓÒ ³ÙÒ Ö ÔÓÒ ÑÔÙÐ ÓÒ ÐÐ Hº Ä Ò Ð ÒØ ÐÐÓÒÒ Ø ÐÓÖ f e (t) = ν e (f(t) H(t)) (ν e t) ÇÒ ÓÒ Ò Ð ÓÑ Ò Ô ØÖ Ð ˆf e (ν) = (T e ν) ( ˆf(ν)Ĥ(ν)) ³ Ø ÓÒ Ð ÑÓØ ˆf ÑÓ ÙÐ Ô Ö Ð ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò ÖØ Ù Ý Ø Ñ ³ ÕÙ Ø ÓÒ ÕÙ Ö Ô Ø º Ü ÑÔÐ Ð Ý Ø Ñ ÒØ Ö Ð Ò Ð ÙÖ ÙÒ Ò ØÖ Ø ÑÔÓÖ ÐÐ τ ÓÒ H(t) = ( ) t τ Π τ Ø ÓÒ Ä Ö ÕÙ Ò ÙÜ ÓÖ ÑÓØ ˆf ÓÒØ ØØ ÒÙ º Ĥ(ν) = sin(πντ) πντ

º º ÉÍ ÆÌÁ Á ÌÁÇÆ ³ÍÆ ËÁ Æ Ä ¾ º ÉÙ ÒØ Ø ÓÒ ³ÙÒ Ò Ð ÍÒ ÙØÖ ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÒÙÑ Ö ÕÙ Ñ ÒØ ÙÒ Ò Ð Ø ³ ÔÔÖÓ Ö Ð ÓÒØ ÓÒ t f(t) Ô Ö ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ò Ð Ö ³ Ø Ð ÕÙ ÒØ Ø ÓÒº ËÓ Ø q 0 Ð Ô ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ú Ö ÓÒ ÕÙ ÒØ f Ø f q (t) Ø ÐÐ ÕÙ f q (t) = nq (n /2)q f(t) < (n + /2)qº º ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ö Ø Ò ³ Ò ÐÝ Ö ÙÒ Ò Ð ÒÙÑ Ö ÕÙ ÓÒ Ó Ò ÔÓÙÚÓ Ö Ö Ð Ö ÒÙÑ Ö ÕÙ Ñ ÒØ ÙÒ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Öº ËÓ Ø f D(R, dt) ÙÒ Ò Ð Ò ÐÓ ÕÙ ÙÔÔÓÖØ ÓÖÒ º È Ö Ò Ø ÓÒ ÓÒ f e (t) = + k= f(kt e )δ(t kt e ) ÇÖ ÓÑÑ Ð ÙÔÔÓÖØ Ù Ò Ð Ø ÓÖÒ Ð Ü Ø T c Ø Ð ÕÙ t > T c Ø t < T c f(t) = 0º ÓÒ Ð³ ÜÔÖ ÓÒ ÔÖ ÒØ Ö Ù Ø f e (t) = +N/2 k= N/2 f(kt e )δ(t kt e ) Ó N Ø Ð ÒÓÑ Ö ÔÓ ÒØ ³ ÒØ ÐÐÓÒÒ Ò Ð ÙÔÔÓÖØ f 2Tc N = ÇÒ ÓÒ ÔÓÙÖ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ò T e ˆf e (ν) = = +N/2 k= N/2 +N/2 k= N/2 f(kt e ) f(kt e )e ı2πkνte δ(t kt e )e ı2πνt dt ÈÓÙÖ ÕÙ Ð Ò Ø ÓÒ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ö Ø ³ÙÒ Ò Ð ÒÙÑ Ö ÕÙ ÓÒÓÖ Ú Ð³ Ò¹ Ø ÐÐÓÒÒ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ³ÙÒ Ò Ð ÒØ ÐÐÓÒÒ ÓÒ ÔÓ Ò Ø ÓÒ ½¾ ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ö Ø µº ËÓ Ø f(t) = +N/2 k= N/2 f kδ(t kt e ) ÙÒ Ò Ð ÒÙÑ Ö ÕÙ º Ä ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ö Ø Ò Ð Ø ˆf(ν) = ˆf m = +N/2 m= N/2 +N/2 k= N/2 ˆf m δ(ν mν e ) f k e ı2πmk/n Ä Ô Ö Ó Ð³ ÒØ ÐÐÓÒÒ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ÕÙ Ø Ó Ø p = νe N Ò Ô Ô Ö Ö ³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÙÖ Ð Ò Ð Ø ÑÔÓÖ Ðº Ë ˆf Ø ÙÒ Ò Ð ÒÙÑ Ö ÕÙ Ò Ö ÕÙ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ö Ø ÒÚ Ö Ø ÕÙ ÙÖ f(t) = +N/2 n= N/2 f n δ(t nt e ) f n = N N/2 k= N/2 ˆf k e ı2πnk/n

¾ À ÈÁÌÊ º À ÆÌÁÄÄÇÆÆ Ä³ ÒØ ÐÐÓÒÒ Ù Ô ØÖ Ò Ù ÒØ ÙÒ Ô Ö Ó Ø Ù Ò Ð Ö Ø Ö ÔÖÓÕÙ Ù Ø Õ٠г Ò¹ Ø ÐÐÓÒÒ Ù Ò Ð Ò Ù Ø ÙÒ Ô Ö Ó Ø Ò Ð Ô ØÖ µ ÓÒ Ô ÙØ ØÖ Ò Ð Ø Ö Ð ÐÙÐ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ö Ø ˆf m = f n = N +N k=0 f k e ı2πmk/n N ˆf k e ı2πnk/n k=0 Ð ÙØ Ù Ø ÐÓÖ Ö ØØ ÒØ ÓÒ ÕÙ Ð Ö ÕÙ Ò ³ Ò ÙÔ Ö ÙÖ N/2 ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÜ Ö ¹ ÕÙ Ò Ò Ø Ú ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÓÙÖ Ð ÐØÖ µº Ò Ð ÔÖ Ø ÕÙ Ð ÐÙÐ ³ÙÒ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ö Ø Ò³ Ø Ô Ù Ð ÓÑÑ ÙÖ Ð ÒÓÑ Ö ÔÓ ÒØ ³ ÒØ ÐÐÓÒÒ ÕÙ Ô ÙØ ÔÖ Ò Ö ÙÓÙÔ Ø ÑÔ º ÈÓÙÖ Ö ÓÙ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ ÙØ Ð ÒÙÑ Ö ÕÙ Ñ ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ê Ô Ìµº