Introduction : Mesures et espaces de probabilités

Itroductio : Mesures et espaces de probabilités Référeces : Poly cédric Berardi et Jea Michel Morel. J.-F. Le Gall, Itégratio, Probabilités et Processus Aléatoire J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2, maîtrise-agrégatio, Cassii, (2) D. Williams, Probability with martigales, Cambridge Uiversity Press, (1991) Durrett R., Probability : Theory ad examples, Duxburry, (1995). Grimmett G., Stirzaker D., Probability ad Radom Processes, Oxford Uiversity Press, Third Editio, (21) Lecos : Loi des grads ombres. Théorème de la limite cetrale. Applicatios. Idépedace d évéemets et de variables aléatoires. Exemples. Suite de va de beroulli idepedates Utilisatio e probas de la trasformatio de Fourier ou de Laplace et du produit de covolutio. Nous sommes habitués à muir u espace Ω d ue topologie pour regarder des covergeces. Nous allos ici le muir d ue tribu pour mesurer des esembles et itégrer. Nous avos surtout e tête de regarder des tribus egedrées par ue topologie pour faire les deux et cosidèrer des mesures de masse 1, c.a.d. des probabilités. 1 Algèbres, tribus, π-systèmes, λ-systèmes et espaces mesurables Soit Ω u esemble quelcoque. O commece par défiir toute ue typologie de collectios d esembles que l o utilisera tout au log du cours. Défiitio 1.1. (π,λ-systèmes, algèbres et tribus) 1. Ue classe P de sous-esembles de Ω est appelée u π-système ssi : A, B P A B P 2. Ue classe F de sous-esembles de Ω est appelée ue algèbre ssi : i) Ω F. ii) F F F c F. iii) F, G F = F G F. 3. Ue classe F de sous-esembles de Ω est ue tribu (ou σ-algèbre) ssi : i) F est ue algèbre. 1

ii) Si F F pour tout N alors N F F. Défiitio 1.2. (λ-systèmes) Ue classe L de sous-esembles de Ω est appelée u λ-système ssi : i) Ω L. ii) Si A, B L et A B alors B\A L. iii) Si (A ) N est ue suite croissate d élémets de L alors N A L. Remarque 1.1. (i) U tribu est ue algèbre (qui est u π système) et u λ système. U λ système est pas forcemet u π système (et doc ue tribu), à cause de l itersectio. Predre par exemple {, A, B, Ω A, Ω B, Ω} qui est u λ système mais e cotiet pas A B. Ue algèbre est u π système, mais pas forcémet vrai u λ système. Les parties de N fiies ou de complémetaires fiies formet ue algèbre mais pas u λ système à cause des etiers pairs, tout commes les uios fies d itervalles semi-ouverts. (ii) La différece etre topologie et tribu? Le passage par complemetaire marche pour les tribus (pas pour les topologies) mais pour les tribus l uio doit etre déombrable. La topologie est doée par l uio quelcoque d itersectio fiie d élémets des esembles qui l egedret (ces itersectios sot des bases de voisiage), la tribu c est plus compliqué... (iii) O peut remplacer les stabilités par itersectio par des stabilités par uio pour l algèbre (et doc la tribu, mais pas le λ système) qui possèdet le passage au complémetaire et à l uio, et l uio par ue uio disjoite ou croissate pour la tribu. (iv) Ue itersectio quelcoque (déombrable ou pas) de π-systèmes, λ-systèmes, d algèbres ou de tribus est (respectivemet) u π-système, u λ-système, ue algèbre ou ue tribu. (v) Le π-système, le λ-système, l algèbre ou la tribu egedrée par ue partie χ est l itersectio de tous ceux coteat χ. (vi) Vous savez egedrer ue topologie par ue base de voisage e preat l uio quelcoque d itersectio fiie d élémet de cette base. Le coi du curieux (cf le cours d Amaury Lambert à Jussieu e L3, TD 4). O pourrait peser (au vue aussi de certais cas particuliers) que trouver la tribu egedrée par ue classe C se fait e ajoutat à C les uios déombrables et les complémetaires des parties de C. Maque de chace, cela e marche pas toujours, otammet pour le cas de la tribu boréliee sur R. Et ce même si c est u π système (ou que l o ajoute les itersectios déombrables). Si l o obtiet aisi ue tribu, o a bie trouvé la tribu egedrée par (C). Si l o procède de la sorte e partat des itervalles réels, o e tombe e effet pas sur ue tribu. Il faut e fait itérer ce processus par récurrece trasfiie pour obteir la tribu des borélies. Cela explique pourquoi il est impossible de fourir ue descriptio explicite complète des borélies de R. O peut motrer que la tribu boréliee sur R a la puissace du cotiu, ce qui motre l existece de o-borélies (car P(R) a ue puissace strictemet supérieure à celle du cotiu). Propositio 1.1. Ue collectio de sous-esembles de Ω est ue tribu ssi c est à la fois u λ-système et u π-système. Le théorème suivat est fodametal das tout ce qui suit et otammet das la démostratio du théorème de Carathéodory dot ous parleros plus loi. Théorème 1.1. (Dyki) Si P est u π-système coteu das u λ-système alors ce λ-système cotiet la tribu egedrée par ce π-système. 2

Démostratio. Voir TD. Itérêt : Motrer que les esembles vérifiat ue propriété P formet u λ système qui cotiet u π système pour obteir que la tribu egedrée par le π système vérifie P. Défiitio 1.3. Espace mesurable Ue paire (Ω, F), où Ω est u esemble et F est ue tribu sur Ω, est appelée u espace mesurable. U élémet de F est appelé u esemble F-mesurable. Passos maiteat à u exemple fodametal d espace mesurable. Soit S u espace topologique mui de sa famille S d ouverts. O appelle tribu boréliee sur S la tribu egedrée par S. O la ote B(S) et ses élémets sot appelés les borélies de S. Cette tribu est egedrée (par exemple) par l ue des classes suivates (qui sot des π système), voir TD : { d } { d } { d } i=1 [a i ; b i ]; a i, b i R, i=1 ( ; b i ]; b i R, i=1 [a i ; + ); a i R Les élémets de B(R d ) peuvet être très compliqués mais il est possible de costruire des esembles o borélies (voir TD) 2 Mesure Défiitio 2.1. Soit µ ue applicatio de F das [, + ]. 1. µ est dite additivemet déombrable si pour toute suite d élémets disjoits F F tels que F F, µ( F ) = µ(f ). 2. µ est appelée mesure sur u espace (Ω, F) mesurable ssi µ( ) = et µ est additivemet déombrable. Remarque 2.1. L addititive déombrabilité de la mesure etraîe sa mootoie : si A A avec A F, alors µ(a ) A. Bie sur préciser µ( ) = est iutile par 2) si µ est pas idetique à l ifii car µ( ) = µ( ). Tout comme préciser F F est iutile das 2) ici mais utile das Carathéodory. O dira que la mesure µ est fiie (ou de masse fiie) ssi µ(ω) < +. O dira qu elle est σ-fiie ssi il existe ue suite (Ω ) d esembles mesurables tels que µ(ω ) < + et Ω = Ω. O appelera probabilité toute mesure µ de masse µ(ω) égale à 1. (Ω, F, µ) est alors appelé u espace probabilisé ou espace de probabilité. O peut compléter u espace mesuré (Ω, F, µ) e ajoutat les esembles égligeables, i.e. les esembles X tels qu il existe Z F coteat X de mesure ulle. Pour les Borelies, o obtiet la tribu des Lebesguies. O e peut espérer avoir µ( x I F x ) = x I µ(f x) e gééral comme o peut le voir avec l esemble o déombrable I = [, 1], F x = {x} et la mesure de Lebesgue (o obtiet 1 = ). 2.1 Prologemet de mesures Le problème posé est le suivat et est bie illustré par le cas de la mesure de Lebesgue λ. O cherche à défiir ue mesure λ sur (R, B(R)) telle que pour tous réels a < b, λ(]a, b[) = b a. Première questio : existe-t-il ue telle mesure? Si oui, est-elle uique? Théorème 2.1. (Carathéodory) Soit Ω u esemble mui d ue algèbre F et soit F la tribu egedrée par cette algèbre. Si µ est ue applicatio déombrablemet additive µ : F [; + ] alors il existe ue mesure µ sur (Ω, F) telle que Si µ (Ω) < + alors cette extesio est uique. µ = µ sur F 3

Pour obteir la mesure de Lebesgue sur ((, 1], B((, 1])), o peut predre comme algèbre avec r N et a 1... a r b r 1. F = (a 1, b 1 ]... (a r, b r ] Pour la preuve, o commece par établir que deux mesures qui coïcidet sur u π-système (ou doc ue algèbre) coïcidet aussi sur la tribu qu egedre ce π-système (ou cette algèbre). Propositio 2.1. (d uicité des prologemets de mesures) Soit Ω u esemble mui d u π-système P et soit F = σ(p). Supposos que l o ait deux mesures µ 1 et µ 2 sur F de même masse fiie, µ 1 (Ω) = µ 2 (Ω), qui coïcidet sur P. Alors µ 1 = µ 2 Ce résultat (comme d autres plus loi) se gééralise aux mesure σ fiie par limite croissate. Pour le prouver, o défiit la classe D = {F F; µ 1 (F ) = µ 2 (F )}. Il est facile de voir que c est u λ-système puisque puisque le fait que les deux mesures aiet même masse motre que Ω D et les masses fiies assuret que D est stable par différece propre. Doc par le théorème de Dyki, D cotiet F. Passos maiteat à la preuve du théorème de Carathéodory. Démostratio. (Théorème de Carathéodory). Nous idiqueros que les pricipales étapes, les détails état parfaitemet expliqués das [Williams, Probability with martigales]. Etape 1 : Soit P(Ω) la tribu composée de toutes les parties de Ω. Pour u G P(Ω), o défiit { } λ(g) = if µ (F ) où l ifimum est pris sur toutes les suites (F ) d élémets de F qui recouvret G, i.e. G F. λ est pas ue mesure mais est ce que l o appelle (impropremet) ue mesure exterieure, c est-à-dire qu elle jouit des propriétés suivates : a) λ( ) =. b) λ est croissate : G 1 G 2 λ(g 1 ) λ(g 2 ). c) λ est déombrablemet sous-additive : si (G k ) k est ue suite d élémets de P(Ω) alors λ ( k G k ) k λ(g k ) Seule c) mérite d être expliquée. Soit (G ) ue suite supposée telle que pour chaque, λ(g ) < + (sio c est trivial). O se doe ε > et pour chaque, o se doe ue suite d élémets (F,k ) k de F pour lesquels G k F,k, µ (F,k ) λ(g ) + ε2. Alors G,k F,k et o a : λ(g),k k µ (F,k ) Puisque ε est arbitraire, e le faisat tedre vers, o obtiet c). λ(g ) + ε. Etape 2 : O itroduit alors la otio de λ-esembles. U élémet L de P(Ω) est appelé u λ-esemble ssi il décompose tout élémet de P(Ω) propremet, c est-à-dire : λ(l G) + λ(l c G) = λ(g), G P(Ω) 4

Lemme 2.1. Les λ-esembles formet ue tribu L sur laquelle λ est déombrablemet additive si bie que (Ω, L, λ) est u espace mesuré. Démostratio. Motros ce lemme. L est ue algèbre qui jouit de la propriété suivate : Si L 1, L 2,..., L sot des élémets de L disjoits et G P(Ω) ue partie quelcoque de Ω alors λ ( k=1(l k G)) = λ(l k G) k=1 Nous avos doc à démotrer que si (L k ) k est ue suite d élémets disjoits de L alors L = k L k L (cf. la remarque après la défiitio de la otio de tribu) et ( ) λ(l) = k λ(l k ) Par sous-additivité de λ, o a pour tout G P(Ω) : λ(g) λ(l G) + λ(l c G) Passos maiteat à l iégalité iverse. Soit M = k L k. Puisque L est ue algèbre (cf ce qui précède), M L doc Or L c M c si bie que et par ( ), λ(g) = λ(m G) + λ(m c G) λ(g) λ(m G) + λ(l c G) λ(g) λ(l k G) + λ(l c G) k=1 Par passage à la limite quad +, o obtiet λ(g) λ(l k G) + λ(l c G) λ(l G) + λ(l c G) k=1 la deuxième iégalité état ue coséquece de la sous-additivité de λ. O e déduit que L L. D autre part, puisque la derière iégalité est e fait ue égalité, o voit qu il e est de même des autres et que fialemet λ(l G) = k λ(l k G) Il suffit maiteat de predre G = Ω pour coclure. Il ous reste à voir que F L et λ = µ sur F pour achever la preuve du théorème. Etape 3 : Preuve que λ = µ sur F. Soit F F. O a bie etedu λ(f ) µ (F ). Supposos maiteat que F F où F F. O défiit ue suite (E ) d élémets disjoits de F par : E 1 = F 1, E = F ( k< F k ) c 5

si bie que E F et F F = E. E utilisat la σ-additivité de µ sur F, o a µ (F ) = µ ( (F E )) = µ (F E ) Doc µ (F ) µ (E ) µ (F ) si bie que λ(f ) µ (F ) ce qui coclut la troisième étape. Etape 4 : Preuve de F L. Il ous faut voir que si E est u élémet de F alors E décompose propremet les élémets de P(Ω). Soit doc G P(Ω) et soit pour ε > quelcoque ue suite (F ) d élémets de F tels que G F avec µ (F ) λ(g) + ε Par défiitio de λ, µ (F ) = µ (E F ) + µ (E c F ) λ(e G) + λ(e c G) car E G (E F ) et E c G (E c F ). Puisque ε est aussi petit que l o veut, Puisque λ est sous-additive, Doc E est u λ-esemble. λ(g) λ(e G) + λ(e c G) λ(g) λ(e G) + λ(e c G) 2.2 Foctios mesurables Défiitio 2.2. Ue foctio f : (Ω, F) (R d, B(R d )) sera dite mesurable si A B(R d ), f 1 (A) F. O dit qu elle est boréliee quad (Ω, F) (R, B(R )). O doe maiteat ue versio foctioelle du Théorème de Dyki, souvet utile et appliquée sous ue forme das la costructio de l itégrale esuite. Exercice 2.1. (Théorème de la classe mootoe, D. Williams, Probability with martigales, p. 25 ) Soit H ue classe de foctios borées de Ω das R vérifiat (i) H est u espace vectoriel sur R (ii) la foctio costate 1 est u élémet de H (iii) si f est ue suite croissate de foctios positives de H, tedat vers ue foctio f borée sur Ω, alors f H. Alors, si H cotiet les foctios idicatrices de tous les esembles d u π-système I, H cotiet aussi toutes les foctios σ(i)-mesurables et borées sur Ω. 6

1) Soit D la classe des esembles F tels que 1 F H. Motrer que D est u λ-système et e déduire que D cotiet σ(i). 2) Soit f ue foctio σ(i)-mesurable telle qu il existe K N, f(s) K, s Ω. Pour N, o cosidère les foctios e escalier approximat f, où f (s) = i2 1 A(,i) (s), K2 i= A(, i) = {s, i2 f(s) (i + 1)2 }. Motrer que f H, puis que f H. E déduire le théorème. 3 Exercices : Algèbres, tribus et compagie Exercice 3.1. Motrer que la tribu des borélies de R est egedrée par : 1. la classe des itervalles ouverts borés 2. la classe des itervalles borés [a; b) 3. la classse des demi-droites ouvertes ( ; a) 4. la classse des demi-droites fermées ( ; a] Idicatio : Obteir la première e utilisat que tout ouvert est l uio déombrable disjoite d itervalles ouverts (o motre cela e cosidérat la relatio d équivalece xry ssi [x, y] O) et e écrivat u itervalle o boré comme l uio de ses restrictios à [, ] pour N. Exercice 3.2. Exercice (Lemme de Dyki) (Williams, p 193) U π-système est u esemble de parties de Ω stable par itersectio fiie. U λ-système est u esemble L de parties de Ω qui est stable par différece propre et uio déombrable croissate et tel que Ω L. 1) Démotrer qu ue collectio Σ de sous-esembles de Ω est ue tribu si et seulemet si Σ est à la fois u π-système et u λ-système. 2) O va motrer que si I est u π-système, alors la tribu σ(i) egedrée par I et le λ-système egedré par I sot égaux : λ(i) = σ(i). La démostratio est détaillée das les deux questios qui suivet. 2a) Soit D 1 = {B λ(i) : C I, B C λ(i)}. Motrer que D 1 hérite de la structure de λ-système de λ(i). E déduire que D 1 = λ(i). 2b) Posos D 2 = {A λ(i) : B λ(i), B A λ(i)}. Motrer que D 2 cotiet I et hérite de la structure de λ-système de λ(i). E déduire que D 2 = λ(i) est u π-système. 3) Déduire le théorème de Dyki : Soit P u π-système et L u λ-système tel que P L. Alors la tribu egedrée par P est coteue das L. Idicatios 2.a) D 1 est u λ système qui cotiet I et qui est iclus das λ(i) doc D 1 = λ(i). 2.b)Le fait que D 2 cotiet I se déduit de 2a). Puis e substituat λ(i) à I das 2a) et e remarquat que λ(λ(i)) = λ(i), o obtiet D 2 = λ(i) Exercice 3.3. (Il y a pas de tribu déombrable. Cet exercice est extrait de Le Calcul Itegral, H. Buchwalter (e doe pas la correctio).) Soit F ue tribu sur Ω supposée au plus déombrable. 7

a) Démotrer que tout ω Ω est coteu das u plus petit élémet de F. b) E déduire que F est exactemet la tribu egedrée par ue partitio au plus déombrable. c) Motrer alors que F est écessairemet fiie de cardial ue puissace de 2 et que doc il existe pas de tribu déombrable au ses strict. d) Trouver toutes les tribus de N. Réposes : a) Predre l itersectio des élémets de F coteat w. b) O ote F (w) l esemble miimal précédet. La famille {F (w) : w Ω} forme ue partitio pour w Ω. E effet supposos F (w 1 ) F (w 2 ). Alors w 1 F (w 2 ) puisque w 1 / F (w 1 ) F (w 2 ) et doc F (w 1 ) F (w 2 ) puis par symétrie F (w 1 ) = F (w 2 ). Cette famille est au plus déombrable car F l est. Elle egedre la tribu car si F F alors F = w F F (w) puisque w F implique F (w) F. c) La tribu egedrée par ue partitio fiie A 1,, A k fii est doée par k i=1 (A i ou A c i )et a u cardial égal à ue puissace de deux. La tribu egedrée par ue partitio ifiie est o déombrable car elle cotiet (au mois) {, 1} N. d) Toutes les tribus egedrées par ue partitio de N. E effet, o peut ecore motrer la propriété a) : soit et preos pour tout ue partie A coteat telle que / A (si u tel A existe : sio predre A = N). O pose F ( ) = A. Esuite o motre comme pour b) que ces esembles formet ue partitio qui egedre la tribu. Exercice 3.4. (Exemple d esemble o borélie) (Williams, p 192) Soit (R, B(R), λ) l espace des réels mui de la tribu boréliee et de la mesure de Lebesgue. 1) O défiit la relatio biaire suivate sur R xry ssi x y Q Motrer que R est ue relatio d équivalece. 2) O désige par C l esemble des classes d équivalece. Motrer que pour toute classe C C il existe x C [, 1). O choisit alors pour chaque classe C u x C vérifiat la propriété précédete et o ote A = {x C /C C}. 3) Motrer que [, 1] q + A [ 1, 2) q [ 1,1] Q et que les q + A sot deux à deux disjoits. 4) E supposat A borélie, aboutir à ue cotradictio. Exercice 3.5. Ouvert dese de mesure petite : Hauchecore, Les cotre-exemples e mathématiques, pp. 128-131 Motrer qu il existe u ouvert de R coteat Q et de mesure iférieure à ε. Remarquer que cela prouve qu il y a des ouverts deses de mesure aussi petite qu o veut. Idicatio : éumérer les ratioels q, N et cosidérer les itervalles ] 1 2 + q, q + 1 2 [. Exercice 3.6. (Esembles de Cator) (Hauchecore, Les cotre-exemples e mathématiques, pp. 128-131) O cosidère pour < α < 1 l opératio suivate S α : elever à u itervalle [a, b] so itervalle cetral ] a + b 2 α b a 2, a + b + α b a 2 2 [. Soit E R ue uio fiie d itervalles disjoits. O ote s α (E) le résultat de l applicatio de s α à tous les itervalles de E. Quad α = 1 3, l esemble K 1 = 3 1 s 1 ([, 1]) est appelé esemble triadique de Cator. 3 Plus gééralemet, si α = (α 1,..., α,...) est ue suite de coefficiets < α < 1, o pose ecore K α = s α s α 1...s α1 ([, 1]), K α = 1 K α. 1) Motrer que pour toute suite α, l esemble K α est u compact d itérieur vide, équipotet à l esemble des suites biaires (gauche, droite) N. 8

Idicatio : tout élémet de K α est défii de maière uique par le fait qu il appartiet à l itervalle de droite ou de gauche de K 1 α, puis au sous itervalle de cet itervalle de gauche ou de droite das K 2 α, etc. E déduire que K α est équipotet à [, 1]. 2) Motrer que K α est de mesure strictemet positive si et seulemet si α < +. E déduire qu il y a des esembles borélies équipotets à R et de mesure ulle et des fermés de mesure positive et d itérieur vide. Idicatio : La mesure de K α est Π i 1 (1 α i ). Exercice 3.7. (Il existe u esemble égligeable et o borélie) 1) Soit K l esemble triadique de Cator. Motrer que c est u compact o vide (doc borélie) égligeable de R. 2) Motrer par récurrece que l o peut défiir ue suite d applicatios ɛ : [, 1) {, 1}, 1 telle que O défiit alors pour x das [, 1) x [, 1), 1, i=1 f(x) = ɛ i (x) 2 i x < i=1 2ɛ i (x) 3 i Motrer que f est strictemet croissate, ijective et boréliee. 3) Soit A l esemble o borélie de léxercice 4. 1. Motrer que f([, 1)) K 2. Motrer que f(a) est égligeable pour λ. 3. E utilisat l ijectivité de f, établir que f(a) est pas borélie. i=1 ɛ i (x) 2 i + 1 2 Exercice 3.8. Les seules mesures sur R fiies sur les borés et ivariates par traslatio sot des multiples de la mesure de Lebesgue. (Problème 12.1 p. 18 du Billigsley). Solutio : appeler a la mesure d u itervalle de logueur 1, motrer d abord que les itervalles de logueur 1 ot mesure a, puis que les itervalles de logueur ratioelle q ot mesure aq, fialemet que les itervalles de logueur quelcoque b ot mesure ab. Déduire que la mesure cosidérée coïcide sur u π-système qui egedre les borélies avec la mesure de Lebesgue et coclure. Exercice 3.9. La formule du crible. Soit µ ue mesure sur u espace mesurable (Ω, F) et A 1,..., A F. 1) Motrer que par récurrece que P ( i=1a i ) = ( 1) p+1 p=1 1 i 1<...<i p P (A i1... A ip ). 2) Motrer par récurrece sur que pour 1 m, m ( 1) p+1 p=1 1 i 1<...<i p P (A i1...a ip ) est ue majoratio (resp. mioratio) de P ( i=1 A i) lorsque m est impair (resp. pair). Exercice 3.1. (Théorème de Sard) Soit f ue foctio C 1 d u ouvert de R das lui-même. O appelle poit sigulier de f u poit x R tel que Df(x) est o iversible. O ote Df(x) le jacobie de f. 9

L esemble des poits siguliers est doc S(f) = ( Df ) 1 (). Le théorème de Sard dit simplemet que l esemble f(s(f)) est de mesure ulle. 1) Se covaicre que l o peut se coteter de motrer le théorème de Sard quad f est défiie sur u compact. Alors S(f) est compact. 2) O ote B(x, r) la boule de cetre x et de rayo r. Soit x S(f). E écrivat la formule de Taylor, f(x) = f(x ) + Df(x )(x x ) + o( x x ), motrer qu il existe u sous-espace propre V de R N et ue costate C tels pour tout ε > il existe r > tel que où B V (, r) désige la boule de rayo r das V. f(b(x, r)) f(x ) + B V (, Cr) + B(, εr), 3) Soit K u compact de R. Motrer qu il existe C > tel que pour tout r >, K soit recouvert par des cubes (C i,r ) i I de diamètre r et i mesure(c i,r) C. 4) E recouvrat S(f) comme idiqué das la questio précédete, motrer le résultat aocé. Solutio : O écrit R N = KerDf(x ) (KerDf(x )) et, sur cette somme orthogoale d espaces, o décompose x x = y+z, de sorte que y r, z r si x x B(, r). O ote V = Df(x )(KerDf(x ) ). Doc si x x < r assez petit, f(x) = f(x ) + Df(x )(z) + o(x x ) f(x ) + B V (, Cr) + B(, εr), avec C = Df(x ) et où B V (, Cr) est la boule de cetre et de rayo Cr das V. O vérifie aisémet que la mesure de f(b(x, r)) est alors plus petite que C 1 r N ε d où d est la dimesio de KerDf(x ) et C 1 ue costate adéquate. O coclut esuite avec le recouvremet fii par des cubes, e sommat les mesures des cubes de diamètres (qui sot iclues das les boules de diamètres) r, ce qui majore la mesure globale par ɛr.#i r ɛc. 4 Itégrale cotre ue mesure O doe ici les grades liges pour la costructio de l itégrale cotre ue mesure fiie et l objectif sera d itégrer cotre ue probabilité P et d itroduire l espérace d ue variable aléatoire X comme f(x)µ(dx), E(X) := X(ω)P(dω) O peut e fait étedre cette costructio à des mesures σ fiie par limite croissate. Ω 4.1 Costructio : la machie stadard Etape 1. Soit f ue foctio simple (ou étagée) positive, c est-à-dire de la forme N f = a k 1 Ak k=1 où les a k sot des réels positifs et A k des élémets de F. O défiit l itégrale de f relativemet à µ par N fµ = a k µ(a k ) k=1 1

O vérifie aisémet que cette défiitio est cohérete, c est-à-dire qu elle e déped pas de l écriture de f choisie. D autre part, des propriétés simples comme la liéarité, la positivité se démotret aisémet. O peut costruire des modes d approximatio simples pour ue foctio mesurable positive. Par exemple si f est positive mesurable, f k := k2 k 1 l= l 2 k 1 [ l l+1 2k f< 2 k ] + k 1 [f k] coverge simplemet vers f et uiformémet si f est e plus borée. Ceci motive la défiitio suivate et préfigure les résultats de passage à la limite mootoe (Beppo-Lévy) Etape 2. Soit maiteat f ue foctio positive mesurable. O défiit so itégrale par fµ = sup{ hµ : h foctio simple positive, h f} Cette quatité peut être ifiie et o dira que f est itégrable si elle est fiie. O vérifie que si h est ue foctio simple positive, alors cette ouvelle défiitio reste cohérete avec l aciee. O vérifie sas mal la liéarité de l itégrale. Viet alors le théorème de covergece mootoe pour les foctios mesurables positives : Si (f ) est ue suite de foctios mesurables positives covergeat e croissat µ p.p. vers ue foctio f (mesurable positive) alors f µ f (4.1) Cette démostratio est pas difficile car ce théorème viet essetiellemet du fait que si A A, alors µ(a ) µ(a). Voici la marche de la démostratio. O va la faire das le cas fµ < + ; le cas fµ = + suit exactemet la même démarche. O commece par remarquer qu il existe ue suite croissate de foctios simples g telle que g µ fµ et g f p.s. Pour cela o pred ue suite croissate g de foctios simples telles que g µ fµ. O peut toujours remplacer g par sup i=1,..., g i, qui est bie ue suite croissate. O motre alors que g f p.s., par l absurde E effet, si µ(sup g < f) >, par la propriété de cotiuité de la mesure pour les suites croissates pour quelque η >, l esemble A := {g f η} est de mesure strictemet positive. Alors e remplaçat g par h := g + η 1 A, o arrive à ue cotradictio car h g et gµ h µ g µ + ηµ(a) gµ + ηµ(a). Fixos maiteat g telle que g f et gµ fµ ε. Par l étape précédete des foctios simples g telles que P(g f ε) < 1 2. O remarque que par l étape précédete g g ted vers g p.p. et qu il ous suffit de motrer que gµ ted vers gµ. Comme P(g g ) > ε, o peut predre assez grad pour que cette probabilité soit plus petite que ε. Comme g et g sot simples, e ommat A k la famille fiie des itersectios d esembles où elles sot chacue costates, o peut écrire g = k a k 1 Ak et g = k b k 1 Ak et o a alors P( k bk a k >εa k ) ε. Il suffit d exprimer les espéraces de ces deux foctios simples pour coclure que gµ g µ < ε + ε sup g. Le lemme de Fatou se déduit aisémet du théorème de covergece mootoe. O démotre aussi à ce stade la liéarité et la positivité de l espérace. Etape 3. Soit f ue foctio mesurable de sige quelcoque. O décompose f e sa partie positive f + = sup(f, ) et sa partie égative f = sup( f, ) si bie que f = f + f et f = f + + f. O dira 11

que f est itégrable ssi f l est (ce qui implique que f + et f le sot). Si f est itégrable, o défiit so espérace par fµ = f + µ f µ L esemble des foctios itégrables forme u espace vectoriel sur lequel l espérace aisi défiie est ue forme liéaire positive. C est à ce stade que le théorème de covergece domiée s établit modulo le lemme de Sheffé (voir TD). O remarquera que la costructio de l itégrale se fait selo trois grades étapes : o commece par défiir l espérace sur les foctios simples, puis sur les foctios mesurables positives grâce à ue propriété de mootoie et efi o passe au cas d ue foctio de sige quelcoque grâce à la décompositio de f e sa partie positive et sa partie égative. Cette structure e trois étapes est costammet utilisée das diverses preuves. O peut aussi souvet s appuyer das ce gere de démarche sur le Théorème de la classe mootoe doé précedemmet. 4.2 Rappel : Itégrale de Lebesgue Nous rappelos ici les résultats pricipaux et doos u certai ombre d exercices plus ou mois stadards. Théorème 4.1. (Beppo Levi, ou covergece mootoe) Si f est ue suite croissate de foctios défiies sur R N et à valeurs das R + {+ }, o a lim f (x)dx = lim f (x)dx +. Corollaire 4.1. Soit u (x) ue suite de foctios défiies sur R N et à valeurs das R + {+ }. O peut alors l itégrer terme à terme, c est-à -dire que Σ =1u (x)dx = Σ =1 u (x)dx +. Théorème 4.2. (Théorème de Lebesgue) Soit f (x) ue suite de foctios qui coverge presque partout vers ue foctio f. O suppose qu il existe ue foctio positive sommable fixe h telle que pour tout, f (x) h(x) pour presque tout x. Alors f (x) f(x) dx, f (x)dx f(x)dx. Théorème 4.3. (Réciproque du théorème de Lebesgue). Si f f das L 1, alors il existe ue sous-suite f k de la suite f qui coverge presque partout vers f et u chapeau itégrable h tel que k, f k (x) h(x) p.p.. Théorème 4.4. (Théorème de dérivatio sous le sige somme) Soiet I u itervalle de R et A u sousesemble de R. O se doe ue foctio f défiie sur A I vérifiat les trois hypothèses suivates. (a) Pour tout λ I, la foctio x f(x, λ) est sommable sur A. (b) La dérivée partielle f λ (x, λ) existe e tout poit de A I. (c) Il existe ue foctio h positive et sommable sur A telle que l o ait f λ (x, λ) h(x) pour tous x et λ. Alors la foctio F défiie par F (λ) = f(x, λ)dx est dérivable das I et o a F (λ) = A A f (x, λ)dx. λ 12

Théorème 4.5. (de chagemet de variable, Buchwalter H., Le Calcul irégral) Soiet Ω 1 et Ω 2 deux ouverts de R et ϕ u difféomorphisme etre Ω 1 et Ω 2. O otera J ϕ (x) le détermiat de la matrice jacobiee de ϕ au poit x. Soit f ue foctio défiie sur Ω 2. (a) Si la foctio f est à valeurs das R + {+ }, o a l égalité suivate, où les deux membres ot u ses das R + {+ }, f(y)dy = Ω 2 f(ϕ(x)) J ϕ (x) dx. Ω 1 (b) Si f est à valeurs complexes, elle est sommable das Ω 2 si et seulemet si f(ϕ(x))j ϕ (x) est sommable das Ω 1, et les deux membres de l égalité précédete sot alors égaux. Théorème 4.6. (Fubii) Soit f(x, y) ue foctio défiie das R p R q. (a) Si f est à valeurs das R + {+ }, o a l égalité suivate, où les trois membres défiisset u élémet de R + {+ }, ( f(x, y)dxdx = f(x, y)dy ) ( dx = f(x, y)dx ) dy. R p+q R p R q R q R p Si f est sommable das R p+q, les trois membres de l égalité précédete ot u ses et sot égaux. Plus précisémet, dire que le troisième membre a u ses sigifie : pour presque tout y, la foctio x f(x, y) est sommable das R p, la foctio ϕ(y) = f(x, y)dx qui est aisi défiie presque partout est sommable das R q. 4.3 Exercices Exercice 4.1. Tout graphe est de mesure ulle. 1) Démotrer que le graphe d ue applicatio cotiue f de R das R est u sous-esemble de mesure ulle das R 2. (O motrera que la portio du graphe comprise etre les abcisses k et k peut être recouverte par des rectagles dot la somme des mesures est arbitrairemet petite). 2) Même questio si f L 1 loc (R), puis si f est boréliee. Solutio Comme [ k, k] est u compact, la foctio f cosidérée est uiformémet cotiue sur [ k, k]. Il existe doc N tel que x y 1 ε, x, y [ k, k] f(x) f(y) 4k. O recouvre [ k, k] par itervalles cosécutifs de logueur 2k. O vérifie aisémet que les 2 rectagles [l 1, (l+1) 1 ] [f((l+ 1 2 ) k ) ε 4k, f((l + 1 2 ) k ) + ε 4k )], l =, ( 1),..., 1 recouvret le graphe de f sur [ k, k]. Doc la mesure de ce graphe est plus petite que 2 2k ε 4k = ε. Solutio plus élégate : Soit ϕ : R 2 R défiie par ϕ(x, y) = y f(x). Alors ϕ 1 () = {(x, f(x)), x R} et par le théorème de Fubii-Toelli, λ({(x, f(x)), x R}) = ( 1 y=f(x) (x, y)dy)dx = car les sigletos sot de mesure de Lebesgue ulle. R Exercice 4.2. Soit A u borélie de R N et soit h égale à + das A et à das so complémetaire. Démotrer que l o a h(x)dx = si λ(a) =, h(x)dx = + si λ(a) >. R N R N R 13

Supposos que λ(a) =. O pose h k (x) = mi(h(x), k). Comme A est de mesure ulle, o a par défiitio de λ(a), 1 A dx = λ(a) =. Doc h k (x)dx = k 1 A dx =. Par le théorème de la covergece mootoe, h(x)dx = lim k h k (x)dx =. Si maiteat λ(a) >, o a, ecore par le théorème de la covergece mootoe, h(x)dx = lim h k (x)dx = lim kλ(a) = +. k k O déduit immédiatemet que si f vérifie f <, alors l esemble A = {x, f(x) = + } est de mesure ulle. Exercice 4.3. Soit f et g deux foctios cotiues telles que f(x) = g(x) p.p.. Motrer que f et g sot égales partout. Solutio : Comme les boules sot de mesure strictemet positive, o déduit que f(x) = g(x) sur u esemble dese de R N, et, par cotiuité, partout. Exercice 4.4. Soit f ue foctio itégrable sur R. Démotrer que b a f(x)dx R f(x)dx quad a, b +. Gééralisatio : soit A ue suite croissate d esembles tels que A = R N. Démotrer que R N f(x)dx = lim A f(x)dx. Solutio : Appliquer le théorème de covergece domiée de Lebesgue à la suite (f 1 A ). Exercice 4.5. Soit h ue foctio positive itégrable sur R N et A des borélies de R N tels que λ(a ). Démotrer que A h(x)dx quad. Solutio Notos [h M] l esemble {x, h(x) M}. O écrit h(x) h(x)dx + h(x)dx Mλ(A ) + A A [h(x) M] A [h(x)>m] [h(x)>m] h(x)dx. (4.2) Par le théorème de la covergece domiée, o a [h(x)>m] h(x)dx. E effet, h(x) 1 [h(x)>m] ted vers zéro presque partout car λ([h = + ]) = et h(x) est chapeau itégrable. O peut doc fixer pour tout ε >, M tel que [h(x)>m] h(x)dx < ε. O choisit esuite suffisammet grad pour que Mλ(A ) < ε et o déduit alors de (4.2), A h(x)dx < 2ε. Exercice 4.6. Calculer ( 1) +1 =1 à l aide de l itégrale 1 dx 1+x. Idicatio : o posera f (x) = Σ ( 1) k x k pour x [, 1]. O trouvera u chapeau itégrable pour les f et o appliquera le théorème de Lebesgue. Solutio O sait que f (x) Σ ( 1) k x k = 1 1+x pour tout x < 1. Par ailleurs, la série état alterée, f (x) = 1 est chapeau itégrable pour f (x) sur [,1]. Par le théorème de Lebesgue, o déduit que f (x) 1 1+x das L1 (, 1), ce qui implique que 1 f (x)dx 1 1 1+xdx = Log2. E itégrat terme à terme, o obtiet Σ 1 = Log2. ( 1) +1 Exercice 4.7. Soit f L 1 (R). Calculer la limite de 1 f(x)dx quad +. 14

Solutio : E posat y = x, o a f(x)dx = 1 f(y)dy = R 1 [,+ [ (y)f(y)dy. La foctio f(y) 1 [, [ (y) ted poctuellemet vers zéro quad et f e est chapeau itégrable. Doc par le théorème de Lebesgue, l itégrale cosidérée ted vers zéro. Exercice 4.8. (Déduire le Lemme de Fatou du théorème de covergece mootoe) O rappelle la défiitio de la limite iférieure d ue suite a de réels : lim if a = lim N if N a Cette limite est ue limite croissate et doc elle existe toujours das R {+ } { }. i) Remarquer que si g est ue suite de foctios sommables positives, alors if g if g. ii) Soit f ue suite de foctios à valeurs das R + {+ }. O pose g N = if N f. Motrer que lim N gn = lim N g N. iii) Déduire des questios précédetes le lemme de Fatou : lim if f lim if f. Solutio : i) Si g est ue suite de foctios sommables positives, o a pour tout if g g. E preat l ifimum des deux cotés, o obtiet if g if g. ii) La suite (g N ) N est ue suitecroissate de foctios positives ou ulles. Par le théorème de la covergece mootoe, o a doc lim N gn = lim N g N. iii) E combiat l égalité du ii) et l iégalité du i), o obtiet directemet le lemme de Fatou : lim if f lim if f. Exercice 4.9. cotrexemples Doer des exemples de suites de foctios f L 1 (, 1) telles que f f das L 1 et f (x) e ted pas presque partout vers f(x). f e ted pas vers f das L 1 et f (x) ted vers f(x) presque partout. Solutio : O cosidère la suite de foctios f défiies sur [, 1] par f 1 = 1 sur [,1] f 2 = 1 sur [, 1 2 ], ailleurs f 3 = 1 sur [ 1 2, 1], ailleurs f 4 = 1 sur [, 1 4 ], ailleurs f 5 = 1 sur [ 1 4, 1 2 ], ailleurs f 6 = 1 sur [ 1 2, 3 4 ], ailleurs... La formule géérale est : Si 2 k 1 < 2 k, alors f = 1 sur [ 2k 1, +1 2k 1 ] = [ 1, +1 1]. 2 k 1 2 k 1 2 k 1 2 k 1 Cette suite de foctios est ue bosse roulate dot la largeur ted vers zéro, mais qui balaye costammet l itervalle [, 1]. Elle est positive et so itégrale ted vers zéro. Doc f das L 1. Par cotre, f (x) e ted jamais vers. E effet, si x est u poit de [,1], o peut poser par divisio euclidiee x = N + r, 2 k 1 avec N < 2 k 1 et r < 1. Posos = N + 2 k 1, ce qui permet d écrire x sous la forme x = 2k 1 + r. 2 k 1 2 k 1 O voit que f (x) = 1, alors que f +2 (x) = par exemple. Doc f (x) e coverge ulle part! O pose f (x) = si x 1 et f (x) = sio. Alors f (x) ted vers pour tout x ], 1]. Par cotre, f = 1 et doc f e ted pas vers das L 1. Exercice 4.1. Coupes d u esemble mesurable Soit E u sous-esemble de mesure borée de R N. Démotrer que pour tout α 1, E cotiet u sous-esemble de mesure α.λ(e). 15

Solutio : O pose x = (x 1,..., x N ) et m(r) = λ({x E, x 1 r}) = 1 {x, x1 r}dx. R N Ue applicatio immédiate du théorème de Lebesgue motre que m est ue foctio cotiue. Toujours par le même théorème, o motre que m(r) quad r et m(r) λ(e) quad r +. (Das tous les cas, o utilise tout boemet la foctio 1 E comme chapeau itégrable). Par le théorème des valeurs itermédiaires appliqué à la foctio m(r), il existe doc pour tout < a < λ(e) u réel r tel que m(r) = a. Exercice 4.11. Covergece L 1 quad il y a coservatio de la masse (Lemme de Scheffé) Motrer que si ue suite de foctios (w ) L 1 vérifie w, w (x) w(x) presque partout, w L 1 et w w, alors w w das L 1. Idicatio : écrire w w = (w w ) + (w w ) et w w = (w w ) + + (w w ) et appliquer le théorème de Lebesgue. Solutio Comme w, o a (w w ) + w L 1 et doc par le théorème de Lebesgue (w w ) +. O déduit de la relatio (w w ) + (w w ) = w w que (w w ) ted aussi vers zéro et fialemet que la somme des deux mêmes itégrales w w = (w w ) + + (w w ) ted vers zéro. Exercice 4.12. Critère d itégrabilité sur u boré B de R N O va motrer das cet exercice que f L 1 (B) si et seulemet si ε η, λ(k) η f ε. K i) Motrer que si le critère d itégratio est vérifié, alors f est itégrable. ii) Pour la réciproque, o raisoe par cotradictio et o suppose qu il existe f L 1 (B) telle que le critère d itégratio e soit pas vérifié. Motrer qu il existe alors ε > et ue suite K de sous-esembles de B tels que K f ε et λ(k ) 1 2. O pose J = +1K k. Motrer que J f et coclure. Autre méthode : appliquer directemet le résultat de l exercice 4.5! iii) (facultatif) Adapter le critère d itégrabilité à R N. Solutio O applique le critère d itégratio avec par exemple ε = 1. Il existe doc η tel que λ(k) η f 1. Comme B est boré, il peut être recouvert par u ombre fii de boules de mesure iférieure K à η, B 1,..., B k. O a doc B f Σk i=1 B i f k, ce qui prouve que f L 1 (B). Réciproquemet, soit f L 1 (B) et supposos par cotradictio qu il existe ε et ue suite K de sousesembles de B tels que K f ε et λ(k ). Quitte à extraire ue sous-suite, o peut supposer que λ(k ) 1 2. O pose J = k=+1 K k. Doc mes(j ) Σ k=+1 1 1 2 k 2. La suite g des foctios caractéristiques des J est ue suite décroissate de foctios positives dot l itégrale ted vers zéro. Elle coverge doc presque partout vers zéro. Reveat à f, o a J f = B g (x) f(x) dx. Comme g (x) f(x) ted presque partout vers zéro et que f est chapeau itégrable, o coclut que J f, ce qui cotredit le fait que J f ε. Exercice 4.13. Réciproque du Théorème de Lebesgue O va motrer que si f est ue suite covergete das L 1, alors il existe ue sous-suite qui coverge presque partout et qui a u chapeau itégrable. i) Motrer que si la suite f coverge vers f das L 1, o peut e extraire ue sous-suite telle que f i+1 f i 1 < 2. ii) O pose g = f i+1 f i ; motrer e appliquat le théorème de covergece mootoe que la série Σ g (x) appartiet à L 1 et coverge doc pour presque tout x. E déduire que f i coverge presque partout. iii) Déduire aussi que f i a u chapeau itégrable. iv) Adapter le raisoemet précédet à ue suite f qui est de Cauchy das L 1 pour motrer que L 1 est u espace complet. Solutio : i)si f f das L 1, alors i, f i f 1 < 2 1. Doc f i+1 f i 1 < 2 1 + 2 2 < 2. 16

ii) O a Σ g 1 Σ2 = 1. O pose h(x) = Σ g (x). Cette série est positive et coverge partout (évetuellemet vers l ifii). Par le théorème de covergece mootoe, h(x)dx = Σ g (x) dx = Σ g 1 1. Doc h(x) L 1 et o déduit que la série de réels Σ g (x) est covergete pour presque tout x. Il est doc de même pour la série Σ g (x). Cette derière série a h(x) pour chapeau itégrable. Par le théorème de Lebesgue, elle est doc covergete das L 1. Comme f i+1 = f i1 + Σ 1 g, o e déduit que (f i ) coverge das L 1. iii) f i1 + h(x) est u chapeau itégrable pour la suite (f i ). iv) Adaptatio à la démostratio de complétude de L 1 : Si f est ue suite de Cauchy das L 1, o peut défiir g comme précédemmet et appliquer exactemet le même raisoemet pour prouver que la série Σ g (x) coverge pour presque tout x et a doc ue limite poctuelle f(x). O déduit alors du théorème de Lebesgue que (f i ) coverge vers f das L 1. Il est alors immédiat (iégalité triagulaire) que toute la suite (f ) coverge vers f. Exercice 4.14. Calculer la dérivée à droite e zéro de la foctio t 1 (g(x) + t 2 ) 1 2 dx = ϕ(t), où g vérifie g 1. Idicatio : pour évaluer la limite du rapport ϕ(t) ϕ() t, peser à utiliser le théorème de Lebesgue. Solutio O a ϕ(t) ϕ() t = 1 t t f(x)2 + t 2 + f 2 (x) dx = k t (x)dx. O voit que k t (x) = 1 si f(x) = et k t (x) quad t si f(x). Doc k t (x) 1 {f(x)=}, la foctio caractéristique de l esemble des poits où f(x) s aule. Ceci ous doe la limite poctuelle. Cherchos u chapeau itégrable. O voit immédiatemet que k t (x) 1. Doc, par le théorème de Lebesgue, k t 1 {f(x)=} quad t das L 1 (, 1). D où ϕ ( + ) = 1 {f(x)=} = λ({x, f(x) = }). Exercice 4.15. Calculer lim + Γ, où Γ = (1 x ) e x 2 dx. Solutio Notos 1 [,] la foctio caractéristique de [, ], qui vaut 1 si x [, ] et ailleurs. Alors Γ = + (1 x ) e x 2 1[,] (x)dx. O calcule la limite poctuelle de l itégrad : Comme (1 x ) = e log(1 x ) e x quad +, o voit que l itégrad ted vers e x 2. Reste à trouver u chapeau itégrable. Si x, log(1 x ) x 2. Doc (1 x ) e x 2 1 [,] (x) e x 2 pour tout x. O coclut par le théorème de Lebesgue que Γ + e x 2 dx = 2. Exercice 4.16. O pose, pour x >, Γ(x) = e t t x 1 dt. Démotrer que Γ est de classe C sur ], + [. Démotrer que Γ(x) + quad x. Pour la deuxième questio, peser à utiliser le lemme de covergece mootoe! Solutio O pose f(t, x) = e t t x 1 = e t+(x 1)Logt. Fixos < α < M. O a, pour (t, x) ], + ] ]α, M], f x (t, x) = e t (log t) t x 1 h (t), où h (t) = e t (log t) t α 1 si < t 1 et h (t) = e t (log t) t M 1 si t > 1. Les foctios h (t) état sommables sur ], ], o voit (pour = ) que Γ est bie défiie, puis qu o peut appliquer successivemet à tous ordres le théorème de dérivatio sous le sige somme à l itégrale défiissat Γ(x). O obtiet, pour tout α < x < M, Γ (t, x) = x e t (log t) t x 1 dt. 17

Comme α est arbitrairemet petit et M arbitrairemet grad, o coclut que Γ(x) est C sur ], + [. Quad x, le théorème de covergece mootoe ous dit que Γ(x) 1 e t t x 1 dt 1 e t t dt = +. Remarque : o peut aussi motrer que Γ(z) est holomorphe sur le demi-pla Re(z) >, c est plus rapide. Exercice 4.17. Soit f ue foctio sommable. Démotrer que lim α + αλ({x, f(x) α}) =. O a Solutio α dx f(x) dx = { f(x) α} { f(x) α} χ { f(x) α} (x) f(x) dx. O remarque que 1 { f(x) α} f(x) quad α +, presque partout, et que 1 { f(x) α} f(x) f(x) qui est doc chapeau itégrable. Par le théorème de Lebesgue, o a doc f(x) dx { f(x) α} Exercice 4.18. Si f L 1 (R), motrer que f(x) = Σ Q f(x+) L 1 ([, 1]) et que [,1] f(x)dx = R f(x)dx. Solutio Par le théorème de la covergece mootoe, o a 1 1 +1 Σ Z f(x + ) = Σ Z f(x + ) dx = Σ Z f(x) dx = R f(x) dx. La série Σ Z f(x + ) coverge doc pour presque tout x et il e de même pour la série Σ Z f(x + ). Celle-ci a Σ Z f(x + ) comme chapeau itégrable. Par le théorème de Lebesgue, elle est doc covergete das L 1 et obtiet la formule demadée. Exercice 4.19. U cotre-exemple à méditer au théorème de dérivatio sous le sige somme. Soit φ ue foctio cotiue sur [, 1]. O cosidère, das [, 1] [, 1] la foctio f défiie par f(x, λ) = φ(x) si x λ et f(x, λ) = sio. O pose F (λ) = 1 f(x, λ)dx. Pour chaque λ, la dérivée partielle existe sauf e u poit, et elle est majorée par ue foctio sommable fixe : la foctio. Détermier la dérivée de F. Solutio O a F (λ) = 1 f(x, λ)dx = λ φ(x)dx. Doc F (λ) = φ(λ). O voit que la coclusio du théorème de dérivatio sous le sige somme est fausse. E effet, l hypothèse b) est ivalidée : f λ (x, λ) existe pas e tout poit de A I = [, 1] [, 1], mais seulemet e presque tout poit. Exercice 4.2. (Iégalité de Hardy, Chambert-Loir A., Exercices d aalyse pour l agrégatio) Soit p u réel strictemet supérieur à 1. 1) Soit f L p (R + ). O pose F (x) = 1 x f(t)dt. Le but de la questio est de motrer que F est das x L p (R + ) et que : ( ) p F (x) p dx p f p (x) dx p 1 18

a) Etablir le résultat lorsque f est cotiue positive. b) E déduire le résultat lorsque f est cotiue et de sige quelcoque. c) Traiter le cas gééral. 2) Motrer que cette costate est optimale (id. : o pourra utiliser des foctios puissaces). Solutio 1) a) f état cotiue, F est cotiue (y compris e, le vérifier) et dérivable sur (, + ) avec (xf ) = F + xf = f. E écrivat que F p (x) = F p 1 (x)f(x) xf p 1 (x)f (x) et e effectuat ue itégratio par parties, o obtiet T F p (x)dx = T p 1 F p (T ) + ( p ) T p 1 F p 1 (x)f(x)dx (o vérifiera qu il y a pas de problème e e preat l itégrale etre ε et T et e faisat tedre ε vers ). Or T p 1 F p (T ) car f est supposée positive. E appliquat l iégalité de Hölder das la deuxième itégrale, o a ( ) p T p T F p (x)dx f p (x)dx p 1 b) O gééralise l iégalité précédete au cas où f est de sige quelcoque e remarquat qu alors x F (x) G(x) = x 1 f(t) dt et l iégalité précédete est valable avec le couple ( f, G). O e déduit facilemet l iégalité pour (f, F ). c) O viet de motrer que l applicatio T : f C F L p était liéaire cotiue avec ue orme iferieure à p/(p 1). Puisque C est dese das L p, o a que pour tout f L p, il existe ue suite (f ) de foctios cotiues tedat e orme L p vers f. Soit F = T (f ) : (F ) est ue suite de Cauchy das L p doc elle coverge vers ue certaie foctio G. Par la réciproque du théorème de Lebesgue, de la suite f o peut extraire ue sous-suite qui coverge simplemet (et das L p ) vers f. O e déduit facilemet que F (x) = x 1 x f(t)dt = G(x) p.p. Doc F est das Lp et vérifie l iégalité de Hardy. 2) Facile. Exercice 4.21. (Chambert-Loir A., Exercices d aalyse pour l agrégatio) Soit a >. Calculer ( ) 1/a lim 1 xa dx (id. : o pourra utiliser le théorème de covergece mootoe) Solutio Soit u >. O cosidère la foctio g u (t) = t log(1 u/t) pour t > u. o a g u(t) = log(1 u/t) + u/(t u) et g u(t) = u 2 /[t(t u) 2 ] et doc g u positive car g u(+ ) =. Doc g u (t) est ue foctio croissate de t > u et t (u, + ) (1 u/t) t aussi. Il e reste alors plus qu à appliquer le théorème de covergece mootoe et la limite cherchée est exp( x a )dx = a 1 Γ(a 1 ). 19

Exercice 4.22. (Chambert-Loir A., Exercices d aalyse pour l agrégatio) 1) Soit γ la costate d Euler. Motrer que γ = 1 ( 1 x 1 ) dx E(x) où E(x) désige la partie etière de x. E déduire que γ >. 2) Motrer que γ = e s log(s)ds. Solutio 1) Trivial. 2) O a k (1 s/k) k log(s)ds = 1 (1 s/k) k log(s)ds + k 1 (1 s/k) k log(s)ds Quad k ted vers +, la première itégrale ted grâce au théorème de covergece domiée vers 1 e s log(s)ds et la deuxième, grâce au théorème de covergece mootoe (voir exercice précédet), vers e s log(s)ds. 1 O est doc rameé à l étude de k (1 s/k)k log(s)ds qui après u chagemet de variables doe k 1 (1 u) k log(u)du k k + 1 log k = 1 kv k log(1 v)dv Or log(1 v) = v j j=1 d où par le théorème de covergece mootoe j 1 v k log(1 v)dv = k ( 1 + 1 k + 1 2 +... + 1 ) k + 1 O e déduit le résultat. k k + 1 log k Exercice 4.23. (J. Dieudoé, Calcul ifiitésimal) Pour z >, p, q >, o défiit les foctios Γ(z) = Motrer que B(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p + q) t z 1 e t dt, B(p, q) = 1 t p 1 (1 t) q 1 dt Exercice 4.24. Rappels : u esemble égligeable de R N est u esemble coteu das u borélie de R N de mesure ulle. O ajoute à la tribu des borélies les esembles égligeables. O obtiet aisi la tribu de Lebesgue, otée L. 1) U esemble est Lebesgue mesurable s il diffère d u borélie par u esemble de mesure ulle. 2) O dira qu ue foctio est Lebesgue-mesurable si elle est mesurable de (R N, L) das R, B où B est la tribu de Borel. Ue foctio est Lebesgue-mesurable si et seulemet si elle est presque partout égale à ue foctio boréliee. 2

Solutio 1) Soit L la tribu de Lebesgue, i.e. la plus petite tribu coteat les borélies et les esembles égligeables. Soit E l esemble des esembles E qui diffèret d u borélie par u esemble égligeable, i.e. (E = B N 1 ) \ N 2 où B est u borélie et N 1, N 2 sot des esembles égligeables. O a E L et il suffit doc de vérifier que E est ue tribu, ce qui va tout seul. 2) Si f e diffère de g boréliee que sur u esemble égligeable N, les esembles [f a] et [g a] e diffèret que d u esemble égligeable et doc [f a] est bie Lebesgue-mesurable. Doc f est Lebesguemesurable. Réciproquemet, cosidéros la classe H des foctios σ(l)-mesurables et la classe J des foctios qui e diffèret d ue foctio boréliee que sur u esemble de mesure ulle, et efi l esemble X X des foctios caractéristiques d esembles Lebesgue-mesurables. O a par ce qui précède X X J H. O voit aisémet que J est u espace vectoriel, qu il cotiet 1 et est stable par limite croissate. E appliquat le théorème de la classe mootoe, o déduit que J cotiet toutes les foctios σ(l)-mesurables et doc H. Doc J = H. 2) (solutio costructive). Soit f ue foctio mesurable au ses de Lebesgue. Soit f = k Z(kε) 1 k (k+1) = 1 f< Ak, Comme A k, est Lebesgue-mesurable, il existe B k, borélie tel que µ(a k, B k, ) =. Doc, presque partout, f = f = k Z ( k ) 1 Bk,. Mais f f presque partout. Doc f f presque partout. Doc f est égale presque partout à la limite, boréliee, d ue suite de foctios boréliees. 5 Mesure Produit et théorème de Fubii Soiet (Ω 1, F 1 ) et (Ω 2, F 2 ) deux espaces muis de leurs tribus respectives. O cherche à défiir ue otio de tribu produit sur Ω 1 Ω 2 = Ω afi de défiir la otio de mesure produit sur ce même espace. Soit ρ 1 : ω = (ω 1, ω 2 ) Ω ω 1 Ω 1 et ρ 2 : ω = (ω 1, ω 2 ) Ω ω 2 Ω 2 les deux projectios caoiques. Défiitio 5.1. La tribu produit sur Ω, otée F 1 F 2, est défiie comme la tribu par les rectagles ou par ρ 1 et ρ 2, F 1 F 2 = σ (B 1 B 2 ; B 1 F 1, B 2 F 2 ) = σ ( ρ 1 1 (F 1), ρ 1 2 (F 2) ). Remarque 5.1. O remarquera que I = {B 1 B 2 ; B 1 F 1, B 2 F 2 } est u π-système car (B 1 B 2 ) (C 1 C 2 ) = (B 1 C 1 ) (B 2 C 2 ). Si (Ω 1, F 1 ),..., (Ω, F ) sot des espaces muis de tribus, alors pour tout k, ( k i=1 F i ) ( i=k+1 F i ) = i=1 F i. E d autres termes le produit de tribus est associatif. E particulier : B(R +m ) = B(R ) B(R m ). Démostratio. E effet les tribus cosidérées sot egedrées respectivemet par les π-systèmes (I) k, (I) k et (I). Le derier est le produit cartésie des deux premiers car le produit cartésie est associatif. 21

5.1 Théorème de Fubii O suppose que (Ω i, F i, µ i ), pour i = 1, 2, sot des espaces mesurés muis de mesures fiies. O peut défiir pour toute foctio F-mesurable borée ou positive f : I f 1 (ω 1) = f(ω 1, ω 2 )µ 2 (dω 2 ), (ω 1 Ω 1 ) Ω 2 et I f 2 (ω 2) = f(ω 1, ω 2 )µ 1 (dω 1 ), (ω 2 Ω 2 ) Ω 1 Théorème 5.1. (Théorème de Fubii) Soiet µ 1 et µ 2 des mesures fiies 1) Il existe ue uique mesure fiie µ défiie sur (Ω, F) telle que : µ(a 1 A 2 ) = µ 1 (A 1 )µ 2 (A 2 ), A 1 F 1, A 2 F 2 Elle est appelée mesure produit de µ 1 et µ 2 et otée µ 1 µ 2 2) Si f est ue foctio F -mesurable positive alors : fdµ = If 1 (ω 1 )µ 1 (dω 1 ) = Ω 1 If 2 (ω 2 )µ 2 (dω 2 ) Ω 2 ( ) 3) Si f est F-mesurable et si f µ < + alors ( ) est ecore valable. O peut étedre ce résultat à des mesures σ fiies par les argumets classiques de limite croissate. Démostratio. 1) Pas pratique e fait avec Carathéodory à cause de l additivité déombrababilité à prouver. Le fait que µ défii par µ(f ) = I f 1 (w 1)µ 1 (dω 1 ), avec f = 1 F, Ω 1 soit ue mesure proviet de la liéarité de l itégrale et du théorème de covergece mootoe. E fait, la questio délicate das ce théorème cocere les problèmes de mesurabilité (à traiter avat). L uicité est ue simple coséquece du théorème de Dyki (ou plutot d uicité du prologemet) avec comme π système les esembles produits. 2) Les deux égalités provieet du théorème de liéarité puis la classe mootoe (o sait e effet qu elle sot vraies pour les idicatrices d élémets de F). O a doc le résultat pour les foctios F-mesurables borées. Si f est ue foctio F-mesurable positive, e cosidérat la suite de foctios borées (f ) et e appliquat le théorème de covergece mootoe, o obtiet 2). O peut aussi appliquer le théorème de la classe mootoe. 3) Il suffit comme d habitude de décomposer la foctio f e la différece de sa partie positive f + et de sa partie égative f. U cotrexemple à Fubii si f est pas sommable : (Voir Td ou Durrett R., Probability : Theory ad examples, p 472) : Soit f(x, y) = e xy 2e 2xy. Vérifier que : 1 f(x, y)dydx >, 1 1 1 f(x, y)dxdy < 22

Remarque 5.2. 1) Tout ce qui précède s éted sas peie si au lieu de cosidérer des mesures fiies, o pred des mesures σ-fiies mais pas au-delà (cotre-exemple das Williams). La coclusio 2) du théorème de Fubii s obtiet par simple covergece mootoe et la coclusio 3) par le théorème de Lebesgue. 2) D autre part, au lieu de cosidérer deux espaces, o peut très bie e cosidérer u ombre fii arbitraire : (Ω i, F i, µ i ) i=1.... La tribu produit i=1 F i est défiie comme la tribu egedrée par les (ρ 1,..., ρ ), les projectios caoiques de Ω sur Ω 1,..., Ω. Cette tribu produit est géérée par le π-système {A 1... A ; A i F i }. 3) O remarquera que pour aboutir au théorème de Fubii, o a utilisé de maière fréquete le théorème de la classe mootoe. Il est e fait très difficile de défiir les mesures produits sas y avoir recours d ue maière ou d ue autre. E particulier, la machie stadard e foctioe pas alors que la plupart du temps où l o utilise le théorème de la classe mootoe, u argumet machie stadard peut être utilisé. 5.2 Exercices Exercice 5.1. Calcul de l itégrale de Gauss Démotrer que R e x2 dx = π. Solutio : Classique! O predra le carré de cette itégrale qu o calculera e utilisat Fubii sur R 2 et le théorème de chagemet de variables e coordoées polaires. Exercice 5.2. Propriétés de la covolutio 1) Si f et g appartieet à L 1 (R ), alors f g défiie par (f g)(x) = f(y)g(x y)dy R aussi (vérifier que la défiitio a u ses!), et f g 1 f 1 g 1. (Applicatio directe du théorème de Fubii.) Motrer que f g = g f et que (f g) h = f (g h). 2) O appelle L 1 loc (R ) l esemble des foctios L 1 sur tout boré de R. Motrer que si f L 1 loc (R ), et si g L 1 (R ) est ulle e dehors d u boré, alors o peut défiir f g et f g L 1 loc. 3) O suppose que 1 p, f L 1 (R ) et g L p (R ). Motrer que f g défiie par (f g)(x) = f(x y)g(y)dy R existe pour presque tout x, appartiet à L p (R ) et vérifie f g p f 1 g p. 4) O suppose maiteat que f L p (R ), g L q (R ) avec p et q des exposats cojugués. Motrer que f g est uiformémet cotiue et que si 1 < p < alors h = f g est cotiue, ulle à l ifiie. Doer u cotre-exemple das le cas p = 1. 5) Si f L 1 loc (R ), ϕ C m (R ), alors f ϕ C m (R ) et, α m, α (f ϕ) = f α ϕ. Solutio : Applicatios directes du théorème de Fubii et du théorème de dérivatio sous le sige somme. Le seul poit u peu délicat est le 3). O mèe le calcul e supposat f et g positives puisqu o peut toujours remplacer f par f et g par g. O a ( p f g p dx = f(y)g(x y)dy) dx. Or par l iégalité de Hölder, f(y)g(x y) = f(y) 1 p g(x y)f p 1 p (y) ( ) 1 ( ) p 1 f(y)g(x y) p p p f(y). 23

Doc par le théorème de Fubii, ( f(y)g(x y)) p ( ( ) ( f(y)g(x y) p dy f(y)dy ) p ( f(y)dy ( g(x) p dx ) g(x) p dx. f(y)dy) p 1 dx ) p 1 f(y) Cela doe f g L p f L 1 g L p. Exercice 5.3. Cotrexemples pour le thèorème de Fubii, Durrett R., Probability : Theory ad examples, pp. 471-473 1) O cosidère la mesure de comptage sur N N. O pose pour m 1, f(m, m) = 1 et f(m + 1, m) = 1, o pose sio f(m, ) =. Vérifier que f(m, ) = 1, mais que f(m, ) =. m m Quelle est l hypothèse du théorème de Fubii qui est pas vérifiée? 2) O cosidère sur [, 1] [1, + [ mui de la mesure de Lebesgue, f(x, y) = e xy 2e 2xy. Motrer que et 1 1 1 1 f(x, y)dydx = f(x, y)dxdy = 1 1 x 1 (e x e 2x )dx > y 1 (e 2y e y )dy <. Quelle est l hypothèse du théorème de Fubii qui est pas vérifiée? 3) Soit X = [, 1] mui de la mesure de Lebesgue λ et Y = [, 1] mui de la tribu des parties et de la mesure de comptage, µ. O pose f(x, y) = 1 si x = y et f(x, y) = sio. Motrer que f(x, y)µ(dy)λ(dx) = 1 et f(x, y)λ(dx)µ(dy) =. X Y Vérifier que f est bie mesurable pour la mesure produit. Quelle est l hypothèse du théorème de Fubii qui est pas vérifiée? Solutio : Das la première questio, c est l hypothèse que f soit sommable qui est pas vérifiée. Das la secode, aussi, car si f était sommable, l ordre d itégratio serait idifféret. Das la troisième, la foctio f est bie borée, mesurable et sommable, mais la secode mesure est pas σ-fiie. Exercice 5.4. O admet que l o peut ordoer les réels de [, 1] par ue relatio d ordre total < de telle maière que x [, 1], {y, y < x} soit u esemble déombrable. (Cette propriété s appelle l hypothèse du cotiu. Il a été démotré par Kurt Gödel qu elle e cotredisait par les axiomes classiques de la théorie des esembles et par Paul Cohe que so cotraire e les cotredisait pas o plus.) O pose X = Y = [, 1], muis de la tribu boréliee et de la mesure de Lebesgue. O pose f(x, y) = 1 si x < y et f(x, y) = sio. Motrer que x f(x, y)dx =, et y f(x, y)dy = 1. Quelle est l hypothèse du théorème de Fubii qui est pas vérifiée? X Y X Y 24

Solutio : Toutes les hypothèses du théorème de Fubii sot vérifiées,... sauf ue, la mesurabilité de f. Exercice 5.5. Applicatio directe du théorème de Fubii : Durrett R., Probability : Theory ad examples, p. 473 Soit X = N mui de la mesure de comptage et (Y, T, µ) u espace mesurable de mesure σ-fiie. Si les foctios f sot T -mesurables et si f µ <, alors f µ = f µ. Exercice 5.6. Applicatio directe du théorème de Fubii, Durrett R., Probability : Theory ad examples p. 473. Soit g mesurable sur (X, T, µ) et λ la mesure de Lebesgue sur R. Motrer que gµ = (µ λ)({(x, y), y < g(x)}) = µ({x, g(x) > y})dy. X (Vérifier que {(x, y), y < g(x)} est mesurable e remarquat que (x, y) (g(x), y) mesurable et que (a, b) b a aussi.) Exercice 5.7. Applicatio 3 du théorème de Fubii, Durrett R., Probability : Theory ad examples, p. 473. Soit µ ue mesure fiie sur R et F (x) = µ(], x]). Motrer que (F (x + c) F (x))dx = cµ(r). Exercice 5.8. Exercice 8.1 page 29 de Ouvrard Tome II (calculs de desités de v.a.) 6 Complémets 6.1 Mesures de Borel Pour cette sectio, o se reportera au chapitre 2 du livre de Rudi Aalyse réelle et complexe. O suppose ici que Ω est u espace topologique séparé localemet compact et F est la tribu des borélies sur Ω. Défiitio 6.1. Ue mesure (complexe ou positive) µ défiie sur la tribu des borélies F d u espace Ω séparé localemet compact est appelée ue mesure boréliee sur Ω. Ue mesure de Borel positive sera dite régulière si elle satisfait : 1. E F, µ(e) = if {µ(v ); E V, V ouvert }. 2. E F tel que µ(e) < +, µ(e) = if {µ(k); K E, K compact }. O dira de même d ue mesure complexe qu elle est régulière si sa variatio totale µ qui est ue mesure positive est régulière. O éoce maiteat le théorème de représetatio de Riesz tel qu o le trouve das [?] das le chapitre sur les mesures complexes et le chapitre sur les mesures de Borel positive. Il est relativemet gééral. Sa démostratio écessite des prélimiaires topologiques logs. Ce théorème aticipe sur la suite puisqu il fait appel à la otio d itégrale relativemet à ue mesure mais o supposera que le lecteur est familier avec la théorie de l itégratio relativemet à ue mesure complexe ou tout du mois relativemet à ue mesure sigée. O ote C c l espace des foctios cotiues sur Ω à support compact et C l espace des foctios de Ω das C s aulat à l ifii que l o muit de la orme uiforme. C c est dese das C pour la orme uiforme. Le théorème de représetatio de Riesz caractérise toutes les formes liéires positives (o 25

écessairemet borées) et les formes liéaires borées sur C c mui de la topologie de la covergece uiforme. Bie etedu, toute forme liéaire borée sur C c se prologe de maière uique e ue forme liéaire cotiue sur C. Théorème 6.1. (de représetatio de Riesz) 1. Soit Φ ue forme liéaire positive sur C c. Il existe ue uique mesure positive boréliee régulière µ sur (Ω, F) telle que Φ(f) = fdµ, (f C c ) Ω 2. Soit Φ ue forme liéaire borée sur C. Il existe ue uique mesure de Borel µ complexe régulière telle que Φ(f) = fdµ, (f C ) De plus, Φ = µ (Ω) 6.2 Absolue cotiuité Ω Là aussi, ous aticipos e supposat coue la otio d itégrale relativemet à ue mesure. (Ω, F) est u espace mesurable quelcoque. Défiitio 6.2. Soit µ ue mesure positive sur F et λ ue mesure quelcoque sur F, positive ou complexe. O dit que λ est absolumet cotiue par rapport à µ et o ote λ µ si µ(e) = = λ(e) = A l opposé de cette otio existe celle de mesures mutuellemet sigulières. Défiitio 6.3. Soit λ et µ deux mesures quelcoques (positives ou complexes). O dit qu elles sot mutuellemet sigulières (et o ote λ µ) s il existe deux esembles mesurables disjoits A et B tels que pour tout E F, λ(e) = λ(e A), et µ(e) = µ(e B) O a le théorème de Rado-Nikodym dot ue partie peut être démotrée via les martigales (voir TD). Théorème 6.2. Soit λ et µ deux mesures positives borées sur la tribu (Ω, F). 1. Il existe u couple uique de mesures λ a et λ s tel que λ = λ a + λ s, λ a µ, λ s µ 2. Ces mesures sot positives borées et λ a λ s. 3. Il existe u uique h L 1 (µ) tel que dλ a = hdµ Le couple (λ a, λ s ) s appelle la décompositio de Lebesgue de λ relativemet à µ. L idée de la preuve de ce théorème repose essetiellemet sur le théorème de représetatio de Riesz des applicatios liéaires cotiues das les espaces de Hilbert. La preuve est pas très logue. Le théorème précédet reste ecore vrai das le cas d ue mesure µ positive σ-fiie et d ue mesure complexe (doc borée). Das le cas efi λ, µ positives et σ-fiies, la majeure partie du théorème reste valable mais o a plus h L 1 (µ) (o a seulemet L 1 loc (µ)). E revache, s il y a plus d hypothès de σ-fiitude, o e peut plus rie dire (cf. [Rudi, Aalyse réelle et complexe] pour u cotre exemple). 26