Fondamentaux d'algèbre et de trigonométrie

Fondamentaux d'algèbre et de trigonométrie I Fonctions trigonométriques 1) cercle trigonométrique On considère un repère orthonormé (O ; I, J) Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1, centré en O Tout point M de ce cercle est repéré par un nombre réel x correspondant à la longueur de l'arc IM, affectée d'un signe (le «+» correspondant au sens trigonométrique, c'est-à-dire celui opposé au sens des aiguilles d'une montre) cos(x) et sin(x) sont alors les coordonnées du point M dans le repère (O ; I, J) Pour tout réel x, on a : cos xsin x=1 Il suffit d'appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle d'hypoténuse OM Soit la droite D, la parallèle à la droite (OJ) passant par I Lorsque M n'appartient pas à (OJ), D et (OM) ne sont pas parallèles donc elles sont sécantes en un point K On appelle alors tan(x) la longueur algébrique (IK) 1

Pour tout réel x n'appartenant pas à Z, on a : tan x= sin x cos x Il suffit d'appliquer le théorème de Thalès dans le triangle OIK ) valeurs remarquables x 0 sin(x) 0 cos(x) 1 tan(x) 0 6 1 3 1 3 4 3 3 1 1 3 non défini 1 0 3) fonctions sinus, cosinus et tangente Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur R Elles sont - périodiques La fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire On a donc, pour tout réel x : sin x =sinx ; cosx=cosx ; cos x=cos x ; sin x= sin x On a de plus : sin x=sin x ; cos x= cos x ; sin x= sin x ; cos x= cos x ; cos x = sin x ; sin x =cos x ; cos x =sin x ; sin x =cos x Ce sont des conséquences immédiates de la définition du cosinus et du sinus d'un réel représenté sur le cercle trigonométrique Représentations graphiques

La fonction tangente est définie sur R { k k Z } par tan x= sin x cosx Elle est - périodique et impaire On a donc, pour tout réel x n'appartenant pas à Z : tan x=tan x ; tan x= tan x On a de plus : tan x= tan x Il suffit d'utiliser les propriétés des fonctions sinus et cosinus Représentation graphique 4) formules de trigonométrie Formules d'addition (admises) a et b sont deux réels Les formules suivantes sont valables lorsqu'elles sont bien définies cosab =cosa cosb sin asin b cosa b =cosa cosbsinasin b sin ab=sin a cosbsin bcosa sin a b=sin a cosb sinbcos a tanatan b tan a tanb tan ab= tan a b= 1 tan atan b 1tan a tan b Exercice Calculer une valeur exacte de cos On a : 1 = 3 4 Donc, on peut écrire : 1 ;sin 1 et tan 1 cos 1 =cos 3 4 =cos 3 cos 4 sin 3 sin 4 =1 3 = 6 4 sin 1 =3 1 = 6 4 tan 1 = 3 1 13 1 = 3 1 = ; 3 31 = 3 ; 3

Formules de duplication (admises) a et b sont deux réels Les formules suivantes sont valables lorsqu'elles sont bien définies cos a =cos a sin a = cos a 1=1 sin a ; sin a=sin acos a ; tan a tan a = 1 tan a De ce qui précède, on déduit : cos a= 1cosa Exercice Calculer une valeur exacte de cos On a : cos sin 8 = 1cos 8 = 1 cos 8 et sin 8 4 = Donc, on peut écrire : 8 4 1 = = donc cos 4 4 1 = = donc sin 4 et sin 1 cos a a= 8 = 4 8 = 4 5) fonctions trigonométriques réciproques (admise) La fonction arcsin:[ 1;1] [ ; ] sin : [ ; ] [ 1 ;1] = = car cos 8 0 car sin 8 0 est l'application réciproque de la fonction Elles est continue et strictement croissante sur [-1 ; 1] C'est une fonction impaire Pour tout x [ 1;1], arcsin (sin (x)) = x Pour tout y [ ; ], sin(arcsin(y) = y Représentation graphique 4

x -1 3 1 0 1 3 1 arcsin(x) 3 4 6 0 6 4 3 (admise) La fonction arccos :[ 1 ;1][0 ;] est l'application réciproque de la fonction cos:[0;][ 1 ;1] Elle est continue et strictement décroissante sur [-1 ; 1] Elle n'est ni paire, ni impaire Pour tout x [ 1;1], arccos (cos(x)) = x Pour tout y [0;], cos(arccos (y)) = y Représentation graphique x -1 3 1 0 1 3 1 arccos(x) 5 6 3 4 3 3 4 6 0 Pour tout x [ 1;1], on a : sin arccosx=cosarcsin x=1 x sin arccos x=1 cos arccosx=1 x cosarcsin x=1 sin arcsinx=1 x 5

(admise) La fonction arctan : R ] ; [ est l'application réciproque de la fonction tan : ] ; [ R Elle est continue et strictement croissante sur R C'est une fonction impaire Pour tout x R, arctan (tan(x)) = x Pour tout y ] ; [, tan (arctan(y)) = y Représentation graphique x 3-1 1 3 arctan(x) 3 4 6 0 0 1 3 6 1 3 4 3 II Nombres complexes 1) notion de nombre complexe Théorème (admis) Il existe un ensemble noté C, appelé ensemble des nombres complexes, qui possède les propriétés suivantes : C contient l'ensemble des nombres réels ; l'addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes ; il existe un nombre complexe noté i tel i = 1 (on note également j = 1 ) ; tout complexe z s'écrit de manière unique z=aib ou z=a jb, avec a et b réels 6

L'écriture, z=aib avec a et b réels, est appelée forme algébrique du nombre complexe z a est appelée la partie réelle de z, notée Rz et b est appelée la partie imaginaire de z, notée I z z=3i est un imaginaire pur Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire C'est une conséquence de l'unicité de l'écriture algébrique d'un nombre complexe Remarque En particulier z=aib=0 équivaut à a=b=0 Dans le plan muni d'un repère orthonormal O ;u, v, à tout point M correspond un couple de coordonnées réelles (a ; b) Réciproquement, à tout couple de réels correspond un unique point du plan Ainsi, on peut établir une correspondance entre les points du plan et les nombres complexes ; c'est l'objet de la définition suivante Le nombre complexe aib est l'affixe du point Le point M a ;b ou du vecteur OM a M a ;b est l'image du complexe aib et le vecteur OM a image du complexe aib b b est le vecteur 7

Pour tout nombre complexe z de forme algébrique, aib le conjugué de z est le nombre complexe a ib Le conjugué de z est noté z On lit «z barre» s 3i= 3i ; 4 i= 4i ; = ; 3i= 3i (admise) Dans le plan complexe, le point M' d'affixe z est l'image du point M d'affixe z par la symétrie par rapport à l'axe des abscisses z est un nombre complexe z est réel équivaut à z=z z est imaginaire pur équivaut à z= z z=z aib=a ib i b=0 b=0 z= z a ib= a ib a=0 a=0 z = a+ ib est un nombre complexe zz=r z z z=i I z z z=a b zz=aiba ib=a= Rz z z=aib aib=ib=i Iz z z=aiba ib=a i b =a b 8

) module et argument d'un nombre complexe z=aib est un nombre complexe On appelle module de z, le nombre réel positif a b On note z = a b Remarques Dans le plan complexe, si M a pour affixe z, alors OM = z C'est une conséquence du théorème de Pythagore Si x est un nombre réel, alors le module de x est égal à la valeur absolue de x z =0 équivaut à z = 0 z z=a b = z Dans le plan complexe, z est un nombre complexe non nul de point image M On appelle argument de z et on note arg(z) toute mesure en radians de l'angle orienté u,om Représentation graphique s arg 1=0 ; arg i= ; arg 3= ; arg i= ; arg 1i= 4 Remarques Un réel strictement positif a un argument égal à 0 et un réel strictement négatif à un argument égal à On a donc la propriété suivante : z R z=0 ou arg z=0 Un imaginaire pur avec une partie imaginaire strictement positive a un argument égal à et un imaginaire pur avec une partie imaginaire strictement négative a un argument égal à z i R z=0 ou arg z= On a donc la propriété suivante : 9

Rappel Dans le plan complexe, un point M distinct de O peut être repéré par ses coordonnées cartésiennes (a ; b) ou par ses coordonnées polaires r,, où r = OM et =u,om On a alors a=r cos et b=r sin z est un nombre complexe non nul L'écriture z=r cosi sin, avec r= z et =arg z, est appelée forme trigonométrique de z Deux nombres complexes non nuls sont égaux si, et seulement si, ils ont même module et même argument (défini à près) C'est une conséquence de l'unicité de l'écriture algébrique et des définitions du module et d'un argument d'un nombre complexe s du module Pour tous nombres complexes z et z ', on a : zz ' z z' (inégalité triangulaire) ; zz ' = z z ' ; Pour tout entier naturel n, z n = z n ; Si de plus, z est non nul, on a : z ' ' z = z z M et M' sont deux points d'affixes respectives z et z' On considère le point S du plan défini par OS=OM OM ' Alors OS a pour affixe z + z' Par conséquent, on a : OS= zz ' ; OM = z et MS=OM '= z ' On applique l'inégalité triangulaire au triangle OMS : OS OM MS, c'est-à-dire : zz ' z z' zz ' = zz ' zz '= z z z' z '= z z ' On effectue une démonstration par récurrence Soit P(n) la propriété définie pour tout entier naturel n par : z n = z n P(0) et P(1) sont évidentes P() est vraie d'après le résultat sur le module du produit de deux nombres 10

complexes Soit n, on suppose P(n) et on démontre P(n + 1) z n1 = z n z = z n z (car P() est vraie) Or P(n) est vraie donc z n = z n D'où z n1 = z n z = z n z = z n1, ce qui est P(n + 1) On a prouvé P(0), P(1), P() et pour tout n, P n P n1 Du principe de récurrence, on déduit que pour tout entier naturel n, on a P(n), donc : z n = z n z ' z = z' 1 z = z' 1 z = z ' 1 z 1 1 1 ' = z ' = z ' = z z z z z z s des arguments Pour tous nombres complexes non nuls z et z', on a : arg zz ' =arg zarg z ' [ ] ; Pour tout entier naturel n, arg z n =n arg z [ ] ; arg z ' z =arg z ' argz [] z=r cosisin et z '=r' cos' isin ' zz '=rr ' cos cos' sin sin 'isin cos'sin ' cos zz '=rr ' cos' isin ' D'où arg zz ' =arg zarg z ' [ ] On effectue une démonstration par récurrence Soit P(n) la propriété définie pour tout entier naturel n par : arg z n =n arg z [ ] P(0) et P(1) sont évidentes P() est vraie d'après le résultat sur l'argument du produit de deux nombres complexes Soit n, on suppose P(n) et on démontre P(n + 1) arg z n 1 =arg z n z=arg z n argz [] (car P() est vraie) Or P(n) est vraie donc arg z n =n argz [] Par conséquent, on a : arg z n 1 =arg z n argz [] arg z n 1 =n arg zarg z [] arg z n 1 =n1 arg z [ ] Ce qui est P(n + 1) On a prouvé P(0), P(1), P() et pour tout n, P n P n1 Du principe de récurrence, on déduit que pour tout entier naturel n, on a P(n), donc : arg z n =n argz [ ] arg z ' z =arg z ' 1 z =argz ' arg 1 z [] Or arg zarg 1 z =arg z 1 =arg 1=0 z [] arg 1 z = arg z [] donc 11

D'où arg z ' z =arg z 'arg 1 z =arg z' argz [ ] Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal O ;u,v, on considère les points A et B d'affixes respectives z A et z B Alors : AB= AB = z B z A Si de plus A et B sont distincts, on a : u,ab =arg z B z A z B z A est l'affixe du vecteur OB OA, c'est-à-dire le vecteur AB, d'où les deux résultats Conséquence Soient A, B, C et D quatre points deux à deux distincts d'affixes respectives z A,z B, z C et z D Alors AB,CD=arg z D z C z B z A =arg z z argz z D C B A En effet, on a : AB,CD=AB, u u,cd=u,cd u,ab=arg z D z C arg z B z A =arg z D z C z B z A 3) écriture exponentielle Notation On note : cosi sin =e i s e i 0 =e i =1 ; e i =e i = 1 ; e i =i ; e i = i ; e i 3 = 1 i 3 s et ' sont deux réels, n est un entier naturel e i =1 et arg e i = [] e i e i ' =e i ' e i ' ; e i =ei' ; e i =e i e i n =e i n (formule de Moivre) cos= ei e i et sin = ei e i i (formules d'euler) Ces résultats découlent immédiatement du fait que e i est un complexe de module 1 et d'argument et des propriétés du module et des arguments 1

Remarque La formule de Moivre s'écrit également cosi sin n =cosni sin n s 1 À l'aide de la formule de Moivre, exprimer cos 3 x et sin 3 x en fonction de cos x et sin x cos3 xi sin 3 x=cos xisin x 3 =cos x 3 3cos x isin x3 cos x i sin x i sin x 3 =cos 3 x3i cos xsin x 3 cos xsin x i sin 3 x D'où cos3 x=rcos3 xi sin 3 x=cos 3 x 3cos xsin x et sin 3 x=icos3 xi sin 3 x=3cos xsin x sin 3 x En utilisant les formules d'euler, linéariser l'expression cos3 xsin x cos3 xsin x= e3i x e 3i x ei x e i x i = e4i x e i x e i x e 4i x 4i = 1 sin 4 x sin x z est un nombre complexe non nul L'écriture z=r e i avec r= z et =arg z est appelée forme exponentielle de z s 1 Écrire sous forme algébrique les nombres complexes : 3e i =3 cos i sin =30 i= 3i e 3 i 4 = cos 3 4 isin 3 4 = i = 1i ; 6e i =6 3 cos 3 i sin 3 =6 1 i 3 = 33 3i 3e i ; e 3i 4 ; 6e i 3 Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes : 5i ; 44i ; 3 i 5 5i=5e i ; 44 i = 4 4 =3=4 ; cos= 4 4 = ainsi 44i=4 e i 4 ; 3 i = 3 1 = 4= ; cos= 3 ; sin = 4 4 = d'où = 4 ; ; sin = 1 d'où = 6 ; ainsi 3 i=e i 6 ; de la formule de Moivre, on déduit que 3 i 5 = 5 e i 5 6 =3e i 5 6 13

4) équations du second degré a) cas d'une équation du second degré à coefficients réels Soit a un réel Si a0 alors l'équation z =a a exactement deux solutions réelles : a et a Si a=0 alors l'équation z =a a exactement une solution réelle : 0 Si a0 alors l'équation z =a a exactement deux solutions imaginaires pures : i a et i a Si a0 alors l'équation z =a est équivalente à z a z a=0, d'où les deux solutions réelles : a et a Si a=0 alors l'équation z =a devient z =0 et par conséquent z = 0 Si a0 alors l'équation z =a est équivalente à z a=0 z a=0 z i a=0 z i a zi a=0 D'où les deux solutions imaginaires pures : i a et i a On considère l'équation z = dans C Alors cette équation a deux solutions : i et i Vérification : i = 1 = De même pour l'autre solution Préliminaire Pour tout complexe z, a z bzc=a z b a z c a =a z b a =b 4ac Si 0 ou si =0, on retrouve les solutions réelles (cf résolution dans R ) Si 0 alors 4 a =i 4 a = i d'où : a a i a =a a z b a 4 a =a z b avec 4 a z b i a z bi a L'équation a z b zc=0 (où a, b, c sont réels et a 0 ) de discriminant =b 4 ac admet : si 0, deux solutions réelles : z 1 = b a si =0, une solution réelle : z 0 = b a ; et z = b a ; 14

si 0, deux solutions complexes conjuguées : z 1 = b i a z = bi a et Résoudre dans C l'équation z z1=0 On calcule le discriminant =b 4ac =1 4 1 1=1 4= 3 Comme 0 alors l'équation admet deux solutions : z 1 = 1 i 3 et z = 1i 3 b) racines carrées d'un nombre complexe non nul Soient Z =X iy et z=xiy deux nombres complexes non nuls tels que Z =z Z =z X iy =xiy { x y = X xy=y On peut ajouter à ce dernier système d'équations, celle obtenue en considérant les modules : x y = z = Z = X Y = 1 X X Y D'où : Z =z {x y = 1 X X Y xy=y La troisième équation est utilisée pour les signes de x et y Les deux racines carrées ainsi obtenues sont opposées l'une de l'autre Calculer les racines carrées complexes de i xiy = i { x y = xy= 1 { x = 1 5 x y y = 1 =5 5 xy= 1 Donc les racines carrées complexes de i sont : 1 5 i 1 5 et 1 5i 1 5 c) cas d'une équation du second degré à coefficients complexes Pour tout complexe z, a z bzc=a z b a z c a =a z b a =b 4 ac avec 4 a 15

Si 0, alors on peut considérer une racine carrée complexe de Dans ce cas, l'équation admet deux solutions distinctes : z 1 = b et z a = b a Si =0, l'équation admet une solution double : z= b a Résoudre dans C l'équation : 1 iz 5 i z10=0 =5 i 4 1 i 10=5 10i 1 4040i= 1630i xiy = 1630i { x y = 16 xy=30 { x = 1 1634 { x =9 y = 1 x y =34 3416 y =5 xy=30 xy=30 On considère donc =35i comme racine carrée complexe de -16 + 30 i On a alors : z 1 = 5 i 3 5i et z 1 i = 5 i35i 1 i Ainsi, on a : z 1 = 1 3 i 1 i =1 3i1i = i et z = 4 i 1 i =4i1i =13 i III Polynômes 1) fonctions polynômes Une fonction f définie sur R ou C est appelée fonction polynôme s'il existe un entier naturel n et a 0,a 1,, a n appartenant à R ou C avec a n 0 tels que : f x=a n x n a 1 xa 0 L'entier n est appelé degré de la fonction polynôme f Par convention, si f est le polynôme nul, son degré est a 0, a 1,, a n sont appelés les coefficients de la fonction polynôme f Remarque Par abus de langage, on parle de polynôme au lieu de fonction polynôme f x=4 x 5 3x x7 définit un polynôme de degré 5 dont les coefficients sont : a 5 =4,a 4 =0,a 3 =0,a = 3,a 1 =,a 0 =7 Deux polynômes non nuls sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coefficients f x=a n x n a 1 x 1 a 0 et g x=b n x n b 1 xb 0 f =g si et seulement si, pour tout x, a n x n a 1 x 1 a 0 =b n x n b 1 xb 0, c'est-à-dire, pour tout réel x, a n b n x n a 1 b 1 x 1 a 0 b 0 =0 16

Or le polynôme nul a tous ses coefficients égaux à 0 donc pour tout i compris entre 0 et n, on a : a i =b i ) division euclidienne de polynômes (admise) - On considère deux polynômes A et B, tels que B 0 Alors il existe un unique couple de polynômes (Q, R) tel que A= BQR avec deg(r) < deg(b) Lorsque le reste R est nul, on dit que B divise A Écrire la division euclidienne de X 3 X 1 par X 1 X 3 X 1= X X 3 X 14 Dans ce cas, Q= X X 3 et R=4 3) racines de polynômes On considère un polynôme P On note un élément de R ou C On dit que est une racine (ou un zéro) de P si P =0 est une racine de P si et seulement si x divise P Si x divise P, alors P= x Q, où Q est un polynôme Donc P =0 Si est une racine de P, alors en écrivant la division euclidienne de P par x, on obtient : P= x QR, avec deg(r) < 1, c'est-à-dire que R est une constante En remplaçant x par, on a : P =R=0 D'où R = 0 et x divise P Rechercher dans R, les racines du polynôme x 3 x On recherche d'abord une racine évidente : 1 ici On factorise par x 1 x 3 x = x 1 x x On recherche ensuite les racines du polynôme x² + x + =1 4 1 = 7 Comme 0 alors il n'y a pas de racine réelle On en déduit que x 3 x a une seule racine réelle : 1 On considère un polynôme P et k un entier naturel non nul On note un élément de R ou C On dit que est une racine de P d'ordre k si x k divise P et x k1 ne divise pas P 17

Déterminer l'ordre de multiplicité de la racine 1 du polynôme P x=x 5 x 4 x 3 x 4 x, puis factoriser ce polynôme P 1=1 1 1 14 =0 Donc 1 est bien une racine de P On effectue la division euclidienne de P par les puissances successives de x - 1 P x=x 1 x 4 x x 1 est racine de x 4 x x P x= x 1 x 3 x 1 est racine de x 3 x P x= x 1 3 x x 1 n'est pas racine de x x On recherche ensuite les racines du polynôme x² + x + = 4 1 = 4 Comme 0 alors il n'y a pas de racine réelle On en déduit la factorisation de P : P x= x 1 3 x x Théorème de D'Alembert-Gauss (admis) Tout polynôme non constant de C possède au moins une racine complexe Remarque Ainsi, les polynômes réels de degré à discriminant négatif possède des racines complexes Ceci a été vu précédemment dans la partie sur les nombres complexes IV Fractions rationnelles 1) fonctions rationnelles Pour A et B deux fonctions polynomiales avec B 0, rationnelle (on dit aussi fraction rationnelle) A B est appelé fonction x 3 x5 x 3 est une fraction rationnelle ) partie entière - On considère A et B deux fonctions polynomiales avec B 0 Alors, il existe un unique couple de fonctions polynomiales (E, R) tel que A B =E R B, avec deg(r) < deg(b) E est appelé partie entière de la fraction rationnelle A B R B est appelé partie fractionnaire de la fraction rationnelle A B On effectue la division euclidienne de A par B : A= BQR 18

Alors A B = BQR =Q R B B Il suffit ensuite de noter E le polynôme Q Déterminer la partie entière et la partie fractionnaire de la fraction rationnelle x3 x3 x x 3 x3= x x3 x3 Donc la partie entière est : x ; la partie fractionnaire est : 3 x3 x 3) zéros et pôles d'une fraction rationnelle La fraction rationnelle A est dite irréductible lorsque les polynômes A et B n'ont pas de B diviseurs communs autre que les constantes Trouver la forme irréductible de la fraction rationnelle On cherche à factoriser le numérateur et le dénominateur x 3 x= x 1 x et x x =x 1x x 3 x Donc x x = x x x 3 x x x On considère une fraction rationnelle A B sous sa forme irréductible 1 Les racines du polynôme A sont appelées zéros de la fraction rationnelle A B Leur ordre de multiplicité est le même que celui dans le polynôme A Les racines du polynôme B sont appelées pôles de la fraction rationnelle A B Remarque Leur ordre de multiplicité est le même que celui dans le polynôme B Comme la fraction rationnelle A est irréductible alors A et B n'ont pas de racine B commune Il ne peut donc y avoir de confusion entre zéro et pôle d'une fraction rationnelle Déterminer les zéros et les pôles de la fraction rationnelle x3 x 1 a un zéro, à savoir 3, et deux pôles, à savoir 1 et -1 x3 x 1 19

1 4) exemples de décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples Décomposer en élément simple dans C la fraction rationnelle Tout d'abord, on recherche les pôles de On a alors : x x 1 = a x 1 b x1 x x 1 En multipliant chaque membre par x 1, on obtient : Il s'agit de 1 et -1 x b x 1 =a x1 x1 x x 1 1 En faisant tendre x vers 1, on obtient alors : =a On reprend l'égalité de départ et on multiplie chaque membre par x + 1 On obtient : x x 1 = ax1 x 1 b En faisant tendre x vers 1, on obtient : D'où, 1 1 x x 1 = x 1 x1 1 =b, c'est-à-dire : 1 =b Décomposer en élément simple dans C la fraction rationnelle x1 x 1 Tout d'abord, on recherche les pôles de x1 x 1 Il s'agit de i et -i On a alors : x1 x 1 = a x i b xi En multipliant chaque membre par x i et en évaluant les expressions obtenues pour x = i, on obtient : a= i1 =1 i i En multipliant chaque membre par x + i et en évaluant les expressions obtenues pour x = -i, on i1 obtient : b= =1 i i Ainsi, 1 i i 1 x1 x 1 = x i xi Remarque Dans le cas d'une fraction rationnelle à coefficients réels avec deux pôles complexes conjugués, les deux coefficients correspondants sont aussi deux complexes conjugués 0

3 Décomposer en élément simple dans C la fraction rationnelle x 3 x x1 Tout d'abord, on recherche les pôles de x 3 x x1 Il s'agit d'un pôle double : 1 On a alors : x 3 x x1 = a x 1 b x 1 En multipliant chaque membre par (x-1)² et en évaluant les expressions obtenues pour x = 1, on obtient : -1 = b On en déduit que : a x 1 = x 3 x 1 1 x 1 = x x 1 = x 1 D'où a = Ainsi, x 3 x x1 = x 1 1 x 1 4 Décomposer en élément simple dans C la fraction rationnelle x 4 1 x 3 x x Tout d'abord, cette fraction rationnelle a une partie entière qu'il faut déterminer x 4 1 x 3 x x =x 3 x x1 x 3 x x Ensuite, on détermine les pôles de 3 x x1 x 3 x x Il s'agit de 0 (pôle simple) et -1 (pôle double) Alors, on a : 3 x x1 x 3 x x = a x b x1 c x1 Les méthodes précédentes donnent : a = 1 et c = - On en déduit que : b x1 = 3 x x1 1 x x1 x x1 D'où b x1 = 3 x x1 x x 1 x = x x xx1 x x1 = 1 Par conséquent, b = x Ainsi, x 4 1 x 3 x x =x 1 x x1 x1 1

Table des matières I Fonctions trigonométriques1 1) cercle trigonométrique1 ) valeurs remarquables 3) fonctions sinus, cosinus et tangente 4) formules de trigonométrie3 5) fonctions trigonométriques réciproques4 II Nombres complexes6 1) notion de nombre complexe6 ) module et argument d'un nombre complexe9 3) écriture exponentielle1 4) équations du second degré14 a) cas d'une équation du second degré à coefficients réels14 b) racines carrées d'un nombre complexe non nul15 c) cas d'une équation du second degré à coefficients complexes15 III Polynômes16 1) fonctions polynômes16 ) division euclidienne de polynômes17 3) racines de polynômes17 IV Fractions rationnelles18 1) fonctions rationnelles18 ) partie entière18 3) zéros et pôles d'une fraction rationnelle19 4) exemples de décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples0