Fonctions trigonométriques Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 04/05 Table des matières Rappels de trigonométrie. Définitions, premières propriétés..................................... Formules de trigonométrie....................................... Fonctions sinus et cosinus 4. Définition................................................. 4. Parité................................................... 4. Périodicité................................................. 4 Étude des fonctions sinus et cosinus 5. Dérivées des fonctions cosinus et sinus................................. 5. Variations, courbe représentative.................................... 5. Complément : limite de sin en zéro.................................. 6 Table des figures Cosinus et sinus.............................................. Angles remarquables........................................... Cosinus et sinus de.......................................... 4 4 Fonction cosinus............................................. 6 5 Fonction sinus............................................... 6 Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA http://creativecommons.org/licenses/by-sa/.0/fr/
RAPPELS DE TRIGONOMÉTRIE Rappels de trigonométrie. Définitions, premières propriétés Définition : Soit C le cercle trigonométrique et un réel (voir figure ). On appelle M le point associé au réel sur le cercle trigonométrique. On ( appelle cosinus et sinus de (notés cos et sin ) les coordonnées du point M dans le repère O ; OA ; OB ). cos : abscisse du point M sin : ordonnée du point M. Figure Cosinus et sinus Remarques :. Pour tout réel : cos sin. A ( ; 0) donc : cos (0) = et sin (0) = 0. B (0 ; ) donc : cos ( ) ( = 0 et sin ) =. A ( ; 0) donc : cos () = et sin () = 0. B (0 ; ) donc : cos ( ) ( ) = 0 et sin =.. Le triangle OHM est rectangle en H donc, d après le théorème de Pythagore : OH + HM = OM Or, OM =, OH = (cos ) et HM = (sin ). On a donc : (cos ) + (sin ) = 4. Les cosinus et sinus des angles remarquables sont donnés dans le tableau. Remarque : Pour retenir tous les résultats du tableau, on peut s aider du cercle trigonométrique (voir figure ). Eercices : 50, 5 page 8 page 7 et 5, 5, 54 page 8 6, 8, 9 page 74 [TransMath]. Équations trigonométriques. Inéquations trigonométriques.. Avec un changement de variable.
RAPPELS DE TRIGONOMÉTRIE. Formules de trigonométrie 0 6 cos sin 0 4 0 0 Table Valeurs remarquables de cosinus et sinus. Figure Angles remarquables. Formules de trigonométrie Angles associés :. cos ( ) = cos et sin ( ) = sin.. cos ( ) = cos et sin ( ) = sin.. cos ( + ) = cos et sin ( + ) = sin. 4. cos ( ) = sin et sin ( ) = cos. 5. cos ( + ) = sin et sin ( + ) = cos. Formules d addition :. cos (a b)=cos a cos b + sin a sin b. cos (a + b)=cos a cos b sin a sin b. sin (a b)=sin a cos b cos a sin b 4. sin (a + b)=sin a cos b + cos a sin b Formules de duplication :. cos ()=cos sin = cos = sin. sin ()= cos sin. cos = +cos() et sin = cos()
FONCTIONS SINUS ET COSINUS Fonctions sinus et cosinus. Définition Définition :. La fonction qui, à tout nombre R, associe cos est appelée fonction cosinus et est notée : cos : cos. La fonction qui, à tout nombre R, associe sin est appelée fonction sinus et est notée : sin : sin Remarque : Les images des fonctions sinus et cosinus sont toujours dans l intervalle [ ; ].. Parité Soit M le point du cercle trigonométrique associé au réel et M le point associé au réel ( ) (voir figure ). Figure Cosinus et sinus de M (cos ; sin ) et M (cos ( ) ; sin ( )). Comme M et M sont symétriques par rapport à l ae des abscisses, on en déduit que : cos ( ) = cos sin ( ) = sin Propriété : La fonction cosinus est paire. Sa courbe représentative est donc symétrique par rapport à l ae des ordonnées. Propriété : La fonction sinus est impaire. Sa courbe représentative est donc symétrique par rapport à l origine du repère.. Périodicité Soit un réel. Le point M associé à sur le cercle trigonométrique est aussi associé à +. Par suite, on a : cos ( + ) = cos sin ( + ) = sin 4
ÉTUDE DES FONCTIONS SINUS ET COSINUS Propriété : Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période. Il suffit donc d étudier ces fonctions sur un intervalle de longueur. On obtient leurs courbes représentatives sur R par des translations de vecteur k ı (avec k Z). Étude des fonctions sinus et cosinus. Dérivées des fonctions cosinus et sinus Théorème (admis) Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et, pour tout R : Remarque : On en déduit donc les résultats suivants : sin () = cos () et cos () = sin (). Une primitive sur R de f () = cos () est F () = sin ().. Une primitive sur R de f () = sin () est F () = cos ().. Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction sin (u) est dérivable sur I et sa dérivée est u cos (u). 4. Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction cos (u) est dérivable sur I et sa dérivée est u sin (u). 5. Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I et si f est de la forme u cos (u), alors une primitive de f sur I est sin (u). 6. Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I et si f est de la forme u sin (u), alors une primitive de f sur I est cos (u). Eercices : 7, 8, 9, 0,,, 4 page 8 4 6 page 8 5 page 0 ; 7 page 04 ; 40 page 08 ; 7 page 7 et 77, 78, 84 page 8 6 [TransMath]. Variations, courbe représentative Étude de la fonction cosinus : La fonction cosinus est périodique de période, on peut donc limiter l étude de cette fonction à un intervalle d amplitude. On prendra l intervalle I = [ ; ]. On note f () = cos. f est dérivable sur I et f () = sin. À l aide du cercle trigonométrique, on a facilement le signe de sin : 0 sin 0 0 + 0 On en déduit le tableau de variations de la fonction cosinus : 0 cos () = sin 0 + 0 0 cos La courbe représentative de la fonction cosinus se trouve sur la figure 4. Étude de la fonction cosinus : La fonction sinus est périodique de période, on peut donc limiter l étude de cette fonction à un intervalle d amplitude. On prendra l intervalle I = [ ; ]. On note g () = sin. g est dérivable sur I et g () = cos. À l aide du cercle trigonométrique, on a facilement le signe de cos : 4. Calculs de dérivées. 5. Tangentes. 6. Primitives, intégrales. 5
. Complément : limite de sin en zéro ÉTUDE DES FONCTIONS SINUS ET COSINUS Figure 4 Fonction cosinus sin 0 + 0 On en déduit le tableau de variations de la fonction sinus : sin () = cos 0 + 0 0 sin 0 La courbe représentative de la fonction sinus se trouve sur la figure 5. Figure 5 Fonction sinus Eercices :, page 7 ; 4, 5 page 7 ; 4 page 76 ; 58 page 84 7 5 page 76 et 60 page 84 8 6 page 84 9 7, 7, 74 page 87 0 [TransMath]. Complément : limite de sin Propriété : en zéro sin lim 0 = 7. Étude de fonctions. 8. Suites et fonctions trigonométriques. 9. Vrai-Fau. 0. Type BAC. 6
RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES Démonstration : Si 0, le tau d accroissement de la fonction sinus entre 0 et est : sin sin 0 0 = sin Or, la fonction sinus est dérivable en zéro, donc la limite de ce tau d accroissement lorsque tend vers zéro est le nombre dérivé en zéro, d où : sin lim 0 = sin (0) = cos (0) = Eercices : 8, 9, 4 page 8 ; 4, 45, 46, 48 page 8 [TransMath] Références [TransMath] TransMATH Term S, Programme 0 (Nathan), 5, 6, 7. Limites de fonctions et de suites. 7