CHAPITRE 3 SERIES DE F OURIER

CHAPITRE 3 SERIES DE F OURIER 3. Séries trigonométriques Définition 3.. On appelle série trigonométrique réelle, toute série de fonctions de la forme : a a n cos(nωx)b n sin(nωx) () avec x R,ω>, a n, b n R, pour tout n dansn. Le problème est de déterminer l ensemble tel que la série () soit convergente pour tout x. Remarque 3.. Supposons que la série () converge et posons Sachant que pour tous n Net k Z : f (x) a a n cos(nωx)b n sin(nωx). cos (nω(xk/ω))cos(nωxnk)cos(nωx) sin (nω(xk/ω))sin(nωxnk)sin(nωx). Alors la série () converge en tout point de la forme x k ( ω, k Z. Si la série () converge dansr, on aura f (x) f x k ) et par suite la fonction f est ω périodique de période T/ω. En conclusion, les propriétés suivantes sont équivalentes : i) La série trigonométrique () converge dansr. ii) La série trigonométrique () converge dans [, /ω]. 4

SERIES DE F OURIER iii La série trigonométrique () converge dans [α, α /ω], α R Proposition 3.. Si les séries numériques ( a n ) et ( b n ) sont absolument convergentes alors la série trigonométrique () est normalement convergente sur R ; donc absolument et uniformément surr. Preuve : C est évident puisque a n cos(nωx)b n sin(nωx) a n b n. Proposition 3.. Si les suites numériques (a n ) et (b n ) sont décroissantes et tendent vers, alors la série trigonométrique () est convergente pour x k où k Z. ω Preuve : C est une application direct du théorème d Abel. Pour cela il suffit tout simplement de montrer que les sommes suivantes sont majorées indépendamment de m et n. pn pn S sin px C cos px. pm Commençons par calculer les sommes suivantes ; On a pour t k où k Z : pm pn pn pn C n is n cos pti sin pt (cos pti sin pt) p pn p p p e ipt e it e it e int ei(n)t e it ( cos(n)t) i sin(n)t ( cos t) i sin t i sin (n) ( t cos (n)t i sin (n)t ) ( i sin(t/) cos t i sin t ) sin (n) t i sin (n) t cos (n) t sin (t/) i sin(t/) cos(t/). sin (n) t cos (n)t sin(t/) sin (n) t sin(t/) ( cos nt i sin (n)t cos t i sin t ) nt i sin M r AMROUN NOUR-EDDINE 4

3. Séries trigonométriques D où l on tire : C n sin (n)t sin(t/) cos nt sin (n)t sin nt S n. sin(t/) Maintenant on peut majorer, on a : pn S sin pωx pm S n S m S n S m sin (n)ωx sin nωx sin mωx sin(ωx/) sin(ωx/) sin(ωx/) sin(ωx/) sin(ωx/) On a de même C n ; la série sin (m )ωx Les deux sommes étant majorées indépendamment de m et sin(ωx/) (a n cos nωxb n sin nωx) est donc convergente pour x k ω, k Z. 3.. Représentation complexe d une série trigonométrique D après les relations d Euler : cos(nωx) einωx e inωx et sin(nωx) einωx e inωx i la série () devient : a [ a n e inωx e inωx ] e inωx e inωx b n a [ i e inωx a n ib n e inωx a ] n ib n En posant : c n a n ib n ; c n c n a n ib n et c a, la série devient : c (c n e inωx c n e inωx )c c n e inωx c n e inωx c c n e inωx n c n e inωx c n e inωx Cette dernière expression est appelée forme complexe d une série trigonométrique. 43 M r AMROUN NOUR-EDDINE n Z

SERIES DE F OURIER 3.. Calcul des cœfficients de la série trigonométrique. Cas réel Mettons nous dans les conditions de convergence uniforme de la série trigonométrique () et posons f (x) a (a k cos(kωx)b k sin(kωx)). Alors k f (x) cos(nωx) a cos(nωx) [a k cos(kωx) cos(nωx)b k sin(kωx) cos(nωx)] k f (x) sin(nωx) a sin(nωx) [a k cos(kωx) sin(nωx)b k sin(kωx) sin(nωx)] k La convergence uniforme nous permet d avoir : /ω f (x) cos(nωx)dx a /ω /ω cos(nωx)dx a k cos(kωx) cos(nωx)dx k /ω. b k sin(kωx) cos(nωx)dx. k /ω f (x) sin(nωx)dx a /ω /ω sin(nωx)dx a k cos(kωx) sin(nωx)dx k /ω. b k sin(kωx) sin(nωx)dx. k Or on a : (À faire à titre d exercices.) /ω /ω /ω cos(kωx) cos(nωx)dx sin(kωx) sin(nωx)dx cos(nωx) sin(kωx)dx. On déduit alors les cœfficients par les expressions suivantes : { si k n /ω si kn { si k n /ω si kn a n ω /ω f (x) cos(nωx)dx b n ω /ω Ces expressions sont valables même pour n. Lemme 3.. f (x) sin(nωx)dx. Soit f une fonction périodique de période T > et intégrable dans l intervalle [, T]. Alors pour toutα R, on a T f (t)dt αt α f (t)dt. M r AMROUN NOUR-EDDINE 44

3. Séries de F ourier Preuve. La relation de Chasles nous permet d écrire : αt α f (t)dt f (t)dt a αt T changement de variables y t T. Ceci nous donne Donc αt α f (t)dt T α f (t)dt f (t)dt f (t)dt α T αt f (t)dt. Dans l intégrale T α f (yt)dy f (t)dt α f (t)dt Moyennant ce lemme, les cœfficients peuvent s écrire : f (y)dy. T f (t)dt. αt T f (t)dt on fait le a n ω /ω f (x) cos(nωx)dx ω α/ω α f (x) cos(nωx)dx α R. b n ω /ω f (x) sin(nωx)dx ω α/ω α En particulier siω, cas des fonctions -périodique ; f (x) sin(nωx)dx; α R. a n b n f (x) cos(nx)dx f (x) sin(nx)dx f (x) cos(nx)dx. f (x) sin(nx)dx. 3..3 Calcul des cœfficients de la série trigonométrique. Cas complexe /ω Or, On a f (x) c k e ikωx. k f (x) e inωx dx /ω c k e iωx(k n) dx. k /ω Les cœfficients sont alors donnés par la relation : { e iωx(k n) si k n dx /ω si kn. c n ω /ω f (x) e inωx dx ω α/ω α f (x) e inωx ; n Z. 3. Séries de F ourier Dans cette partie, on ne va considérer que les fonctions de période. A chaque fois on précisera les formules pour une période quelconque. Soit f :R R une application périodique de période T. On suppose que f (t) dt converge sur un intervalle I [α, α ] de longueur, α R. 45 M r AMROUN NOUR-EDDINE I

SERIES DE F OURIER Définition 3.. On appelle série de F ourier associée à f, la série trigonométrique avec a n Deux questions se posent : a [a n cos(nx)b n sin(nx)] f (x) cos(nx)dx et b n f (x) sin(nx)dx. La série de F ourier associée à f est-elle convergente?. En cas de convergence, peut-on dire que la série converge vers f? Rappelons la notion de discontinuité de première espèce. Définition 3.. Une fonction f admet une discontinuité de première espèce en un point x si les limites à droite et à gauche de x existent. (Celles-ci ne sont pas forcément égales sauf en cas de continuité.) Théorème 3.. ( Dirichlet) Soit f :R R une fonction périodique de période T satisfaisant aux conditions suivantes (appelées conditions de Dirichlet) : D) Les discontinuités de f (si elles existent) sont de première espèce et sont en nombre fini dans tout intervalle fini. D) f admet en tout point une dérivée à droite et une dérivée à gauche. Alors la série de F ourier associée à f est convergente et on a : a [a n cos(nx)b n sin(nx)] f (x) si f est continue en x f (x) f (x ) si f est discontinue en x De plus la convergence est uniforme sur tout intervalle où la fonction f est continue. Les notations f (x) et f (x ) représentent respectivement les limites à droite et à gauche de f au point x. Remarque 3.. Il y a un autre théorème équivalent au théorème (3..) dû à Jordan. Théorème 3.. (Jordan) Soit f :R R une fonction périodique de période T satisfaisant aux M r AMROUN NOUR-EDDINE 46

3. Séries de F ourier conditions suivantes : J) Il existe M> tel que f (x) M(i.e f est bornée) J) On peut partager l intervalle [α,α] en sous-intervalles [α,α [, [α,α 3 [..., [α n,α n ], avecα α etα n α tels que la restriction f soit monotone et continue. ]αj,α j [ Alors la série de F ourier associée à f est convergente et on a : a [a n cos(nx)b n sin(nx)] f (x) si f est continue en x f (x) f (x ) si f est discontinue en x De plus, la convergence est uniforme sur tout intervalle où f est continue. Remarque 3.. Nous allons étudier quelques cas particuliers. Rappelons d abord quelques propriétés. f : [ k, k] R une fonction intégrable sur [ k, k]. Si f est paire alors Si f est impaire k k k k f (x)dx f (x)dx. k f (x)dx. Si f est développable en série de F ourier : a) Si f est paire : a n f (x) cos(nx)dx f (x) cos(nx)dx car la fonction x f (x) cos(nx) est paire. b n car la fonction x f (x) sin(nx) est impaire b) Si f est impaire : a n car la fonction x f (x) cos(nx) est impaire. Résumé b n f (x) sin(nx)dx car la fonction x f (x) sin(nx) est paire. f fonction paire : a n f (x) sin(nx)dx b n, n N. f (x) cos(nx)dx. f fonction impaire : a n, n N. b n f (x) sin(nx)dx. 47 M r AMROUN NOUR-EDDINE

SERIES DE F OURIER Exemple 3.. Soit f :],] Rune fonction périodique, T définie par f (x)x.. Les discontinuités de f sont les points de la forme x k (k), k Z et sont de première espèce car f ()et f ( ). f est partout dérivable sauf aux points x k. En ces points nous avons : f (x) f () f (x) f () lim et lim. x x x x f vérifie les conditions de Dirichlet, donc développable en série de F ourier. f est impaire donc a a n et b n suite f (x) x sin(nx)dx ( ) n sin(nx) n Exemple 3.. Soit f : [,] R une fonction de période T, définie par f (x) x.. On a f (x). f [,] est décroissante continue et f [,] est croissante continue. x sin(nx)dx ( )n n et par f satisfait les conditions du théorème de Jordan donc développable en série de F ourier. De plus f est paire, ce qui nous donne b n. a f (x)dx xdx a n cos(nx)dx x si n pair x cos(nx)dx 4 si n impair n La série de F ourier converge alors vers f et on a f (x) cos(n)x. (n) Puisque f est continue, la convergence est uniforme. Remarquons enfin que l égalité f () se traduit par 4 et par conséquent (n) 8 (n). Une des particularités des séries de F ourier est le calcul des sommes de certaines séries numériques. 3.. Développement en série de F ourier de fonctions non périodiques Il est clair que le développement en série de F ourier se pratique sur les fonctions périodiques. Cependant, il est possible, dans certains cas, de faire de tels développements pour des fonctions quelconques. Soit f : [a, b] R une fonction non périodique définie sur l intervalle [a, b]. Soit g :R R une fonction périodique de période T b a telle que la restriction g [a,b] f. Si g satisfait M r AMROUN NOUR-EDDINE 48

3. Séries de F ourier les conditions de Dirichlet, on aura : g(x) a [a n cos(nωx)b n sin(nωx)] avec a n et b n les cœfficients de F ourier associés à g. La somme de cette série coïncide partout avec f dans l intervalle [a, b] sauf peut-être aux points de discontinuités de f. Remarque 3..3 Soit f :],l[ R une fonction quelconque, etl>. On suppose que f peut-être prolongée sur ] l, [ et que les conditions de Dirichlet ou de Jordan soient satisfaites. Dans ce cas, on a le choix sur ce prolongement. On peut choisir soit un prolongement pair soit un prolongement impair pour éviter les longs calculs des cœfficients. Exercice Donner une série de Fourier de période qui coïncide sur ],[ avec la fonction f (x)e x. Réponse : Ici on ne précise que l intervalle où la série de Fourier coïncide avec f, c est à dire ],[. Comme la période de la série de Fourier est, il y a alors une infinité de réponses ; examinons trois cas différents. Notons f i, i,, 3, le prolongement de f àrtout entier. f i sera une fonction de période qui vaut exactement e x pour tout x dans ],[. a) Choisissons un prolongement pair et posons : f { e x si x ],[ (x) e x si x ], [. On vérifie aisément que f est une fonction paire. Posons f () et f ()e, on a alors un prolongement continue surr. Le graphe de f et celui de la série de Fourier seront identiques. Le calcul des cœfficients donne : a (e ), a n ( )n e et b n n. On a alors : S (x) e ( )n e { e x si x [,] cos(nx) n e x si x [, ] e FIG. 3. graphe de la fonction f (x) e FIG. 3. graphe de la fonction S (x) identique à celui de f 49 M r AMROUN NOUR-EDDINE

SERIES DE F OURIER b) Choisissons un prolongement impair et posons : f (x) { e x si x ],[ e x si x ], [. On remarque que f est une fonction impaire mais n est pas continue surr.elle est discontinue en tout point de la forme k, k Z. Le calcul des cœfficients donne : a n n N, b n n ( ( )n e ). (n ) On a alors : n ( ( ) n e e ) x si x ],[ S (x) sin(nx) (n ) e x si x ], [ si xou x± e 3 3 e FIG. 3.3 graphe de la fonction f (x) e 3 3 e FIG. 3.4 graphe de la série S (x) c) Choisissons un prolongement ni pair ni impair et posons : f3 (x)e x si x ],[. On remarque que f est une fonction discontinue en tout point de la formek, k Z. On a le résultat final : S 3 (x) e e ( ) n ( ) e x si x ],[ cos(nx) n sin(nx) n e e si x±. On a obtenu trois séries différentes qui valent exactement e x sur l intervalle ],[. On pouvait choisir d autres prolongements et obtenir d autres séries. M r AMROUN NOUR-EDDINE 5

3. Séries de F ourier e FIG. 3.5 graphe de la fonction f 3 (x) 3 e e e FIG. 3.6 graphe de la série S 3 (x) Remarque 3..4 Si on voulait une série de Fourier de période, alors il n y a qu une seule qui coïncide avec f sur ],[. On trouve ; S 4 (x) (e ) ( ) cos(nx) n sin(nx) 4n e x si x ],[ e si 3 xou x. e e 3 FIG. 3.7 graphe de la série S 4 (x) 3.. Égalité de Parseval Théorème 3..3 Égalité de Parseval : Soit f une fonction développable en série de F ourier et de période T >, alors on a pourαréel quelconque : ω a (a n b n )ω α/ω α f (x)dx c n n Z c n a n ib n et c n a n ib n où n N. 5 M r AMROUN NOUR-EDDINE

SERIES DE F OURIER Remarque 3..5. Si f est de période, on a : a (a n b n) f (x)dx f (x)dx. f fonction paire f fonction paire a a n f fonction impaire f fonction paire b n f (x)dx f (x)dx M r AMROUN NOUR-EDDINE 5

3.3 Applications 3.3 Applications Exemple 3.3. f étant une fonction -périodique telle que : f (x) { si x ],[ si x ], [ -5-4 -3 - - - 3 4 5 FIG. 3.8 graphe de la fonction f (x) f étant une fonction impaire a n, n N On a : b n sin(nt)dt si n est pair n ( ( )n ) 4 si n est impair n La série de F ourier associée est : S(x) 4 n sin(n)x n { si x ],[ si xou si x -5-4 -3 - - 3 4 5 - FIG. 3.9 graphe de la fonction S(x) Remarque 3.3. :Pour x/ on a S(/) 4 On tire : n Appliquons l égalité de Parseval : n sin(n )/ n ( ) n n 3 5 7 4 f (t)dt n 6 (n) 4 n ( ) n n. 53 M r AMROUN NOUR-EDDINE

SERIES DE F OURIER et l on tire donc : n (n) 8 Remarque 3.3. Posons S n séparant les pairs et les impairs on a : S 4n 4 S S 4 n série convergente d après le critère de Riemann. En (n) n S n ; en substituant dans l égalité ( ) on a : 4 3S (n) 4 n (n) 8 S (n) ( ). Comme n 6 (n) La méthode complexe : c n i ( )n n e int f (t)dt /(a n ib n ) ( e int dt e int dt ) ( e int in ) ( e int in ) Exemple 3.3. f étant une fonction -périodique telle que : f (x) x si x [,] f étant une fonction paire b n, n N On a : a t dt t dt ( ) t. Puis on a : a n t cos nt dt t cos nt dt ( [t ] sin nt ) sin nt n n dt sin nt dt ( ) cos nt ( ( ) n ) si n est pair 4 n n n n si n est impair n La série associée est donc : S(x) 4 n cos(n)x (n). f étant une fonction continue sur R, et admet partout des dérivées à droite et à gauche alors f (x)s(x), x R. M r AMROUN NOUR-EDDINE 54

3.3 Applications FIG. 3. graphe de la fonction f (x) et celui de S(x). Remarque 3.3.3 pour x on a f () et comme f ()S() on tire : S() 4 (n) (n) 8 n n L égalité de Parseval donne : f (t)dt t dt 3 4 6 (n) 4 Remarque 3.3.4 En écrivant S n n (n) 44 96 n 4 On déduit alors : 5S 6 (n) 44 96 n (n) 4 n 44 9 Exemple 3.3.3 f étant une fonction -périodique telle que : n f (x)x si x ],[ (n) 4. 3 3 FIG. 3. graphe de la fonction f (x). f est une fonction impaire, continue pour tout x R sauf aux points x(k), k Z. Elle admet en chaque point une dérivée à droite et une dérivée à gauche. elle admet un 55 M r AMROUN NOUR-EDDINE

SERIES DE F OURIER développement en série de F ourier. f : impaire a n, n N, et l on a : b n t sin(nt)dt [ ( t ) cos nt ] cos nt n n dt ( )n n S(x) ( ) n f (x) si x (k) avec k Z sin nx n si x(k) avec k Z 3 3 FIG. 3. graphe de la fonction S(x). Remarque 3.3.5 En appliquant l égalité de Parseval, on obtient : 4 n t dt 3 n 6 Exemple 3.3.4 f étant une fonction -périodique telle que : f (x)x si x ],] f est une fonction paire, continue pour tout x R. Elle admet en chaque point une dérivée à droite et une dérivée à gauche. elle admet un développement en série de F ourier. y - -6-5 -4-3 - - 3 4 5 6 x a FIG. 3.3 graphe de la fonction f (x) et celui de S(x) f : paire b n, n N, et l on a : t dt 3 M r AMROUN NOUR-EDDINE 56

3.3 Applications a n t cos nt dt ([ ] t sin nt ) t sin nt dt n n 4 t sin nt dt 4 ( [t ] cos nt ) cos nt n n dt 4( )n n Comme f est continue surr ; on a donc f (x)s(x) et donc : S(x) 3 4( ) n Le graphe de f et celui de S sont identiques. n cos nx f (x) x R Remarque 3.3.6 Pour x, on a f ()S()ce qui donne ( ) n n Exemple 3.3.5 f étant une fonction de périodique, telle que : f (x) x si x< si x< y - -6-5 -4-3 - - -½ O 3 4 5 x 6 FIG. 3.4 graphe de la fonction f (x) f n est ni paire ni impaire et ne présente des discontinuités que pour les points d abscisses un nombre entier positif ou négatif. f admet alors un développement de F ourier. On a p ω ω. /ω a ω f (t)dt f (t)dt t dt /ω cos nt a n t cos nt dt dt ( )n n sin nt b n t sin nt dt La série de F ourier associée à f est donc : dt ( )n n dt S(x) n cos(n )x (n) sin nx n 57 M r AMROUN NOUR-EDDINE

SERIES DE F OURIER En prenant les demis sommes aux points de discontinuité on a pour x [, [ : n cos(n )x (n) sin nx n 4 si x x si <x< 3 si x 4 si <x< y - 3/ 4 - -½ / 4 x -6-5 -4-3 - - O 3 4 5 6 FIG. 3.5 graphe de la fonction S(x) Exemple 3.3.6 Donner la série de F ourier en sinus de la fonction : f (x)cos x pour x ],[. On va faire un prolongement en fonction impaire de la fonction f. Comme la fonction sinus est de période, posons alors : { f f (x) cos x si x ],[ (x) f ( x) cos x si x ], [ La fonction f est une fonction impaire de période, continue partout sur R sauf aux points xk où k Z, où elle n est pas définie, et coïncide avec la fonction f sur ],[. Elle admet donc un développement de F ourier. Comme f est impaire, a n, et on a : b n cos x sin nx dx ( ) sin(n)xsin(n )x dx [ cos(n)x cos(n )x ] n(( )n ) si n. n n (n ) Pour, b cos x sin x dx finalement on a : 8n b n et b n (4n ) x ],[ cos x sin x dx 8n sin nx (4n ) M r AMROUN NOUR-EDDINE 58

3.3 Applications Remarque 3.3.7 La demi somme aux points de discontinuité est égale à. On a donc : ] [ cos x si x k, (k) S(x) 8 k Z n sin nx 4n ] [ cos x si x (k), (k) k Z si xk, k Z La fonction S(x) est périodique de période. - - - FIG. 3.6 graphe de la fonction S(x) Quelques développements intéressants..α R/Z et x [,] cosαx α sinα α ( ) n cos nx (n α ). Fonction impaire de période l. 3. sinx l 4 sin nx n ( ) n n nx sin 4n l sin x l pour x< l pour l < x l pour x l x pour <x< x pour <x< pour x, x, x. 59 M r AMROUN NOUR-EDDINE

SERIES DE F OURIER 4. 5. cos nx n sin nx n 3 3x 6x 3x 6x x 3x x x 3x x pour x pour x pour x pour x M r AMROUN NOUR-EDDINE 6