ÉVALUATION DES PRODUITS DÉRIVÉS DE CRÉDIT Fevrier 2003

ÉVALUATION DES PRODUITS DÉRIVÉS DE CRÉDIT Fevrier 2003 Idriss Tchapda Djamen UniversiéClaudeBernardLyon1 Insiu de Science F inancière e d 0 Assurances (ISFA) 1. Résumé. Évaluaion des produis dérivés de crédi. Nous proposons dans ce aricle une méhode analyique d évaluaion des produis dérivés de crédi. En uilisan le cadre proposé par Bielecki e Rukowski (2001), nous prolongeons les résulas de ces aueurs en obenan des formules fermées pour l évaluaion de produis dérivés de crédi vulnérables référencés sur un panier de signaures. Cee méhodologie s applique égalemen à la arificaion de produis dérivés irisés pour lesquels un défau du vendeur es envisagé. Nous proposons aussi d éendre les résulas de Duffie (1998), donnan le aux du swap firs-o-defaul, en envisagean un défau du vendeur e de l acheeur de la proecion. Enfin, par l inroducion d un conra financier qualifié d opion de vene sur marge de crédi risquée, nous généralisons les résulas de Schönbucher (2000) donnan la prime d une opion de vene sur marge de crédi. En général, lorsque les flux monéaires à évaluer son soumis à plusieurs risques de défau, nous supposons que les daes de défau des agens économiques concernés son condiionnellemen indépendanes sachan l informaion sur les prix e les aux. Mos clés : Dérivés de crédi vulnérables, Produis dérivés irisés. 1 Campus de la Doua, bâ. 101, 43 bd. du 11 novembre 1918, 69622 Villeurbanne cedex. Tel : 04.72.43.11.75. Fax : 04.72.43.11.76. E-mail : chapda.idriss@voila.fr 1

Inroducion. Les produis dérivés de crédi son des insrumens financiers qui offren à leurs uilisaeurs des moyens de gesion e de maîrise du risque de crédi. Ils permeen, ou en conservan les ires exposés, d isoler leur composane risque de crédi, pour la ransférer vers un iers. Sur quelques poins, ils se rapprochen des produis dérivés classiques, d acions e de aux d inérê par exemple. Premièremen, comme des marchés dérivés radiionnels d acion e de aux, le marché des dérivés de crédi perme de gérer son exposiion à un risque financier, dans ce cas, le risque de crédi. Il perme de mere en liaison invesisseurs ayan pour objecif d éliminer le risque de crédi e ceux apporan une réponse à leurs souhais. Deuxièmemen, comme une opion sur acion perme une maîrise du risque de marché du sous-jacen, le dérivé de crédi es un conra financier qui donne à son déeneur la possibilié de se défaire du risque de crédi résulan d un premier conra. Cerains l on à juse ire comparé à une sore d assurance sur le risque de crédi. Le vendeur de la proecion es l assureur e l acheeur de la proecion l assuré. Depuis quelques années le marché des dérivés de crédi se caracérise par une croissance rapide. Fin 2001, le oal des encours en dérivés sur crédi s élévai à 1581 milliards de dollars, représenan ainsi neuf fois le volume consaé quare ansplusô. De nombreux domaines d acivié y son représenés. Les aceurs principaux son les banques e les invesisseurs insiuionnels els que les compagnies d assurance. Les banques, à la recherche d ouils de gesion opimale de leurs lignes de crédi, on recours à ces produis pour réduire leur concenraion en crédi dans un seceur d acivié pariculier. Les dérivés de crédi leur permeen égalemen de diversifier leurs porefeuilles de prês. Par cee echnique financière, elles peuven coninuer à prêer ou en minimisan leur exposiion au risque de crédi. Les compagnies d assurance, pour lesquelles les risques caasrophes liés au clima ou au séisme peuven consiuer un risque de crédi, se ournen vers le marché des capiaux afin de se proéger. Les évènemens els que que l ouragan Andrew en 1992 aux Éas-Unis on monré que les risques caasrophes dépassaien la capacié de couverure des assureurs. En effe, à la suie de ce évènemen, cerains réassureurs se son rerouvés en siuaion de faillie. La irisaion des risques caasrophes leur offre alors un moyen de faire supporer au marché financier des risques qui radiionnellemen éaien supporé par elles. D aures raisons an économiques que commerciales expliquen le développe- 2

men rapide du marché des dérivés de crédi. D un poin de vue économique, il peu offrir une grande renabilié, en raison de la possibilié d inervenion dans des domaines d acivié où le risque de crédi es rès élévé. D un poin de vue commercial, les dérivés de crédi, parce qu ils son des insrumens financiers de ransfer de risque sans cession de la créance sous-jacene, permeen à leurs uilisaeurs de conserver dans leurs porefeuilles des invesissemens présenan des perspecives de croissance réelles. L évaluaion des produis dérivés de crédi es au cenre des préoccupaions des inervenans du marché e de la recherche scienifique. Dans ce sens, les insiuions financières on développé des modèles inernes permean d évaluer les produis dérivés de crédi. Enre aures, nous connaissons des modèles basés sur des méhodes saisiques e des modèles basés sur des méhodes de porefeuille. Dans le premier cas, nous pouvons cier par exemple des méhodes de noaion ou raing ; la noe d une dee réflèe la probabilié de défau de son émeeur ainsi que la sévérié de pere de son déeneur. Dans le second cas, on synhéise en une valeur (value a risk ou VAR)lerisque qu encour une insiuion financière du fai de son exposiion au risque de crédi. Très peu de ravaux héoriques publiés se son ineressés à l évaluaion de produis dérivés de crédi. Les principaux modèles considèren que la dae de défau d un agen économique es imprévisible : une variable aléaoire à inensié. Schönbucher (2000) s inéresse à la arificaion des produis dérivés sur le risque de défau référencés sur un seul débieur e des produis dérivés sur le risquedemargedecrédi. Duffie (1998), donne une méhode générale d évaluaion de produis dérivés de crédi firs-o-defaul, c es à dire de conras financiers don l obje es de se défaire du premier défau d un panier de signaures. Kijima e Muromachi (2000) s inéressen à deux ypes de conras ; le premier, qualifiédeswapdeype F, es un cas pariculier de swap firs-o-defaul ; le second, qualifié deswap de ype D, proège son déeneur conre les deux premiers défau d un panier de débieurs. Enfin, Bielecki e Rukowski (2001) développen une méhode générale d évaluaion de dérivés de crédi don l obje es de se défaire des i premiers défaus d un panier de signaures. Ils généralisen noammen les résulas de Duffie (1998) e de Kijima e Muromachi (2000). L obje de ce aricle es d évaluer les dérivés de crédi dans un cadre d inensié de défau. Paradoxalemen,lesdérivésdecrédiengendreneux-mêmeunrisquedecrédi, de la par du vendeur, comme de celle de l acheeur de la proecion. Nous accordons une aenion pariculière à cee évenualié, nous différenian ainsi des ravaux précédens. Nore inérê se pore sur l évaluaion de rois gammes de 3

produisdérivésdecrédi: lesproduisdérivésreférencéssurlerisquededéfau, les produis dérivés irisés e les produis dérivés sur le risque de marge de crédi. L aricle es srucuré de la manière suivane : dans une première secion, nous rappelons les résulas de Bielecki e Rukowski(2001) sur l évaluaion des produis dérivés irisés i-h o defaul. Puis dans une deuxième secion, nous emprunons le cadre de ces aueurs, puis prolongeons cerains de leurs résulas en envisagean un défau du vendeur de la proecion. Dans la roisième secion nous nous inéressons à l évaluaion des opéraions à erme sur risque de défau. Cee fois encore, nous emprunons le cadre de Bielecki e Rukowski (2001). Nous considérons quelques exemples de swap de défau référencés sur un panier de débieurs don un swap firs-o-defaul pour lesquel nous prenons en compe l évenualié d un défau du vendeur e de l acheeur de la proecion. Enfin, la quarième secion concerne l évaluaion de produis dérivés sur marge de crédi. Nous inroduisons puis évaluons un produi dérivé sur la marge de crédi, l opion de vene sur marge de crédi risquée. L avanage de l inroducion d un el conra, qui appore les mêmes saisfacions économiques pour les invesisseurs qu une opion de vene sur marge de crédi classique, es de permere une généralisaion des résulas de Schönbucher (2000). 1. Évaluaion de ires (ou conras) i h -o-defaul référencéssurunpanierdesignaures. Définiion. Un ire (ou conra) i h -o-defaul référencé sur un panier de signaures es un insrumen financier cash permean à son déeneur de se proéger conre les i 1 premiers défaus des signaures du panier. Dans cee parie, nous nous inéressons à l évaluaion de ces produis dérivés irisés. L économie générale du modèle es idenique à celle de Bielecki e Rukowski (2001). Nous proposons de prolonger leurs résulas en envisagean un défau du vendeur de la proecion. Dans les secions 1.1 e 1.2, nous présenons le modèle économique e les résulas de Bielecki e Rukowski (2001) sur l évaluaion des ires ou conras i h -o-defaul référencés sur un panier de signaures. Dans la secion 1.3, nous prenons en compe l évenualié d un défau du vendeur du ire (ou conra) i h -o-defaul. Plusieurs siuaions liées à la singularié des ires (ou conras) son envisagées. Dans ous les cas, nous supposons qu en 4

cas de défau les règlemens on lieu à la dae d échéance. Enfin, la secion 1.4 concerne l évaluaion d un ire (ou conra) firs-o-defaul pour lequel nous prenons en compe, une fois de plus, l évenualié d un défau duvendeur.ceefois-ci,lerèglemenencasdedéfauinerviensoiàladae de défau du vendeur soi à la dae du premier défau du panier des débieurs. Les produis dérivés irisés son des insrumens financiers cash, l acheeur es alorssansrisquededéfaupuisqu ilrègleenoaliésaprimepourenrerdans la disribuion des flux monéaires engendrés par ces conras financiers. 1.1. Hypohèses spécifiques de Bielecki e Rukowski (2001). 1. Informaion dans l économie. On considère dans un marché sans opporunié d arbirage, un panier τ d insans de défau {τ 1, τ 2,..., τ n } d un nombre n d agens économiques suscepibles de faire défau. La dae de défau τ j de chacune des signaures j (1 j n) du panier es une variable aléaoire d inensié λ j sous une mesure maringale Q. Onsuppose l inensié λ j non anicipaive par rappor à la filraion des prix ou des aux F. On pose pour j {1,..., n} e R +, Γ j () = R λ 0 j(u)du), Γ j désigne le processusdehasarddelasignaurej. On suppose qu il es improbable qu un défau survienne à la dae zéro, qui sera la dae d évaluaion des produis financiers. Le modèle économique décri es représené par un espace probabilisé (Ω, G, Q) muni d une filraion G =(G ) 0 saisfaisan les condiions habiuelles. On désigne par (N j ()) 0 le processus de compage du défau associé à la signaure j, N j () =1 ( τ j ). La filraion D j = D j décri l informaion sur le défau de l inervenan de 0 marché j ; elle perme d observer sa dae de défau. C es la filraion naurelle de son processus de compage. Aladae, on observe non seulemen les variables d éas caracérisan l économie elles que les aux d inérê, les aux de changes, les inensiés de défau, maisaussilesinsansdedéfaudesn débieurs du panier τ. Par conséquen, la filraion G es la plus peie conenan celle des aux ou des prix, pour laquelle chaque dae aléaoire τ j es un emps d arrê. L informaion disponible à la dae es donc représenée par la σ algèbre G = F D 1 D 2... D n. 2. Ineracions enre les évènemens de crédi. On suppose que pour deux débieurs disincs k e l du panier, Q {τ l = τ k } =0. Cee dernière hypohèse signifie que les défaus simulanés son exclus dans cee économie. Nousposulonsdeplusquelesinsansdedéfauτ 1,...,τ n son indépendans 5

condiionnellemen à la filraion des aux F. L hypohèse d indépendance condiionnelle, commune à la plupar des modèles à inensié de défau, es posée afin de facilier l évaluaion des flux monéaires soumis à plusieurs risques de défau. D un poin de vue inuiif, elle signifie que lorsque les risques communs aux n firmes son fixés (dans la filraion F des prix ou des aux d inérê), les risques pariculiers à chacune des firmes son alors indépendans. Noons que cee hypohèse ne perme pas de capurer oue l informaion sur la dépendance enre les défaus d enreprises différenes. Ainsi, le défau d une sociéé ne peu avoir des conséquences sur ses filiales e sur les firmes concurrenes. Ce posula perme cependan de mieux raier le cas d agens économiques soumis à des risques de défau globaux résulan de faceurs macroéconomiques els que le niveau des aux d inérê. Il a aussi l avanage de permere l analyse de défaus muliples résulan du cycle des affaires ou encore de d aures élémens liés aux poliiques économiques des éas. Mahémaiquemen, les insans de défau peuven êre consruis de elle sore que la propriéé d indépendance condiionnelle soi saisfaie. On parle alors de consrucion canonique. La méhode es similaire à celle de Lando éudiée précedemmen. Il suffi, de plus, de supposer les seuils de défaus indépendans. Pour plus de déails, nous renvoyons à Bielecki e Rukowski (2000). 3. Descripion d un ire ou conra i h -o-defaul. Un ire (ou conra) i h -o-defaul es représené, conformémen à Bielecki e Rukowski (2001), par CCT (i) =(X, 0, (i),z (i), τ ). La variable aléaoire X, supposée F T mesurable, représene sa valeur à la dae d échéance T lorsque cee dernière es anérieure à la dae de défau τ (i) (τ (i) désigne le i-ème défau du panier). La variable aléaoire X e (i) représene sa valeur à la dae d échéance lorsque P cee dernière es posérieure à la dae de défau τ (i). Elle es définie par X e (i) = n X k1 (τ (i)=τ k), où les variables aléaoires X k (k {1,..., n}) son supposées F T mesurables. Le processus Z (i) défini sa foncion de paiemen à la dae aléaoire τ (i) lorsque P cee dernière es anérieure à la dae d échéance. Il es défini par Z (i) (τ (i) )= n Z k(τ k )1 (τ (i)=τ k), où les processus Z k (k {1,...,n}) son supposés F-prévisibles. Cee représenaion exclue la possibilié de disribuion de dividendes coninues aux ayan drois. Les flux son disribués soi à la dae du i-ème défau du panier ou à la dae d échéance du conra. Les flux payés par ces insrumens financiers son liés à la survenance du i-ème défau du panier. Dans le cas où T représene la dae d échéance du conra, par l acha d un el insrumen financier, on se proège, jusqu à la dae T,conreles(i 1) premiers défaus du panier. En l absence 6

de survenance du i-ème défau avan ou à l échéance, les ayan drois reçoiven à cee dae un flux coningen égal à X. Au cas où le i-ème défau inervien avan la dae d échéance T, une parie de la récupéraion es anicipée andis que l aure parie es payée à la dae d échéance du conra. Noons qu après le i-ème défau, les flux engendrés par ces insrumens financiers dépenden de l idenié de la i-ème signaure à faire défau. Dans la mesure où l on ne connaî pas l ordre de défau des débieurs de référence, le déeneur de ces produis financiers es soumis aux risques de défau de oues lessignauresdupanier.touefois,iln assumequelerisquededéfaudes (n i +1)dernières signaures du panieràfairedéfau. La siuaion es symérique pour le vendeur de ce ire (ou conra). Ce dernier es égalemen soumis aux risques de défau des signaures du panier, mais il ransfère vers les invesisseurs le risque de défau des (n i +1)dernières signaures à faire défau e n assume que le risque de défau des (i 1) premières signaures àfairedéfau. On pourrai ainsi assimiler un ire i-h o defaul référencé sur un panier de signaures à une opéraion de ransfer réciproque de panier de risques de défau. Le panier des insans de défau es décomposé en deux sous paniers, le vendeur du conra accepan les risques de défau du premier sous panier consiué des (i 1) premiers débieurs à faire défau andis que l acheeur du conra assume les risques de défau du deuxième sous panier composée des (n i +1) dernières signaures à faire défau. Dans la mesure où le vendeur du conra assume les (i 1) premiers défaus, il réclame le règlemen d une prime, représenée par le prix du produi financier, qui compense aussi les risques pris sur ce premier sous-panier. La prime réglée par l acheeur le proège conre les défaus du premier sous-panier. Si le premier défau du second sous-panier inervien avan la dae d échéance, il reçoi, dès cee dae, un règlemen monéaire inferieur à celui promis, à l échéance, au cas où il n y a aucun défau dans ce second sous panier. A parir de l hypohèse de daes de défaus condiionnellemen indépendanes, Bielecki e Rukowski proposen une méhode d évaluaion de ces produis financiers. Par leur méhodologie, ils généralisen les résulas de Duffie (1998) sur l évaluaion des produis dérivés de crédi firs-o-defaul ; puis ceux de Li (1999) surunconra i h -o-defaul pariculier, l opion de défau binaire sur un panier de daes de défau. Enfin, ces aueurs prolongen les résulas de Kijima e Muromachi (2000). La méhode de Bielecki e Rukowski(2001) es basée sur une décomposiion du panier τ en rois sous ensembles conenan respecivemen, (i 1), 1 e (n i) signaures. Ils désignen par Π (i,j), l ensemble de elles pariions. Ainsi, si 7

π es un élémen de Π (i,j), il s exprime sous la forme suivane : π = {π, {j}, π + }. Le sous ensemble π représene les (i 1) premières signaures à faire défau ; l indice j représene l idenié de l émeeur faisan défau en i-ème posiion, c es-à-dire, τ (i) = τ j ; enfin, le dernier sous ensemble noé π + désigne les (n i) dernièressignauresàfairedéfau. Puis ils posen : τ(π )=τ (i 1) (resp. τ(π + )=τ (i+1) ), le (i 1)-ème (resp. (i +1)-ème) défau du panier. Noons que dans cerains cas on pourra avoir τ(π )= ou τ(π + )=+. 1.2. Valeur d un ire (ou conra) i h -o-defaul non vulnérable. Le prix X (i) (0,T) du ire (ou conra) i h -o-defaul vérifie : X (i) (0,T)=E Q X1 (T<τ (i)) (i) 1 (T τ (i)) ez (i) 1 (T τ (i)) + +. B(τ (i) ) Or on sai que : d où : nx nx 1 ( T<τ (i)) = 1 ( τ (i) =τ k ;T<τ k) e 1 (T τ (i)) = 1 ( τ (i) =τ k ;T τ k), X (i) (0,T)=E Q " nx X1 ( τ (i) =τ k ;T<τ k) + nx X k 1 ( τ (i) =τ k ;T τ k) + nx Z k 1 ( τ (i) =τ k ;T τ k). B(τ k ) Par ailleurs, les évènemens de crédis ª ª τ (i) = τ k ; T<τ k e τ (i) = τ k ; T τ k, s écriven chacun comme une réunion disjoine d évènemens de crédis, c es à dire, ª [ τ (i) = τ k ; T<τ k = {τ(π ) < τ k < τ(π + ); T<τ k } π Π (i,j) e ª [ τ (i) = τ k ; T τ k = {τ(π ) < τ k < τ(π + ); T τ k }. π Π (i,j) En appliquan la proposiion 3.1 de Jeanblanc e Rukowski (2000) el hy- pohèse 2 précédene, Bielecki e Rukowski (2001) obiennen une expression de X (i) (0,T) en une somme de rois ermes : X (i) (0,T)=J (i),τ X (0,T)+K(i),τ Z Le premier erme J (i),τ X (0,T), égal à " Z Ã X np µ P Q E Q (1 e Γk(u) ) j=1 T π Π (i,j) k π 8 (0,T)+L (i),τ (0,T). e P l π + Γ l (u)! λ j (u)e Γj(u) du, (1)

es le prix du ire (ou conra) i h -o-defaul représené par CCT (i) =(X, 0, 0, 0, τ ). Il proège son déeneur conre les (i 1) premiers défaus e s apparene à un ire (ou conra) i h -o-defaul de ype binaire. Le second erme K (i),τ Z (0,T), égal à E Q " np j=1 Z T 0 Z j (u) B(u) Ã P π Π (i,j) µ Q k π (1 e Γk(u) ) e P l π + Γ l (u)! λ j (u)e Γj(u) du, (2) es le prix du ire (ou conra) i h -o-defaul représené par CCT (i) =(0, 0, 0,Z (i), τ ). Il proège son déeneur conre le i-ème défau. Li (1999) s inéresse à l évaluaion de ce ype d insrumens financiers, il suppose les flux Z k égaux à 1. Enfin le roisième erme L (i),τ (0,T), égal à " Z Ã np X T µ! j P Q E Q (1 e Γk(u) ) e P l π Γ + l (u) λ j (u)e Γj(u) du, j=1 0 π Π (i,j) k π (3) es le prix du ire (ou conra) i h -o-defaul représené par CCT (i) =(0, 0, X e (i), 0, τ ). On peu donc conclure qu un ire (ou conra) i h -o-defaul es la somme de rois insrumens financiers. Le premier, de prix J (i),τ Z (0,T), es un ire (ou conra) i h -o-defaul à barrière désacivée en cas de survenance du i-ème défau avan la dae d échéance T. Le second, de prix K (i),τ Z (0,T), es un ire (ou conra) i h -o-defaul à barrière acivée en cas de survenance du i-ème défau avan la dae d échéance T. Le roisième, de prix L (i),τ Z (0,T), es un ire (ou conra) i h -o-defaul à barrière acivée en cas de survenance du i-ème défau avan la dae d échéance T. La différence enre les deux derniers insrumens financiers es liée à la dae de disribuion des flux monéaires aux invesisseurs. Dans le premier cas, le règlemen inervien à la dae aléaoire du i-ème défau alors que dans le second cas il a lieu à la dae d échéance T. Remarques. Il es possible de donner des expressions plus simples de (1) e de (3) pour un ire (ou conra) firs-o-defaul. En effe, dans ce cas, pour ou j {1,..., n} e π Π (1,j), on a π = e π + = {1,..., j 1,j+1,...,n}. 9

Il en résule les égaliés suivanes : Z Ã np µ P Q (1 e Γk(u) ) = j=1 T Z T π Π (i,j) k π np λ j (u)e P n l=1 Γ l (u) j=1 = e P n l=1 Γ l(t ) e P l π + Γ l (u)! λ j (u)e Γj(u) du e = np Z T j=1 0 Z T 0 Ã P π Π (i,j) µ Q k π np λ j (u)e P n l=1 Γ l (u) j=1 =1 e P n l=1 Γ l (T ). (1 e Γk(u) ) e P l π + Γ l (u)! λ j (u)e Γj(u) du Soi d après (1) e d après (3) J (1),τ X X (0,T)=E P nl=1 Q e Γ l (T ), L (1),τ (0,T)=E Q " (1 e P nl=1 Γ l (T ) ) si en plus on suppose que X 1 = X 2 =... = X n =. Ce résula peu s obenir direcemen en monran, comme dans Duffie (1998), que la (F,G) inensié du premier insan de défau du panier es égale à la somme des inensiés de défau des signaures du panier. D après la forme des prix des ires firs-o-defaul soumis au schéma de recouvremen nul, la méhode developpée par Blanche-Scallie e Jeanblanc (2001), pour la duplicaion des flux monéaires soumis à un risque de défau, peu êre prolongée à celle des insrumens financiers firs-o-defaul. Il suffi alors de supposer l exisence sur le marché d un acif élémenaire qui paie une unié monéaire si à sa dae d échéance aucun défau n es survenu dans l économie. 1.3. Tires (ou conras) i h -o-defaul vulnérables, règlemen à la dae d échéance. 1.3.1. Définiion. Un ire (ou conra) i h -o-defaul vulnérable es un ire ou conra i h -odefaul pour lequel le vendeur es suscepible de faire défau. 10

Les conras à erme vulnérables son des opéraions financières pour lesquelles le vendeur e l acheeur son soumis au risque de défau. C es le cas par exemple des defaulable swaps mais aussi des swaps sur le risque de défau. La prise en compe du caracère vulnérable résule du consa selon lequel des banques, suscepibles d êre en défau, émeen ce ype d insrumens financiers. Ces ires (ou conras) vulnérables s apparenen (dans une forme plus absraie) aux produis dérivés de crédi irisés, ce son des noes sur des paniers de défau, émises par des agens économiques suscepibles d êre en défau. 1.3.2. Hypohèses supplémenaires. La variable aléaoire τ V représene la dae de défau du vendeur. Elle adme une inensié aléaoire λ V sous Q. Cee dernière es supposée non anicipaive par rappor à la filraion des prix ou des aux F. On pose Γ V (u) = R u λ 0 V (u)du), Γ V désigneleprocessusdehasardduvendeur. L informaion dans l économie es cee fois décrie au moyen de la filraion G = G V D, où G V = F D V e D = D 1 D 2... D n. Par rappor à la secion précédene, on observe en plus la dae de défau du vendeur. Sous Q, les insans de défau τ 1,..., τ n e τ V son supposés indépendans condiionnellemen à l informaion sur les aux. La première applicaion concerne l évaluaion d un ire (ou conra) i h -odefaul vulnérable pour lequel sa valeur sans défau (du vendeur) es représenée par CCT (i) =(0, 0, (i), 0, τ ). Ce dernier insrumen financier es la composane de CCT (i) =(X, Z (i), (i), 0, τ ) qui perme à son déeneur de se proéger conre le i ème défau avec règlemen à la dae T. En cas de défau du vendeur, celui-ci règle, à la dae d échéance, une fracion δ V (T ), supposée F T mesurable, de la valeur promise. Ainsi, le ire (ou conra) i h -o-defaul vulnérable es représené par CCT (i) =(0, 0, e X (i) e V (T ), 0, τ ), où e V (T )=1 (T<τ V ) + δ V (T )1 (T τ V ). Proposiion 1.3.3. Le prix L (i),τ (0,T) du ire (ou conra) ih -o-defaul vulnérable, représené par CCT (i) =(0, 0, (i) e V (T ), 0, τ ), es égal à " Z Ã np T µ! P Q v V (0,T)E QT X j (1 e Γk(u) ) e P l π Γ + l (u) λ j (u)e Γj(u) du, j=1 0 π Π (i,j) k π où v V (0,T) es le prix de l obligaion zéro-coupon émise par le vendeur du ire de valeur erminale e V (T ); Q T désigne la T -mesureforward-neurededéfau 11

liée à v V (, T ). Preuve : Les flux liés à CCT (i) =(0, 0, (i) e V (T ), 0, τ ) vérifien : nx X k e V (T )1 (τ (i) =τ k ;T τ k). Sa valeur iniiale es alors donnée par " np E Q e V (T ) X j P 1 (τ(π )<τ j=1 j <τ(π + );T τ j ) π Π " " (i,j) np = E Q e V (T ) X j P j=1 E Q 1 (τ(π )<τ j <τ(π + );T τ j ) F T DT V. π Π (i,j) D après l hypohèse d indépendance condiionnelle, les σ-algèbres DT 1... DT n e DT V son indépendanes connaissan F T. On obien alors " " P P E Q 1 (τ(π )<τ j <τ(π + );T τ j ) F T DT V = E Q 1 (τ(π )<τ j <τ(π + );T τ j ) F T. π Π (i,j) π Π (i,j) Ainsi, le prix de ce insrumen financier vulnérable es donné par : " np E Q e V (T ) X Z j P T µ Q (1 e Γk(u) ) e P l π Γ + l (u) λ j (u)e Γj(u) du, j=1 π Π (i,j) 0 k π soi finalemen en passan à l univers forward-neure de défau, " Z np P T µ Q v V (0,T)E QT (1 e Γk(u) ) e P l π Γ + l (u) λ j (u)e Γj(u) du. X j j=1 π Π (i,j) 0 k π Remarque. Il semble inéressan de faire le lien enre L (i),τ (0,T) e L(i),τ (0,T). Rappelons que L (i),τ (0,T), défini par la relaion (3), es le prix de la valeur sans défau (du vendeur) de l insrumen financier vulnérable. Le rappor de prix L(i),τ (0,T ) L (i),τ v V (0,T)E QT h Pn j=1 X j B(0,T)E PT h Pn j=1 X j vérifie (0,T ) ³ P π Π Qk π (1 (i,j) e Γk(u) ) e P i l π Γ + l (u) λ j (u)e Γj(u) du ³ P π Π Qk π (1 (i,j) e Γ k(u) ) e P i, l π Γ + l (u) λ j (u)e Γ j(u) du R T 0 R T 0 12

où P T désigne la T -mesure forward neure sans défau. Lorsque le défau du vendeur es indépendan des aux d inérê, nous savons, d après les résulas d Augros e Tchapda (2000 ; 2002) que la resricion de la T -mesure forward neure de défau sur la filraion F es la T -mesure forward neure sans défau. On a alors l égalié L (i),τ (0,T) L (i),τ (0,T) = v V (0,T) B(0,T). Le rappor d espérance qui apparaî dans le conexe général, où les daes de défau son condiionnellemen indépendanes e le défau du vendeur correlé aux aux d inérê, exprime l impac de la dépendance enre le défau du vendeur e les aux d inérê. Il fai aussi inervenir noammen les différenes corrélaions enre le défau des débieurs du panier e le défau du vendeur. Considérons mainenan le cas d un insrumen financier émis par le même vendeur, représené, cee fois, par [CCT (i) =(Xe V (T ), 0, (i) e V (T ), 0, τ ). Comme sa valeur sans défau représenée par CCT (i) =(X, 0, (i), 0, τ ), il perme aux invesisseurs de se proéger conre les i premiers défaus du panier de débieurs. Touefois, son déeneur es en plus exposé au risque de défau du vendeur. La roisième applicaion concerne le cas de ires (ou conras) firs-o-defaul vulnérables. Comme pour la seconde applicaion, nous représenons sa valeur sans défau (du vendeur) par CCT (1) =(X, 0, X e (1), 0, τ ). De plus, nous supposons que X 1 = X 2 =... = X n =. Auremen di, les flux monéaires engendrés par ce insrumen financier après le premier défau ne dépenden pas de l idenié de la première signaure du panier en défau. Cee représenaion des produis financiers firs-o-defaul sans défau (du vendeur) es conforme à celle de Kijima e Muromachi (2000). Cesderniersaueurslesqualifiendeswapsdeype F. La prise en compe de l évenualié d un défau du vendeur pour ce ire (ou conra) nous perme de le représener par [CCT (1) =(Xe V (T ), 0, (1) e V (T ), 0, τ ). Conrairemen à Kijima e Muromachi (2000), X e ne son pas supposés consans;ilssonaléaoiresef T mesurables. La proposiion 1.3.4 qui va suivre éend leurs résulas dans un cadre où le vendeur es suscepible de faire défau. Proposiion 1.3.4. Le prix X (1) (0,T) du ire (ou conra) firs-o-defaul vulnérable, représené par [CCT (1) =(Xe V (T ), 0, (1) e V (T ), 0, τ ), vérifie : X (1) (0,T)=J (1),τ X (0,T)+L (1),τ (0,T), 13

où h J (1),τ X (0,T)=v V (0,T)E QT Xe P i n l=1 Γ l (T ) h ³ e L (1),τ (0,T)=v V (0,T)E QT 1 e P i n l=1 Γ l (T ). Preuve. On exprime ce produi vulnérable firs-o-defaul comme une somme de deux insrumens financiers vulnérables, [CCT (1) =(Xe V (T ), 0, 0, 0, τ )+(0, 0, X e (1) e V (T ), 0, τ ). Le prix du produi vulnérable représené par (0, 0, (1) e V (T ), 0, τ ) se dédui de la proposiion 1.3.3 du chapire 4. De plus, on a X 1 = X 2 =... = X n, par la remarque de la secion 1.2, on en dédui le prix du second insrumen financier vulnérable. Pour l évaluaion du premier insrumen financier vulnérable, son prix se dédui de la preuve de la proposiion 1.4.4 e de la remarque de la secion 1.2. Il es égal à: " Z np X P µ Q E Q e V (T ) (1 e Γk(u) ) e P l π Γ + l (u) λ j (u)e Γj(u) du j=1 π Π (i,1) T k π X P nl=1 = E Q e V (T ) e Γ l (T ). Enfin le passage à l univers forward neure de défau nous donne le résula. 1.4. Tires (ou conras) firs-o-defaul vulnérables, règlemen anicipé au premier défau. Nous considérons le cas d un ire(ou conra) firs-o-defaul vulnérable pour lequel le règlemen du vendeur du ire (ou conra) inervien à sa dae de défau, s il es le premier à faire défau. De plus, nous supposons que sa valeur sans défau (du vendeur) es conforme à la descripion de Duffie (1998). Elle es donc représenée par CCT (1) =(X, 0, 0,Z (1), τ ). Le ire vulnérable n es pas seulemen soumis au risque de défau des signaures du panier, mais en plus il es soumis au risque de défau du vendeur de la proecion. C es la différence fondamenale avec le modèle de Duffie (1998). Ainsi,lorsqueledéfauduvendeurseproduienpremiereavanladaed échéance du ire (ou conra), le règlemen es anicipé. Le déeneur du ire (ou conra)reçoidèsceedaeunflux aléaoire égal à Z V (τ V ). En revanche, si le défau d une des signaures du panier se produi en premier e avan la dae d échéance, l acheeur du ire(ou conra) reçoi à cee dae le flux aléaoire égal à Z (1) (τ (1) ). Les paiemens s arrêen dès que le premier défau ( parmi les débieurs de référence ou le vendeur de la proecion) inervien avan la dae d échéance. Une compensaion, pour solde de ou compe, es alors versée à l acheeur de la proecion. 14

Enfin, si aucun défau n es inervenu à la dae d échéance, le déeneur du ire (ou conra) reçoi le flux coningen égal à X. Les hypohèses sur les daes de défau ainsi que celles sur l informaion dans l économie son ideniques à celles de la secion 1.3. Nous supposons le processus Z V de recouvremen du vendeur F-prévisible En nous basan sur les résulas de la secion 1.2, nous verrons que ce insrumen financier vulnérable peu êre représené comme un ire (ou conra) firs-odefaul non vulnérable référencé sur le panier de signaures τ {τ V }. Posons nx Z V (bτ (1) )= Z k (τ k )1 ( bτ (1) =τ k ;T τ k) + Z(τ V )1 ( bτ (1) =τ k ;T τ k), où bτ (1) représene le premier défau du panier τ {τ V }. Proposiion 1.4.1. Le prix es (1) (0,T) du ire (ou conra) firs-o-defaul vulnérable décri cidessus vérifie : où es (1) (0,T)=J (1),τ {τ V } X (0,T)+K (1),τ {τ V } Z V (0,T), (4) J (1),τ {τ V } X P X (0,T)=E Q e Γ V (T ) nl=1 Γ l (T ) e K (1),τ {τ V } (0,T)=E Z V Q "P n j=1 R T 0 + R T 0 Z j (u) B(u) Z V (u) B(u) Preuve. Les flux engendrés par ce insrumen dérivé cash vérifien : X1 ( T<τ (1)) 1 (T<τ V ) + e Γ V (u) P l6=j Γ l(u) λ j (u)e Γj(u) du e P n. l=1 Γ l (u) λ V (u)e Γ V (u) du nx Z k (τ k )1 ( bτ (1) =τ k ;T τ k) + Z V (τ V )1 ( bτ (1) =τ k ;T τ k), où τ (1) (resp. bτ (1) ) représene le premier défau du panier τ (resp. τ {τ V }). En remarquan que 1 (T<τ (1)) 1 (T<τ V ) =1 (T<bτ (1)), ce produi dérivé de crédi peu êre représené par CCT (1) =(X, 0, 0,Z V, τ {τ V } ). Son prix se dédui alors des résulas de la secion 1.2. Remarques. Le prix du produi firs-o-defaul vulnérable référencé sur un panier de n débieurs es idenique à celui d un produi firs-o-defaul non vulnérable référencé 15

surunpanierden +1débieurs ; la signaure en plus éan celle du vendeur de l insrumen financier vulnérable. D après la descripion d un ire (ou conra) firs-o-defaul vulnérable, un insrumen financier firs-o-defaul non vulnérable, référencé sur un panier comporan n débieurs, peu êre assimilé à un insrumen financier firs-odefaul vulnérable, référencé sur un panier comporan (n 1) débieurs. La signaure en moins dans le panier représene le vendeur du produi financier vulnérable. Ainsi, ou débieur du panier servan de référence au produi financier firs-o-defaul non vulnérable peu êre considéré à son our comme le vendeur d un produi financier firs-o-defaul vulnérable référencé sur le même panier moins la signaure de ce débieur. A la différence de la secion précédene pour laquelle l évaluaion des produis dérivés vulnérables s opère dans l univers forward-neure de défau, l évaluaion de ce insrumen financier firs-o-defau vulnérable se fai au moyen de la probabilié risque-neure. Ceci résule de la définiion de la probabilié forwardneure de défau 2,liéeaumodederecouvremendelavaleurdemarché,lorsquela récupéraion a lieu à la dae de défau. Ici, nous adopons une approche générale e ne donnons aucune forme aux processus de recouvremen à la dae du premier défau. Enfin si le vendeur de ce insrumen financier es supposé sans risque de défau, c es-à-dire, conformémen à nore convenion, lorsque τ V =+, λ V =0e Z V =0, la formule (4) vérifie es (1) (0,T)=J (1),τ X (0,T)+K(1),τ Z (0, T). On rerouve alorsleprixdel insrumenfinancier non vulnérable associé, représené par CCT (1) =(X, 0, 0,Z (1), τ ). 2. Swaps i h -o-defaul référencés sur un panier de signaures. Dans cee secion, nous nous inéressons à des opéraions de swaps, référencés sur le panier τ de débieurs, qui permeen à l acheeur du conra de se proéger conre le i-ème défau. Pour ce faire, ce dernier paie une prime fixe périodique représenan la jambe fixe du swap. Le vendeur se ien prê à régler, soi à la dae τ (i), soi à la dae d échéance du conra, un paiemen coningen représenan la jambe variable du swap. Noonsqueceejambevariablepeuêreliéeàdesiresémisparlesdébieurs de référence. Bielecki e Rukowski (2001) donnen quelques exemples. Ils s inéressen à l évaluaion du aux fixe d un swap i h -o-defaul pour lequel la jambe variable es consane. Ils supposen aussi que le règlemen de cee 2 Voir la secion 1.3. du chapire 3. 16

dernière inervien à la dae τ (i), si cee dernière es anérieure à la dae d échéance du conra. Dans les secions 2.1 e 2.2, nous décrivons le swap i h -o-defaul, puis présenons les résulas proposés par Bielecki e Rukowski (2001) pour l évaluaion du aux de swap. La secion 2.3 concerne l évaluaion du aux de swap lorsque le règlemen de la jambe variable inervien à la dae d échéance. Dans ce cas, nous prenons en compe uniquemen l évenualié d un défau du vendeur de la proecion. Enfin dans la secion 2.4, nous nous inéressons à l évaluaion du aux de swap firs-o-defaul lorsque le règlemen de la jambe variable es anicipée. Cee fois, nous supposons que le vendeur e l acheeur de la proecion son suscepibles de faire défau. 2.1. Hypohèses spécifiques. Nous reenons les hypohèses 1 e 2 de la secion 1.1. Nous représenons un swap i h -o-defaul référencé sur le panier τ par S 1 CT (i) = F (i),0,z (i), 0, τ ou S 2 CT (i) = ³ F (i),0, e X (i), 0, τ. Avec : -T =(T 0,T 1,..., T m,t), (T 1 <T 2 <... < T m <T), T représene la dae d échéance du conra, les daes T i (1 i n) corresponden aux daes de paiemen de la prime par l acheeur du swap, la dae T 0 esladaededépardu conra ; - F (i) = κ (i) 1,..., κ (i) m représene les flux de la jambe fixe du conra, κ (i) esleauxduswape i = T i T i 1, avec i =1,...m. Nous supposons que le monan noionnel du swap es égal à une unié monéaire ; - (i) représene la jambe variable du conra, au cas où son règlemen inervien à la dae d échéance T ; c es une variable aléaoire G T mesurable, elle vérifie X e (i) = P n X k1 ( τ (i) =τ k), où les X k son supposés F T mesurables ; - Z (i) représene la jambe variable du swap, au cas où son règlemen inervien àladaeτ (i) ; le processus Z (i), vérifie Z (i) = P n Z k1 ( τ (i) =τ k), où les processus Z k (k {1,..., n}) sonsupposésf-prévisibles. La disincion enre les deux conras de swap représenés par S 1 CT (i) e S 2 CT (i) es liée à la dae de règlemen de la jambe variable. Proposiion 2.2. Lorsquelerèglemendelajambevariableinervienàladaedeτ (i), le aux de swap vérifie : κ (i) (0,T) = J (i),τ k (0,T k ), (5) Lorsque le règlemen de la jambe variable inervien à la dae d échéance T, le K (i),τ Z X m 17

aux de swap vérifie : où les ermes J (i),τ k κ (i) = L (i),τ X m (0,T) (0,T k )(1 k n), K (i),τ Z J (i),τ k (0,T k ), (6) (0,T) e L (i),τ (0,T) son définis dans la secion 2.2. Preuve. Elle s obien assez rapidemen en remarquan que S 1 CT (i) = F (i),0,0,z (i), τ = F (i),0,0, 0, τ + 0,0, 0,Z (i), τ pour le règlemen àladaeτ (i), S 2 CT (i) = ³ F (i),0, (i), 0, τ = F (i),0,0, 0, τ ³ + 0,0, (i), 0, τ pour le règlemen àladaed échéancet. Or d après la secion 1.2, les prix de F (i),0,0, 0, τ, 0,0, 0,Z (i), τ ³ e 0,0, (i),,0, τ son égaux respecivemen à X m (i),τ κj k (0,T k ),K (i),τ Z (0,T) e L (i),τ (0,T). Sachan que le conra de swap es conclu à ire onéreux, on obien le résula. Bielecki e Rukowski (2001) supposen que le règlemen de la jambe variable es anicipé. Par ailleurs, ils supposen que l acheeur du conra cherche à se proéger conre la pere qu il pourrai subir sur un panier d obligaions zéro-coupon soumis au schéma de recouvremen fracionnaire de la valeur faciale, à aux consan. Ainsi, ils posen Z k =(1 δ k )L k, où L k représene la valeur faciale de l obligaion zéro-coupon risquée émise par la signaure k ;laconsaneδ k représene son aux de recouvremen. Les formules (5) e (6) son données dans un cadre général. Si par exemple l acheeur du conra cherche à se proéger conre la pere qu il pourrai subir à la suie du i-ème défau sur un panier d obligaions zéro-coupon soumises au mode de recouvremen fracionnaire à la dae d échéance, on a X k =(1 δ k (T ))L k. La variable aléaoire δ k (T ), F T mesurable, représene le aux de recouvremen de l obligaion zéro-coupon émise par la signaure k. Ineressons-nous mainenan à ceraines siuaions pariculières conduisan à des expresssions analyiques du aux de swap. 2.3. Swaps firs-o-defaul pariculiers. Nous déduisons de (1), (2) e (3) les³ prix des insrumens financiers firs-odefaul, représenés par (1, 0, 0, 0, τ ), 0, 0, X,0, e τ e (0, 0, 0,Z,τ ) e de prix spo eb 0 (0,T), L (1),τ (0,T) e K(1),τ Z (0,T) respecivemen. On a 1 P nl=1 eb 0 (0,T)=E Q e Γ l (T ), 18

L (1),τ (0,T)=E Q " np X j j=1 " Z T K (1),τ Z (0,T)=E Q 0 np j=1 Z T 0 λ j (u)e P n l=1 Γl(u) du, 0 Z j (u) B(u) λ j(u)e P nl=1 Γ l (u) du, Z T où B e 0 (0,T) es idenique au prix, dans un monde où le aux d inérê spo es égal à r()+ P n λ k(), d une obligaion zéro-coupon sans risque de défau d échéance T. Nous supposons mainenan que la jambe variable du swap ne dépend pas de l idenié du premier débieur de référence à faire défau. On pose alors X 1 = X 2 =... = X n = pourlecasd unrèglemenàladaed échéanceez 1 = Z 2 =... = Z n = Z pour le cas du règlemen de la jambe variable à la dae du premier défau. swap firs-o-defaul es pariculierèmen inéressan. Ilrésulealors ³ queleaux deswap firs-o-defaul représené par S 2 CT (1) = F (1),0, (1), 0, τ vérifie : h X e E Q (1 P i κ (1) e n l=1 Γ l (T ) ) = X m h e ke P n i Γ l=1 l (T k, ) Q B(T k ) alors que le aux de swap représené par S 1 CT (1) = F (1),0,0,Z (1), τ vérifie h R T P E n R T Z j (u) Q κ (1) 0 j=1 λ 0 B(u) j(u)e P i n l=1 Γ l (u) du. = X m h e ke P n i Γ l=1 l (T k. ) Q B(T k ) On peu alors conclure que le aux de swap es un rappor de prix d insrumens financiers soumis au risque de défau. En effe, le numéraeur représene le prix d un produi financier d échéance T référencé sur le panier τ e à barrière acivée en cas de premier défau. Le dénominaeur peu êre assimilé au prix d une obligaion couponnée, à recouvremen nul, promean de payer aux daes T k un flux monéaire égal à k (1 k m). Noonsquepourceiredecréance, l insan aléaoire de défau de son émeeur correspond au premier défau du panier de débieur. On peu donc conclure que la valeur d un aux de swap de défau es égal à la valeur d une opion de défau binaire divisée par la valeur d une obligaion couponnée risquée, à aux de recouvremen nul, promean des coupons aux daes T k, àunauxégalà k (1 k m). ³ Le aux de swap représené par S 2 CT (1) = F (1),0, X e (1), 0, τ vérifie : h i h E Q E P i κ (1) Q e n l=1 Γ l (T ) = X m e, kb 0 (0,T k ) 19

où eb 0 (0,T k ) es donnée par la proposiion précédene. Considérons un agen économique souhaian se proéger conre un panier d obligaions zéro-coupon soumis au mode de recouvremen fracionnaire (fracionnal of recovery of reasury value) à l échéance, comme la jambe variable du La jambe variable de S 2 CT (1) ne dépend pas de l idenié de la première signaure du panier à faire défau, on pourrai la choisir comme le moyenne arihméique, c es -à-dire, = 1 n nx (1 δ k (T )), où δ k (T ) représene le aux de recouvremen dfe l obligaion zéro-coupon soumise au défau émise par la signaure k. Le aux de swap es alors égal à κ (1) = B(0,T) P 1 n e n δ k (0,T) X m kb e 0 (0,T k ) P ³ n = 1 B(0,T) e δ k (0,T) X m n e, kb 0 (0,T k ) où e δ k (0,T) es la valeur acuelle, dans un monde où le aux d inérê es égal à r()+ P n λ k(), du aux de recouvremen de l obligaion zéro-coupon d échéance T émise par le débieur k. On peu alors remarquer que cee formule es similaire à celle donnan le aux de swap de aux d inérê. La formule précédene nous perme de mieux raduire l impac de la pere résulan du panier débieur sur le aux de swap de défau. En effe, e comme on pouvai le penser, si la valeur acuelle du aux de recouvremen des débieurs de référence es rès proche de la valeur de l obligaion zéro-coupon sans risque de défau,leauxdeswapserarèsprochedezéro.enrevanche,silemarché,oùle aux d inérê spo es égal à r()+ P n λ k(), anicipe des aux de recouvremen faibles, le aux de swap sera davanage élevé. Le cas exrême équivau à celui où le aux de recouvremen de ous les ires du panier es nul, dans ce cas : le aux deswap,égalàκ (1) M,vérifie κ (1) M = B(0,T) X m kb e 0 (0,T k ). Dans la mesure où l on ne connai pas au momen de l évaluaion du aux de swap la sévérié de la pere encourue par la déenion d un panier d obligaions zéro-coupon, κ (1) M représene le aux de swap maximum que reclamerai un gesionnaire pour proéger d un panier d obligaions zéro-coupon soumis au mode de recouvremen fracionnaire. Plus généralemen, lorsque la jambe variable du swap es supposée indépendane 20

de l idenié du premier débieur à faire défau, elle peu êre choisie comme une foncion mulivariée des peres subies sur chacune des obligaions zéro-coupon. 2.4. Swap de défau simple pariculier. Ineressons-nous mainenan au cas du swap avec règlemen de la jambe variable au momen du défau. De plus, nous supposons que le panier es consiué d un seul débieur de référence. Ilrésulealorsqueleauxdeswapdedéfau,κ, représené par S 1 CT =(F,0,Z, 0, τ), vérifie h R i T Z(u) E Q 0 B(u) λ(u)e Γ(u) du. κ = X m e. kb 0 (0,T k ) Supposons de plus que le ire débieur sous-jacen au conra de swap es soumis au mode de recouvremen fracionnaire de la valeur de marché au aux K. La dae T représene aussi l échéance du ire soumis au défau, X d (0,T) es le prix de ce ire. Proposiion 2.4.1. On a : κ = bz d (0) ez(0) X m k e B 0 (0,T k ), où bz d (0) représene la valeur sans défau d un ire risqué émis par le débieur de référence, d échéance T, soumis au mode de recouvremen de la valeur de marché au aux K d =1 K ; ez(0) représene la valeur hors défau d un ire risqué émis par le débieur de référence, d échéance T, ayan une valeur sans défau idenique à celle de X d e soumise au mode de recouvremen nul. Preuve. La valeur du swap éan nulle à la dae de signaure, on obien " m X 1 (Tk <τ) 0=E Q κ i B(T k ) (1 K(τ)) Xd (τ ) 1 (<τ T ) B(τ) " m X 1 (Tk <τ) = E Q κ i B(T k ) Kd (τ)x d (τ ) 1 (<τ T ), B(τ) où K d =1 K. Soi X la valeur sans défau de X d àladaet, on a : " m X 1 (Tk <τ) 0=E Q κ i B(T k ) + X 1 (T<τ) X 1 (T<τ) Kd (τ)x d (τ ) 1 (<τ T ) B(τ) 21

= mx κ kb0 e (0,T k )+ Z() e Z bd (). D où le résula. Nous pouvons comme dans la secion précédene analyser l impac du aux de recouvremen du ire débieur sur le aux de swap de défau. D une par, e comme on pouvai s y aendre, lorsque le marché anicipe un aux de recouvremen du ire débieur proche de 100%, le aux de swap es proche de zéro. Au conraire lorsque le marché anicipe un aux de recouvremen du ire débieur proche de zéro, le aux de swap es rès proche de la valeur κ M = Z(0) e Z(0) X m k e B 0 (0,T k ), où Z(0) es le prix du ire représené par DCT =(X, 0, 0, 0, + ), c es-à-dire la valeur sans défau du ire X d. Ainsi, κ M es le aux de swap maximum à payer pour se proéger conre une pere qu on pourrai subir d une obligaion zérocouponsoumiseaumodederecouvremenfracionnairedelavaleurdemarché. D aure par, e d après la formule précédene, il es clair que le aux de swap es une foncion décroissane du aux de recouvremen du ire débieur. 2.5. Swap i h -o-defaul vulnérable : règlemen de la jambe variable à la dae d échéance du conra. Ceesecionconcernel évaluaionduauxdeswap i h -o-defaul dans un conexepariculier.noussupposonsdansceepariequelepaiemendelajambe variable inervien à la dae d échéance du swap. Cee spécificié nous perme de ne prendre en compe que le risque de défau du vendeur du swap. La vulnérabilié du conra de swap se radui par l évenualié d un défau du vendeur, c es-à-dire pour l acheeur du conra, un risque de défau supplémenaire. Les hypohèses de cee secion son ideniques à celles de la secion 2.3. Le swap i ³ h -o-defaul vulnérable référencé sur le panier τ es représené par S 1 CT (i) = F (i), 0, (i) e V (T ), 0, τ où F (i) = κ (i) 1,..., κ (i) m. On rappelle que e V (T )=1 (T<τ V ) + δ V (T )1 (T τ V ). Le erme κ (i) représeneleauxfixe du swap i h -o-defaul vulnérable. Proposiion 2.5.1. On a : κ (i) = L (i),τ X m (0,T) J (i),τ k (0,T k ). (7) 22

Preuve. Elle s obien en combinan la preuve de la proposiion 2.2 e celle de la proposiion 1.3.3. Remarques. Lorsque i =1, d après les proposiions 1.3.1 e 1.3.5, le aux du swap i h -odefaul vulnérable vérifie : h v V (0,T)E κ (1) QT X e 1 e P i n l=1 Γ l (T ) = X m h e ke P n i Γ l=1 l (T k. ) Q B(T k ) Il nous semble inéressan comme dans la secion précédene de faire le lien enre le aux du swap vulnérable (κ (i) )eauxdeswapnonvulnérable(κ (i) )donnépar la formule (4.6). On a la relaion suivane : κ (i) κ = L (i) (i),τ (0,T) L (i),τ (0,T). Elle exprime que le rappor enre le aux de swap i h -o-defaul vulnérable e le aux de swap i h -o-defaul non vulnérable de mêmes caracérisiques es égal au rappor du prix d un produi financier i h -o-defaul vulnérable sur le prix de sa valeur sans défau (du vendeur). Si sous la probabilié risque neure, le défau du vendeur du swap i h -o-defaul vulnérable es indépendan de l informaion des prix ou des aux, le rappor du aux du conra vulnérable sur celui de sa valeur sans défau es égale au rappor de l obligaion zéro-coupon d échéance T - émise par le vendeur, ayan un aux de recouvemen idenique à celui de la jambe variable - sur l obligaion zéro-coupon sans risque de défau de mêmes caracérisiques. 2.6. Swap firs-o-defaul vulnérable, règlemen anicipé au premier défau. 2.6.1. Descripion du conra e Hypohèses spécifiques. Cee secion concerne l évaluaion du aux de swap dans un cadre où le règlemen de la jambe variable es anicipé. Nous savons que dans un conra de swap de défau, l acheeur de la proecion e le vendeur de la proecion asssumen chacun le risque de défau de l aure. Nous proposons donc de calculer le aux du swap firs-o-defaul en prenan en compe à la fois l évenualié d un défau du vendeur e de l acheeur de la proecion. Ce conra financieresalorssoumisauxrisquesdedéfaude(n +2)signaures : l acheeur de la proecion, le vendeur de la poecion e les n signaures du 23

panier. L acheeur de la proecion cherche à se défaire du premier défau parmi les signaures du panier. Pour cela, an qu aucun défau parmi les (n +1)aures signaures n es inervenu, il paie une commission périodique aux daes T i (1 i m). Enrevanche,s ilvienàfairedéfauenpremiereavanladaed échéance,t, du conra, il règle dès cee dae au vendeur de la proecion une compensaion aléaoire égale à Z A (τ A ). Le vendeur de la proecion se ien prê à régler à l acheeur un paiemen coningen égal à Z (1) (τ (1) ) si l un des débieurs de référence es le premier à faire défau avan l échéance du conra. Touefois, au cas où il serai le premier à faire défau, une compensaion aléaoire, Z V (τ V ), es versée à l acheeur de la proecion dès cee dae. Un el conra a une valeur nulle après le premier défau parmi les (n +2)signaures. Le premier défau soppe les paiemens, une compensaion es alors payée soi au vendeur soi à l acheeur du conra. Auremen di, le vendeur e l acheeurdelaproecionrefusenlerisquededéfaudel aureeréclamenune compensaion. La variable aléaoire τ A (resp. τ V ) représene la dae de défau de l acheeur (resp. du vendeur). C es une variable aléaoire d inensié λ A (resp. λ V )sousq, supposée non anicipaive par rappor à la filraion des prix ou des aux F. Le processus défini par Γ A (u) = R u λ 0 A(u)du (resp. Γ V (u) = R u λ 0 V (u)du) désigne le processus de hasard de l acheeur (resp. du vendeur). Nous supposons ici que les daes de défau τ 1, τ 2,...,τ n, τ A e τ V son indépendanes condiionnellemen à l informaion sur les aux, sous Q. Le paiemen coningen égal à Z (1) (τ (1) ), vérifie: Z (1) = P n Z k(τ k )1 ( τ (1) =τ k ;T τ k), où les Z k (1 k n) sonf-prévisibles. Les compensaions Z A e Z V son F- prévisibles. On désigne par eκ (1) le aux du swap. Il es clair que sa valeur es nulle après le premier défau. Nous prenons comme dae de référence pour l évaluaion la dae zéro. Nous allons voir que nous pouvons assimiler ce conra firs-o-defaul vulnérable référencé sur le panier τ à un aure conra firs-o-defaul non vulnérable reférencé sur le panier τ {τ A, τ V }. Posons ZA V (eτ (1) )= Z A (τ A )1 ( eτ (1) =τ A ;T τ A) + P n Z k (τ k )1 ( eτ (1) =τ k ;T τ k) +Z V (τ V )1 ( eτ (1) =τ V ;T τ V ), où eτ (1) désigne le premier défau du panier τ {τ A, τ V }. 24

Proposiion 2.6.2. Le aux de swap eκ (1) vérifie : où K (1),τ {τ A,τ V } Z V A eκ (1) = (0,T)=E Q K (1),τ {τ A,τ V } ZA X V m P n j=1 R T 0 R T 0 + R T 0 (0,T) J (1),τ {τ A,τ V } k (0,T k ), (8) Z j (u) B(u) Z A (u) B(u) Z V (u) B(u) e Γ A (u) Γ V (u) P l6=j Γ l(u) λ j (u)e Γj(u) du e Γ V (u) P n l=1 Γ l(u) λ A (u)e ΓA(u) du e Γ A (u) P n l=1 Γ l (u) λ V (u)e Γ V (u) du e e Γ P J (1),τ {τ A (T k ) Γ V (T k ) n l=1 A,τ V } Γ l(t k ) k (0,T k )= k E Q. B(T k ) Preuve. Les flux engendrés par ce insrumen financier vérifien : P m eκ (1) i 1 i=1 ( T i <τ (1)) 1 (T i <τ A )1 (Ti <τ V ) Z A (τ A )1 ( eτ (1) =τ A ;T τ A) P + n Z k (τ k )1 (eτ (1) =τ k ;T τ k) + Z V (τ V )1 (eτ (1) =τ V ;T τ V ), où τ (1) désigne le premier défau du panier τ e eτ (1) représene le premier défau du panier τ {τ A, τ V }. En remarquan que 1 ( T i <τ (1)) 1 (T i <τ A )1 (Ti <τ V ) =1 ( T i <eτ (1)), on es en présence d un swap firs-o-defaul non vulnérable reférencé sur le panier τ {τ A, τ V } avec unejambevariableégaleàza V. On obien alors le résula en uilisan la proposiion 2.2. Remarques. Commepourlaremarquedelaproposiion2.2, le aux de swap vulnérable es un rappor de prix de deux insrumens financiers soumis au risque de défau. Le numéraeur représene le prix d un produi financier d échéance T, référencé sur le panier τ {τ A, τ V } e à barrière acivée en cas de premier défau. Le dénominaeur représene le prix d une obligaion couponnée, à recouvremen nul, promean de payer aux daes T k un flux monéaire égal à k (1 k m). Noonsquepourcedernieriredecréance,ladaededéfaudesonémeeur es une variable aléaoire à inensié risque neure idenique à celle de l insan du premier défau du panier τ {τ A, τ V }. 25