ubrifiction et plier drulique nnée 9 Dniel Huilier rincipe de l lubrifiction ne des circonstnces importntes dns lquelle l inertie du fluide peut être négligée concerne les écoulements dits de lubrifiction Ce terme recouvre les écoulements de fluides visqueu confinés entre deu prois solides très proces en mouvement reltif es deu prois délimitent un espce de très grnd rpport d spect : l épisseur moenne < > est très petite devnt l longueur De plus, si l épisseur vrie d un point à un utre de l écoulement, nous nous restreignons u cs où cette vrition est très lente, c est-à-dire : dd << n considère le problème du plier drulique très utilisé en tribologie et en pplictions de l téorie de l lubrifiction plier fluide, film visqueu, butées de Micell ordre de grndeur de l longueur suivnt est de, de selon et d ppltissement ordre de grndeur de est, de est est le fcteur Cette géométrie prticulière deu conséquences : l composnte longitudinle de vitesse u est beucoup plus grnde que l composnte trnsverse v En effet, l conservtion de l msse impose : W z,, u v n en déduit que : d où, le terme >> étnt du même ordre de grndeur que l force qui s eerce sur les prois est beucoup plus grnde dns l direction normle à l écoulement que dns l direction prllèle à l écoulement force normle Fn est l intégrle de l pression sur une des prois solides : Fn p p d p p Toujours en tennt compte du rpport d spect >, il est possible de déterminer un ordre de grndeur de l pression à prtir de l éqution de Stokes :
ubrifiction et plier drulique nnée 9 Dniel Huilier p p p p D utre prt, l force dns l direction prllèle à l écoulement est l intégrle de l contrinte tngentielle sur l proi solide : u Ft σ XY d d Ft Fn << e rpport des deu composntes de force est égl u rpport des dimensions crctéristiques de l écoulement Ceci permet de supporter des crges importntes tout en conservnt l possibilité d un mouvement reltif vec une résistnce fible C est le principe utilisé dns l lubrifiction des pièces mécniques en rottion, dns les rticultions entre les os, dns l sustenttion des têtes de lecture de disques mgnétiques Notons que les pproimtions fites ci-dessus peuvent ussi s ppliquer u cs d une couce mince de liquide s étlnt sur une surfce solide, c est-à-dire u problèmes de mouillge insi qu à l écoulement dns les films de svon ugmenttion de l densité de données sur les disques durs impose une distnce entre l tête de lecture et l surfce du disque très fible Cette distnce est ctuellement courmment de,5 m Elle devrit descendre très procinement à,5 m Aucun sservissement n étnt cpble de mintenir cette uteur de vol, c est l écoulement d ir entre l tête et le disque qui ssure cette fonction Dns beucoup de cs, l tête de lecture une forme de ctmrn vec deu ptins séprés pr une encoce et une prtie vnt en pente douce Nous llons clculer l écoulement dns cette prtie en biseu qui définit une couce de fluide d épisseur : > Montrez d bord que les équtions qui régissent cet écoulement bidimensionnel se réduisent à l éqution de Stokes en écoulement sttionnire on prendr comme écelles de références : : pour l vitesse suivnt, pour l direction et ou - pour en évlunt le poids des différents termes des équtions générles de Nvier-Stokes
ubrifiction et plier drulique nnée 9 Dniel Huilier proi inclinée du ut coupe l e orizontl à l origine du repère uteur à l entrée est située à une distnce - de l origine, l sortie à une distnce ρ ρ Il en découle pr comprison des ordres de grndeurs des divers termes que : les contributions du plcien sont telles que : << les termes d inertie et de viscosité vérifient : [ ] [ ] X Y Inertie Inertie [ ] [ ] ité is Inertie cos Re les termes de viscosité vérifient : [ ] [ ] Y X ité is ité is cos cos n se plce dns le cdre d une condition de Stokes à fible nombre de Renolds et d un fcteur d ppltissement petit les forces visqueuses sont prépondérntes sur les forces convectives non linéires e terme visqueu de l éqution en et donc le terme de pression en est d un ordre supérieur en du terme visqueu de l éqution en et donc du terme de pression en Ainsi, en ne retennt que les termes d ordre supérieurs, les grdients de pression sont équilibrés pr les forces de viscosité en : z z pression est donc indépendnte de,z, et,, z 3
ubrifiction et plier drulique nnée 9 Dniel Huilier our l composnte u, l éqution de Stokes se rmène à : où le grdient de pression G insi que u dépendent, priori, de En supposnt que vrie lentement <<, donc que le cmp de vitesse évolue églement lentement vec, nous pouvons intégrer l éqution de Stokes en comme si l écoulement étit unidimensionnel et comme si u ne dépendit que de En se plçnt dns le repère où l tête est immobile et le disque se déplce, les conditions u limites sont :, et, d d n intègre cette éqution deu fois pr rpport à, e verticl d u d C ; C C u, d d G Soit : G u, vec les C e cmp de vitesse locl est l superposition de solution de l éqution de Nvier-Stokes linérisée : l écoulement de Couette pln dû à l entrînement de l plque du bs et l écoulement de oiseuille-pln du u grdient locl de pression dpd éqution de est telle que: l,, vec < < d ; d Ce profil de vitesse est l superposition d un profil prbolique dû u grdient de pression et d un profil linéire dû u mouvement reltif des deu surfces solides En intégrnt cette éqution sur toute l épisseur, de à, nous obtenons le débit de fluide qui est constnt dns toute l longueur de l écoulement : d où 3 G ud d G 3 d e grdient de pression s nnule lorsque m le débit est négtif prce que le fluide se déplce dns l direction Il est positif lorsque est inférieur à m et négtif si est supérieur à m e profil de vitesse est linéire lorsque G Si est différent de m, le profil de vitesse est prbolique vec une concvité dont le signe dépend de G En intégrnt en et en prennt en, il vient : 4
ubrifiction et plier drulique nnée 9 Dniel Huilier Si nous supposons qu à l utre etrémité du pln incliné, où, l pression est ussi égle à p, l éqution précédente fie le débit : n en déduit que le cmp de pression est donné pr : soit encore : éqution de est telle que:,, vec < < e dernier terme de pression est positif est représente une surpression dns l entrefer du ptin surpression est d utnt plus importnte que : le film est mince en b le film est visqueu c l vitesse est élevée e grdient de pression s nnule u mimum de l pression, soit dd u encore 3, scnt que :, soit : m n vérifie que cette mimum est tteint en : m soit : Si >>, lors, soit près du milieu du ptin force de sustenttion F N est obtenue pr intégrtion de l surpression qui règne dns le coin de fluide : N d p p F ln lors que l force tngentielle est obtenue pr intégrtion de l contrinte de cisillement : 5
ubrifiction et plier drulique nnée 9 Dniel Huilier F T u 3 d ln ordre de grndeur de F N F T est soit << e fit d voir un pln très légèrement incliné permet d engendrer une force normle très importnte En déduire l résultnte des forces de pression sur le ptin en termes de portnce force suivnt et trînée pr unité d envergure Tritez le cs prticulier où α est fible Montrez en prticulier que pour α, l force de pression se résume à une force : F 3 l Appliction Numérique : ms, l cm, α ~ l -3 rd, ~ -4 m s, densité de l eu Refire le clcul vec α ~ -3 rd, puis α ~ l 5-3 rd Comprez à l force de pression limite téorique α Remrque : Additivité des solutions Additivité des solutions de l éqution de Stokes pour l écoulement dns un cnl ne conséquence de l linérité de l éqution de Stokes est l possibilité d dditionner simplement des solutions pour former une utre solution r eemple, considérons l écoulement bidimensionnel dns un cnl Si les deu prois sont fies, l solution est un profil de vitesse prbolique vec une courbure du profil proportionnelle u grdient de pression En revnce, si une des prois est mobile et s il n ps de grdient de pression, l solution est un écoulement vec un profil de vitesse linéire ddition des deu solutions ddition des cmps de vitesse et ddition des grdients de pression est églement une solution de l éqution de Stokes Elle correspond à l présence d un grdient de pression dns le cnl et à un mouvement d une des prois Bibliogrpie : - Eplorez des Sites web esser de locliser des pplictions potentielles ivres mis ttention il des futes dns ces livres Rieutord pges 93-95, Cssing, pges 39-33, Guon,Hulin, etit pges 33-38 Cours Mrc Fermigier : ESCI