Fonctions Arcsin,Arccos,Arctan Professeur : Christian CYRILLE 5 octobre 008 Théorème de la bijection Soit f une fonction numérique d'une variable réelle dénie sur un intervalle I de R. Si f est continue sur I et si f est strictement monotone sur I alors f réalise une bijection de I sur l'intervalle J = f < I >. Ce qui entraîne l'existence d'une bijection réciproque f de J dans I qui à tout y de f < I > associe f (y) = l'antécédent de y par f dans I. De plus, f est continue sur J et f a le même sens de variation sur J que f sur I. Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives de f et de f sont symétriques par rapport à la première bissectrice des axes : la droite (D) d'équation y = x
La fonction Arcsinus. Dénition Soit f la restriction de sin à I = [ π ; π ]. f est continue sur I f est strictement croissante sur I alors f réalise une bijection de I sur l'intervalle J = f < I >= [ ; ] Ce qui entraîne l'existence d'une bijection réciproque f notée Arcsin : [ ; ] I = [ π ; π ] y f (y) = l'antécédent de y par sin dans [ π ; π ].. Graphique Arcsin( ) = π car sin( π ) = Arcsin( ) = π car sin( π ) = Arcsin( ) = π 4 car sin( π 4 ) = Arcsin( ) = π 6 car sin( π 6 ) = Arcsin(0) = 0 car sin(0) = 0 Arcsin( ) = π 6 car sin(π 6 ) = Arcsin( ) = π 4 car sin(π 4 ) = Arcsin( ) = π car sin(π ) = Arcsin() = π car sin(π ) =
La fonction Arccosinus. Dénition Soit f la restriction de cos à I = [0; π]. f est continue sur I f est strictement décroissante sur I alors f réalise une bijection de I sur l'intervalle J = f < I >= [ ; ] Ce qui entraîne l'existence d'une bijection réciproque f notée Arccos : [ ; ] I = [0; π]. Graphique y f (y) = l'antécédent de y par cos dans [0; π]. Arccos( ) = π car cos(π) = Arccos( ) = 5π 6 car cos(5π 6 ) = Arccos( ) = π 4 car cos(π 4 ) = Arccos( ) = π car cos(π ) =
Arccos(0) = π car cos(π ) = 0 Arccos( ) = π car cos(π ) = Arccos( ) = π 4 car cos(π 4 ) = Arccos( ) = π 6 car cos(π 6 ) = Arccos() = 0 car cos(0) = 4
4 La fonction Arctangente 4. Dénition Soit f la restriction de tan à I =] π ; π [. f est continue sur I f est strictement croissante sur I alors f réalise une bijection de I sur l'intervalle J = f < I >=] ; [= R Ce qui entraîne l'existence d'une bijection réciproque f notée Arctan : R I =] π ; π [ y f (y) = l'antécédent de y par tan dans ] π ; π [. 4. Graphique lim x Arctan(x) = π Arctan( ) = π car tan( π ) = Arctan( ) = π 4 car tan( π 4 ) = Arctan( ) = π 6 car tan( π 6 ) = Arctan(0) = 0 car tan(0) = 0 Arctan( ) = π 6 car tan(π 6 ) = Arctan() = π 4 car tan(π 4 ) = Arctan( ) = π car tan(π ) = lim x + Arctan(x) = π 5
5 Propriétés des fonctions circulaires réciproques. Arcsin est impaire car : y D Arcsin on a y D Arcsin puisque D Arcsin = [ ; ] soit y [ ; ] alors x [ π ; π ] tel que y = sin(x). Cet x est Arcsin(y). Mais comme y = sin(x) alors y = sin(x) = sin( x). Or x [ π ; π ] puisque x [ π ; π ] Donc x = Arcsin( y) d'où Arcsin( y) = x = Arcsin(y). CQFD. Arccos n'est ni paire ni impaire car bien que y D Arcsin on a y D Arcsin puisque D Arcsin = [ ; ] on a Arccos( ) Arccos() et Arccos( ) Arccos(). En eet, Arccos( ) = π puisque cos( π) = et Arccos() = 0 puisque cos(0) =. Arctan est impaire car : y D Arctan on a y D Arctan puisque D Arctan = R soit y R alors x ] π ; π [ tel que y = tan(x). Cet x est Arctan(y). Mais comme y = tan(x) alors y = tan(x) = tan( x). Or x ] π ; π [ puisque x ] π ; π [ Donc x = Arctan( y) d'où Arctan( y) = x = Arctan(y). CQFD 4. y [ ; ] sin(arcsin(y)) = y 6
5. y [ ; ] cos(arccos(y)) = y 6. y R tan(arctan(y)) = y 7. x R Arcsin(sin(x)) = la mesure α située dans [ π ; π ] telle que sin(α) = sin(x) x kπ si x [ π c est + kπ; π + kπ] π x + kπ si x [ π + kπ; π + kπ] 8. x R Arccos(cos(x)) = la mesure α située dans [0; π] telle que cos(α) = cos(x) { c x kπ si x [0 + kπ; π + kπ] est π x + kπ si x [π + kπ; π + kπ] 9. x R { π + kπ/k Z} Arctan(tan(x)) = la mesure α située dans ] π ; π [ telle que tan(α) = tan(x) x kπ si x ] π + kπ; π + kπ[ c est x π kπ si x ] π + kπ; π + kπ[ avec k 0 0. y [ ; ] sin(arccos(y)) = y y [ ; ] sin (Arccos(y)) = cos (Arccos(y)) = y donc sin(arccos(y)) = ± y. Mais comme Arccos(y) [0; π] alors sin(arccos(y)) 0 donc sin(arccos(y)) = y. y [ ; ] cos(arcsin(y)) = y y [ ; ] cos (Arcsin(y)) = sin (Arcsin(y)) = y donc cos(arcsin(y)) = ± y. Mais comme Arcsin(y) [ π ; π ] alors cos(arcsin(y)) 0 donc cos(arcsin(y)) = y. y [ ; ] Arcsin(y) + Arccos(y) = π y [ ; ] sin(arcsin(y)+arccos(y)) = sin(arcsin(y))cos(arccos(y))+sin(arccos(y))cos(arcsin(y)) = yy + y y = y + y =. Or π Arcsin(y) π et 0 Arccos(y) π donc π Arcsin(y) + Arccos(y) π. Or la seule mesure d'angle située dans [ π ; π ] et dont le sinus vaut est π. Par conséquent, Arcsin(y) + Arccos(y) = π 7
. Arcsin est dérivable sur ] ; [ et y ] ; [ (Arcsin) (y) = y f la restriction de sin à ] π ; π [ y est dérivable et y admet pour nombre dérivé cos(x) qui ne s'y annule jamais car cos(x) > 0 sur ] π ; π [. Donc Arcsin est dérivable sur ] ; [ et y ] ; [ (Arcsin) (y) = sin (Arcsin(y)) = cos(arcsin(y)) = y 4. Arccos est dérivable sur ] ; [ et y ] ; [ (Arccos) (y) = y f la restriction de cos à ]0; π[ y est dérivable et y admet pour nombre dérivé sin(x) qui ne s'y annule jamais car sin(x) < 0 sur ]0; π[. Donc Arccos est dérivable sur ] ; [ et y ] ; [ (Arccos) (y) = cos (Arccos(y)) = sin(arcsin(y)) = y Autre méthode : y [ ; ] Arcsin(y)+Arccos(y) = π donc Arccos(y) = π Arcsin(y) Par conséquent, Arccos (y) = ( π ) Arcsin (y) = 0 = y y 5. Arctan est dérivable sur R et y R (Arctan) (y) = + y f la restriction de tan à ] π ; π [ y est dérivable et y admet pour nombre dérivé +tan (x) qui ne s'y annule jamais car +tan (x) > 0 sur ] π ; π [. Donc Arctan est dérivable sur R et y R (Arctan) (y) = + tan (Arctan(y)) = + y tan (Arctan(y)) = 8