pgcd, ppcm dans Z, théorème de Bézout. Applications

7 pgcd, ppcm dans Z, théorème de Bézout. Applications Le théorème de division euclidienne et les sous-groupes de (Z, +) sont supposés connus. Pour tout entier relatif n, on note : nz = {n q q Z} l ensemble de tous les entiers relatifs multiples de n et : D n = {d N d divise n} l ensemble de tous les diviseurs positifs de n (pour n 0, on a D n N ). 7.1 Plus grand commun diviseur La caractérisation des sous-groupes de (Z, +) peut être utilisée pour définir le pgcd de deux ou plusieurs entiers relatifs, non tous nuls. Théorème 7.1 Soient a, b deux entiers relatifs non tous deux nuls. Il existe un unique entier naturel δ tel que : az + bz = δz. Cet entier s écrit δ = au + bv avec (u, v) Z 2 et c est le plus grand entier naturel qui divise a et b. Démonstration. az + bz étant un sous groupe de (Z, +), le théorème 6.5 nous dit qu il existe un unique entier naturel δ tel que az + bz = δz. Comme δ δz = az + bz, il existe (u, v) Z 2 tel que δ = au + bv. De az δz et bz δz, on déduit que δ un diviseur commun à a et b. Si d N est un diviseur commun à a et b, il divise aussi δ = au + bv et d δ (a et b n étant pas tous les deux nuls, on a δ 0). Donc δ est bien le plus grand entier naturel qui divise a et b. On peut donc donner la définition suivante. Définition 7.1 Soient a, b deux entiers relatifs non tous deux nuls. On appelle plus grand commun diviseur de a et b le plus grand entier naturel qui divise a et b. On le note pgcd (a, b) ou a b. La relation a b = au + bv avec (u, v) Z 2 est l identité de Bézout. 145

146 pgcd, ppcm dans Z, théorème de Bézout. Applications Exercice 7.1 Soient a, b deux entiers relatifs non tous deux nuls et D a D b l ensemble des diviseurs communs à a et b dans N. Montrer que a b est le plus grand élément pour l ordre de la division dans N de D a D b et que D a D b = D a b. Solution 7.1 On sait déjà que δ = a b divise a et b, donc δ D a D b et tout entier d D a D b divisant a et b va diviser δ = au + bv. Comme tout d D a D b divise δ, on a D a D b D δ et comme tout d D δ divise δ qui divise lui même a et b, d va diviser a et b, soit d D a D b. On a donc D a D b = D a b. On peut aussi donner une définition de pgcd (a, b) sans référence directe aux sous-groupes de Z comme indiqué dans l exercice suivant. Exercice 7.2 Montrer, sans référence directe aux sous-groupes de Z, que l ensemble D a D b défini à l exercice précédent admet donc un plus grand élément δ (δ est alors le plus grand diviseur communs à a et b). Solution 7.2 L ensemble D a D b est non vide car il contient 1. Comme a et b ne sont pas tous deux nuls, cet ensemble est fini puisqu un entier relatif non nul n a qu un nombre fini de diviseurs dans N. L ensemble D a D b est donc non vide et majoré dans N, il admet donc un plus grand élément δ N qui est bien le plus diviseur communs à a et b. Théorème 7.2 La fonction pgcd vérifie les propriétés suivantes : (a, b) Z 2 {(0, 0)}, a b N ; a Z, a 0 = a a = a ; a Z, a 1 = 1 ; (a, b) Z 2 {(0, 0)}, a b = a b = a b = a b ; (a, b) Z 2 {(0, 0)}, a b = b a (commutativité du pgcd) ; pour b Z et a Z, on a a b = b si, et seulement si, b divise a ; (a, b) Z 2 {(0, 0)}, c Z, (ac) (bc) = c (a b) ; si d Z est un diviseur commun de a et b non tous deux nuls, alors a d b d = a b ; d pour a, b, c non tous nuls dans Z, on a a (b c) = (a b) c (associativité du pgcd). Démonstration. Laissée au lecteur. Exercice 7.3 Soient a, b deux entiers naturels non nuls. Montrer que : { (a b) b si a b a b = a (b a) si b > a En déduire un algorithme simple de calcul de a b. Solution 7.3 Si a = b, alors a b = a a = a = 0 a. Si a > b, on note δ = a b et δ = (a b) b. Comme δ divise a et b, il divise a b et b, donc il divise leur pgcd δ. De même δ qui divise a b et b va diviser a = (a b) + b et b, il divise donc δ et δ = δ. Pour a < b, on a a b = b a = a (b a). Un algorithme simple de calcul de a b, pour a, b entiers relatifs est donc le suivant : Début Lecture de a et b ; a = a ; b = b ;

Plus grand commun diviseur 147 Tant que a b Faire Début Si a > b Alors remplacer a par a b ; Sinon remplacer b par b a ; Fin si ; Fin ; pgcd = a ; Fin. Par exemple, pour (a, b) = (128, 28), on a : a b = 100 28 = 72 28 = 44 28 = 16 28 = 16 12 = 4 12 = 4 8 = 4 4 = 4. Cet algorithme n est évidemment pas très performant, il sera amélioré par l algorithme d Euclide au paragraphe 7.3. Exercice 7.4 Soient a et b deux entiers relatifs non tous deux nuls. Montrer que : a b = a (a + b) = b (a + b). Solution 7.4 On remarque que si (a, b) (0, 0), alors (a, a + b) (0, 0) et (b, a + b) (0, 0). En notant δ = a b et δ = a (a + b), on a : donc δz δ Z et : δ = au + bv = a (u v) + (a + b) v az + (a + b) Z = δ Z δ = au + (a + b) v = a (u + v ) + bv az + bz = δz donc δ Z δz et donc δz = δ Z, ce qui équivaut à δ = δ. On peut aussi dire que comme δ divise a et b, il divise a et a + b, donc il divise leur pgcd δ. De même δ qui divise a et a + b va diviser a et b = (a + b) a, il divise donc δ et δ = δ. On a donc, en permutant les rôles de a et b : a b = a (a + b) = b (a + b). On définit de manière analogue le pgcd d une famille a 1,, a p formée de p entiers non tous nuls comme le plus grand des diviseurs communs à a 1,, a p. On le note pgcd (a 1,, a p ) ou a 1 a 2 a p et c est un entier supérieur ou égal à 1. Cette définition est justifiée par le théorème suivant. Théorème 7.3 Soient a 1,, a p des entiers relatifs non tous nuls. Il existe un unique entier naturel δ tel que : a 1 Z + + a p Z = δz. p Cet entier s écrit δ = u k a k avec (u 1,, u p ) Z p et c est le plus grand entier naturel qui divise a 1,, a p.

148 pgcd, ppcm dans Z, théorème de Bézout. Applications Démonstration. Analogue au cas où p = 2. Comme dans le cas où p = 2, on vérifie que a 1 a p est aussi le plus grand élément pour l ordre de la division dans N de l ensemble des diviseurs positifs communs à a 1,, a p. p L égalité δ = u k a k est l identité de Bézout. La notation a 1 a 2 a p ne pose pas de problème du fait de la commutativité et l associativité du pgcd (elle est indépendante de l ordre des a k ). 7.2 Nombres premiers entre eux. Les théorèmes de Bézout et de Gauss On a vu que, par définition du pgcd, on a a b = au + bv avec u, v entiers relatifs, mais en général la réciproque est fausse, c est-à-dire que si δ est entier naturel tel que δ = au + bv avec u, v entiers relatifs, il n y a aucune raison pour que δ soit le pgcd de a et b. Par exemple 2 = 3 2 + 2 ( 2) et 3 2 = 1. Mais pour δ = 1, cette réciproque est vrai et ce résultat est très souvent utilisé. Définition 7.2 Soient (a, b) Z 2 {(0, 0)}. On dit que a et b sont premiers entre eux (ou étrangers) si leur pgcd est égal à 1. De manière équivalente, on peut dire que a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, 1 et 1 sont leurs seuls diviseurs communs de a et b. Exercice 7.5 Soient (a k ) 1 k p et (b k ) 1 k q deux suites finies d entiers relatifs non nuls. Montrer que si n = p a k et m = q b k sont premiers entre eux, alors chaque a k, pour k compris entre 1 et p, est premier avec chacun des b j, pour j compris entre 1 et q. Solution 7.5 Soit δ = a k b j où 1 k p et 1 j q. Comme δ est un entier naturel non nul qui divise a k et b j, il divise n et m et vaut nécessairement 1. De manière plus générale, on peut donner la définition suivante. Définition 7.3 Soient a 1,, a p des entiers relatifs non tous nuls. On dit que a 1,, a p sont premiers entre eux dans leur ensemble si leur pgcd est égal à 1. Exercice 7.6 Est-il équivalent de dire a 1,, a p sont premiers entre eux dans leur ensemble et a 1,, a p sont deux à deux premiers entre eux? Solution 7.6 On vérifie immédiatement que la réponse est négative en considérant le triplet (2, 3, 8). Théorème 7.4 Soient (a, b) Z 2 {(0, 0)} et δ = a b. Il existe deux entiers p et q premiers entre eux tels que a = δp et b = δq. Démonstration. Comme δ divise a et b il existe deux entiers p et q tels que a = δp et b = δq. Le pgcd δ = p q est un diviseur de p et q, donc l entier naturel δδ divise a = δp et b = δq et nécessairement δδ δ, soit δ (1 δ ) 0 avec δ > 0. On a donc δ 1. Mais δ est supérieur ou égal à 1 comme tout pgcd qui se respecte. En définitive, on a δ = 1, c est-à-dire que p et q sont premiers entre eux. De manière plus générale, on a le résultat suivant.

Nombres premiers entre eux. Les théorèmes de Bézout et de Gauss 149 Théorème 7.5 Soient a 1,, a p des entiers relatifs non tous nuls. et δ = a 1 a 2 a p. Il existe des entiers a 1,, a p premiers entre eux dans leur ensemble tels que a k = δa k pour tout k compris entre 1 et p. Démonstration. Analogue au cas où p = 2. Exercice 7.7 Déterminer tous les couples (a, b) d entiers naturels non nuls tels que a b = 3 et a + b = 12. Solution 7.7 On a a = 3p, et b = 3q où p, q sont des entiers naturels non nuls premiers entre eux et a + b = 12 équivaut à p + q = 4. Réciproquement si a = 3p, b = 3q où p, q sont des entiers naturels non nuls premiers entre eux tels que p + q = 4, alors a b = 3 et a + b = 12. Les seuls couples (p, q) possibles sont (1, 3) et (3, 1). Donc (a, b) = (3, 9) ou (a, b) = (9, 3). Exercice 7.8 Soient a, n deux entiers naturels non nuls. Montrer que : (a + 1) n 1 a Solution 7.8 On remarque d abord que : a = a n. n 1 (a + 1) n 1 = a (a + 1) k est divisible par a, donc (a + 1)n 1 est un entier. a Soit δ = (a + 1)n 1 a. Pour tout k 0, on a : a k=0 (a + 1) k 1 (mod a) (pour k = 0, c est clair et pour k 1, on utilise la formule du binôme) et donc : b = (a + 1)n 1 a n 1 = (a + 1) k n (mod a) k=0 de sorte que δ qui divise a et b divise aussi n = b pa (p Z). Il en résulte que δ divise δ = a n. Comme δ divise a et n, il divise aussi b = n + pa et en conséquence δ divise δ. On a donc bien δ = δ. Exercice 7.9 On se donne un entier naturel a 2 et on définit la suite (u n ) n N par : n N, u n = a 2n + 1. 1. Montrer que : 2. Montrer que : n N, u n+1 = (u n 1) 2 + 1. n n N, u n+1 = (a 1) u k + 2. k=0

150 pgcd, ppcm dans Z, théorème de Bézout. Applications 3. Montrer que, pour n m dans N, on a : { 1 si a est pair u n u m = 2 si a est impair 4. Calculer u p n u p m pour n m dans N et p dans N. Solution 7.9 1. On a : 2. On procède par récurrence sur n 0. Pour n = 0, on a : u n+1 = a 2n+1 + 1 = ( a 2n) 2 + 1 = (un 1) 2 + 1. u 1 = a 2 + 1 = ( a 2 1 ) + 2 = (a 1) u 0 + 2. En supposant le résultat acquis pour n 1 0, on a : 3. Supposons que m > n. On a : n 1 u n+1 = u n (u n 2) + 2 = u n (a 1) u k + 2 = (a 1) k=0 m 1 m 1 u m = (a 1) u k + 2 = (a 1) u n k=0 k=0 k n n u k + 2. k=0 u k + 2 = qu n + 2 Le pgcd de u n et u m divise alors 2 et il vaut 2 ou 1. Si a est pair, alors u n est impair et δ = 1 puisqu il divise u n, ce qui signifie que u n et u n sont premiers entre eux (pour a = 2, c est le cas des nombres de Fermat). Si a est impair, alors tous les u n sont pairs et δ vaut 2. 4. En utilisant le résultat de l exercice 8.5, on a : { u p n u p m = (u n u m ) p 1 si a est pair = 2 p si a est impair Théorème 7.6 (Bézout) Deux entiers relatifs a et b non tous deux nuls sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1. Démonstration. On sait déjà, par définition, que la condition est nécessaire. Réciproquement s il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1 alors δ = a b est un entier naturel qui divise a et b, il divise donc 1 = au + bv et δ = 1, c est-à-dire que a et b sont premiers entre eux. Remarque 7.1 La relation de Bézout au + bv = 1 implique que u et v sont aussi premiers entre eux. On a aussi a b = a b = a b = a b = 1. Ce théorème peut se généraliser comme suit.

Nombres premiers entre eux. Les théorèmes de Bézout et de Gauss 151 Théorème 7.7 (Bézout) Des entiers relatifs a 1, a 2,, a p non tous nuls sont premiers entre eux dans leur ensemble si et seulement si il existe deux entiers relatifs u 1, u 2,, u p tels que p u k a k = 1. Démonstration. On sait déjà, par définition, que la condition est nécessaire. p Réciproquement s il existe deux entiers relatifs u 1, u 2,, u p tels que u k a k δ = a 1 a 2 a p est un entier naturel qui divise tous les a k, il divise donc 1 = δ = 1, c est-à-dire que a 1, a 2,, a p sont premiers entre eux dans leur ensemble. = 1 alors p u k a k et Corollaire 7.1 Soient a, b, c des entiers relatifs non nuls. Si c est premier avec a alors a b = a (bc) (le pgcd de deux entiers est inchangé si on multiplie l un d eux par un nombre premier avec l autre). Démonstration. Soient δ = a b et δ = a (bc). Comme δ divise a et b, il divise a et bc ainsi que leur pgcd δ. De au + cv = 1, on déduit que abu + bcv = b et δ qui divise a et bc va diviser a et b ainsi que leur pgcd δ. On a donc δ = δ. Corollaire 7.2 Soient a 1, a 2,, a p et c des entiers relatifs non nuls. Si c est premier avec p chacun des a k, pour k compris entre 1 et p, il est alors premier avec leur produit a k. Démonstration. En utilisant le corollaire précédent, on a : ( ) p p p c a k = c a k = c puisque a 1 est premier avec c et par récurrence finie, on déduit que : c p a k = c a 1 p a k = c k=2 k=2 k=2 a k p a k = = c a p = 1 puisque chaque a k, pour k compris entre 1 et p, est premier avec c. Une conséquence importante du théorème de Bézout est le résultat suivant. Théorème 7.8 (Gauss) Soient a, b, c des entiers relatifs non nuls. Si a divise bc et a est premier avec b alors a divise c. Démonstration. Comme a et b sont premiers entre eux, il existe deux entiers u, v tels que au + bv = 1 et pour tout entier c, on a acu + bcv = c, de sorte que si a divise bc, il va diviser c = acu + bcv. Ce résultat peut être utilisé pour donner une unique représentation des nombres rationnels non nuls. k=3 Corollaire 7.3 Tout nombre rationnel non nul r s écrit de manière unique r = p q et q N premiers entre eux. avec p Z

152 pgcd, ppcm dans Z, théorème de Bézout. Applications Démonstration. Un nombre rationnel non nul r s écrit r = a b avec (a, b) dans Z N. En notant δ = a b on a a = δp, b = δq et r = p q avec p et q premiers entre eux. Si r = p q = p q avec (p, q), (p, q ) dans Z N tels que p q = p q = 1, on a alors pq = p q avec q premier avec p et q qui divise pq, donc q divise q d après le théorème de Gauss. De manière analogue, on voit que q divise q. On a donc q = q (q, q sont des entiers naturels non nuls) et p = p. L écriture est donc unique. Corollaire 7.4 Si un entier relatif non nul n est divisible par des entiers a 1, a 2,, a p deux à deux premiers entre eux, il est alors divisible par leur produit. Démonstration. On procède par récurrence sur p 2. Supposons que n soit divisible par a 1 et a 2 premiers entre eux. On a alors n = a 1 q 1 et a 2 divise n en étant premier avec a 2, il va donc diviser q 1 (théorème de Gauss), c est-à-dire que q 1 = q 2 a 2 et n = a 1 a 2 q 2 est divisible par a 1 a 2. En supposons le résultat acquis au rang p 1 2, soient a 1, a 2,, a p deux à deux premiers entre eux qui divisent n. L hypothèse de récurrence nous dit que n est divisible par a = p 1 a k. Comme a p est premier avec chacun des a k, pour k compris entre 1 et p 1, il est premier avec leur produit a (corollaire 7.2) et n qui est divisible par a et a p est aussi divisible par leur produit p a k. 7.3 L algorithme d Euclide Le lemme qui suit permet de déduire du théorème de division euclidienne un algorithme de calcul du pgcd de deux entiers positifs. C est l algorithme d Euclide. Cet algorithme permet également de déterminer des entiers u et v tels que au + bv = a b. Théorème 7.9 Soient a, b deux entiers naturels non nuls et r le reste dans la division euclidienne de a par b. On a alors a b = b r. Démonstration. Par division euclidienne, on a a = bq + r avec 0 r < b. L entier naturel δ = a b qui est un diviseur commun à a et b va diviser r = a bq, c est donc un diviseur commun à b et r et δ δ = b r. L entier naturel δ = b r qui est un diviseur commun à b et r va diviser a = bq + r, c est donc un diviseur commun à a et b et δ δ. On a donc bien δ = δ. Le principe de l algorithme d Euclide est le suivant pour a > b dans N (par symétrie, on peut supposer que a b et pour a = b, on a a a = a). On note r 0 = b et on désigne par r 1 le reste dans la division euclidienne de a par b. On a alors 0 r 1 < r 0 et d après le lemme précédent : a b = r 0 r 1. Si r 1 = 0 alors r 0 r 1 = r 0 = b et c est terminé. Si r 1 0 on désigne alors par r 2 le reste dans la division euclidienne de r 0 par r 1 et on a 0 r 2 < r 1 et : a b = r 0 r 1 = r 1 r 2. Si r 2 = 0 alors r 1 r 2 = r 1 et c est terminé. Sinon on continu. On définit donc ainsi une suite d entiers (r n ) n 0 par :

L algorithme d Euclide 153 r 0 = b ; r 1 est le reste dans la division euclidienne de a par b ; on a donc 0 r 1 < b ; pour n 2, si r n 1 = 0 alors r n = 0 et sinon r n est le reste dans la division euclidienne de r n 2 par r n 1 et on a 0 r n < r n 1. Dans tous les cas on r n r n 1 l égalité étant réalisée si et seulement si les deux termes sont nuls. La suite (r n ) n 1 ainsi construite est donc une suite décroissante d entiers positifs, elle est donc stationnaire à partir d un certain rang. Précisément il existe un entier p 1 tel que r p = 0 < r p 1 < < r 1 < r 0 et : a b = r 0 r 1 = = r p 1 r p = r p 1. C est à dire que a b est le dernier reste non nul dans cette suite de divisions euclidiennes. Par exemple pour calculer le pgcd de a = 128 et b = 28, on procède comme suit : a = 128 = 4 28 + 16 = q 1 r 0 + r 1 r 0 = 28 = 1 16 + 12 = q 2 r 1 + r 2 r 1 = 16 = 1 12 + 4 = q 3 r 2 + r 3 (7.1) r 2 = 12 = 3 4 + 0 = q 4 r 3 + r 4 r 4 = 0, r 3 = 4 = 128 28 On peut utiliser un tableau pour effectuer la suite des calculs. Sur la deuxième ligne, on place d abord a et b, puis sur la première ligne on place au dessus de b le quotient q 1 et sur la troisième ligne, on place au dessous de a le reste r 1, ce même reste r 1 étant aussi placé en deuxième ligne après b. On recommence alors avec le couple (b, r 1 ). Sur la première ligne apparaissent les quotients successifs sur la troisième les restes successifs. Le dernier reste non nul, qui apparaît en fin de deuxième ligne, donne alors le pgcd. q 1 q 2 q 3 q 4 a b r 1 r 2 r 3 r 1 r 2 r 3 r 4 = 0 4 1 1 3 128 28 16 12 4 16 12 4 r 4 = 0 On a donc construit, avec l algorithme d Euclide, deux suites d entiers (r n ) 0 n p et (q n ) 1 n p de la manière suivante : a = q 1 r 0 + r 1 (0 < r 1 < r 0 = b) r 0 = q 2 r 1 + r 2 (0 < r 2 < r 1 ) r 1 = q 3 r 2 + r 3 (0 < r 3 < r 2 ). r p 3 = q p 1 r p 2 + r p 1 (0 < r p 1 < r p 2 ) r p 2 = q p r p 1 + r p (r p = 0) On vérifie alors, par récurrence finie sur n {0, 1,, p 1}, qu il existe des entiers u n et v n tels que r n = au n + bv n. Pour n = 0 et n = 1 on a : r 0 = b = a 0 + b 1, r 1 = a 1 + b ( q 1 ). En supposant le résultat acquis jusqu à l ordre n 1 pour 0 n 1 p 2 on a : r n = q n r n 1 + r n 2 = q n (au n 1 + bv n 1 ) + au n 2 + bv n 2 = a (u n 2 q n u n 1 ) + b (v n 2 q n v n 1 ) = au n + bv n.

154 pgcd, ppcm dans Z, théorème de Bézout. Applications En particulier pour n = p 1 on a a b = r p 1 = au p 1 + bv p 1 = au + bv. Un tel couple d entiers (u, v) n est pas unique puisque si (u, v) est une solution, pour tout entier λ, le couple (u, v ) = (u + λv, v λa) est aussi solution. On a en effet : a (u + λb) + b (v λa) = au + bv = a b. Une équation dans Z de la forme au + bv = δ, où a, b, δ sont donnés et u, v sont les inconnues est une équation diophantienne. Ce type d équation est étudié plus en détails au paragraphe 7.5.1. Les suites (r n ) 0 n p 1 (u n ) 0 n p 1 et (v n ) 0 n p 1 vérifient la même relation de récurrence : avec les conditions initiales : x n = x n 2 q n x n 1 (2 n p 1) (r 0, r 1 ) = (b, 1), (u 0, u 1 ) = (0, 1), (v 0, v 1 ) = (1, q 1 ) où q 1, r 1 sont, respectivement, le quotient et le reste dans la division euclidienne de a par b. On peut donner une interprétation matricielle de ces calculs comme suit. On a : ( ) ( ) ( ) xn qn 1 xn 1 = (2 n p 1) 1 0 et : ( xp 1 x p 2 x n 1 x n 2 ) ( ) ( qp 1 1 qp 2 1 = 1 0 1 0 ( ) x1 = A p 1. x 0 Pour l exemple précédent, la suite de calculs (7.1) donne : ) ( q2 1 1 0 p 1 = 3, (q 1, q 2, q 3 ) = (4, 1, 1) ) ( x1 x 0 ) et : ( ) ( q3 1 q2 1 A 3 = 1 0 1 0 ( ) 2 1 = 1 1 ) = ( 1 1 1 0 ) ( 1 1 1 0 ) d où : ( u3 u 2 ( v3 v 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) u1 2 1 1 2 = A 3 = =, u 0 1 1 0 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 q1 2 1 4 = = = 1 1 1 1 1 1 ( 9 5 ) soit (u, v) = (u 3, v 3 ) = (2, 9). Si on veut se passer du calcul matriciel, on peut procéder comme suit. Les divisions successives : a = q 1 r 0 + r 1 r 0 = q 2 r 1 + r 2 r 1 = q 3 r 2 + r 3 r 2 = q 4 r 3

Plus petit commun multiple 155 donne : a b = r 3 = r 1 q 3 r 2 = r 1 q 3 (r 0 q 2 r 1 ) = r 1 (1 + q 3 q 2 ) q 3 r 0 = (a q 1 r 0 ) (1 + q 3 q 2 ) q 3 r 0 = (a q 1 b) (1 + q 3 q 2 ) q 3 b = au + bv (on commence par la fin), soit pour les valeurs particulières 128 et 28 : 128 = 4 28 + 16 28 = 1 16 + 12 16 = 1 12 + 4 12 = 3 4 qui donne : 128 28 = 4 = 16 12 = 16 (28 16) = 2 16 28 = 2 (128 4 28) 28 = 2 128 9 28 = ua + vb 7.4 Plus petit commun multiple La caractérisation des sous-groupes de (Z, +) peut aussi être utilisée pour définir le ppcm de deux ou plusieurs entiers relatifs, non tous nuls. Théorème 7.10 Soient a, b sont deux entiers relatifs. Il existe un unique entier naturel µ tel que : az bz = µz. Si a = 0 ou b = 0, alors µ = 0. Si a 0 et b 0, alors µ est le plus petit entier naturel non nul multiple de a et de b. Démonstration. az bz étant un sous groupe de (Z, +), l existence et l unicité de µ se déduit du théorème 6.5. Si a = 0 ou b = 0, on a µz 0Z = {0} et µ = 0. Si a 0 et b 0, de µz az et µz bz, on déduit que µ est multiple de a et b. Si m N est un multiple commun à a et b, il est dans az bz = µz et c est donc un multiple de µ, ce qui implique m µ. Donc, µ est bien le plus petit entier naturel non nul multiple de a et de b. On peut donc donner la définition qui suit. Définition 7.4 Soient a, b deux entiers relatifs. On appelle plus petit commun multiple de a et b le plus petit entier naturel multiple de a et b. On le note ppcm (a, b) ou a b. Remarque 7.2 La définition de ppcm (a, b) peut aussi se justifier directement sans référence directe aux sous-groupes de Z. Pour ce faire, on utilise l ensemble az bz des multiples communs à a et b. Si a 0 et b 0, alors l ensemble az bz N des multiples communs à a et b qui sont strictement positifs est non vide car il contient ab, il admet donc un plus petit élément µ qui est bien plus petit commun multiple de a et b. Pour a = 0 ou b = 0, on a az bz = {0} et µ = 0.

156 pgcd, ppcm dans Z, théorème de Bézout. Applications Remarque 7.3 Le ppcm de a et b est aussi le plus petit élément pour l ordre de la division dans Z de l ensemble az bz N des multiples communs à a et b qui sont strictement positifs. En effet, a b est un multiple de a et b et tout multiple commun m à a et b qui est dans az bz N = µz est un multiple de a b. On vérifie facilement les propriétés suivantes. Théorème 7.11 La fonction ppcm vérifie les propriétés suivantes : (a, b) (Z ) 2, a b N ; a Z, a 1 = a a = a ; (a, b) Z 2, a b = a b = a b = a b ; (a, b) Z 2, a b = b a (commutativité du ppcm) ; pour b Z et a Z, on a a b = b si, et seulement si, b est multiple de a ; (a, b, c) Z 3, (ac) (bc) = c (b a) ; si d Z est un diviseur commun de a et b, alors a d b d = a b ; d pour a, b, c non tous nuls dans Z, on a a (b c) = (a b) c (associativité du ppcm). Démonstration. Laissée au lecteur. On définit de manière analogue le ppcm d une famille a 1,, a p formée de p entiers non tous nuls comme le plus petit des multiples communs à a 1,, a p. On le note ppcm (a 1,, a p ) ou a 1 a 2 a p et c est un entier supérieur ou égal à 1. Cette définition est justifiée par le théorème suivant. Théorème 7.12 Soient a 1,, a p des entiers relatifs non tous nuls. Il existe un unique entier naturel µ tel que : a 1 Z a p Z = µz. µ est le plus petit entier naturel divisible par a 1, a 2, et a p. Démonstration. Analogue au cas où p = 2. La notation a 1 a 2 a p ne pose pas de problème du fait de la commutativité et l associativité du ppcm (elle est indépendante de l ordre des a k ). Comme dans le cas où p = 2, on vérifie que a 1 a p est aussi le plus petit élément pour l ordre de la division dans N de l ensemble des multiples positifs communs à a 1,, a p. Lemme 7.1 Soient a, b deux entiers relatifs premiers entre eux. On a alors : a b = ab. Démonstration. Du fait que ab est un multiple de a et b on déduit que µ = a b divise ab. D autre part il existe deux entiers k, k tels que µ = ka = k b et comme a est premier avec b et divise k b, il divise k (théorème de Gauss). Ce qui donne µ = k ab et ab divise µ. D où l égalité µ = ab. Nous verrons que la réciproque du résultat précédent est vraie. Théorème 7.13 Soient a, b deux entiers relatifs. On a alors : (a b) (a b) = ab.

Plus petit commun multiple 157 Démonstration. On note δ = a b et on a a = δa, b = δb avec a et b premiers entre eux. Ce qui donne : µ = a b = (δa ) (δb ) = δ (a b ) = δa b et δµ = δa δb = ab. Du lemme et du théorème précédent, on déduit que : a b = 1 a b = ab. On a donc pour a, b dans Z a b = ab a b. On peut donc définir de manière naturelle le ppcm de deux entiers relatifs non tous deux nuls par : a b = ab a b. On peut aussi utiliser cette relation pour calculer le ppcm de deux entiers. On calcule d abord le pgcd en utilisant l algorithme d Euclide, puis on divise ab par ce pgcd. Exercice 7.10 Montrer que si a 1,, a p sont des entiers relatifs non nuls deux à deux premiers entre eux alors a 1 a p = a 1 a p. Ce résultat est-il encore valable si on suppose que a 1,, a p sont premiers entre eux dans leur ensemble. Solution 7.10 On sait déjà que si a 1 et a 2 sont premiers entre eux alors a 1 a 2 = a 1 a 2. Supposons le résultat acquis pour p 1 2 et soient a 1,, a p deux à deux premiers entre eux. Les entiers a 1 a p 1 et a p sont alors premiers entre eux (corollaire 7.2) et en utilisant l associativité du ppcm, on a : a 1 a p = (a 1 a p 1 ) a p = a 1 a p 1 a p = a 1 a p. Ce résultat n est plus valable si on suppose seulement que les a k sont premiers entre eux dans leur ensemble comme le montre l exemple suivant : 2 3 4 = 12 2 3 4 = 24 Exercice 7.11 A-t-on (a 1 a p ) (a 1 a p ) = a 1 a p dans Z? Solution 7.11 La réponse est non pour n 3 comme le montre l exercice précédent. Exercice 7.12 Peut-on trouver des entiers a, b tels que a b = 7 et a b = 36. Solution 7.12 Comme a b = 7 divise a et b, il divise a b et a b = 36 est alors impossible. Exercice 7.13 Déterminer tous les couples (a, b) d entiers naturels non nuls tels que a b = 3 et a b = 12. Solution 7.13 De a b = 12 on déduit que a, b sont des diviseurs de 12 donc dans {1, 2, 3, 4, 6, 12}. de a b = 3, on déduit que a et b sont multiples de 3, donc dans {3, 6, 12}. De ab = (a b) (a b) = 36, on déduit que : a = 3 [resp. b = 3] donne b = 12 [resp. a = 12] et (3, 12), (12, 3) sont deux solutions possibles ; a = 6 [resp. b = 6] donne b = 6 [resp. a = 6] et a b = 6 3.

158 pgcd, ppcm dans Z, théorème de Bézout. Applications En définitive, (a, b) {(3, 12), (12, 3)}. Exercice 7.14 On se propose de montrer que pour tout entier naturel n 2, on a : 1. Montrer le résultat pour n = 2 et n = 3. 2. Pour tout entier naturel n, on, note : (a) Montrer que : µ n = ppcm (1, 2,, n) 2 n 2. I n = 1 0 x n (1 x) n dx. n N, 0 < I n 1 4 n. (b) Montrer que, pour tout n N, il existe un entier naturel non nul a n tel que I n = a n µ 2n+1. (c) En déduire que : n N, µ 2n+1 2 2n. (d) En déduire le résultat annoncé (On peut en fait montrer que µ n 2 n pour tout n 7). Solution 7.14 1. On a : 2. µ 2 = ppcm (1, 2) = 2 1 et µ 3 = ppcm (1, 2, 3) = 6 2. (a) Pour 0 < x < 1, on a 0 < x (x 1) sup x (1 x) = 1, ce qui donne le résultat. [0,1] 4 (b) On a : I n = 1 ( n ) x n Cn k ( 1) k x k dx k=0 n 1 = Cn k ( 1) k x n+k dx 0 k=0 = n k=0 et en réduisant au même dénominateur I n = (c) On a alors µ 2n+1 I n = a n 1 et : (d) Pour n N, on a : C k n µ 2n+1 1 I n 4 n = 2 2n. 0 ( 1) k n + k + 1 a n µ 2n+1, où a n N. µ 2n+2 = µ 2n+1 (2n + 2) 2 2n. On a donc montré que µ n 2 n 2 pour tout n 4. On peut en fait montrer que µ n 2 n pour tout n 7.

Applications 159 7.5 Applications Les théorème de Bézout, de Gauss et l algorithme d Euclide peuvent être utilisés pour étudier les équations diophantiennes ax + by = c ou ax b (n). 7.5.1 Équations diophantiennes ax + by = c Soient a, b, c trois entiers relatifs, avec a et b non nuls. On s intéresse ici à l équation diophantienne dans Z 2 : ax + by = c (7.2) En notant δ le pgcd de a et b, on a a = δa, b = δb avec a et b premiers entre eux. Lemme 7.2 L équation diophantienne (7.2) a des solutions entières si, et seulement si, δ divise c. Démonstration. Si c n est pas un multiple de δ, comme δ divise ax + by pour tous entiers x, y, l équation (7.2) n a pas de solutions. Si c = δc est un multiple de δ, en écrivant que δ = au 0 + bv 0 avec u 0, v 0 dans Z (théorème de Bézout) on déduit que (x 0, y 0 ) = (u 0 c, v 0 c ) est une solution de (7.2). Théorème 7.14 Si c est multiple de δ, alors l ensemble des solutions de (7.2) est : où (x 0, y 0 ) est une solution particulière. S = {(x 0 kb, y 0 + ka ) k Z} Démonstration. Si (x, y) est une solution de (7.2), on a alors : { ax0 + by 0 = c, ax + by = c, ce qui donne par soustraction : et divisant par δ, on obtient : a (x 0 x) = b (y y 0 ) a (x 0 x) = b (y y 0 ). Avec le théorème de Gauss on en déduit alors que a divise y y 0. On a donc y y 0 = ka avec k Z, ce qui entraîne a (x 0 x) = b ka et x 0 x = kb. En définitive on a : (x, y) = (x 0 kb, y 0 + ka ) avec k Z. Réciproquement on vérifie que pour tout k Z, (x 0 kb, y 0 + ka ) est bien solution de (7.2). En effet on a : ax + by = ax 0 + by 0 + k (a b ab ) = c + kδ (a b a b ) = c. L algorithme d Euclide nous permet d obtenir une solution particulière (x 0, y 0 ) = ( c u 0 δ, v 0 c δ ).

160 pgcd, ppcm dans Z, théorème de Bézout. Applications Exemple 7.1 Soit à résoudre l équation : 370x + 45y = 15. Le pgcd de 370 et 45 est égal à 5 qui divise 15. On cherche tout d abord une solution particulière de 74x + 9y = 1. En utilisant l algorithme d Euclide, on a : et donc : 74 = 8 9 + 2 9 = 4 2 + 1 1 = 9 4 2 = 9 4 (74 8 9) = 74 ( 4) + 9 33 Le couple ( 12, 99) est solution de 74x + 9y = 3 et de 370x + 45y = 15. D un point de vue géométrique l ensemble des solutions de (7.2) est formé de la suite de points de Z 2 définie par : ( ) x0 M 0 =, x 0 ( ) b M k = M 0 + k, k Z. Les points M k sont sur la droite passant par M 0 et dirigée par le vecteur v = ( b a ou encore par le vecteur colinéaire v = ( ) a u =. b a ( b ). Ces vecteurs sont orthogonaux au vecteur a ) Exercice 7.15 Résoudre dans Z 2 l équation diophantienne : 128x + 28y = 8. Solution 7.15 En notant (a, b) = (128, 28), c = 8 et δ = a b, on a vu au paragraphe précédent que : δ = 4 = 2 128 9 28 = au 0 + bv 0 ( c et (x 0, y 0 ) = u 0 δ, v c ) 0 = (4, 18) est une solution particulière de notre équations. Toutes les δ solutions étant données par : où k décrit Z. (x, y) = (x 0 kb, y 0 + ka ) = (4 7k, 18 + 32k)

Applications 161 7.5.2 Équations ax b (n) Voir le paragraphe 9.8.2. Soient n un entier supérieur ou égal à 2, a un entier supérieur ou égal à 1 et b un entier relatif. On veut résoudre dans Z l équation diophantienne : On s intéresse tout d abord au cas où b = 1. ax b (n) (7.3) Lemme 7.3 Soient n un entier supérieur ou égal à 2, a un entier supérieur ou égal à 1. L équation ax 1 (n) (7.4) a des solutions dans Z si et seulement si a est premier avec n. Démonstration. Le théorème de Bézout nous dit que a est premier avec n si, et seulement si, il existe des entiers relatifs x et k tels que ax kn = 1, ce qui équivaut à dire que x Z est solution de (7.4). Si a et n sont premiers entre eux alors l algorithme d Euclide nous permet de trouver une solution x 0 Z de (7.4). Et pour tout autre solution x Z l entier a (x x 0 ) est divisible par n. Comme n est premier avec a, le théorème de Gauss nous dit que nécessairement n divise x x 0. Il est clair que réciproquement pour tout k Z, x 0 + kn est solution de (7.4). En définitive, l ensemble des solutions de (7.4) est : où x 0 est une solution particulière de (7.4). S = {x 0 + kn k Z} Remarque 7.4 Si a et n sont premiers entre eux alors il existe une unique solution de (7.4) dans {1,, n 1}. En effet, si S est l ensemble des solutions de (7.4) alors S N est non vide et donc admet un plus petit élément x > 0. Si x n on a alors x = qn + r avec q 1 et 0 r < n. Comme ar ax 1 modulo n, on a r S N et nécessairement r = 0. Mais x = qn entraîne ax 0 modulo n en contradiction avec x S. On a donc x < n. On s intéresse maintenant au cas où les entiers a et n sont premiers entre eux et b est un entier relatif. Dans ce cas on peut trouver une solution x 0 de l équation (7.4) et pour tout entier relatif k, x = bx 0 + kn est solution de (7.3). Réciproquement si x est solution de (7.3) alors a (x bx 0 ) est divisible par n avec n premier avec a. Le théorème de Gauss nous dit alors que x bx 0 est divisible par n. En définitive, pour a et n premiers entre eux, l ensemble des solutions de (7.3) est : S = {bx 0 + kn k Z} où x 0 est une solution particulière de (7.3). Considérons maintenant le cas où δ = a n n est pas nécessairement égal à 1 et b est un entier relatif. On a alors a = δa, n = δn et si l équation (7.3) admet une solution x Z alors δn divise δa b, donc δ divise δa b et δ divise b. En conclusion si b n est pas un multiple de δ alors l équation (7.3) n a pas de solution dans Z. On suppose donc que b est un multiple de δ, soit b = δb. Si x Z est solution de (7.3) alors x est solution de : a x b (n )

162 pgcd, ppcm dans Z, théorème de Bézout. Applications avec a et n premiers entre eux. On sait alors que x est de la forme x = b x 0 + kn où x 0 est une solution de a x 1 modulo n et k est un entier relatif. Réciproquement on peut vérifier que pour tout entier k Z, x = b x 0 + kn est solution de (7.3). En effet on a : ax = a x 0δb + a kδn = (1 + k n ) δb + a kn = b + n (k b + ka ) b (n). En définitive, si b = δb où δ = a n, alors l ensemble des solutions de (7.3) est : S = {b x 0 + kn k Z} où x 0 est une solution particulière de a x 1 modulo n, où a = δa, n = δn. 7.5.3 Le théorème Chinois Voir le paragraphe 9.8.3. 7.5.4 Éléments inversibles de Z n = Z nz Théorème 7.15 Soit a un entier relatif. Les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. a est inversible dans Z n ; 2. a est premier avec n ; 3. a est un générateur de (Z n, +). Démonstration. Voir le théorème 9.5 (on utilise le théorème de Bézout). 7.5.5 Générateurs d un groupe cyclique Théorème 7.16 Soit G = g un groupe cyclique d ordre n. Les générateurs de G sont les g k, où k est un entier compris entre 1 et n 1 premier avec n Démonstration. Voir le théorème 2.5 (on utilise le théorème de Bézout). 7.5.6 n est irrationnel si n est sans facteurs carrés Théorème 7.17 Si n 2 est un entier sans facteur carré, n est alors irrationnel. Démonstration. Voir l exercice 8.15 (on utilise le théorème de Gauss). 7.5.7 Le théorème de Fermat pour n = 2 et n = 4 On s intéresse aux solutions dans N 3 de l équation de Fermat : x n + y n = z n pour n = 2 et n = 4.

Applications 163 Théorème 7.18 Les solutions dans N 3 de l équation de Fermat : sont les triplets d entiers naturels de la forme : ou : où δ N et n, m sont premiers entre eux. x 2 + y 2 = z 2 (7.5) (x, y, z) = ( 2δnm, δ ( n 2 m 2), δ ( n 2 + m 2)) (x, y, z) = ( δ ( n 2 m 2), 2δnm, δ ( n 2 + m 2)) Démonstration. Soit (x, y, z) une solution de (7.5). Si (x, y) = (0, 0), on a alors z = 0. On suppose que (x, y) (0, 0) et on note δ 1 = x y, δ 2 = y z et δ 3 = x z. On a δ 1 0 puisque (x, y) (0, 0) et avec a 2 b 2 = (a b) 2 (exercice 8.5) et a b = a (a + b) (exercice 7.4), on déduit que : et : δ 2 3 = x 2 z 2 = x 2 ( x 2 + y 2) = x 2 y 2 = δ 2 1 δ 2 2 = y 2 z 2 = y 2 ( x 2 + y 2) = y 2 x 2 = δ 2 1 ce qui donne δ 1 = δ 2 = δ 3 puisque tous ces entiers sont positifs. En notant δ ce pgcd commun, on peut alors écrire x = δx, y = δy, z = δz avec x, y, z deux à deux premiers entre eux et l équation (7.5) avec δ 0 nous donne (x ) 2 + (y ) 2 = (z ) 2. Les entiers x, y sont alors nécessairement de parités différentes. En effet : si x et y sont impairs, (z ) 2 est pair, donc z est pair et (z ) 2 0 mod (4) est incompatible avec (x ) 2 + (y ) 2 2 mod (4) ; et comme x, y sont premiers entre eux, ils ne peuvent être tous deux pairs. Comme x et y jouent des rôles symétriques, on peut supposer que x est pair et y impair, soit x = 2a, y = 2b + 1 et : (z ) 2 = 4a 2 + (2b + 1) 2 ce qui impose z impair. On définit donc des entiers en notant u = y + z, v = z y et on a y = u v, z = u + v. 2 2 Le pgcd de u et v divisant y et z divise aussi leur pgcd qui vaut 1, donc u v = 1. On a alors : uv = (z ) 2 (y ) 2 = (x ) 2 = a 2 4 4 les entiers u et v étant premiers entre eux, ce qui impose que ces entiers sont des carrés. En effet, si u n est pas un carré, il est différent de 1 et sa décomposition en facteurs premiers nous donne u = p 2α+1 q avec p premier ne divisant ni q ni v (u et v sont premiers entre eux), ce qui donne a 2 = p 2α+1 r avec p ne divisant pas r, ce qui est impossible. On a donc u = n 2 et v = m 2 avec n, m premiers entre eux puisque 1 = n 2 m 2 = (n m) 2. On a donc : y = u v = n 2 m 2, z = u + v = n 2 + m 2, (x ) 2 = 4a 2 = 4uv = 4n 2 m 2 avec x 0, ce qui donne : x = 2nm, y = n 2 m 2, z = n 2 + m 2

164 pgcd, ppcm dans Z, théorème de Bézout. Applications où n, m sont des entiers naturels premiers entre eux et : Pour x impair et y pair, on obtient : (x, y, z) = ( 2δnm, δ ( n 2 m 2), δ ( n 2 + m 2)) (x, y, z) = ( δ ( n 2 m 2), 2δnm, δ ( n 2 + m 2)) Réciproquement, on vérifie facilement que ces triplets d entiers naturels sont bien solutions de notre équation. En effet, on a : et δ = 0 nous donne la solution triviale. 4δ 2 n 2 m 2 + δ 2 ( n 2 m 2) 2 = δ 2 ( n 2 + m 2) 2 Théorème 7.19 L équation : n a pas de solution dans (N ) 3. x 4 + y 4 = z 4 (7.6) Démonstration. Il suffit de montrer que l équation : x 4 + y 4 = z 2 (7.7) n a pas de solution dans (N ) 3. S il existe des solutions dans (N ) 3, on en choisit une telle que z soit minimal dans N. Dans ces conditions les entiers x, y, z sont deux à deux premiers entre eux. En effet, s il existe un diviseur premier p de x et y [resp. de x et z, ou ( de y et z], p 4 va diviser x z 2 [resp. p 2 va diviser y 4, ou x 4 ] donc p va diviser z [resp. y ou x] et p, y p, z ) est une autre p 2 solution avec 1 z < z, ce qui contredit le caractère minimal de z. p2 En reprenant la démonstration du théorème précédent, on peut supposer x pair (x et y jouent des rôles symétriques) et il existe des entiers naturels non nuls u, v premiers entre eux tels que : ( x 2, y 2, z ) = ( 2uv, u 2 v 2, u 2 + v 2) Si u est pair, v est nécessairement impair et y 2 = u 2 v 2 1 mod (4), ce qui est impossible puisqu un est congru à 0 ou 1 modulo 4. On a donc u impair et v pair. Comme (u, v, y) est solution de v 2 + y 2 = u 2 avec u, v, y deux à deux premiers entre eux (u v = 1 et u 2 + y 2 = v 2 nous dit qu un diviseur premier de y et v va diviser u et un diviseur premier de y et u va diviser v), il existe des entiers naturels non nuls r, s premiers entre eux tels que : (v, y, u) = ( 2rs, r 2 s 2, r 2 + s 2) ce qui nous donne : ( x 2, y 2, z ) = (4rs ( r 2 + s 2), ( r 2 s 2) 2, ( r 2 + s 2) 2 + 4r 2 s 2 ) En particulier, on a x 2 = 4rs (r 2 + s 2 ) avec r, s, r 2 + s 2 deux à deux premiers entre eux, ce sont donc tous des carrés, c est-à-dire qu il existe des entiers strictement positifs a, b, c tels que r = a 2, s = b 2 et r 2 + s 2 = c 2 et on a a 4 + b 2 = c 2 avec c c 2 = r 2 + s 2 = u < u 2 + v 2 = z, ce qui contredit le caractère minimal de z. D où le résultat annoncé.