Corrigé entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIERSITAIRE 206 Samedi 20 février 206 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h A. P. M. E. P. Les calculatrices sont autorisées. Problème La partie A est indépendante des parties B et C Partie A Une banque propose un contrat d assurance vie qui fonctionne de la façon suivante. À l ouverture du contrat en janvier 206, le client dépose 5 000 euros. Le 3 décembre de chaque année, la banque ajoute des intérêts à hauteur de 2 %. Puis chaque année, le er janvier, le client dépose 500 euros. Les intérêts produits une année engendrent eu-mêmes des intérêts les années suivantes. On note I n le solde de l assurance vie au er janvier de l année (206+n). Ainsi I 0 = 5000.. I = I 0,02+500= 5000,02+500 = 5600 ; I 2 = I,02+500= 5600,02+500 = 622 ; I 3 = I 2,02+500= 622,02+500 = 6836,2. 2. Ajouter chaque année 2 % d intérêts c est multiplier le capital par,02 et comme on rajoute chaque début d année 500, on a bien I n+ =,02I n + 500. 3. K n = I n + 25000, donc K n+ = I n+ + 25000=,02I n + 500+25000=,02I n + 25500. Or 25500= 25000,02, donc K n+ =,02I n + 0,02 25000 =,02(I n + 25000)=,02K n. Cette égalité montre que la suite (K n ) est géométrique de raison,02 et de premier terme K 0 = I 0 + 25000= 30000.. On sait que pour tout naturel n, K n = K 0,02 n = 30000,02 n. Or K n = I n + 25000 I n = K n 25000= 30000,02 n 25000. 5. Comme, 02 >, on sait que lim n +,02n =+ et par conséquent lim n + I n =+. ariables : n est un naturel i est un décimal à deu décimales Initialisation : Affecter à n la valeur 0 Affecter à i la valeur 5 000 Traitement : Tant que i < 20000 Affecter à n la valeur n+ Affecter à i la valeur,02 i + 500 Fin du Tant que Affichage : Afficher 206 + n Le solde (20 70 ) sera supérieur à 20 000 euros au bout de 2 années, soit en 2037.
Partie B Soit f la fonction définie pour par 30 6 f ()= 5 2. On note C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.. f ()= 30 6 5 2 = 3. 6 30 On peut écrire puisque 0, f ()= 5 2. 6 On sait que lim + = lim 2 = 0, donc + lim 30 f ()= + 5 = 2. Ceci montre que la courbe C admet au voisinage de plus l infini une asymptote horizontale d équation y = 2. 2. Comme, 5 2 3>0 : la fonction f est donc dérivable sur [ ; + [ et on a : f 30(5 2) 5(30 6) ()= (5 2) 2 = 60+20 (5 2) 2 = 80 (5 2) 2 3. La dérivée est clairement supérieur à zéro quelque soit le réel ; la fonction f est donc croissante de f ()= 3 à 2.. y 2 0 C 0 2 3 5 Partie C Un cadre de la banque envisage la commercialisation d un produit financier dont la valeur, en centaines d euros à la fin de l année (206+n), serait modélisée par la suite (u n ) définie par : u 0 = et pour tout entier n, u n+ = f (u n ).. Initialisation : u 0 =, donc on a bien u 0 2. 2. Hérédité : supposons qu il eiste un naturel p tel que u p 2. On a u p+ = f ( u p ) : or on a vu dans la partie B que pour, alors f () 2, donc u p+ 2. On a donc démontré par récurrence que pour tout entier n, u n 2. v n = 5u n 20 5u n 2 a. Comme u n 2, 5 5u n 30 et 3 5u n 2 8 ; le dénominateur est donc non nul, v n eiste quel que soit le naturel n. b. On a u 0 =, u = f (u 0 )= 3 et u 2 = f (u )= 30 53 6. v 0 = 5u 0 20 5u 0 2 = 5 3 = 5 3 ; 3 6 5 3 2 = 22 3 = 22 8 8 = 3 20 février 206 2
v = 5u 20 5 5u 2 = 3 20 5 3 2 v 2 = 5u 2 20 5u 2 2 = 5 53 6 20 5 53 6 2 On a v n+ = 5u n+ 20 5u n+ 2 = 5 = 50 3 = 50 5 57 ; 3 = 25 6 23 6 30u n 6 5u n 2 20 = 25 23. 5 30u n 6 5u n 2 2 = 5(30u n 6) 20(5u n 2) 5(30u n 6) 2(5u n 2) = 50u n 20 300u n + 0 50u n 20 80u n + 2 = 50u n 200 270u n 26 = 75u n 00 35u n 08 = 5(5u n 20) (5u n 2) = 5 5u n 20 5u n 2 = 5 v n. L égalité v n+ = 5 v n montre que la suite (v n ) est géométrique de premier terme 5 3 et de raison 5. c. On sait que quel que soit le naturel n, v n = 5 3 ( 5 ) n. d. v n = 5u n 20 5u n 2 v n (5u n 2) = 5u n 20 5u n v n 2v n = 5u n 20 u n (5 5v n )=20 2v n et enfin pour v n, u n = 20 2v n 5 5v n. On a donc : u n = 20 2v 20 2 n = 5 5v n n + 5 n ( 5 ) 3 ( 5 5 5 3 3 n + 5 5 n. u n = 5n + n 5 5 n + 3 n. ( ) 5 n ( ) 5 n ( ) 5 n 20+20 + )( ) 5 n = ( ) 5 n = ( ) 5 n = 5+25 3+5 e. Établir un algorithme permettant de déterminer la première année pour laquelle le tau de variation de ce produit financier sera inférieur à 2 %. Déterminer cette année. 20 février 206 3
Eercice : rai ou Fau Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant soigneusement la réponse.. On dispose d un dé à quatre faces bien équilibré, dont les faces sont numérotées de à. Un joueur qui lance le dé gagne 3 euros s il tombe sur, euro s il tombe sur et perd 2 euros sinon. On note G la variable aléatoire égale au gain du joueur. On a E(G)= + ( 2) + ( 2) + 3 = ( 2 2+3)= 0. Proposition : l espérance de G est nulle. 2. Une urne contient 5 chaussettes vertes et 5 chaussettes bleues. Une personne tire successivement et sans remise deu chaussettes. 3 B B La probabilité de tirer deu chaussettes de même couleur est : p( ) p ( )+ p(b) p B (B)= 3 + = 2+ = 6 76 = 23 0,6052 soit 38 0,605 au millième près. Proposition : la probabilité qu il obtienne deu chaussettes de la même couleur, arrondie à 0 3, est égale à 0,605. 3. Une usine fabrique des assiettes en grande quantité. On admet que % des assiettes fabriquées sont cassées. On prélève au hasard 00 assiettes, et on considère que le stock d assiettes disponibles est très important. 5 5 On a une loi binomiale de paramètres n= 00 et p= 0,0. La probabilité cherchée est celle qu il y ait 0 ou assiette cassée, soit : 0,0 0 0,6 00 + 00 0,0 0,6 0,087< 0,. Proposition : la probabilité qu au moins assiettes ne soient pas cassées est supérieure à 0,.. Soient (C ) la courbe représentative de la fonction eponentielle dans un repère et (D) la tangente à cette courbe au point d abscisse 0. (C ) a pour équation y = f ()=e. Pour = 0, y =. La tangente au point de coordonnées (0 ; ) a pour équation : y f(0)= f (0)( 0) ; or f ()=e, donc f (0)=. L équation est donc : y = ou encore y = d()=+. Considérons la fonction δ définie sur R par : δ()f () d()=e (+ )=e. On a δ ()=e ; δ ()>0 e >0 e > > 0 ; δ ()<0 e <0 e < < 0 ; B 20 février 206
δ ()=0 e =0 e = = 0. La fonction δ est donc décroissante puis croissante avec un minimum pour = 0 qui vaut 0. Donc f ()>d() ce qui signifie que la courbe (C ) est au-dessus de la droite (D) pour tout réel,... sauf pour = 0 Proposition : la courbe (C ) est au-dessus de la droite (D). 5. Dans un repère orthonormé, on note (d) la droite, passant par A(2 ; ) et parallèle à la droite (d ) d équation 2y+ 3=0. Une équation de d est 2y+ k = 0 avec k R. A(2 ; ) (d) 2 2 +k = 0 k = 0. Une équation de d est donc 2y = 0 = 2y y = 2. Proposition : (d) a pour équation y = 2. 6. On considère la fonction f définie surrpar f ()= ( 2 ) ln(). La proposition est vraie si f ()=0. Or f ()=2 ln + 2, d où f ()=2 ln + 2 = 0+0=0. Proposition : dans un repère orthonormé, la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse est horizontale. 7. Dans un repère orthonormé, on désigne par A, B et C les points de coordonnées A( ; 3), B(6 ; ) et C(7 ; ). On a : AB 2 = (6 ) 2 + ( 3) 2 = 5 2 + 2 = 26 ; AC 2 = (7 ) 2 + ( 3) 2 = 6 2 + ( ) 2 = 52 ; BC 2 = (7 6) 2 + ( ) 2 = 2 + ( 5) 2 = 26. On a donc AB 2 = BC 2, d où AB = BC : le triangle ABC est isocèle en B. D autre part : 26+26=52 AB 2 + BC 2 = AC 2, donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. Proposition : le triangle ABC est rectangle isocèle. 8. Proposition : Pour tout réel, sin(π ) = sin().. Soit (u n ) une suite croissante minorée. La suite définie pour, par u n = n 2 est croissante minorée par 0 et ne converge pas. Proposition : la suite (u n ) converge. 0. f est une fonction définie surr, positive et croissante. Contre-eemple : la fonction f définie surrpar : f ()= est positive +e croissante et a pour limite au voisinage de plus l infini. Proposition : La limite de la fonction f en+ est+. FIN 20 février 206 5