Cours d analyse - Résumé sur les suites 2015/2016

Cours d analyse - Résumé sur les suites 2015/2016 CPUS I. Les suites numériques I.1. Premières définitions. Définition. Une suite réelle est une fonction dont l ensemble de départ est une partie de N du type {n N,n n 0 } qui sera le plus souvent N ou N, et dont l ensemble d arrivée est R. Remarque. Attention à ne pas confondre u n qui désigne le terme de la suite et (u n ) n N (ou (u n ) ou u) qui désigne la suite elle même. Exemple. Une suite peut être définie par une formule explicite : u n = ln(n 2 +n+1), { u par une formule de récurrence du type u n+1 = f(u n ) : 1 = 2 u n+1 = u n e, { un u par une autre formule de récurrence : 0 = 1 u n+1 = u 2 n +n. Définition. Une suite (u n ) est dite croissante si u n+1 u n pour tout entier n. Une suite (u n ) est dite décroissante si u n+1 u n pour tout entier n. Une suite (u n ) est dite monotone si elle est croissante ou décroissante. Une suite (u n ) est dite stationnaire si elle est constante à partir d un certain rang. Définition. Une suite (u n ) est dite majorée s il existe M dans R tel que u n M pour tout entier n. M est un majorant de (u n ). Une suite (u n ) est dite minorée s il existe m dans R tel que m u n pour tout entier n. Une suite (u n ) est dite bornée si elle est minorée et majorée. Proposition. Pour tout suite (u n ), la suite (u n ) est bornée si, et seulement si, la suite ( u n ) est majorée. I.2. Suites et limites. 1

I.3. Limites. Définition. On dit que la suite (u n ) converge vers le réel l si pour tout ε > 0, il existe n 0 N tel que si n n 0, alors u n l < ε. On note alors lim u n = l et on n + montre que la limite l est unique. Exemple. (1) Les suites constantes convergent. (2) Pour p N 1, on a lim n + n = 0. p 4n+3 A l aide de la définition, montrer que lim ( n + n+5 ) = 4. On a 4n+3 n+5 4 = 17 17 n+5. Soit ε > 0 et n 0 = E ε 5 +1. Alors n n 0, n 17 5 soit 17 ε n+5 < ε. Définition. Une suite qui n est pas convergente est dite divergente. Définition. On dit que la suite (u n ) tend vers + si pour tout A > 0, il existe n 0 N tel que si n n 0, alors u n A. On note alors lim n + u n = +. Remarque. On a la définition analogue pour les suites qui tendent vers. Parmi les suites divergentes, il y a celles qui tendent vers +, celles qui tendent vers mais aussi celles qui n ont pas de limite. (q n )? Suivant la valeur de q, quel est le comportement asymptotique de Proposition. Toute suite convergente est bornée. Démonstration. Soit (u n ) une suite convergeant vers l. 1 > 0, donc : n 0 N,n n 0 u n l < 1 l 1 < u n < l + 1. Soit M = max(l + 1,u 0,,u n0 1) et m = min(l 1,u 0,,u n0 1). Alors n N,m u n M donc (u n ) est bornée. Remarque. La réciproque est fausse. Contre-exemple : u n = ( 1) n. (u n ) est bornée mais divergente. I.4. Opérations sur les suites. Proposition. Soient (u n ) n N R N et (v n ) n N R N. Soit λ R. Soient (l 1,l 2 ) R 2. On suppose que u n l 1 et v n l 2. Alors : λu n +v n λl 1+l 2, et u n v n l 1l 2. n + n + n + n +

Proposition. ( Soit )(u n ) n N R N convergente, de limite non nulle l. Alors, on peut définir 1 qui est convergente de limite 1 u n n n 0 l. Démonstration. Soit ε > 0. Pour n n 1, on a u n l ε. De plus, 1 1 u n l = u n l u n l. Or (u n ) converge vers une limite non nulle, donc ( u n ) est minorée par m, donc, pour n max(n 1,n 0 ), u n l u n l ε, d où le résultat. ml Proposition. Soit (u n ) une suite convergeant vers une limite l. Alors ( u n ) converge, vers l. Démonstration. Soit(u n ) convergente versl. Soitε > 0. Alors, n 0 N, n n 0, u n l ε. Ainsi, par l inégalité triangulaire u n l u n l ε. Donc u n l. n + Proposition. Soit f : D R R continue. Si (u n ) est une suite d éléments de D qui converge vers a D, alors la suite (f(u n )) converge vers f(a). Démonstration. Soit ε > 0, alors par continuité de f en a, il existe η > 0 tel que x D, x a < η f(x) f(a) < ε. Or il existe n 0 N, tel que n N,n n 0 u n a < η. D où f(u n ) f(a) < ε. Remarque. L hypothèse de continuité est indispensable. Contre-exemple : u n = 1 1 n et f(x) = E(x). Théorème (Moyenne de Césaro). Soit (u n ) n 1 une suite réelle et l R {,+ }. Pour n 1, on définit la suite (v n ) dite moyenne de Césaro par v n = 1 n u k. Si lim n + u n = l, alors n lim n + v n = l. k=1 Remarque. La réciproque est fausse. Contre-exemple : u n = ( 1) n. II. Comparaison de suites II.1. Suite et ordre. Proposition. Soit (u n ) une suite réelle convergente. On suppose qu il existe n 0 N tel que, pour tout n n 0, on ait u n 0. Alors lim n + u n 0. Démonstration. Soit l = lim n + u n. Par l absurde, supposons que l < 0. Soit ε = l 2 > 0. Alors, n 1,n n 1 u n l < l 2 soit u n < l 2. Pour n 2 = max(n 0,n 1 ), on a u n2 0 (car n 2 n 0 ) et u n2 < 0 (car n 2 n 1 ). Absurde.

Proposition (Passage à la limite dans les inégalités). Soient (u n ) et (v n ) deux suites convergentes. On suppose qu il existe n 0 N tel que, pour tout n n 0, on a u n v n. Alors lim u n lim v n. n + n + Démonstration. Posons w n = v n u n. On a bien w n 0 et (w n ) convergente de limite lim n + v n lim n + u n, donc en appliquant la proposition précédente, on en déduit lim n + v n lim n + u n 0. Remarque. Par passage à la limite, les inégalités strictes deviennent larges. Exemple : 0 < 1 n. Proposition (Théorème des gendarmes). Soient (u n ), (v n ) et (w n ) trois suites vérifiant u n v n w n, à partir d un certain rang n 0. Si (u n ) et (w n ) convergent vers un même réel l, alors (v n ) converge vers l. II.2. Comparaison de suites. II.2.1. Suites équivalentes. Définition. Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles. On dit que (u n ) est équivalente à (v n ) si l une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée : s(il existe une suite (ε n ) qui tend vers 0 et telle que u n = (1+ε n )v n. Remarque. Si à partir d un certain rang, v n ne s annule pas, alors (u n ) n + (v n) si, et seulement si, u n v n n + 1. Donner un équivalent de sin ( ) 1. n III. Critères de convergence III.1. Suites monotones bornées. Théorème. Toute suite réelle croissante et majorée converge. De même, toute suite réelle décroissante et minorée converge. Démonstration. L ensemble X = {x n,n N} de tous les x n est non vide et majoré dans R donc admet une borne supérieure α = supu n. Alors, la suite converge vers α. En effet, n N fixons ε > 0. Par définition de la borne sup, il existe un entier n 0 tel que α ε < u n0 α. Le raisonnement est similaire pour les suites décroissantes minorées. n 1 Étudier le comportement de la suite u n = p!. Elle est évidemment croissante. On peut vérifier par récurrence que n 1, 1 n! 1 n 2 n 1, ce qui donne n 1,u 1 1 n 1+ = 3 2k 1 2 3. Ainsi, (u n) est n 1 k=1 croissante majorée, donc converge. Montrer que la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et la relation de récurrence u n+1 = sinu n converge vers 0. p=0

Proposition. Toute suite réelle croissante et non majorée tend vers +. De même, tout suite réelle décroissante et non minorée tends vers. Remarque. Une suite peut tendre vers + sans être croissante! III.2. Suites adjacentes. Définition. On dit que deux suites réelles (u n ) et (v n ) sont adjacentes si elles vérifient : (1) (u n ) est croissante, (2) (v n ) est décroissante, (3) lim n + v n u n = 0. Théorème. Deux suites adjacentes sont convergentes de même limite. Démonstration. La suite (v n u n ) est décroissante puisque (v n+1 u n+1 ) (v n u n ) 0. De plus, comme elle converge vers 0, elle est toujours positive, et donc u n v n. Par conséquent : u 0 u n v n v 0. La suite (u n ) est donc croissante majorée (par v 0 ) donc convergente vers l. De même, la suite (v n ) est décroissante minorée (par u 0 ), donc convergente vers l. Comme la différence des deux suites tend vers 0, on a l = l. n 1 Soient u n = k! et v n = u n + 1. Montrer qu elles convergent vers un n! k=0 même réel. (u n ) est clairement croissante. v n+1 v n = 1 n (n+1)! 0, donc (v n) est décroissante. De plus, v n u n = 1 n! 0. n + Les suites u et v sont donc adjacentes, elles convergent vers un même réel. III.3. Suites de Cauchy. Définition. On dit que la suite (u n ) est une suite de Cauchy si : ε > 0, n 0 N, p,q n 0, u p u q < ε. Remarque. Cela est équivalent à : ε > 0, n 0 N, (n,p) N 2, n n 0, u n+p u n < ε Théorème (Critère de Cauchy). Une suite réelle converge si, et seulement si, elle est de Cauchy. Démonstration. Il est clair que si une suite est convergente, alors elle est de Cauchy, par définition de la convergence. La réciproque est admise. Remarque. Attention, il existe des espaces (par exemple Q) dans lesquels il existe des suites qui sont de Cauchy, mais qui ne convergent pas. n Soit 1 < q < 1, θ R, et u n = q k cos(kθ). Montrer que (u n ) est de Cauchy. k=0

III.4. Approximation décimale d un nombre réel. Étant donné un réel x et un entier naturel n, l entier p n = E(x10 n ) est l unique entier qui p n vérifie : 10 x < 1+p n n 10. n Définition. Les rationnels p n 10 et 1+p n sont appelés valeurs décimales approchées de x à 10 n près respectivement par défaut et par n 10 n excès. Exemple. Une simple élévation au carré montre que 1.4142 < 2 < 1.4143. Les valeurs décimales approchées à 10 4 près par défaut et par excès de 2 sont donc 1.4142 et 1.4143. Étant donné un réel x, on peut, pour chaque entier n N définir : u n = p n 10 n sa valeur approchée à 10 n par défaut, v n = (1+p n )10 n sa valeur approchée à 10 n par excès. Proposition. Pour une réel x, les suites u et v de ses approximations décimales par défaut et par excès sont adjacentes, et convergent vers x. Proposition. Tout nombre réel est limite d une suite de nombres rationnels. Démonstration. Il suffit de prendre la suite des approximations décimales par défaut( ou par excès). Remarque. Cette proposition est une autre formulation de la densité de Q dans R. Lorsque x est irrationnel, les suites précédentes fournissent un exemple simple de suites adjacentes de nombre rationnels qui ne convergente pas dans Q. Si A est une partie de R, on peut démontrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : Entre deux réels distincs, il existe au moins un élément de A. Tout réel est limite d une suite d éléments de A. On dit alors que A est dense dans R. IV. Suites extraites Définition. Soit (u n ) n N R N. Soit ϕ : N N une application strictement croissante. Alors ( u ϕ(n) )n N s appelle suite extraite ou sous-suite de (u n) n N. Exemple. (u 2n+1 ) n N et (u 2 n) n N sont des suites extraites de (u n ) n N. Remarque. Si ϕ est une application strictement croissante de N dans N, on a par une récurrence immédiate : n N,ϕ(n) n. Soit (u n ) une suite de réel strictement positifs convergeant vers 0. A priori, rien ne dit que (u n ) est décroissante. Montrer cependant qu on peut construire une suite extraite décroissante. Proposition. Si v est une suite extraite d une suite u et si u tend vers l R, alors v tend aussi vers l.

Démonstration. Les démonstrations des trois cas l R, l = +, l = étant très similaires, nous ne traiterons que le premier. Soient u une suite convergeant vers l et v = ( u ϕ(n) une suite extraite de u. Montrons )n N que limv = l, c est à dire que : ε > 0, n 0 N, n n 0, uϕ(n) l ε. Soit ε > 0. Comme limu = l, on peut trouver n 0 tel que : n n 0, u n l ε. Comme n n 0,ϕ(n) n n 0, on en déduit n n 0, uϕ(n) l ε. Remarque. On utilise surtout cette propriété pour démontrer qu une suite n est pas convergente en exhibant deux sous-suites convergeant vers des limites différentes. Exemple. La suite définie par u n = ( 1) n est divergente, car la sous suite (u 2n ) converge vers 1 et la sous-suite ( (u 2n+1 ) converge vers 1. nπ ) La suite définie parv n = cos diverge puisque v 4n = ( 1) n en est une sous-suite 4 divergente. Proposition. Soit l R. Alors (u n ) converge vers l si, et seulement si, (u 2n ) et (u 2n+1 ) convergent vers l. Démonstration. Si (u n ) converge vers l, alors par la propriété précédente, on a (u 2n ) et (u 2n+1 ) convergent vers l. Supposons que (u 2n ) et (u 2n+1 ) convergent vers l. Soit ε > 0, on peut trouver n 1 et n 2 tels que : n n 1, u 2n l < ε et n n 2, u 2n+1 l ε. Avec n 0 = max(2n 1,2n 2 +1), on a n n 0, u n l ε d où la convergence de u vers l. Remarque. La limite des deux suites doit être la même. Contre-exemple : u n = ( 1) n. Théorème (Bolzano-Weierstrass, admis). Toute suite bornée possède au moins une suite-extraite convergente. V. Suites récurrentes de la forme u n+1 = f(u n ) Soit D une partie de R et f : D R. On suppose que D est { stable par f, c est à dire que u0 D f(d) D. On peut ainsi considérer la suite u définie par u n+1 = f(u n ). L hypothèse de stabilité est indispensable pour définir u. Proposition. Si f est continue sur D, et que u est convergente, alors sa limite est un point fixe de f (c est à dire une solution de f(l) = l). V.1. f est croissante sur D. Proposition. Si f est croissante sur D, alors la suite (u n ) est monotone. Plus précisément : si u 0 < u 1, alors la suite est croissante, si u 0 > u 1, alors la suite est décroissante, Si u 0 = u 1, alors la suite est constante.

V.2. f est décroissante sur D. On se ramène au cas précédent en utilisant f f = h qui est croissante sur D, et en l appliquant aux suites(v n ) = (u 2n ) et(w n ) = (u 2n+1 ) puisquev n+1 = u 2n+2 = f f(u 2n ) = h(v n ) et de même, w n+1 = h(w n ). Si on trouve que v et w convergent vers le même réel l, alors u converge vers l. Sinon, u diverge. VI. Et dans C? Lorsque l on se place dans C, les valeurs absolues sont transformées en module : Définition. On dit que la suite complexe (z n ) converge vers le nombre complexe z si pour tout ε > 0, il existe n 0 N tel que si n n 0, alors z n z < ε. Proposition. Une suite (z n ) n N C N converge vers z si, et seulement si, les deux suites réelles Re(z n ) et Im(z n ) convergent vers l 1 et l 2 auquel cas z = l 1 +il 2. Attention, tous les résultats sur les suites réelles relatifs à l ordre (croissance, décroissance, majoration, minoration, adjacence) ne sont plus valables dans C. Par contre, les résultats de Césaro, Bolzano-Weierstrass et le critère de Cauchy restent vrais dans C.