Cours d électrocinétique :

Universié de Franche-Comé UFR des Sciences e Techniques STARTER 005-006 Cours d élecrocinéique : Régimes coninu e ransioire

Elecrocinéique en régimes coninu e ransioire 1. INTRODUCTION 5 1.1. DÉFINITIONS 5 1.. HISTORIQUE 5 1.3. BIBLIOGRAPHIE 5 1.4. REMARQUES PRÉLIMINAIRES 5. NOTIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LES COMPOSANTS ÉLÉMENTAIRES EN RÉGIME CONTINU 6.1. COURANT ÉLECTRIQUE 6.. CHAMP ÉLECTRIQUE, POTENTIEL ÉLECTRIQUE, DIFFÉRENCE DE POTENTIEL. ACTION D'UN CHAMP ÉLECTRIQUE SUR UNE CHARGE Q. 7..1. CHAMP ÉLECTRIQUE, POTENTIEL ÉLECTRIQUE, DIFFÉRENCE DE POTENTIEL 7... ACTION D'UN CHAMP ÉLECTRIQUE SUR UNE CHARGE Q 7.3. DIPÔLES PASSIFS 8.3.1. RÉSISTANCE ET LOI D'OHM 8.3.. AUTRES DIPÔLES PASSIFS 10.3.3. DIPÔLES PASSIFS NON LINÉAIRES 11.4. LES DIPÔLES ACTIFS 11.4.1.DÉFINITIONS ERREUR! SIGNET NON DÉFINI..4. GÉNÉRATEUR DE TENSION 1.4.3 GÉNÉRATEUR DE COURANT 13.4.4 EQUIVALENCE ENTRE LES DEUX MODÈLES DE GÉNÉRATEUR 13.4.5 DIPÔLES ACTIFS RÉCEPTEURS 14 3. THÉORÈMES SUR LES CIUITS LINÉAIRES EN RÉGIME CONTINU 15 3.1. DÉFINITIONS 15 3.. LOIS DE KIHHOFF 16 3..1. LA LOI DES NOEUDS 16 3... LOI DES MAILLES 16 3..3. LOI DES BRANCHES : LOI D'OHM GÉNÉRALISÉE 17 3..4. TRANSFORMATION SÉRIE - PARALLÈLE, PARALLÈLE - SÉRIE D UN CIUIT 17 3.3. THÉORÈME DE SUPERPOSITION 18 3.3.1. DÉFINITION 19 3.3. EXTINCTION D UNE SOUE LIBRE 19 3.3.3 APPLICATION DU THÉORÈME DE SUPERPOSITION 19 3.4.THÉORÈMES DE THÉVENIN ET DE NORTON 1 3.4.1 THÉORÈME DE THÉVENIN 1 3.4. THÉORÈME DE NORTON 3.4.3 EQUIVALENTE ENTRE LES DEUX THÉORÈMES 3.4.4 APPLICATION 3 3.5. THÉORÈME DE MILLMAN 4 3

4. MÉTHODE DE RÉSOLUTION GRAPHIQUE D'UN SYSTÈME LINÉAIRE. POINT DE FONCTIONNEMENT 6 4.1. PRINCIPE 6 4.. EXEMPLE 6 5. PUISSANCE DANS LES DIPÔLES LINÉAIRES EN RÉGIME CONTINU 8 5.1. INTRODUCTION 8 5. EXPRESSION GÉNÉRALE DE LA PUISSANCE 8 5.3 PUISSANCE DANS UN CONDUCTEUR OHMIQUE 8 5.4. PUISSANCE DANS UN DIPÔLE ACTIF GÉNÉRATEUR 8 5.5. PUISSANCE DANS UN DIPÔLE ACTIF RÉCEPTEUR 9 6 LE RÉGIME TRANSITOIRE 30 6.1 RELATION TENSION - COURANT POUR LES DIPÔLES R, L ET C 30 6.1.1 RELATION TENSION COURANT AUX BORNES D UNE RÉSISTANCE 30 6.1. RELATION TENSION COURANT AUX BORNES D UN CONDENSATEUR 30 6.1.3 RELATION TENSION COURANT AUX BORNES D UNE BOBINE 31 6. RÉPONSE D UN CIUIT ET RL À UN ÉCHELON DE TENSION OU DE COURANT 31 6..1 RÉPONSE D UN CIUIT R 31 6.. RÉPONSE D UN CIUIT RL 34 6.3 PUISSANCE CONSOMMÉE PAR UN DIPÔLE 36 6.3.1 PUISSANCE CONSOMMÉE DANS UN CIUIT 37 6.3. PUISSANCE CONSOMMÉE DANS UN CIUIT RL 37 4

1. Inroducion 1.1. Définiions Il fau disinguer différens ermes relaifs à l'élecricié. - Le génie élecrique regroupe l'élecricié, l'élecronique e l'élecroechnique. - L'élecricié regroupe l'élecrosaique, l'élecrocinéique e l'élecromagnéisme. - L'élecrocinéique es l'éude des courans élecriques, c'es à dire des déplacemens de charges dans des milieux maériels appelés conduceurs. C'es aussi l'éude des circuis élecriques soumis aux différens régimes des courans élecriques. On disingue 3 ypes de régimes : - le régime saionnaire ou coninu (couran coninu), - le régime ransioire, - e le régime permanen sinusoïdal (couran alernaif). 1.. Hisorique - Les phénomènes d'origine élecrique e magnéique son connus depuis l'aniquié. Thalès De Mile (VI ème siècle avan J.C.) faisai la descripion de quelques phénomènes élecriques e magnéiques : l'élecrisaion par froemen d'un morceau d'ambre qui aire des objes légers ou la pierre de magnésie (oxyde de fer) qui aire des anneaux de fer. Le mo élecricié vien du mo grec signifian ambre (elekron :jaune). - Ces différens phénomènes reseron anecdoiques jusqu'au 17 ième siècle. Sephen Gray (1666-1736) découvre la conducion de l'élecricié. Benjamin Franklin (1706-1790) éablie la héorie des condensaeurs es consrui des paraonnerres. Alexandro Vola (1745-187) consrui la première pile. - L'élecricié qui éai jusqu'à lors saique devien dynamique e l'éude des courans élecriques perme de mere en évidence le lien enre l'élecricié e le magnéisme. Tous ces ravaux seron menés par André-Marie Ampère (1775-1836), François Arago (1786-1853), Michael Faraday (1791-186), George Simon Ohm (1787-1854) e Gusav rober Kirchhoff (184-1887). - En 1864, James Clarke Maxwell (1831-1879) propose une héorie relian les champs magnéique e élecrique e prédi la propagaion des ondes élecromagnéiques. Cee héorie rese en vigueur pour expliquer de nombreux phénomènes physiques. 1.3. Bibliographie - Collecion Travaux Dirigés 1er cycle chez Hachee Supérieur : - Volume 1 : "Techniques mahémaiques pour la physique" de Soum e al. - Volume 3 : "Circuis élecriques e élecroniques" de Soum e al. - Collecion Flash Universiaire chez A. Colin : "Elecronique" de M. Fourier. - Collecion Cursus chez A. Colin : "Elecrocinéique" de L. Quarana. - Collecion J'inègre chez Dunod : "Elecrocinéique. - Collecion H prépa chez Hachee Supérieur : "Elecronique, élecrocinéique I". 1.4. Remarques préliminaires L'élecrocinéique es le domaine ou les manifesaions des mouvemens de poreurs de charge son éudiées en erme de couran e de ension. Si ces grandeurs son consanes dans le emps 5

on parle de régime coninu ou indépendan de emps. Ces grandeurs seron alors noées avec des majuscules. I pour le couran e U pour la ension. Il ne fau pas confondre le régime coninu avec le régime permanen que l'on uilise pour décrire le foncionnemen de circuis soumis à des ensions/courans alernaifs. Enfin, le régime ransioire décri la réponse d'un circui soumis à une brusque variaion de couran/ension.. Noions élémenaires sur les composans élémenaires en régime coninu.1. Couran élecrique Le couran élecrique es dû au déplacemen de charges dans un conduceur. Les effes élecriques connu avan le 19 ième siècle ne permeaien pas de connaîre la naure de ces charges aussi le choix du sens de déplacemen a éé arbirairemen celui des charges posiives. Ce n'es qu'en 1879 avec la découvere de l'effe Hall que l'on a idenifié la naure des poreurs de charges. Il s'agi des élecrons qui possède une charge négaive q = -e = -1.6 10-19 C (Coulomb). Définiion de l'inensié d'un couran élecrique à ravers un cylindre conduceur de secion S : q c'es la quanié de charge élecrique q qui raverse S pendan un emps. I = s exprime en ampère (A ou C.s -1 ) avec q en coulomb e en s (1A 1C.s -1 ~6.10 18 e-.s -1 ). 6

.. Champ élecrique, poeniel élecrique, différence de poeniel. Acion d'un champ élecrique sur une charge q...1. Champ élecrique, poeniel élecrique, différence de poeniel Soi une charge q dans le plan. Le champ élecrique produi par cee charge en un poin M de l espace es donné par q E =. u. 4 πε0r Le champ s'exprime en V.m -1 ou V/m. r es la disance enre la charge e le poin M. OM u = es le veceur uniaire pris dans la direcion du veceurom. ε0 OM = 1 9 36π 10 F/ m es la permiivié du vide. Le poeniel au poin M créé par la charge es égal q à V =. Il s'exprime en Vol (V). Lorsque la 4 πε0r charge es posiive (q>0), le poeniel décroî lorsque le poin M s éloigne de la charge. Lorsque la charge es négaive (q<0), le poeniel croî lorsque le poin M s éloigne de la charge. On consae alors que le champ élecrique E produi par la charge en un poin M de l espace es oriené vers les poeniels décroissans. Si la charge se déplace d'une quanié dr, cela va induire une variaion du poeniel au poin dv = E. dr. Enre les poins M 1 e M, il exise une différence de poeniel (d.d.p.) qui q 1 1 es égale à V1 V = 4πε ( ) qui s'exprime en Vol (V). r r 0 1... Acion d'un champ élecrique sur une charge q En élecrocinéique il y a des charges fixes qui créen des champs e d'aures charges mobiles qui se déplacen dans ces champs. Ainsi une charge élecrique q placée dans un champ élecrique E es soumise à une force F = qe. Cee force s exprime en newon (N).Dans le cas ou cee charge mobile es un élecron (q=e), sous l acion de cee force elle se déplacera dans le sens opposé au champ élecrique. De façon évidene les élecrons se déplacen donc vers les poeniels croissans e le couran élecrique e oriené comme le champ élecrique vers les poeniels décroissans. 7

.3. Dipôles passifs Un dipôle es un élémen de circui présenan bornes. Un mulipôle présene plus de bornes. Un dipôle passif es un dipôle récepeur qui ransforme oue l énergie qu il reçoi sous forme de chaleur..3.1. Dipôles passifs linéaires : la résisance. Loi d'ohm Une résisance es un dipôle linéaire passif don le symbole es le suivan : Si on lui applique enre ses bornes A e B une d.d.p. U AB = V A -V B, il sera parcouru par un couran I el que U AB = RI. R es appelée la résisance du dipôle. Cee loi enre le couran e la ension es empirique e es vérifiée par la plupar des dipôles passifs en régime coninu. R s'exprime en Ohm (Ω). A) REMARQUES - R es oujours posiif. U AB e I son donc de même signe. - La loi d'ohm peu égalemen se mere sous la forme I = GU AB ou G = 1/R es la conducance e s'exprime en Siemens (S). B) CONVENTION DE SIGNE La convenion «récepeur» indique que la ension es oujours orienée du poeniel le plus bas vers le poeniel le plus élevé. Si V A > V B, U AB sera oriené de B vers A. Les élecrons se déplaçan dans le sens du poeniel croissans (B vers A), le couran lui es oriené de A vers B. C) CARACTERISTIQUE STATIQUE D'UN DIPOLE On appelle caracérisique saique d'un dipôle, la courbe représenan la variaion du couran I raversan un dipôle ou de la ension U AB à ces bornes en foncion de la ension appliquée à ses bornes ou du couran qui le raverse. Dans le cas d'une résisance, il s'agi d'une droie affine don la pene correspond à R ou G selon la représenaion choisie. D) RESISTIVITE, CONDUCTIVITE Dans le cas d'un conduceur cylindrique de secion S e de longueur l présenan des charges libres assuran la conducion. Si on soume les exrémiés de ce conduceur à une différence de poeniel, les élecrons libres von avoir un mouvemen d ensemble de viesse moyenne v. 8

Pendan un emps d la secion S du conduceur sera raversée par un couran dq I = ou dq représene la quanié de d charge raversan la secion S pendan un emps d. Les dn élecrons consiuan la charge dq son conenus dans un volume dv=svd. D aure par on a dq=dne=ndve où n es la densié volumique de poreurs de charges, d où : dq=nesvd e I=nSve. Dans cee expression seule la viesse moyenne des élecrons peu varier. Cee viesse, due au champ élecrique E, qui es uniforme, es proporionnelle à la d.d.p. enre les exrémié du conduceur de longueur l : v µ U AB =. µ es appelée la l mobilié des élecrons. S S S En conséquence I = µ ne UAB = γ UAB. Ou encore I = GUAB avec G = γ. γ es la l l l conducivié (S.m -1 l l ). En inversan la relaion on a : UAB = I = ρ I ou encore UAB = RI µ nes S l l avec R = = ρ. ρ es la résisivié (Ω.m). µ nes S Si R augmene (S e l consans) cela signifie que la résisivié augmene ou que la conducivié diminue. La résisance dépend de la empéraure. Si T augmene R augmene. En effe, l'agiaion hermique gêne la circulaion des élecrons. A T = 0 K (-73 C), la résisivié es nulle donc R = 0. C'es ce que l'on appelle la supraconducivié. On a alors conducion de l'élecricié sans pere d'énergie. E) CONSEQUENCE DE LA RESISTANCE : L'EFFET JOULE La circulaion d'un couran dans une résisance produi un échauffemen :l'effe Joule. En effe le dipôle passif ransforme l'énergie élecrique en énergie calorifique. La puissance dissipée par le dipôle es égale à P = RI². Cee puissance s'exprime en Wa (W). Applicaions : radiaeurs, éclairage à filamen, fusible. F) ASSOCIATION DE RESISTANCES, CALCUL DE RESISTANCE EQUIVALENTE On disingue deux façons d'associer des résisances. Elles son associées soi en série soi en parallèle. Associaion série : 9

Les résisances R i son oues raversées par le même couran I e on une seule borne en commun avec un aure dipôle. La ension U AD es égale à la somme des ensions aux bornes de chacun des dipôles : UAD = UAB + UBC + UCD = RI 1 + RI + R3I = ( R1+ R + R3 ) I = Réq. I. D où la résisance équivalen à l associaion de ces dipôles : Réq. = R1+ R + R3. Dans le cas ou N dipôles son associés en série, la résisance équivalene s exprime : R. = R. Associaion parallèle : L associaion de dipôles en parallèle se caracérise par le fai que ous les dipôles on leurs bornes en commun deux à deux. En conséquence de quoi la ension aux bornes de chacun des dipôles es idenique. éq N i = 1 i Le couran I qui alimene ces dipôles branchés en parallèle va alors se reparir dans les dipôles el que : UAB UAB U 1 1 1 AB UAB I = I1+ I + I3 = + + = UAB R1 R R + + 3 R1 R R =. D ou la résisance 3 Réq. 1 1 1 1 équivalene : = + + ou on préfèrera alors dans le cas d associaion de dipôles Réq. R1 R R3 en parallèle uiliser la conducance : Géq. = G1+ G + G3. Pour l associaion de N dipôles en N 1 1 parallèle on noe respecivemen la résisance e la conducance équivalenes : = e R R G éq. N = G. i = 1 i.3.. Aures dipôles passifs éq. i = 1 i A) LES CONDENSATEURS PARFAITS Ils son consiués de deux armaures conducrices séparées par un isolan. 10

En régime coninu le condensaeur es chargé par la d.d.p. appliquée à ses bornes e il se compore comme un inerrupeur ouver (I=0). Par analogie avec les résisances, ils présenen une résisance infinie. C : capacié en farad (F). B) LES SELF-INDUCTANCES PARFAITES Elles son consiuées de bobines qui lorsqu'elles son parcourues par un couran coninu se compore comme un cour-circui. Par analogie avec les résisances, elles présenen une résisance nulle. L : inducance en henry (H). L'inérê de ces deux dipôles résiden dans les propriéés en régime ransioire ou permanen sinusoïdal. Ils son capable alors d'emmagasiner de l'énergie puis de la resiuer ulérieuremen. Cependan la puissance moyenne dissipée es oujours nulle..3.3. Dipôles passifs non linéaires Ce son des dipôles qui présenen une caracérisique couran/ension qui n'es pas linéaire els que les varisances ou les diodes..4. Les dipôles acifs Caracérisiques de dipôles non linéaires - Pour un dipôle acif oue l énergie élecrique mise en jeu n es pas dissipée sous forme de chaleur. Il y a ransformaion. Il peu ransformer : o de l énergie élecrique en énergie non calorifique (mécanique, chimique, opique, élecrique). Il s agi d un dipôle acif récepeur e à ces bornes on mesure une force conre élecromorice (f.c.é.m.). Il s'agi d'une ension. 11

o de l énergie non calorifique (mécanique, chimique, opique, élecrique) en énergie élecrique. Il s agi d un dipôle acif généraeur e à ces bornes on mesure une force élecromorice (f.é.m.). Il s'agi aussi d'une ension. - Un dipôle acif peu-êre généraeur : il fourni alors de l énergie élecrique (pile, urbine, baerie, générarice, ) - Un dipôle acif peu-êre récepeur : il ransforme alors l énergie élecrique en une aure forme d énergie (moeur, ransformaeur, ). - Cerain dipôle acifs son réversibles e foncionner soi comme généraeur soi comme récepeur (cas d une baerie de voiure)..4. Généraeur de ension.4..1 Généraeur de ension idéal C es un dipôle aux bornes duquel la ension rese consane quelle que soi l inensié du couran délivré. Cee ension es appelée force élecromorice (f.é.m.). La caracérisique U MN =f(i) es une droie horizonale. Par convenion le signe «+» indique la borne posiive e la ension au borne du généraeur de ension es orienée vers le «+». Dans le cas ou le généraeur de ension se compore comme un généraeur le couran quie la borne «+» e es compé comme posiif. Le couran +I lim indique la valeur maximal que peu délivré ce généraeur avan sa desrucion. Lorsque le couran es négaif, alors le généraeur se compore comme un récepeur (le sens du couran es alors imposé au généraeur par un aure dipôle acif du circui)..4..1 Généraeur de ension réel C es un dipôle el que, lorsque l inensié du couran qu il délivre croî la ension à ces bornes décroî. La chue de ension U es proporionnelle à I ce qui es caracérisique d une résisance. On écri U=-rI avec r la résisance die «inerne» du généraeur. La ension à ses bornes lorsqu il es branché aux bornes d un récepeur s écri : U MN =E-rI. Le modèle équivalen di de Thevenin es l associaion en série d un généraeur parfai de f.é.m. E e d une résisance r. La caracérisique d un généraeur de ension réel es une droie ne passan pas par l origine de pene négaive. L inersecion de la courbe avec l axe des ordonnées correspond à la ension relevée aux bornes de généraeur lorsque qu il n y a aucune charge branchée aux bornes du généraeur (I=0, ou généraeur en circui ouver) soi U MN =E la f.é.m. du généraeur. La caracérisique coupe l axe des abscisses lorsque U MN =0 c'es-à-dire lorsque la charge présene une résisance nulle c'es-à-dire lorsque les bornes du généraeur son cour-circuiées alors le généraeur débie un couran di de cour-circui I cc =E/r. 1

.4.3 Généraeur de couran.4.3.1 Généraeur de couran idéal C es un dipôle débian un couran consan I 0 (couran élecromoeur c.é.m.) indépendan de la ension à ses bornes. La caracérisique I = f(u AB ) es une droie horizonale. Lorsque le généraeur foncionne comme généraeur dans un circui la ension es compée posiive e orienée comme le couran..4.3. Généraeur de couran réel C es un dipôle à la sorie duquel il y a une chue de couran I lorsque la ension à ces bornes croî. Cee chue de couran es proporionnelle à U MN e elle es associée à une résisance de conducance g elle que I=-gU MN, l inensié délivrée sera alors égale à : I=I 0 -gu MN avec g=1/r conducance du généraeur. Le modèle équivalen, di de Noron, es l associaion en parallèle d un généraeur de couran idéal e d une résisance r. La caracérisique I=f(U MN ) es une droie ne passan pas par l origine, de pene négaive. Lorsque la ension U MN =0, c es à dire lorsque les bornes M e N son courcircuiées le couran débié par le généraeur es égal au c.é.m.. D aure par lorsque la charge présene une résisance infinie (auremen di lorsque le généraeur es en circui ouver I=0) alors on relève aux bornes du généraeur une ension ri 0..4.4 Equivalence enre les deux modèles de généraeur Nous venons d éablir les modèles équivalens des généraeurs de ension e de couran réels. Nous avons éabli que : E UMN généraeur de ension : U = MN E ri, I = r r, I0 I généraeur de couran : I = I 0 gumn, U = MN g g. E 1 L idenificaion enre ces deux sysèmes d équaions donne : I = 0, g r = r. 13

Ces égaliés peuven égalemen s obenir à parir des deux modèles en circui ouver : E Ces généraeur son considérés comme équivalen si I 0 = ou E = ri0. Cee équivalence r enre les deux ypes de généraeurs es imporane pour la simplificaion de circui comporan uniquemen des dipôles linéaires..4.5 Dipôles acifs récepeurs Ce son des dipôles consomman de l énergie élecrique e qui en ransforme une parie sous une aure forme d énergie. Pour ces dipôles acifs récepeurs, l inensié enre oujours par le pôle «+» e ressor par le pôle «-» à l inverse d un dipôle acif genéraeur. Ils son de deux ypes : polarisés si leurs bornes son indépendanes du sens du couran, polarisables si leurs bornes son dépendanes du sens du couran. Dans les deux cas le modèle équivalen sera : La caracérisique d un dipôle acif récepeur es une droie ne passan pas par l origine de pene posiive. L inersecion de la droie avec l axe des ordonnées correspond la ension relevée aux bornes du dipôle lorsque celui-ci es en circui ouver (I=0). Remarque : Le symbole que nous uilisons pour le récepeur es différen de celui du généraeur pour bien monrer qu il s agi d un récepeur. La f.é.m. du dipôle acif récepeur es noée «e» égalemen pour la disinguer de celle d un dipôle acif généraeur. 14

3. Théorèmes sur les circuis linéaires en régime coninu L'objecif es d'analyser des circuis e de calculer les ensions/courans de ces circuis. Nous allons éudier un ensemble de echniques de bases e nous discuerons du choix de la méhode en foncion du ype de circui e de sa complexié. 3.1. Définiions Soi le circui suivan : On défini ainsi les ermes suivans : un circui/réseau es un ensemble de composans ou dipôles reliés par des fils de connexion qui peu êre analysé en erme de noeuds, de branches e de mailles. un noeud es un poin de joncion enre rois fils de connexion minimum. une branche es consiuée par un ensemble de dipôles monés en série enre deux noeuds. dipôles son monés en série lorsqu'ils son raversés par le même couran. une maille es un ensemble de branches forman un conour fermé que l'on peu parcourir en ne passan qu'une fois par chaque noeud inermédiaire. Une maille pourra êre orienée de façon arbiraire. Dans nore exemple on compe noeuds e 3 mailles e 3 branches. Remarques: Dans un circui qui possède n noeuds indépendans il y a n-1 poeniels inconnus e le n ième es appelé la masse. La masse es un noeud de référence de poeniel. La valeur du poeniel des aures noeuds du circui sera donnée par rappor à cee référence. Le symbole es le suivan : Il ne fau pas le confondre avec le symbole de la erre qui correspond au vrai poeniel 0V. Touefois, la masse d'un circui es en général reliée à la erre (mais pas oujours). 15

3.. Lois de Kirchhoff Le physicien allemand Gusav Rober Kirchhoff a éabli en 1845 deux lois qui fonden ous les calculs de réseaux élecriques : - la loi des nœuds, - la loi des mailles. 3..1. la loi des noeuds Cee loi exprime la loi de conservaion de la charge élecrique. Pour un noeud donné la somme des courans qui arriven à ce noeud es égale à la somme des courans qui en paren. Pour un noeud donné, on peu symboliser cee relaion par l'expression générale suivane : k ε I = 0, avec ε k = +/-1 selon que le couran I k arrive ou par d'un noeud. A priori k k l orienaion des courans es iniialemen inconnue, aussi on oriene arbirairemen ces courans dans les différenes branches du circui. L applicaion numérique indique selon le signe si le couran a éé oriené correcemen. Dans l exemple présené ci-dessus conenan noeuds : - au nœud A I 1 =I +I 3, - au nœud B I +I 3 = I 1. Ces deux relaions son ideniques e donne : I +I 3 -I 1 =0. On consae avec cee équaion que sur les rois inconnues deux son indépendanes. Ce qui rédui le nombre d inconnues à. 3... Loi des mailles Cee loi es une conséquence de l'addiivié des ensions. Les ensions expliciées en ermes de différences de poeniels nous permeen d'écrire pour la maille considérée e orienée de façon arbiraire : (V A -V B ) + (V B -V C ) + (V C -V D ) + (V D -V A ) = 0. Soi encore : U AB + U BC + U CD + U DA = 0. Cee dernière relaion ne préjuge en rien de la naure des dipôles de la maille. D'où la relaion généralisée pour une maille orienée : ε U = 0, avec ε k = +/-1 selon que la ension aux k k k bornes du dipôle es orienée ou non selon l orienaion choisie de la maille. Dans nore exemple pour les 3 mailles idenifiées : - maille n 1 E 1 -ri 1 -R 1 I 3 =0, - maille n R 1 I 3 -R I -R 3 I =0, - maille n 3 E 1 -ri 1 -R I -R 3 I =0. 16

3..3. Loi des branches : loi d'ohm généralisée Dans une branche d un circui conenan un ou plusieurs dipôles associés en série enre les deux nœuds délimian cee branche, la ension es égale à la somme des ensions aux bornes de chacun des dipôles elle que : U n = ε U avec ε i = +/-1 selon que la ension aux bornes du dipôle D i es orienée ou non AB i D i i = 1 comme la ension U AB. Dans nore exemple où nous avons idenifié 3 branches : - branche n 1 : U AB = E 1 -r 1 I 1, - branche n : U AB = R 1 I 3, - branche n 3 : U AB = R I +R 3 I. Grâce à ces différenes lois nous avons éabli suffisammen d équaions pour résoudre oues les inconnues de ce circui. Dans un circui présenan n noeuds e b branches il exise c=bn+1 courans indépendans dans le circui. Le problème revien donc à résoudre un sysème à c inconnus. Il fau donc écrire c équaions indépendanes. Dans nore exemple c=3-+1=. Parmi oues ces équaions deux suffisen pour résoudre le problème. Par exemple ou peu rechercher la ension U AB ou la ension aux bornes de R 3. 3..4. Transformaion série - parallèle, parallèle - série d un circui La résoluion du sysème d équaions es simple lorsque le nombre d inconnus es faible ouefois lorsque celui-ci devien imporan il es souhaiable de simplifier au maximum le monage dans la perspecive de la quesion posée. Il es uile parfois d uiliser la résisance équivalene de résisances associées soi en série soi en parallèle e l équivalence enre les généraeurs de couran e de ension vue précédemmen dans ce objecif de simplificaion. Ainsi dans l exemple de circui présené au 3.1 si on cherche la valeur du couran I 1 ou de la ension U AB, il es praique de réaliser la ransformaion suivane du circui : Dans la mesure ou l on s inéresse au couran débié par le généraeur, la naure des aures dipôles consiuan le circui impore peu. Nous pouvons donc simplemen subsiuer aux résisances R 1, R e R 3 la résisance équivalene à l associaion de ces rois résisances. Il s agi de l associaion en série des résisances R e R 3 associée en parallèle avec R 1. Ce qui 17

( + ) ( ) R1 R R3 donne : Réq. = R1//( R + R3) =. Le schéma se simplifie alors en remplaçan R1+ R + R3 ces résisances par la résisance équivalene. Le monage ne conien alors plus qu une seule maille parcourue par le couran I 1 que l on cherche. Pour cee maille on peu écrire E UAB = E ri1 = Réq. I1soi I 1 = Réq. + r. On en dédui Réq. E UAB = Réq. + r. Mainenan si on cherche le couran I 3 circulan dans la résisance R 1, il es commode ici de réaliser une ransformaion parallèle du généraeur de ension, c.a.d. ransformer le généraeur de ension en son généraeur de couran équivalen, soi : Nous avons égalemen remplacé l associaion en série des résisances R e R 3 par la résisance équivalene R +R 3. Les nœuds A e B son respecivemen idenique aux nœuds A 1 e B. La loi des nœuds perme d écrire que : ge = guab + GU 1 AB + G3U AB ou g =, r 1 1 G1 = e G3 = les conducances des résisances dans chaque branche. Alors R 1 R + R3 ge GgE 1 UAB =, soi I3 = GU 1 AB =. g + G + G g + G + G 1 3 1 3 La ension U AB calculée dans ces deux exemples donne le même résula. En conclusion, en foncion de la grandeur recherchée il convien d opérer les simplificaions e ransformaion perinenes. 3.3. Théorème de superposiion Lorsqu un circui compore plusieurs dipôles acifs généraeurs, la résoluion du circui devien rapidemen compliquée. Aussi nous allons voir une méhode permean de résoudre simplemen ce ype de circui. Le héorème de superposiion ne s applique qu aux circuis consiués de dipôles linéaires. De façon général un circui peu-êre représené sous la forme de l associaion en parallèle du dipôle passif éudié avec un dipôle acif conenan oues les sources du circui e les aures dipôles passifs. 18

3.3.1. Définiion En régime coninu l inensié I qui parcour le dipôle éudié e la ension U AB à ses bornes son égaux respecivemen à la somme des courans e des ensions relevés lorsque l on éein successivemen l ensemble des sources sauf une. 3.3. Exincion d une source libre 3.3..1 Exincion d'une source de ension Une source libre de ension es éeine lorsqu'elle es remplacée par un courcircui. Cela revien à donner une valeur nulle à sa f.é.m.. 3.3.. Exincion d'une source de couran Une source libre de couran es éeine lorsqu'elle es remplacée par un circui ouver. Cela revien à donner une valeur nulle à son c.é.m.. Remarque : Il es uile de se rappeler que l'exincion d'une source libre revien à enlever le cercle de son schéma. 3.3.3 Applicaion du héorème de superposiion Soi le circui suivan, consiué d un généraeur de ension e d un généraeur de couran respecivemen de résisance inerne r 1 e r e d une résisance R associés en parallèle. Exincion du généraeur de ension : 19

Après exincion du généraeur de ension on peu simplifier le schéma en considéran d une par l associaion en parallèle des résisances r 1 e r puis en réalisan la ransformaion parallèle-série du généraeur de couran (remplacemen du généraeur de couran par le généraeur de ension équivalen). Le circui es alors consiué d une seule maille e on obien : réq.0 I Rréq.0 I I1 = e UAB = RI 1 1 =. R + réq. R + réq. Exincion du généraeur de couran : Après exincion du généraeur de couran on peu simplifier le schéma en réalisan la ransformaion série-parallèle du généraeur de ension (remplacemen du généraeur de ension par le généraeur de couran équivalen) puis en considéran d aure par l associaion en parallèle des résisances r 1 e r. La résoluion du circui condui à : réq. E Rréq. E I = e UAB = RI =. r1 ( R + réq. ) r1 ( R + réq. ) Lorsque les deux généraeurs son allumés alors : 0

( + ) réq.0 I réq. E réq. ri 10 E I = I1+ I = + = R + r r ( R + r ) r ( R + r ) éq. 1 éq. 1 éq., e ( + ) Rréq.0 I Rréq. E Rréq. r10 I E UAB = UAB + U 1 AB = + = R + r r( R + r ) r( R + r ) éq. 1 éq. 1 éq.. 3.4.Théorèmes de Thévenin e de Noron Toue porion d un circui ne comporan que des dipôles acifs e passifs linéaires peuven êre remplacés par un dipôle acif linéaire équivalen. Le modèle équivalen choisi peu êre celui de Thévenin ou celui de Noron. 3.4.1 Théorème de Thévenin Lorsque l on s inéresse à la ension aux bornes d un dipôle ou au couran qui le raverse, nous avons vu précédemmen qu il éai possible de considérer le circui comme l associaion de deux dipôles : un dipôle passif D (le dipôle éudié) e d un dipôle acif linéaire D 1 regroupan les aures composan du circui. Si on remplace le dipôle D 1 par son modèle équivalen de Thévenin (généraeur de ension idéal de f.é.m. E h en série avec une résisance R h ) la ension U AB es égale à : UAB = Eh RhI. En déerminan les expressions de E h e R h ) en foncion des caracérisiques de dipôles consiuan le dipôle D 1, la résoluion du circui es alors RD E h Eh simplifiée. En effe il vien UAB =, I =, où R D es la résisance Rh + RD R h + RD équivalene du dipôle D. La déerminaion des caracérisiques du généraeur de Thévenin équivalen s opère de la façon suivane. Lorsque l on coupe la liaison enre les dipôles D 1 e D, on a aux bornes du dipôle une inensié nulle du couran e on relève ce que l on appelle la ension en circui ouver U AB0 elle que : U = E. AB0 h 1

D aure par si on éein oues les sources du dipôle D 1 la résisance «vue» enre les bornes AB es égale à la résisance R h. En conséquence Eh représene la ension à vide e R h es la résisance équivalene enre les bornes AB lorsque oues les sources de ce dipôle son éeines. 3.4. Théorème de Noron Il s agi d une variane du héorème de Thévenin ou le dipôle D 1 es remplacé par son modèle équivalen de Noron (généraeur de couran idéal de c.é.m. I N en parallèle avec une résisance RR N D RI N N R N. Alors il es facile d éablir que UAB = IN, I =. Encore une fois il RN + RD R N + RD s agi de déerminer les expressions de I N e R N en foncion des caracérisiques des dipôles consiuan le dipôle D 1. Pour déerminer I N il fau simplemen consaer que lorsque l on cour-circuie les bornes A e B du dipôle D 1, la ension U AB es nulle e le couran de cour-circui I cc es égal à : Icc = IN. D aure par si on éein oues les sources du dipôle D 1 la résisance «vue» enre les bornes AB es égale à la résisance R N. En conséquence I N représene le couran de cour-circui e R N es la résisance équivalene enre les bornes AB lorsque oues les sources de ce dipôle son éeines. 3.4.3 Equivalene enre les deux héorèmes Comme nous l avons vu précédemmen, il es possible d éablir une équivalence enre les modèles équivalens dethévenin e de Noron. Aussi les généraeurs de Thévenin e de Noron Eh Eh = RNIN IN = équivalens déerminés par les deux héorèmes son ideniques si ou Rh. Rh = RN R = N Rh

3.4.4 Applicaion Considérons le circui éudié dans le cadre du héorème de superposiion. Résoluion par le héorème de Thévenin Cherchons le généraeur de Thévenin équivalen au dipôle D 1. Pour déerminer R h, éeignons les différenes sources e calculons la résisance équivalene du dipôle. On consae que les rr 1 résisances r 1 e r son associées en parallèle : Rh = ( r1// r) =. Pour déerminer E h r + r 1 considérons le dipôle D1 en circui ouver es exprimons la ension à vide U AB 0. E r0 I = = + soi I ' =. r + r On consae que U E ri' r ( I' I ) AB0 1 0 1 rr E 1 I r 0 ( E ri 1 0) + r rr E + 1 I + 1 D où U r 0 1 AB = =. En conséquence : E 0 h =. r1+ r r1+ r r1+ r Mainenan si considère le généraeur de Thévenin équivalen du dipôle D 1 associé au dipôle RD E h RR h E UAB = = + I0 Rh + RD R h + R r1 D, on rouve. Eh R h E I I = = + 0 Rh + RD R h + R r1 Résoluion par le héorème de Noron 3

Cherchons le généraeur de Noron équivalen au dipôle D 1. Pour déerminer R N, éeignons les différenes sources e calculons la résisance équivalene du dipôle. On consae que les rr 1 résisances r 1 e r son associées en parallèle : RN = ( r1// r) =. Pour déerminer I N r1+ r considérons le dipôle D 1 en cour-circui e exprimons le couran de cour-circui I cc. E E Il vien UAB = 0 = E ri 1 ", Icc = I'' + I0 = + I0. En conséquence IN = + I0. r1 r1 Mainenan si considère le généraeur de Noron équivalen du dipôle D 1 associé au dipôle D, RR N D RR N E UAB = IN = + I0 RN + RD R N + R r1 on rouve. En considéran l équivalence enre les RI N N R N E I = = + I0 RN + RD R N + R r1 deux modèles, on rerouve bien le même résula qu avec le héorème de Thévenin. D aure par en considéran les résulas obenus par l applicaion du héorème de superposiion nous rerouvons égalemen le même résula. 3.5. Théorème de Millman C'es une conséquence direce de la loi des noeuds. Il perme d'exprimer de manière simple la conservaion des courans à un nœud e de rouver l expression du poeniel en ce nœud du circui. Soi le noeud N ou se rejoignen les branches M 1 N, M N, M 3 N,...,M n N d'un circui. Soi R 1, R, R 3,... e R n les résisances des dipôles correspondans à ces branches. La loi des nœuds donne : n Ii = 0. i = 1 En considéran la relaion lian le couran dans une branche avec la différence de poeniel enre les deux nœuds consiuan cee branche : Ii GU i M N Gi ( VM VN) Le poeniel au noeud N obéi à la relaion suivane : = =. i i 4

D ou la relaion générale au noeud N : GV + GV + GV +... + G V = ( G )V. 1 M1 M 3 M3 n Mn k k= 1 n GV = ( G)V k Mk k= 1 k= 1 Applicaion : Considérons oujours le même circui. Nous considérerons que le nœud B consiue la masse du circui e que V B =0. D aure par nous réalisons la ransformaion parallèle-série du généraeur de couran pour simplifier le circui. n k N n N En appliquan le héorème de Millman il vien : G+ g + g V = GV + gv + g V. ( ) 1 A B 1 C D Comme V B =0 e E = VC VB = VC, r0 I = VD VB = VD, il vien simplemen : ge 1 + gri 0 ge 1 + gri 0 VA = soi UAB = VA VB = VA =. Ce résula es idenique à celui G+ g1+ g G+ g1+ g rouvé avec les précédens héorèmes. 5

4. Méhode de résoluion graphique d'un sysème linéaire. Poin de foncionnemen Les lois de Kirchhoff proposen une soluion analyique à la résoluion des circuis. Mais quand ceux-ci deviennen rop complexe il devien plus commode de chercher expérimenalemen une soluion graphique au problème. 4.1. Principe Soi les dipôles quelconques associés : L'inérê de la méhode graphique es qu'elle s'applique quelque soi la naure des dipôles (passifs ou acifs, linéaires ou non). La seule condiion qu'ils doiven vérifier es qu'ils soien indépendans l'un de l'aure. Pour un observaeur qui regarde le dipôle D 1 on race la caracérisique de celui-ci avec la convenion généraeur U=f 1 (I) (C 1 ). le même observaeur regarde cee fois le dipôle D e on race la caracérisique de celui-ci avec la convenion récepeur U=f (I) (C ). Les caracérisiques son racées pour U e I > ou < 0. U e I peuven prendre n'impore quelle valeur lorsque les dipôles foncionnen séparémen mais lorsqu'ils son associés il exise alors une soluion unique (U F, I F ) pour poin de foncionnemen du sysème. Cee soluion correspond à l'inersecion graphique des caracérisiques ce qui équivau à la soluion d'un sysème de équaions à deux inconnues. 4.. Exemple 6

Considérons le monage vu dans les précédens. On uilisera le modèle de Thévenin équivalen du dipôle D 1. La caracérisique du dipôle D 1 a pour équaionu AB = E h R h I e celle du dipôle D es égale à : UAB = RI. Lorsque les deux dipôles son branchés ensemble le couran I F e la ension U F correspondan au poin de foncionnemen du circui lorsque ces deux dipôles son associés REh UF = Eh RhI UF = F R + Rh vérifien :. D où :. Ce qui correspond aux coordonnées du UF = RIF Eh I = F R + Rh poin d inersecion des deux caracérisiques. Ce résula es encore une fois conforme avec celui éabli par les héorèmes de superposiion e de Thévenin. 7

5. Puissance dans les dipôles linéaires en régime coninu 5.1. Inroducion Lorsqu un dipôle es parcouru par un couran, c es qu il exise au sein de ce dipôle un champ élecrique exerçan une force sur les poreurs de charge pour les déplacer. Or oues force don le poin d applicaion se déplace produi un ravail. L énergie élecrique apporée au dipôle fourni donc un ravail. La dérivée de ce ravail par rappor au emps consiue ce qu on appelle la puissance élecrique. 5. Expression générale de la puissance Soi un dipôle défini par ses bornes A e B. Considérons la charge élémenaire libre q qui raverse ce dipôle sous l acion d un champ élecrique issu de la différence de poeniel appliquée enre les bornes A e B. Nous l avons vu précédemmen, cee charge es soumise à une force F = qe. Le ravail fourni pour déplace la charge de la borne B à la borne A s exprime de la façon suivane : W B A A = Fd l ou dl représene un élémen infiniésimal du B raje parcouru par la charge. En remplaçan la force par son expression ou obien : A W = B A qedl. Compe enu de la définiion de la différence de poeniel vu iniialemen on B A a : W = B A qedl = q Edl = q( V A VB) B A B. La puissance élecrique es alors égale à : dwb A dq P = = ( VA VB) = UABI. La puissance élecrique consommée ou fournie par un d d dipôle es donc égale au produi enre la ension à ses bornes mulipliée par le couran qui le raverse. Cee puissance s exprime en wa (W). L énergie élecrique (ou le ravail correspondan) s exprime en joule de façon générale ou en kw.h dans le cas pariculier de l énergie élecrique. C'es-à-dire la puissance élecrique consommée fois le emps d uilisaion. 5.3 Puissance dans un conduceur ohmique Aux bornes d un conduceur ohmique la ension e l inensié son reliées par la loi d Ohm el que : UAB = RI ou I = GUAB. D où la puissance dissipée par le conduceur ohmique : UAB P = UABI = RI = = GUAB. R Remarque : Lorsqu un couran raverse un conduceur ohmique, le ravail résisan des forces de froemen s oppose au déplacemen des charges. Cela se radui par un échauffemen du conduceur : c es l effe Joule. 5.4. Puissance dans un dipôle acif généraeur Soi le dipôle acif généraeur suivan : 8

Aux bornes d un généraeur la ension e l inensié son liées par : UMN = E ri, d où l expression de la puissance P = UMNI = EI ri. EI représene la puissance oale fournie par le généraeur qui correspond au ravail du champ élecromoeur dans le généraeur. Ce ravail se radui par une augmenaion de l énergie des poreurs de charge pendan la raversée du généraeur. ri représene la puissance dissipée par effe Joule dans le généraeur. Ce ravail radui la pere d énergie des poreurs de charges lors de la raversée du généraeur. On cherchera oujours à minimiser ces peres. EI ri représene la puissance fournie (ou puissance disponible) par le généraeur à l exérieur, c.a.d. au réseau dans lequel il fai circuler le couran. 5.5. Puissance dans un dipôle acif récepeur Soi le dipôle acif récepeur suivan : Aux bornes d un généraeur la ension e l inensié son liées par : U = e+ ri, d où l expression de la puissance P U I ei ri = AB = +. ei représene la puissance uile fournie au récepeur pour la ransformaion de l énergie élecrique en une aure forme d énergie. ri représene la puissance dissipée par effe Joule dans le récepeur. Ce ravail radui la pere d énergie des poreurs de charges lors de la raversée du récepeur. On cherchera oujours à minimiser ces peres. ei + ri représene la puissance oale reçue par le récepeur. AB 9

6 Le régime ransioire Jusqu à mainenan nous avons éudié les circuis en régime coninu. Le régime ransioire, comme nous l avons vu en inroducion de ce cours, correspond au passage enre deux régimes coninus ou permanen d un circui. Nous nous limierons ici à l'éude du régime ransioire enre deux régimes coninus de circui simple conenan des dipôles passifs ou acifs linéaires els que des résisances, des condensaeurs, des bobines e des généraeurs. L analyse de circui en régime ransioire consise esseniellemen à décrire les variaions en foncion du emps des grandeurs élecriques couran e ension enre les deux éas d équilibre correspondan aux régimes coninus. En régime ransioire comme en régime permanen la ension e le couran son noés respecivemen : u() e i(). 6.1 Relaion ension - couran pour les dipôles R, L e C 6.1.1 Relaion ension couran aux bornes d une résisance Comme en régime coninu, la ension aux bornes d une résisance es proporionnelle au couran qui la raverse. On rerouve alors la loi d ohm : u () = Ri () 6.1. Relaion ension couran aux bornes d un condensaeur Comme nous l avons vu précédemmen le couran élecrique es défini par la quanié de charge q qui raverse la secion S d un conduceur pendan un emps. Lorsque l on fai endre vers 0 le rappor q peu s inerpréer comme la variaion ou la dérivée par rappor au emps de la charge q(). On obien alors la grandeur dq() d insananée du couran el que : i () = [ q ()] d = d. Dans le cas ou nous considérons un condensaeur dans une branche d un circui parcourue par un couran i(), l accumulaion des charges élecriques q() au cours du emps va induire une q () ension u() aux bornes du condensaeur el que : u () =, ou C es la capacié (en farad F). C En remplaçan q() on obien alors la relaion couran ension aux bornes d un condensaeur : dq() d d d du() i () = = [ q ()] = [ Cu ()] = C [ u ()] = C d d d d d Dans l exemple présené par le schéma, si i() es posiif, cela correspond à un accroissemen de la quanié de charge accumulée par le condensaeur (dq() > 0). A l inverse si i() es négaif, cela correspond à une réducion de la quanié de charge (dq() < 0). Remarques : Lorsque la quanié de charge d un condensaeur croî (dq() > 0) cela signifie que le condensaeur se charge. Un condensaeur ne peu se charger infinimen. Aussi lorsqu il aein sa charge maximale, noée Q, la quanié de charge dq() arrivan sur l armaure du condensaeur devien nulle. Par conséquen le couran circulan dans la branche conenan le condensaeur s annule égalemen (i()=0). Dans ce cas le condensaeur es 30

équivalen à un circui ouver comme nous l avons vu précédemmen en régime coninu. Lorsque la quanié de charge d un condensaeur décroî (dq() < 0) cela signifie que le condensaeur se décharge. Un condensaeur ne peu se décharger infinimen. Aussi lorsqu il es complèemen déchargé, la quanié de charge dq() quian l armaure du condensaeur devien nulle. Par conséquen le couran circulan dans la branche conenan le condensaeur s annule égalemen (i()=0). Dans ce cas le condensaeur es égalemen équivalen à un circui ouver. 6.1.3 Relaion ension couran aux bornes d une bobine En régime ransioire e en régime permanen la relaion couran ension es régie par le phénomène d auoinducion. Ce phénomène se radui par l appariion aux bornes de la bobine d une ension qui s oppose à la variaion du couran qui la raverse. Cee ension es proporionnelle à la variaion du couran i() par rappor au emps es elle es noée : di() d u () = L L [ i ()] d = d. La relaion dépend égalemen d une consane L appelée inducance de la bobine (en henry H). Lorsque le couran raversan la bobine croî (di() > 0), la ension es posiive e lorsque le couran décroî (di() < 0), la ension es négaive. Remarque : En régime coninu, lorsque le couran qui raverse la bobine es consan au cours du emps (di() = 0) la ension aux bornes de la bobine es nulle. Dans ce cas la bobine es équivalene à un cour-circui. 6. Réponse d un circui e RL à un échelon de ension ou de couran 6..1 Réponse d un circui La charge du condensaeur Soi le circui suivan consiué d un généraeur de ension idéal de f.é.m. E en série avec un inerrupeur K, d une résisance R e d un condensaeur de capacié C. L inerrupeur es iniialemen ouver e le condensaeur es déchargé. La ension aux bornes du condensaeur es donc nulle ainsi que la ension aux bornes de la résisance puisqu il n y a pas de couran qui circule dans le circui. A l insan = 0 l inerrupeur es fermé. En écrivan la loi des mailles pour ce circui nous obenons : E u () u () = 0. C R 31

En expriman la ension u C () aux bornes du condensaeur en foncion de la charge q() e la ensions u R () aux bornes de R en foncion du couran i() circulan dans le circui e en expriman i() en foncion de la charge du condensaeur q() on obien : q () dq () E uc () Ri() = E R 0 C d =. Cee équaion peu-êre mis sous la forme suivane : dq() 1 E + q () =. d R Il s agi d une équaion différenielle du premier ordre avec second membre non nul qui don la résoluion donne l évoluion de la charge du condensaeur en foncion du emps. Pour résoudre cee équaion on suppose dans premier emps que le second membre de l équaion es nul. L équaion devien : dq() 1 dq() 1 = q () puis = d. d q () Le erme de gauche correspond à la dérivée de la foncion logarihme népérien el dx que d[ Ln( x) ] =. L inégraion par rappor au emps de la foncion précédene nous donne x alors : e + C e Ln[ q() ] = + C soi q () = e = Ae ou A es une consane homogène à une charge élecrique que l on doi déerminer. L équaion iniiale présenée un second membre non nul don nous devons prendre compe dans la recherche de la soluion. Dans le cas d un second membre consan par rappor au emps la soluion es donnée par l équaion suivane : q () = Ae + Bou B es une aure consane qu il fau égalemen définir. Pour rouver ces inconnues il es nécessaire de considérer les condiions iniiales du problème. Nous avons di dans l énoncé que le condensaeur éai iniialemen déchargé. Soi à = 0, q( = 0) = 0. En remplaçan = 0 dans l équaion précédene on obien la relaion suivane enre les consanes A e B : A+B=0. Soi A=-B. D aure par en remplaçan l expression de q() dans l équaion différenielle on obien : dq() 1 A 1 E + q () = e + Ae A = soi A= CE = Q qui es bien d R homogène à une charge. La soluion de l équaion régissan la charge du condensaeur es alors donnée par : q () = CE 1 e = Q 1 e. On en dédui alors la ension aux bornes du q () condensaeuruc() = = E 1 e, l inensié du couran circulan dans le circui : C dq() E i () = = e ou la ension aux bornes de la résisance : ur() = Ri() = Ee. d R Remarque : Pour des raisons d homogénéié de l équaion donnan q() le produi τ= es donc homogène à un emps e défini ce qu on appelle la consane de emps du circui. 3

La représenaion graphique de q() donne l allure de la charge du condensaeur. Grâce à cee courbe on consae que la charge du condensaeur end au cours du emps vers la charge Q qui représene la charge maximale du condensaeur. La viesse de charge du condensaeur dépend de la consane de emps τ. La figure représene différenes courbes de charge du condensaeur C pour différenes valeurs de résisance. Pour déerminer graphiquemen la valeur de la consane de emps d un circui on uilise la angene à l origine (T) de la courbe q() Q d équaion : y =. La angene coupe alors l asympoe horizonale d ordonnée Q en = τ. La décharge du condensaeur Considérons oujours le même circui une fois le condensaeur complèemen chargé. A un insan 1 que l on considèrera comme nouvelle origine des emps, on éein le généraeur de ension idéal qui, nous le rappelons, es alors équivalen à un courcircui. Le circui équivalen es alors donné par la figure ci-conre. La loi des mailles donne : u () + u () = 0. R C 33

Par la même méhode que pour la charge du condensaeur en remplaçan les ensions par leurs expressions en foncion du couran e de la charge du condensaeur on obien : dq() 1 + q () = 0. d La résoluion de cee équaion différenielle avec second membre nul s éabli de la même façon que pour la charge e on rouve : q () = CEe = Qe. La charge du condensaeur va alors décroîre au cours du emps e endre vers 0. La représenaion graphique de la décharge du condensaeur perme comme pour la charge de déduire la consane de emps en uilisan la angene à l origine. Comme dans le cas de la charge, à parir de l expression de la charge q() il es possible d en déduire l expression de i() u R () ou u C (). q () = CEe = Qe E i () = e = Ie 0 R u () = Ee R u () = Ee C 6.. Réponse d un circui RL Nous considérons cee fois un circui comprenan un généraeur de ension idéal de f.é.m. E en série avec une résisance R e une bobine d inducance L e d un inerrupeur K. Fermeure du circui A l insan = 0 l inerrupeur es fermé. La loi des mailles donne alors : E u () u () = 0. L R 34

On exprime cee fois les ensions en foncion du couran i(), soi l équaion différenielle du premier ordre avec second membre consan e non nul : di() R E + i () =. d L L La résoluion de cee équaion donne : R R E L L i () = 1 e = I0 1 e R. L inerpréaion de cee équaion monre que la présence de la bobine s oppose à l éablissemen insanané du couran dans le circui e que celui-ci s éabli avec une L consane de emps définie par τ =. La R ension aux bornes de la bobine s exprime R di() L alors : ul() = L = Ee e aux bornes d de la résisance on a : R L ur() = Ri() = E 1 e. A l insan où l inerrupeur es fermé le couran dans le circui es nul e la ension aux bornes de la bobine es égale à la f.é.m. du généraeur. Au fur e à mesure que le couran croî dans le circui la ension aux bornes de la bobine décroî alors que la ension aux bornes de la résisance croî. Lorsque que le nouveau régime coninu es aein la ension aux bornes de la bobine es nulle e elle es alors équivalene à un cour-circui. Remarque : La présence d une bobine dans un circui indui en général un reard au démarrage d un dipôle acif. 35

Exincion de la source Une fois que le nouveau régime coninu c es éabli on éein à l insan 1 (que nous considérons comme nouvelle origine des emps) le généraeur de ension. La loi des mailles nous donne cee fois : di() R ul() + ur() = 0, soi + i () = 0. d L D où la soluion i () Ie L = 0. Nous rappelons E qu iniialemen il circulai un couran I 0 = R dans le circui. R 6.3 Puissance consommée par un dipôle Nous avons dans le chapire sur le régime coninu que la puissance fournie ou consommée par un dipôle D es égale au produi enre la ension à ses bornes e le couran qui le raverse. En régime ransioire la définiion de la puissance es idenique, ouefois en régime ransioire cee puissance va dépendre du emps elle que : P () = u () i (). En enan compe des relaions couran ension pour les différens dipôles on obien les relaions suivanes pour les puissances consommées par une résisance R un condensaeur C ou une bobine L. Dipôle Relaion couran - ension Puissance consommée Résisance R ur() = Ri() PR () = Ri () Condensaeur C dq() duc () i () = C d = duc() d 1 () () PC = CuC = CuC() d d d Bobine L () di() di() d 1 ul = L P () () () d L = Li = Li d d 36

6.3.1 Puissance consommée dans un circui Considérons le circui éudié au 6..1. Représenons la puissance consommée ou fournie par les différens dipôles après la fermeure de l inerrupeur. Puissance fournie par le généraeur : E τ PG () = E i() = e R Puissance consommée par la résisance : E τ PR() = ur() i() = Ri () = e R Puissance consommée par le condensaeur : E τ τ PC() = uc() i() == e 1 e R On consae qu à ou insan la puissance dissipée par les dipôles R e C es égale à la puissance fournie par le généraeur : P () = P () + P (). G R C Le condensaeur a socké sous forme d une charge Q une parie de l énergie fournie par le généraeur. Après exincion du généraeur, le condensaeur va alors se comporer comme un généraeur qui va rendre l énergie emmagasinée qui sera alors dissipée par la résisance. D où E² τ PR() = PC() = e. R 6.3. Puissance consommée dans un circui RL Considérons le circui RL éudié au 6... Représenons la puissance consommée ou fournie par les différens dipôles après la fermeure de l inerrupeur. Puissance fournie par le généraeur : E τ PG () = E i() = 1 e R Puissance consommée par la résisance : E τ PR() = ur() i() = Ri () = 1 e R Puissance consommée par la bobine : E τ τ PL() = ul() i() = e 1 e R On consae qu à ou insan la puissance dissipée par les dipôles R e L es égale à la puissance fournie par le généraeur : PG() = PR() + PL(). Après l exincion du généraeur, la bobine va s opposer à l exincion du couran dans le circui en voyan apparaîre une ension à ses bornes. La bobine va alors se comporer comme un généraeur qui va fournir une puissance qui sera dissipée par la résisance. D où E² τ PR() = PL() = e. R 37