Systèmes linéaires continus et invariants

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page /3 Sysèmes linéaires coninus e invarians ) INTRODUCTION : ES TROIS TYPES DE SYSTÈMES AUTOMATISÉS... 5 ) ES SYSTÈMES OGIQUES COMBINATOIRES... 5 ) ES SYSTÈMES OGIQUES SÉQUENTIES... 5 3) ES SYSTÈMES CONTINUS... 5 ) PERFORMANCES DES SYSTÈMES CONTINUS... 6 ) A PRÉCISION, CARACTÉRISÉE PAR ERREUR STATIQUE OU ERREUR DE POURSUITE... 6 ) A RAPIDITÉ, CARACTÉRISÉE PAR E TEMPS DE RÉPONSE... 6 3) A STABIITÉ, CARACTÉRISÉE PAR E NOMBRE DE DÉPASSEMENTS ET/OU A VAEUR DU PREMIER DÉPASSEMENT... 7 4) ANAYSE D'UN SYSTÈME CONTINU... 7 ère hase : observaion des crières els qu erreur, ems de réonse, déassemens 7 ème hase : conclusion sur les erformances elles que récision, raidié e sabilié.... 7 3) MODÉISATION DES SCI... 8 3) CONSIGNE, RÉPONSE ET MODÈE... 8 3) IMITES D ÉTUDE : SYSTÈMES INÉAIRES, CONTINUS ET INVARIANTS... 9 33) RÉSOUTION DE ÉQUATION DIFFÉRENTIEE : A TRANSFORMÉE DE APACE... 33) Techniques de résoluion de l équaion différenielle... 33) Définiion mahémaique de la ransformée de alace... 333) Foncions causales... 334) Proriéés de la ransformée de alace... inéarié... Dérivaion ère... Dérivaion nd... Inégraion... Mulilicaion d une foncion ar une foncion... Théorème de la valeur iniiale... Théorème de la valeur finale... 335) Transformées usuelles de foncions causales... 336) Déerminaion de la Transformée de alace inverse... ) Mere l ordre du olynôme du numéraeur inférieur à celui du dénominaeur... ) Rechercher les racines du dénominaeur... 3) Facoriser le dénominaeur... 4) Décomoser S() en élémens simles... 5) Idenifier des ransformées usuelles... 34) REPRÉSENTATION DES SCI PAR FONCTION DE TRANSFERT... 34) Exisence de la foncion de ransfer si les condiions iniiales son nulles... 34) Forme canonique : gain saique, ordre e classe, ôles e zéros... 35) REPRÉSENTATION DES SCI PAR SCHÉMA-BOC... 3 MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page /3 4) SCI ASSERVIS... 3 4) INSUFFISANCE DES SYSTÈMES EN BOUCE OUVERTE (BO)... 3 4) ES SCI ASSERVIS OU EN BOUCE FERMÉE (BF)... 4 4) Sysèmes asservis régulaeurs e sysèmes asservis suiveurs... 4 4) Différenes foncions réalisées ar un sysème asservi... 4 Traduire la consigne en un signal uilisable ar la commande Uilisaion d inerfaces H/M... 4 Produire une image de la sorie Uilisaion de caeurs... 4 Comarer l'image de la consigne à l'image de la sorie Uilisaion de comaraeurs. 4 Corriger e amlifier le signal de commande our améliorer les erformances (récisionraidié-sabilié) Uilisaion de correceurs + amlificaeurs... 4 43) Rerésenaion ar schéma-bloc d un sysème asservi élémenaire... 4 Noions de chaîne direce, chaîne de reour, comaraeur, erreur e image de l erreur.. 4 43) SIMPIFICATIONS DE SCHÉMAS-BOCS ÉÉMENTAIRES... 5 43) Foncion de Transfer de blocs en série... 5 43) Foncion de Transfer de blocs en arallèle... 5 433) Foncion de Transfer de blocs en Boucle Fermée : FTBF... 5 434) Foncions de Transfer de sysèmes à n enrées, rincie de suerosiion... 6 44) SIMPIFICATIONS DE SCHÉMAS-BOCS AVEC BOUCES IMBRIQUÉES... 7 45) DÉTERMINATION DE ERREUR STATIQUE OU DE ERREUR DE POURSUITE... 8 45) Foncion de Transfer de sysèmes en Boucle Ouvere : FTBO... 8 45) Déerminaion de l'erreur saique ou de l erreur de ousuie à arir de la foncion de S ( ) ransfer du sysème H ( ) (lorsque celle-ci es déjà connue)... 8 E ( ) 453) Déerminaion de l'erreur saique ou de l erreur de ousuie à arir de la foncion de S ( ) ransfer en Boucle Ouvere (lorsque H ( ) n es as connue)... 8 E ( ) MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page 3/3 5) COMPORTEMENT TEMPORE DE SCI PARTICUIERS (ÉTUDE DU RÉGIME TRANSITOIRE).... 9 5) SOICITATIONS TEST PERMETTANT D ÉVAUER ES PERFORMANCES... 9 Imulsion de Dirac ()... 9 Échelon a.u()... 9 Rame a..u()... 9 Remarque : "réonse indicielle = réonse à un échelon lorsque l'amliude a vau ".... 9 5) COMPORTEMENT TEMPORE DES SYSTÈMES PROPORTIONNES (OU DE GAIN PUR) : K.... 5) Définiion.... K : gain saique du sysème (sans unié si e() e s() de même naure)... 5) Réonse à un échelon Ec.u().... 53) COMPORTEMENT TEMPORE DES SYSTÈMES DÉRIVATEURS : K.P.... 53) Définiion.... K : gain saique du sysème (en s si e() e s() de même naure)... 53) Réonse à une rame a..u().... 54) COMPORTEMENT TEMPORE DES SYSTÈMES INTÉGRATEURS : K/P.... 54) Définiion.... K : gain saique du sysème (en s si e() e s() de même naure)... 54) Réonse à un échelon Ec.u().... K 55) COMPORTEMENT TEMPORE DES SYSTÈMES DU ER ORDRE :.... 55) Définiion.... K : gain saique du sysème (sans unié si e() e s() de même naure)... : consane de ems (en s)... 55) Réonse à une imulsion a.().... Caracérisiques de cee réonse (angene à l origine, ordonnée en +).... 553) Réonse à un échelon Ec.u().... Caracérisiques de cee réonse (angene à l origine, ordonnée en +).... Tems de réonse à 5% (défini oujours our une enrée en échelon)... Bilan.... 554) Réonse à une rame a..u().... 3 Caracérisiques de cee réonse (angene à l origine, asymoe en +).... 3 MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page 4/3 K 56) COMPORTEMENT TEMPORE DES SYSTÈMES DU ÈME ORDRE : z..... 4 56) Définiion.... 4 K : gain saique du sysème (sans unié si e() e s() de même naure)... 4 (noée arfois n ) : ulsaion rore non amorie > ulsaion du sysème s il n éai as amorie (en rad/s)... 4 z (noé arfois m ou ) : faceur d amorissemen > (sans unié)... 4 56) Réonse à une imulsion ().... 4 Déerminaion de l allure de la réonse.... 4 563) Réonse à une rame a..u().... 4 564) Réonse à un échelon Ec.u().... 5 Caracérisiques de cee réonse (angene à l origine, ordonnée en +).... 5 Déerminaion de l allure de la réonse.... 5 Tems de réonse.... 6 Tems de réonse rédui r 5%..... 6 Déassemen absolu D k e déassemen relaif D k% (cas z<).... 6 Noions de ulsaion amorie a e de seudo-ériode T a (cas z<).... 8 Tems k lorsque les déassemens s effecuen : s'( k )= (cas z<).... 8 Tems j lorsque s( j )=K.Ec (cas z<).... 8 Exression des déassemens relaifs D k% si l abaque n es as donné (cas z<).... 8 K 565) Aure forme de la foncion de ransfer d un ème ordre aériodique :... 9 (.)(.) Réonse à un échelon dans le cas général.... 9 Réonse à un échelon dans le cas où une consane de ems es négligeable devan l aure (c'es-à-dire qu une racine es négligeable devan l aure).... 9 57) IDENTIFICATION À UN MODÈE (À AIDE D UN GRAPHIQUE TEMPORE).... 3 57) Modéliser our révoir le comoremen.... 3 57) Exérimener our ouvoir idenifier.... 3 573) Choix du modèle : er ou ème ordre?... 3 574) Idenificaion à un modèle du er S K ordre :... 3 E. e gain saique K es obenu à arir du relevé de la valeur finale... 3 a consane de ems es obenue à arir du relevé du ems mis our aeindre,63.k.ec (=)... 3 575) Idenificaion à un modèle du ème ordre aériodique (z>) : K S E... 3 (. )(. ) e gain saique K es obenu à arir du relevé de la valeur finale... 3 es consanes de ems son obenues en uilisan une méhode arochée à arir du racé de la angene au oin d inflexion.... 3 576) Idenificaion à un modèle du ème ordre oscillan (<z<) : K z S E... 3 e gain saique K es obenu à arir du relevé de la valeur finale.... 3 e faceur d amorissemen es obenu à arir du relevé du er déassemen.... 3 a ulsaion rore es obenue à arir du relevé de la seudo-ériode ou du ems de réonse.... 3 577) Idenificaion à une somme de foncions de ransfer connues.... 3 MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page 5/3 ) Inroducion : les rois yes de sysèmes auomaisés Un sysème auomaisé es un sysème qui réalise, de manière auonome, des oéraions du rocessus de ransformaion de la maière d œuvre. inervenion de l homme es alors limiée à la rogrammaion, la mise en marche e les réglages de cerains aramères. Un sysème auomaisé es uilisé our réaliser des âches : ro comlexes ou dangereuses our l'homme ; Cenre d usinage de récision Robo d insecion du cœur d une cenrale nucléaire rééiives e énibles. «Robos guides» du comlexe financier Sanander de Madrid Robo soudeur Parmi les sysèmes auomaisés, on disingue : ) es sysèmes logiques combinaoires a grandeur de sorie du sysème es élaborée à arir d une combinaison des grandeurs d enrées. ) es sysèmes logiques séqueniels a grandeur de sorie du sysème es élaborée à arir d une combinaison des grandeurs d enrée, mais rend égalemen en come la chronologie des événemens e l éa récéden du sysème. 3) es sysèmes coninus es grandeurs d enrée e de sorie évoluen de manière coninue en foncion du ems. Digicode Feu ricolore Four MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page 6/3 ) Performances des sysèmes coninus Afin de réondre aux mieux aux besoins de l uilisaeur, un sysème coninu doi résener des erformances (récision, raidié, sabilié) les lus roches ossibles de celles définies dans le cahier des charges. Pour vérifier ces erformances e déerminer les réglages ermean de les oimiser, on uilise différens crières (erreur, ems de réonse, déassemen). ) a récision, caracérisée ar l erreur saique ou l erreur de oursuie On défini l erreur ou écar à l insan noée e r () ar: e ( ) e( ) s( ) r e( ): enrée e s( ): sorie erreur de osiion : a récision es alors caracérisée en régime ermanen ar : e ( ) e( ) s( ) r On arlera d erreur saique (ou erreur de osiion), l erreur en régime ermanen our une enrée en échelon. On arlera d erreur de oursuie (ou erreur de suivi), l erreur en régime ermanen our une enrée en rame. erreur de oursuie : ) a raidié, caracérisée ar le ems de réonse a raidié es caracérisée généralemen ar le ems de réonse à 5% noé r 5%. e ems de réonse à 5% es le ems mis ar la sorie our aeindre la valeur finale à ± 5%. Sysème sans déassemen : Aenion! Ce n es as le ems mis our aeindre la valeur souhaiée (consigne) à ± 5%, mais bien la valeur finale. Ainsi, lors d une éude de raidié, il fau faire absracion de l enrée! e ems de réonse à 5% es aein lorsque la sorie renre dans le «ube des 5%» e n en sor lus! Sysème avec déassemen : e ems de réonse à 5% eu êre déerminé uniquemen our une enrée en échelon. MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page 7/3 3) a sabilié, caracérisée ar le nombre de déassemens e/ou la valeur du remier déassemen a sabilié es caracérisée généralemen ar le nombre de déassemens e/ou la valeur du remier déassemen (le lus criique), noé D ar raor à la valeur finale. Sysème avec déassemen : On défini le déassemen absolu d ordre k ar : Dk s( k) s( ) On défini le déassemen relaif ar : D D k k% s( ). Aenion! Ce ne son as les déassemens ar raor à la valeur souhaiée (consigne), mais bien ar raor à la valeur finale. Ainsi, lors d une éude de sabilié, il fau faire absracion de l enrée! Pour cerains sysèmes, il es iméraif qu il n y ai aucun déassemen. Exemle : le robo rieur de saucisse. 4) Analyse d'un sysème coninu Une analyse comorera éaes : ère hase : observaion des crières els qu erreur, ems de réonse, déassemens ème hase : conclusion sur les erformances elles que récision, raidié e sabilié. NB : On ne dira jamais que le ems de réonse es raide, ou que l erreur es récise es crières s évaluen ar des chiffres qui euven êre lus faibles ou lus grands que d aures Éudier les sysèmes coninus, c es essayer d améliorer ces différenes caracérisiques. MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page 8/3 3) Modélisaion des SCI 3) Consigne, réonse e modèle Pour réondre correcemen au besoin our lequel il à éé conçu, un sysème doi «roduire» une réonse (sorie) qui resece au mieux la consigne (enrée). Exemle : Éuve hermique Ces deux grandeurs son liées enre elles ar une loi hysique, raduie ar une équaion mahémaique lus ou moins comlexe, qui es le modèle du sysème : On arlera de modèle de connaissance lorsque le modèle es héorique e de modèle de comoremen lorsque ce dernier es déerminé exérimenalemen. Éan donné que le modèle radui la relaion enre l enrée e la sorie, la connaissance de deux d enre eux doi ermere la déerminaion du roisième. éude des sysèmes coninus eu donc conduire à renconrer 3 yes de roblèmes : Bien qu ils soien eu raiés en CPGE, les roblèmes de commande son les lus roches de la réalié indusrielle : «commen commander le sysème our qu il se comore comme révu?» Dans les roblèmes de rédicion, on cherchera à mere en évidence les erformances des sysèmes : récision, raidié, sabilié es modèles héoriques de connaissance, issus des lois de la hysique, ne son jamais arfais. En effe, our les élaborer, on es souven amené à faire des aroximaions ou à négliger cerains hénomènes. MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page 9/3 3) imies d éude : Sysèmes inéaires, Coninus e Invarians Nous nous limierons à l éude des sysèmes our lesquels les grandeurs de sorie évoluen de manière coninue dans le ems. d enrée e Nous ferons l hyohèse que le modèle, qui radui la manière don se comore le sysème, es invarian, c'es-à-dire qu il rese idenique e valable à chaque insan. Enfin, nous resreindrons nos éudes aux cas des sysèmes linéaires (), c'es-à-dire aux sysèmes qui conserven à leur sorie oue combinaison linéaire des signaux d enrée. Si à une enrée e () corresond une sorie s () e si à une enrée e () corresond une sorie s (), alors à une enrée k.e () + k.e () corresond une sorie k.s () + k.s (), avec k e k consanes. Dans la réalié les hénomènes son linéaires dans un cerain domaine de variaion. A l exérieur de ce domaine, des hénomènes non linéaires, comme des sauraions aaraissen. Dans la grande majorié des cas, le modèle de connaissance du sysème es alors une équaion différenielle à coefficiens consans de la forme. n n- m m- d s d s ds d e d e de n n n- n- m m m- m- a a... a a s( ) b b... b b e( ) d d d d d d e( ): enrée e s( ): sorie es sysèmes réels éudiés imliquen m n ; n es aelé ordre du sysème Exemles de sysèmes élecriques. Résisance Bobine Condensaeur () u( ) R. i( ) u( ). di u( ). i( ). d d C u() : ension i() : inensié R : résisance : inducance C : caacié Il fau noer que ces relaions simlifiées ne reflèen le comoremen qu en remière aroximaion. Exemles de sysèmes roorionnels : Dans cerains cas, en général des consiuans des sysèmes, il exise simlemen une relaion de roorionnalié enre la sorie e l enrée. Ce coefficien de roorionnalié sera aelé «gain» du consiuan. ors de l éude des Sysèmes inéaires Coninus Invarians (SCI), en ariculier our les roblèmes de rédicion, on sera amené à maniuler e résoudre ces équaions. Même si les équaions différenielles à coefficiens consans (d ordre ou ) figuren armi les lus simles à aréhender, il es inéressan de disoser d ouils adaés ermean d effecuer raidemen e efficacemen les éudes sysémaiques auxquelles nous allons êre confronés : le lus efficace dans les cas que nous éudierons es la ransformaion de alace. MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page /3 33) Résoluion de l équaion différenielle : la ransformée de alace 33) Techniques de résoluion de l équaion différenielle Equaion différenielle avec second membre Technique de résoluion classique. Technique uilisée ar les auomaiciens : elle reose sur les ransformées de alace. Equaion différenielle sans second membre s() : réonse libre caracérisaion du régime ransioire s()=s()+s() Domaine emorel en Équaion différenielle avec second membre avec s() e e() Transformée de alace Domaine de alace en Équaion olynomiale en avec S() e E() Equaion ariculière s() : réonse forcée caracérisaion du régime ermanen Transformée Soluion s() Inverse Soluion S() objecif es de résoudre un olynôme luô qu une équa.dif. 33) Définiion mahémaique de la ransformée de alace. a ransformée de alace F ( ) de la foncion f, () es : f ( ) f ( ) F( ) f ( ). e. d Cee ransformaion erme de asser du domaine emorel en au domaine de alace en. 333) Foncions causales a cause récède l effe. ingénieur a our raique d éudier l effe d une cause qu il siue à la dae =. En auomaique, on uilisera donc la ransformée de alace resreine. F( ) f ( ). e. d qui ne s alique qu aux foncions causales (c'es-à-dire aux foncions f() elles que f() = our <). Pour rendre une foncion mahémaique f() (qui n es as nulle quand <) causale, on la mulilie ar la foncion d Heaviside u() : u() = si < u() = si 334) Proriéés de la ransformée de alace inéarié Dérivaion ère Dérivaion nd Inégraion f() f( ) g( ) f () f () F() F( ) G( ). F( ) f ( ). F( ). f ( ) f ( ) MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8// Mulilicaion d une foncion ar une foncion f ( x ). dx f ( ). g( ) F ( ) d ( ) d( ) Exemle : 5 3 ( ) v( ) 5 ( ) 3 ( ) ( ) V( ) d d Théorème de la valeur iniiale f ( ) lim f ( ) lim. f ( ) lim. F( ) Théorème de la valeur finale f ( ) lim f ( ) lim. f ( ) lim. F( ) 335) Transformées usuelles de foncions causales F( ). G( ) Nous ne chercherons as à déerminer F() ar la définiion (car résoudre l inégrale es aussi difficile que de résoudre l équaion différenielle du déar). Nous nous servirons de ableaux qu il faudra connaîre : f() F() Imulsion de Dirac () a. e a e.. a e..cos( ) a ( a) a ( a) a. e.sin( ) ( a) où es une variable comlexe

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page /3 336) Déerminaion de la Transformée de alace inverse Pour déerminer la ransformée de alace inverse de ( ) S, donc s( ) S( ), il fau : ) Mere l ordre du olynôme du numéraeur inférieur à celui du dénominaeur PolynômeA d ' ordre n PolynômeC d ' ordre n 3 3 3 ex : PolynômeB d ' ordre n PolynômeB d ' ordre n 3 3 3 ) Rechercher les racines du dénominaeur 3 4.. 3. 4. Ex : soi S()..... 3) Facoriser le dénominaeur 3 4 5 3 4 5 3 4.. 3. 4. Donc S().(-a ).(-b). (-c) d 5 Suosons que le dénominaeur ai : - racine réelle simle = a - racine réelle double = b - racines comlexes conjuguées simles = c j.d 4) Décomoser S() en élémens simles 3 4.. 3. 4. A B C D. E S() 5.(-a ).(-b).((-c) d ) a b ( b) ( c) d es consanes son déerminées elles que : A : mulilier S() ar (-a) e faire endre vers a 3 4. a. a 3. a 4. a lim ( a). S( ) A a 5.( a b).(( a c) d ) C : mulilier S() ar (-b) e faire endre vers b 3 4. b. b 3. b 4. b lim ( b). S( ) C b 5.( b a).(( b c) d ) B : mulilier S() ar (-b) e faire endre vers + 4 lim ( b). S( ) A B D 5 D e E : mulilier ar (-c) +d e faire endre vers c+j.d, uis idenifier arie réelle e imaginaire 3 4.(. ).(. ) 3.(. ) 4.(. ) lim c j d c j d c j d c j d ( c) d. S( ) D.( c j. d) E cj. d 5.(( c j. d) a).(( c j. d) b) 5) Idenifier des ransformées usuelles A a, B C D. E e son idenifiables immédiaemen mais b ( b) ( c) d de D. E D.( c ) D. c E ( c ) D. c E d D.. ( c) d ( c) d ( c) d ( c) d d ( c) d doi êre mis sous la forme On rouve en idenifian avec les ransformées usuelles, la ransformée inverse : a. b. b. c. D. c E c. s( ) A. e B. e C.. e D. e.cos( d. ). e.sin( d. ). u( ) d On noera que quand cee foncion converge si e seulemen si a, b e c son négaifs. s() es donc sable si e seulemen si les aries réelles des racines du dénominaeur son négaives. MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page /3 34) Rerésenaion des SCI ar foncion de ransfer 34) Exisence de la foncion de ransfer si les condiions iniiales son nulles On a vu récédemmen que le modèle raduisan la relaion enre l enrée e () e la sorie s () d un SCI éai, dans la grande majorié des cas, une équaion différenielle : En aliquan la ransformaion de alace aux deux membres de cee équaion e en considéran les condiions iniiales nulles, on a : n a S( )... a S( ) a S( ) b E( )... b E( ) b E( ) n m m n m Soi : an... a a S( ) bm... b b E( ) d où : i m... bi S ( ) bm b b n n E ( ) an... a a i a m Cee fracion raionnelle de deux olynômes de variable es aelée foncion de ransfer du sysème. Elle es noée : S ( ) H ( ) E ( ) Remarque : a foncion de ransfer exise seulemen si les condiions iniiales son nulles. Dans le cas conraire S( ) H( ). E( ) H( ) où H ( ) es une fracion déendane des condiions iniiales. i 34) Forme canonique : gain saique, ordre e classe, ôles e zéros Si H () es une foncion de ransfer alors : - H() caracérise le sysème indéendammen de l enrée aliquée, - les valeurs de qui annulen le numéraeur son aelées zéros du sysème, - les valeurs de qui annulen le dénominaeur son aelées ôles du sysème, - le degré n du olynôme du dénominaeur es aelé ordre du sysème. - K es aelé le gain saique (il caracérise le régime ermanen), zi :" zéros " de la foncion de ransfer S ( ) ( z )( z ) ( z ) E( ) ( )( ) ( ) m m H( ) K K : gain saique n n i :" ôles" de la foncion de ransfer En mean H ( ) sous forme canonique : H ( ) m S( ) K n E ( ) : classe du sysème n : ordre du sysème - rerésene la classe du sysème (nombre d inégraions résenes dans le sysème). Exemle : 3 5.. 3. 5. forme H( ) H( ). 3 5 canonique 3. 4. 7. 3. 4 7.. 3 3 3 ordre :5 classe : gain saique : 3 MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page 3/3 35) Rerésenaion des SCI ar schéma-bloc a rerésenaion exerne d'un comosan de la chaîne foncionnelle du sysème eu êre faie ar un bloc rerésenan sa foncion de ransfer : avec S() = H().E() 4) SCI asservis 4) Insuffisance des sysèmes en boucle ouvere (BO) Un sysème coninu eu, dans une remière aroche, êre rerésené de la façon suivane : Perurbaion Enrée SYSTEME Sorie Un sysème non bouclé (ou en boucle ouvere) es un sysème qui ne conrôle as la manière don la consigne imosée en enrée a éé resecée. Il ne rend as en come la réacion du sysème à une évenuelle cause exerne qui ourrai modifier la relaion enrée sorie. Un événemen exérieur (erurbaion) eu alors modifier la sorie aendue du sysème. Exemles : Consigne de eméraure Fenêre ouvere Chauffage d immeuble Teméraure du logemen Vague, couran Consigne de ca Piloe de baeau Ca suivi Pour qu un sysème réonde correcemen aux besoins de l uilisaeur, il es imoran que la sorie ne varie as quels que soien les hénomènes exérieurs qui ourraien la erurber. MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page 4/3 4) es SCI asservis ou en boucle fermée (BF) 4) Sysèmes asservis régulaeurs e sysèmes asservis suiveurs On arle d un sysème régulaeur lorsque l on désire que la sorie renne une valeur récise e égale à une consigne d enrée fixe. Exemles de sysèmes régulaeurs : Éuve hermique Régulaeur de niveau d eau On arle d un sysème suiveur lorsque l on désire que la sorie suive une consigne d enrée qui varie au cours du ems e don l évoluion n es as oujours connue à l avance. Exemles de sysèmes suiveurs : Missile à êe chercheuse Segway 4) Différenes foncions réalisées ar un sysème asservi Traduire la consigne en un signal uilisable ar la commande Uilisaion d inerfaces H/M Produire une image de la sorie Uilisaion de caeurs Comarer l'image de la consigne à l'image de la sorie Uilisaion de comaraeurs Corriger e amlifier le signal de commande our améliorer les erformances (récisionraidié-sabilié) Uilisaion de correceurs + amlificaeurs 43) Rerésenaion ar schéma-bloc d un sysème asservi élémenaire Noions de chaîne direce, chaîne de reour, comaraeur, erreur e image de l erreur a srucure comlèe d un sysème asservi eu se rerésener ar le schéma-bloc foncionnel suivan. e caeur mesure en ermanence la grandeur de sorie du sysème (viesse, osiion, eméraure ). Cee image de la sorie es ensuie comarée à l image de la consigne d enrée issue de l inerface H/M, afin de ermere à la arie commande d aorer les correcions nécessaires. ( ) e'( ) s '( ) es l image de l erreur er ( ) e( ) s( ) Ainsi, un sysème asservi ien come de l effe de sa commande (si la consigne a éé resecée ou non). Pour ouvoir êre comaré, les signaux qui arriven au comaraeur doiven êre de même naure! MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page 5/3 43) Simlificaions de schémas-blocs élémenaires es schémas-blocs ne son as oujours de srucure simle. Des maniulaions ermeen de réduire leur comlexié e ainsi de déerminer la foncion de ransfer globale. En revanche leur simlificaion éloigne le modèle, de la réalié hysique du sysème 43) Foncion de Transfer de blocs en série 43) Foncion de Transfer de blocs en arallèle 433) Foncion de Transfer de blocs en Boucle Fermée : FTBF Avec D() la foncion de ransfer de la chaîne direce, R() la foncion de ransfer de la chaîne de reour. S( ) D( ). ( ) S( ) D( ). E '( ) S '( ) S( ) D( ). E '( ) R( ). S( ) S( ). R( ). D( ) D( ). E '( ) Aenion au signe dans le comaraeur. Si : S( ) D( ) On obien : FTBF( ) E '( ) R( ). D( ) NB : Ne as confondre avec la simlificaion de blocs en arallèle ci-dessus MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page 6/3 Exemle de simlificaion de blocs en série, en arallèle e en boucle fermée : On cherche à déerminer la foncion de ransfer du sysème rerésené ar le schéma-bloc ci-dessous : Boucle fermée : ( ) H 4 4 Blocs en série : H ( ) 4 ( 4)( ) Blocs en arallèle : H ( ) 3 ( 4)( ) 8 8 ( 4)( ) Blocs en série : 8 8 ( 8 8) H ( ) ( 4)( ) ( ) ( 4)( ) Idéalemen, il faudrai ensuie écrire cee foncion de ransfer sous sa forme canonique! 434) Foncions de Transfer de sysèmes à n enrées, rincie de suerosiion On suose que oues les enrées son nulles sauf une. On calcule alors la sorie en foncion de cee ère enrée. On fai la même chose our oues les aures enrées. Puis, on déermine la sorie lorsque oues les enrées son résenes ar le rincie de suerosiion en addiionnan oues les réonses récédenes (voir TD 4) Exemle our un sysème à enrées : E () S()? E () S ( ) H( ) E ( ) E ( ) S ( ) H( ) E ( ) E ( ) S( ) H ( ). E ( ) quand E ( ) S( ) H ( ). E ( ) quand E ( ) Avec les enrées simulanémen MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page 7/3 44) Simlificaions de schémas-blocs avec boucles imbriquées 'objecif es d'isoler les boucles en délaçan des blocs, e en faisan en sore que comaraeurs soien côe à côe our les ermuer. Ces maniulaions ne son à effecuer seulemen si vous êes en résence de boucles imbriquées. Délacemen d un bloc arès un oin de rélèvemen Délacemen d un bloc avan un oin de rélèvemen Délacemen d un bloc avan un comaraeur Délacemen d un bloc arès un comaraeur Permuaion de sommaeurs (lors du chevauchemen de boucles) MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page 8/3 45) Déerminaion de l erreur saique ou de l erreur de oursuie 45) Foncion de Transfer de sysèmes en Boucle Ouvere : FTBO On aelle ar abus de langage la foncion de ransfer cidessous, foncion de ransfer en boucle ouvere: S'( ) FTBO( ) R( ). D( ) ( ) NB : En SPÉ, l éude de la FTBO nous renseignera sur la sabilié du sysème. Aenion, la FTBO n es as la foncion de ransfer du sysème s il éai en boucle ouvere, c es-à-dire s il n y avai as de chaine de reour avec un caeur! 45) Déerminaion de l'erreur saique ou de l erreur de ousuie à arir de la S ( ) foncion de ransfer du sysème H ( ) (lorsque celle-ci es déjà connue) E ( ) Pour cela on rocède de la façon suivane : Calculer Er ( ), l erreur dans le domaine de alace Er ( ) E( ) S( ) E( ) E( ) H( ) E( ) ( H( )) Calculer E, ( ) la ransformée de alace de l enrée du sysème E E ( ) si e() E (échelon) ou E ( ) a si e() a (rame) Calculer er ( ), l erreur en régime ermanen dans le domaine emorel En uilisan le héorème de la valeur finale : e ( ) lim e ( ) lim E ( ) lim E( ) ( H( )) r r r Il ne fau as hésier à mere ( H ( )) au même dénominaeur lors du calcul de la limie. 453) Déerminaion de l'erreur saique ou de l erreur de ousuie à arir de la S ( ) foncion de ransfer en Boucle Ouvere (lorsque H ( ) n es as connue) E ( ) Pour cela on rocède de la façon suivane : Calculer ( ), l image de l erreur dans le domaine de alace ( ) E '( ) S '( ) ( ) E '( ) D( ). R( ). ( ) donc ( ). D( ). R( ) E '( ) E'( ) ( ) D( ). R( ) ou E'( ) ( ) FTBO( ) Avec FTBO( ) D( ) R( ) Foncion de Transfer en Boucle Ouvere. Calculer E'( ), la ransformée de alace de l image de l enrée du sysème E E'( ) si e'( ) E (échelon) ou a E'( ) si e'( ) a (rame). Calculer ( ), l image de l erreur en régime ermanen dans le domaine emorel En uilisan le héorème de la valeur finale : ( ) lim ( ) lim ( ) En déduire er ( ), l erreur dans le domaine emorel En uilisan la relaion de roorionnalié enre l enrée, la sorie e leurs images en enrée du comaraeur. Pour les signes, uiliser la même logique que our les signes de la FTBF Aenion : il y a souven une confusion enre l erreur er () e son image en sorie du comaraeur (). De même l image de l enrée es souven aelée «enrée». MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page 9/3 5) Comoremen emorel de SCI ariculiers (éude du régime ransioire). 5) Solliciaions es ermean d évaluer les erformances Dans le cas général, les solliciaions d enrée on une forme quelconque e inconnue, mais afin d éudier les erformances des sysèmes (récision, raidié, sabilié), on éudie leur réonse à des solliciaions (ou enrées) yes. Ces enrées seron causales, c es à dire nulles our <. Imulsion de Dirac () Échelon a.u() Rame a..u() T e( ) ( ) a e( ) a. u( ) e( ) a.. u( ) T il s agi d une imulsion d amliude T, endan une durée rès brève T our < : e ( ) our T : e( ) T our > T : e ( ) our < : e ( ) our : e() où a consane a our < : e ( ) our : e( ) a. où a consane on noe e( ) ( ) on noe e( ) a. u( ) on noe e( ) a.. u( ) ( ) a. u( ) a.. u( ) a a Remarque : "réonse indicielle = réonse à un échelon lorsque l'amliude a vau ". MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page /3 5) Comoremen emorel des sysèmes roorionnels (ou de gain ur) : K. 5) Définiion. Un sysème es di à acion roorionnelle ou de gain ur si sa foncion de ransfer eu se mere sous la forme : S ( ) H( ) K E ( ) où K : gain saique du sysème (sans unié si e() e s() de même naure) 5) Réonse à un échelon Ec.u(). e( ) E. u( ) c E E ( ) c E Ainsi S( ) H( ). E( ) K. c a réonse emorelle a donc our exression : s( ) K. Ec. u( ) K.Ec Rerésenaion our K < : e()=ec.u() Sorie ou réonse s() 53) Comoremen emorel des sysèmes dérivaeurs : K.. 53) Définiion. Un sysème es di dérivaeur si sa foncion de ransfer eu se mere sous la forme : S ( ) H( ) K. où K : gain saique du sysème (en s si e() e s() de même E ( ) naure) 53) Réonse à une rame a..u(). e() a..u() a E(). Ainsi S( ) H( ). E( ) K.. a a K a réonse emorelle a donc our exression : s( ) a. K. u( ) a.k e()=a..u() Sorie ou réonse s() 54) Comoremen emorel des sysèmes inégraeurs : K/. 54) Définiion. Un sysème es di inégraeur si sa foncion de ransfer eu se mere sous la forme : S ( ) K H ( ) E( ) où K : gain saique du sysème (en s si e() e s() de même naure) 54) Réonse à un échelon Ec.u(). e( ) E. u( ) c E E ( ) c K Ec K. Ec Ainsi S( ) H( ). E( ). a réonse emorelle a donc our exression : s( ) K. E.. u( ) c Sorie ou réonse s() de ene K.Ec e()=ec.u() MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page /3 55) Comoremen emorel des sysèmes du er K ordre :. 55) Définiion. Un sysème es di du er ordre si sa foncion de ransfer eu se mere sous la forme : S ( ) K H ( ) E( ) où K : gain saique du sysème (sans unié si e() e s() de même. naure) : consane de ems (en s) 55) Réonse à une imulsion a.(). e( ) a. ( ) K E( ) a. e donc S( ) H( ). E( ). a. Caracérisiques de cee réonse (angene à l origine, ordonnée en +). s( ) lim s( ) lim. s( ) lim. S( ) Ordonnée en : d où s( ) e()= a.() ak. Tangene à l origine a angene à l origine coue l axe des abscisses en Sorie ou réonse s() NB : Calcul à ire indicaif de la réonse emorelle. K a. K S( ). a a réonse emorelle a donc our exression :.. ak. s( ) e. u( ) MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page /3 553) Réonse à un échelon Ec.u(). NB : Si l amliude Ec vau, la réonse es aelée réonse indicielle. E e( ) Ec. u( ) E ( ) c K e donc S( ) H( ). E( ). (. ) Caracérisiques de cee réonse (angene à l origine, ordonnée en +). s( ) lim s( ) lim. s( ) lim. S( ) K. Ec Ordonnée en : d où s( ) KE. c E c Tangene à l origine : y s( ) s'( ).( ) KE. c s '( ) lim s '( ) lim. s '( ) lim. S( ) s( ) lim S ( ) Or d où K.E c y =. a angene à l origine coue l asymoe finale y = K.E c en NB : Calcul de la réonse emorelle our ouvoir déerminer valeurs ariculières : 63% e 95% de s(+). K Ec K. Ec?? K. Ec K. Ec S ( ). (décomosiion en élémens simles) (. ).. a réonse emorelle a donc our exression : s( ) K. Ec. e K. E c. u( ) s() : our, s( ) ( e ).K.E c s( ),63.K.E c s( ) 63%.s( ) K.Ec,95.K.Ec e()=ec.u() Rerésenaion our K < : Tems de réonse à 5% (défini oujours our une enrée en échelon) On cherche r 5% el que s(r ) 95%.s( ) 5% r5% c c c r K. E. e K. E,95. K. E 5% e,95 r 5% ln,5 donc r 5% 3.,63.K.Ec Sorie ou réonse s() Tangene à l origine 3 Bilan. e gain saique K caracérise le comoremen du sysème en régime ermanen : s( ) K. E c. a consane de ems caracérise le comoremen du sysème en régime ransioire (au bou d une fois la consane de ems, le sysème arrive à 63% de sa valeur finale) : s( ) 63%.s( ). e ems de réonse à 5% caracérise la fin du régime ransioire : 5% 3.. MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page 3/3 554) Réonse à une rame a..u(). e() a..u() E() a e donc K a S( ) H( ). E( ). (. ) Caracérisiques de cee réonse (angene à l origine, asymoe en +). Ordonnée en : s( ) lim s( ) lim. s( ) lim. S( ) d où s( ) Pene de la angene à l origine : s '( ) lim s '( ) lim. s '( ) lim. S( ) s( ) lim S( ) Or a angene à l origine a donc une ene nulle (droie horizonale) NB : Calcul de la réonse emorelle our ouvoir réaliser une éude asymoique en +. K a a. K??? a.k. a.k -a.k. S ( ). (décomosiion en élémens simles) (. ).. a réonse emorelle a donc our exression : Éude asymoique : orsque, s() a.k. a.k. asymoe es donc y( ) a. K( ) s() a.k..e a.k. a.k..u() Cee asymoe a donc une ene a.k, e elle coue l axe des abscisses en. Rerésenaion our K < : Droie de ene a Tangene à l origine de ene nulle e()=a..u() Sorie ou réonse s() Asymoe de ene a.k Remarques : our K< l erreur enre l enrée e la sorie augmene. our K= le sysème ne rejoin jamais la consigne, ceendan sa variaion es arallèle à l enrée reardée de une fois la consane de ems. our K> l erreur enre l enrée e la sorie diminue, s annule, uis augmene. MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page 4/3 56) Comoremen emorel des sysèmes du ème ordre : 56) Définiion. Un sysème es di du ème ordre si sa foncion de ransfer eu se mere sous la forme : S ( ) K H ( ) E ( ) z.. K z.. où K : gain saique du sysème (sans unié si e() e s() de même naure) (noée arfois n ) : ulsaion rore non amorie > ulsaion du sysème s il n éai as amorie (en rad/s) z (noé arfois m ou ) : faceur d amorissemen > (sans unié) 56) Réonse à une imulsion (). e( ) ( ) E ( ) e donc Déerminaion de l allure de la réonse. Recherche des ôles de la foncion de ransfer : Discriminan : K K S( ) H( ). E( ). z.. z. 4z 4 4 ( z ) Trois cas seron à envisager. z > z = z < > = < racines réelles simles (a e a) A A S ( ) a a racine réelle double (b) B C S() b ( b) racines comlexes conjuguées ( = c j.d) D. E S() ( c) d.. a a s( ) A. e A. e. u( ) b. b. s( ) B. e C.. e. u( ) c. D. c E c. s( ) D. e.cos( d. ). e.sin( d. ). u( ) d Réonse non oscillaoire Réonse oscillaoire s()/k,8,6,4, e() Même Tangene à l origine de ene z=,3 z=,5 z=,69 z= z= K z=4 Réonse à une imulsion d'un sysème du ème ordre.w 4 6 8 4 -, 563) Réonse à une rame a..u(). éude exhausive de la réonse à une rame donne lieu à des calculs longs e fasidieux en foncion du faceur d amorissemen z. On rerouve ceendan les résulas fondamenaux vus dans le cas du er ordre, c es-à-dire que si le gain saique es uniaire, la limie, lorsque end vers l infini, de la réonse rese arallèle à la consigne avec un reard (qui déend de z e de w). En foncion de z, la réonse résene des oscillaions auour de cee asymoe. MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page 5/3 564) Réonse à un échelon Ec.u(). e() Ec.u() Ec E() e donc S() K E H().E(). c z (.. ) K E. c ( z. ) Caracérisiques de cee réonse (angene à l origine, ordonnée en +). Ordonnée en : s( ) lim s() lim. s() lim.s() KE c Pene de la angene à l origine : s' ( ) lim s' () lim. s' () d où s( ) KEc lim.s() s( ) lim.s() e régime éabli ne déend que du gain saique K. z e inerviennen seulemen dans le régime ransioire. a angene à l origine a donc une ene nulle (droie horizonale) (ce qui es différen des sysèmes du er ordre) z > z = z < Déerminaion de l allure de la réonse. En lus du ôle =, on recherche les aures ôles de la foncion de ransfer : Discriminan : 4z 4 4 (z ) Trois cas seron à envisager. > = < racines réelles simles (a e a) racine réelle double (b) racines comlexes conjuguées ( = c j.d) S() S() A A a A a s() A A.e A.e.u( ) A B C b ( b) a. a. Réonse non b. b. oscillaoire s() A B.e C..e.u( ) A D. E S() c. D.c E c. s() A D.e.cos(d.).e.sin(d.).u( ) Réonse ( c) d d oscillaoire s() K.Ec D z=,3 z=,5 z=,69 Bande des +/- 5% D Tangene à l origine de ene nulle z=4 z= z= Ta/4 Ta/ Ta 3.Ta/.Ta (voir cours age ) Réonse à un échelon d'un sysème du ème ordre MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page 6/3 Tems de réonse. e ems de réonse à 5 % (durée au-delà de laquelle la réonse s() rese comrise enre,95 e,5 fois la réonse finale s( ) ) varie suivan la valeur du faceur d amorissemen z : si z<<, l amorissemen es faible, les oscillaions son mal amories, le ems de réonse es grand, si z=,69 le sysème résene un déassemen faible, égal à 5 %, avec le ems de réonse le lus faible, si z= le sysème ne résene as de déassemen au sens mahémaique, il ne corresond as au minimum absolu du ems de réonse, il s agi ceendan du sysème sans déassemen le lus raide, si z>> il n y a as de déassemen, mais le sysème es hyer amori, donc le ems de réonse es grand. Tems de réonse rédui r 5%.. Il n y a as d exression simle our déerminer la valeur exace de r 5%. Un abaque (voir ci-dessous) donne la valeur du ems de réonse rédui, r5 %., en foncion du faceur d amorissemen z. NB : e ems de réonse rédui n'a as d'unié conrairemen au ems de réonse valeurs à connaîre : our z, 69 on a r5%. 3 3 r5% our z on a r5%. 5 r 5% 5 On remarque que our un faceur d amorissemen consan, le ems de réonse rédui r5 %. es consan. Par conséquen, our un même z, lus, lus r 5% e donc lus le sysème es raide. Déassemen absolu D k e déassemen relaif D k% (cas z<). On défini le déassemen absolu d ordre k ar : Dk s( k ) s( ) On défini le déassemen relaif Dk d ordre k ar : Dk%. s( ) es déassemens relaifs ne déenden que du faceur d amorissemen z. On uilise le lus souven un abaque (voir ci-conre) our les déerminer. 5 NB :,5 5% NB : our z, 69, on remarque un seul déassemen visible à l œil c'es-à-dire >% (qui vau 5%). NB3 : our z, 8, il exise des déassemens mais qui ne son as visibles à l œil (ils son inférieurs à %). MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page 7/3 NB : Calcul à ire indicaif des 3 yes de réonses emorelles (les résulas ne son as à connaîre, la méhode oui ) Cas : z>, le dénominaeur ossède 3 racines réelles simles : le sysème es hyer amori (réonse aériodique) Noons ces 3 racines a, a e a. On a a e a/. z z NB : ôles négaifs ou nul donc sorie sable (ne diverge as) (cf age 8) K Ec A A A Donc S() a a a a K Ec K Ec K Ec K Ec K Ec Avec A KE c ; A e A a.a a a a z.a a aa z.a a. a. KEc. e e a réonse emorelle a donc our exression : s() KEc.u( ) a a z En osan a e a KE s() KE c où e son des consanes de ems c.e.e.u() Cas : z=, le dénominaeur ossède racine réelle double e racine réelle simle : réonse criique. Noons ces racines a e b. On a a e b z. NB : ôles négaifs ou nul donc sorie sable (ne diverge as) K Ec A B C KE c KE c KEc (cf age 8) Donc S().. a réonse emorelle a our exression : s() KEc KEc.e KEc...e.u( ) Cas 3 : z<, le dénominaeur ossède racines comlexes conjuguées e racine réelle simle : le sysème es oscillaoire (réonse seudo-ériodique). Noons ces 3 racines a, e. On a a e NB : arie réelle négaive ou nulle /. z j z donc sorie sable (ne diverge as) (cf age 8) Posons / c j. d avec c z. e d. z (NB : c d ) K Ec A D. E S () se décomose sous la forme : S(). ( c) d ( c) d avec K Ec A ; c d En remarquan que K Ec D ; c d K E c E d c D. E D.( c) D.c E ( c) D.c E d D.. d ( c) d ( c) d ( c) d ( c) d c. D.c E c. a réonse dans le domaine emorel s écri donc : s() A D.cos(d.).e.sin(d.).e.u( ) d z z. z. En réinjecan c, d, A, D e E : s() KEc. e cos z. e sin z..u( ) z En osan cos z e s() KE c. e z. z.c z Rael our déerminer D e E (cf. age 8) mulilier ar (-c) +d faire endre vers c+j.d idenifier les aries réelles e imaginaires.cos z. z.sin sin z e en uilisan sin( a b) sina.cosb cosa.sin b z..u() MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page 8/3 z. e a réonse emorelle s écri : s() KEc. sin z..u( ) z Noions de ulsaion amorie a e de seudo-ériode T a (cas z<). a réonse résene des oscillaions amories don la ulsaion amorie (en rad/s) es a z e la ériode, aelée seudo-ériode (en s), es : Ta. Rael : relaion enre fréquence f (ou N) a ériode T ulsaion : z f N. T NB : Ainsi (noée arfois n ) (Pulsaion rore non amorie d un sysème du ème ordre) es bien la ulsaion du sysème s il n éai as amorie (z=). Tems k lorsque les déassemens s effecuen : s'( k )= (cas z<). es déassemens son donnés our les insans k els que s' k. Soi en dérivan s() our z< : z. z. e e On a s' () KEc. z..sin z.. z.cos z..u( ) z z z. e s' () KEc... z.sin z. z.cos z..u() z Donc s' z.sin z. z.cos z. Soi en remlaçan z ar cos e z ar sin car cos z e sin z (voir age récédene). E en uilisan sin( a b) sina.cosb cosa.sin b, on obien : s' sin z. z. k. k. k. k.ta On rouve donc : k avec k enier. Ainsi les déassemens s'effecuen z a oues les demi-ériodes. Tems j lorsque s( j )=K.Ec (cas z<). s() K.Ec sin z. z. j. a. j. Ce qui nous erme d'affirmer que la durée enre = e = n'es as Ta/4. Par conre, la durée enre chaque j es bien Ta/. j j. a a j.t a a Exression des déassemens relaifs D k% si l abaque n es as donné (cas z<). k. z z.k.. z e k. e z s(k ) KEc KEc..sin z. KEc KEc..sink. z z z k En uilisan sin( a b) sina.cosb cosa.sin b sin k. cos(k. ).sin ( ). sin E en remlaçan, on obien : z ar sin car k On obien s(k ) KEc KEc.( ). e Or s( ) KEc Donc D D s( ) s( ) s( ) s( ) sin z (voir age récédene). z.k. z z.k. k k z k% e (qui ne déend que du faceur d amorissemen z) MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page 9/3 565) Aure forme de la foncion de ransfer d un ème ordre aériodique : K (.)( orsque z>, il n'y a as d'oscillaion, le dénominaeur ossède alors racines réelles. Il es alors référable S K d écrire la foncion de ransfer sous la forme : E (.)(.).) Réonse à un échelon dans le cas général. Sa réonse à un échelon se race lus facilemen e lus récisémen à l aide des consanes de ems e de la angene au oin d inflexion : K.Ec s() Aenion : On ne s inéresse donc lus à z e mais à e car dans ce cas. Réonse à un échelon dans le cas où une consane de ems es négligeable devan l aure (c'es-à-dire qu une racine es négligeable devan l aure). En renan l exression de s() de la age e en faisan l hyohèse que : s() KEc..e.e.u() Dès que l on s éloigne de l insan iniial, une exonenielle devien négligeable devan l aure a réonse emorelle a donc our exression : s() KE c. e.u( ) qui es la réonse à un échelon d un sysème du er ordre de gain saique K e de consane de ems. Par conséquen, si, la réonse emorelle à un échelon d un sysème du ème ordre hyer amori K modélisé ar es équivalene à la réonse emorelle à un échelon d un sysème du er (.)(.) K ordre modélisé ar.. MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page 3/3 57) Idenificaion à un modèle (à l aide d un grahique emorel). 57) Modéliser our révoir le comoremen. Dans les maières scienifiques (mahémaique, hysique, SII ), Pour éudier, comrendre, révoir le comoremen d un sysème, il es nécessaire de disoser d une modélisaion. Cee modélisaion eu-êre mise en lace : - soi à arir de nos connaissances (équaions différenielles) arce que le sysème es simle, - soi à arir d essais si nous disosons du sysème. On arle alors d idenificaion d un modèle. 57) Exérimener our ouvoir idenifier. es sysèmes réels éudiés ne son as oujours modélisables à arir de nos connaissances. Pour rooser, malgré ou, une modélisaion (ayan un comoremen enrées-sories aussi voisin que ossible de celui du sysème réel concre), on réalise alors une exérimenaion. On enregisre la réonse du sysème à une solliciaion simle (souven un échelon) e on essaye de sueroser, à la courbe exérimenale obenue, une courbe héorique corresondan à des foncions de ransfer connues. s() héorique Ec e() s() exérimenal 573) Choix du modèle : er ou ème ordre? Es-ce que la courbe exérimenale comore des oscillaions? non Es-ce que la angene à l origine comore une ene nulle? oui non oui Choisir un modèle du er ordre Choisir un modèle du ème ordre aériodique z> Choisir un modèle du ème ordre oscillan z< 574) Idenificaion à un modèle du er ordre : MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8// S E K. a réonse d un sysème à un échelon d amliude Ec a éé enregisrée ci-dessous : K.Ec,95K.Ec s() e gain saique K es obenu à arir du relevé de la valeur finale : s( ) K. Ec. a consane de ems es obenue à arir du relevé du ems mis our aeindre,63.k.ec (=) ou : soi ar le ems mis our aeindre,95.k.ec (ems de réonse r 5% =3.), soi ar l inersecion de la angene à l origine avec l asymoe finale, soi à arir d une angene quelconque à la courbe (voir ci-conre).

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page 3/3 575) Idenificaion à un modèle du ème ordre aériodique (z>) : K S E (. )(. ) s() K.Ec a réonse d un sysème à un échelon d amliude Ec a éé enregisrée ci-conre. Nous consaons une réonse aériodique avec une ene à l origine nulle e aucun déassemen. e gain saique K es obenu à arir du relevé de la valeur finale : s( ) K. Ec. Aenion : On ne cherche as z e mais e car dans ce cas. es consanes de ems son obenues en uilisan une méhode arochée à arir du racé de la angene au oin d inflexion. es inersecions de cee angene avec l axe des abscisses e l asymoe horizonale donnen e. K.Ec 576) Idenificaion à un modèle du ème ordre oscillan (<z<) : s() D Ta/4 (voir cours age ) K z S E a réonse d un sysème à un échelon d amliude Ec a éé enregisrée ci-conre. e gain saique K es obenu à arir du relevé de la valeur finale. s( ) K.Ec e faceur d amorissemen es obenu à arir du relevé du er déassemen. On uilise alors : z.k. D k s( k ) s( ) soi la formule des déassemens relaifs : D z k% e s( ) s( ) On uilise cee formule our idenifier z à l aide du er déassemen (k=) : D z % e z. z z. D% e lnd% lnd%.( z ) z. lnd% z. lnd% z On obien : z % lnd lnd r 5% avec % soi l abaque des déassemens relaifs. Bande des +/- 5% Ta/ Ta 3.Ta/.Ta D D %. s z. On eu vérifier que lorsque le er déassemen vau 5%, alors z=,69 a ulsaion rore es obenue à arir du relevé de la seudo-ériode ou du ems de réonse. On uilise alors : soi la formule de la seudo-ériode (à arir du relevé de Ta) : Ta, a z soi l abaque du ems de réonse rédui (à arir du relevé de r 5% ). MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//

Cours - Sysèmes linéaires coninus e invarians Page 3/3 577) Idenificaion à une somme de foncions de ransfer connues. A la vue de l allure de la réonse indicielle consaée, on cherchera à décomoser la réonse indicielle observée en une somme de réonses yiques élémenaires. Exemle : = + Réonse indicielle du sysème On eu remarquer que, our suffisammen grand, le sysème es inégraeur. a décomosiion ci-dessus vien naurellemen à l esri. D où le modèle, ayan le même comoremen que le sysème, es : Enrée e() K K. Sorie s() Arès avoir idenifié, il es nécessaire de racer la réonse héorique our vérifier qu elle modélise correcemen la réonse exérimenale MPSI-PCSI Sciences Indusrielles our l Ingénieur 8//