EVALUATION DES OPTIONS NEGOCIABLES PAR L'INTERPOLATION DES ARBRES DE PRIX

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1 EVALUATION DE OPTION NEGOIABLE PAR L'INTERPOLATION DE ARBRE DE PRIX Jan-lau AUGRO, Profssur Michaël MORENO, Allocaair-Moniur Insiu cinc Financièr Assurancs Univrsié lau Brnar Lyon REUME La valur 'un oion négociabl s un foncion convx u rix l'acif risqué sous-jacn. Ls méhos ar arbr rix inrolés rmn ranscrir la convxié u rix s oions n foncion la valur u rix l'acif sous-jacn. s arochs corrsonn n fai à s méhos raiionnlls. ous crains coniions, ls oions à barrièr ls oions énan lusiurs acifs uvn aussi êr évalués slon cs arochs. ABTRAT On can show ha h ric of an oion is a convx funcion of h unrlying. Using his rincil, w rly an inrolaing aroach o mor classical mho in h ricing of oion. Thn w xn h mho o h roblm of barrir an muli-ass oions. Mos clés : Arbr, inrolaion, oion, oion xoiqu. Kywors : Tr, inrolaion, oion, xoic oion. Un oion brmua acha (rs. vn) sur acion - call (rs. u) - onn l roi à son énur achr (rs. vnr) un acion sous-jacn, à un a, armi lusiurs ossibls, our un rix xrcic onné, fixés lors la créaion u conra. Lorsqu c roi n u êr xrcé qu'à l'échéanc, l oion s qualifié uroénn. Lorsqu l conra u êr xrcé à ou insan uran sa uré vi, l oion s i américain. Bin qu cs ux ys 'oion aarinnn à la class s oions brmua (l rm mi-alaniqu s arfois uilisé), il s usag résrvr c allaion aux oions on ls ossibiliés xrcic son limiés à qulqus as, c s à ir aux oions qui n son ni uroénns, ni américains. Ls auurs rmrcin Jan Brhon our ss commnairs juiciux. Ls rrurs rsans évnulls rlèvn cnan la sul rsonsabilié s auurs. BULLETIN FRANÇAI D ATUARIAT, Vol., N 3, 998,. -5

2 J.. AUGRO & M. MORENO En l absnc coû ransacion, l xrcic un call rvin à rcvoir un flux ou ayoff égal à la ifférnc nr l rix l acion à l insan consiéré, *, l rix xrcic K. Pour un a xrcic auorisé, l énur u roi, suosé raionnl, u n as avoir inérê à xrcr son conra. Ainsi, lorsqu * < K, l conra s éin ; il n ngnr aucun ayoff. Lors l xrcic u conra, la foncion g call s flux ossibls, éfini sur la mi-roi IR, s égal à (* K). ous ls mêms hyohèss, la foncion g u s flux ossibls 'un u s égal à (K *). La formul évaluaion Black chols (B - 973) concrn rincialmn ls oions uroénns. Dès lors qu ls ossibiliés xrcic l oion son énus, c formul ou ss xnsions n son généralmn lus alicabls l rcours aux méhos numériqus iscrès vin nécssair. Boyl (977) a éé l rmir à rcourir à un mého simulaions Mon arlo our évalur un oion uroénn. aroch vai êr énu lus ar, ar Barraquan Marinau (995), à l évaluaion s oions inégran un ossibilié xrcic anicié. Par aillurs, ès 979, ox, Ross Rubinsin (RR) on évloé un mého ar arborscnc rman évalur nombrux ys oion, noammn clls ouvan êr xrcés ar aniciaion. chwarz (977) a éé, our sa ar, l iniiaur s méhos résoluion numériqu l équaion aux érivés arills (EDP) régissan la valur un acif coningn. s rnièrs méhos son aréciabls our lur caacié à inégrr s ivins cash à fournir imlicimn ls rinciaux aramèrs nécssairs à la gsion cs acifs. En 993, Hull Whi vain, nfin, éablir l lin nr ls méhos rosan sur un arbr rinomial la mého résoluion un l E.D.P. à l ai un schéma xlici. aricl a our objcif monrr qu, sous crains hyohèss, un oion u êr facilmn évalué à l ai un siml inrolaion. L rinci la mého roosé ros à la fois sur l calcul l séranc la valur l oion sur la ossibilié rrésnr localmn la foncion convx u rix l'oion n foncion u rix u sous-jacn ar un courb (oion sur un acion), ou ar un surfac (oion sur lusiurs acions). L aricl s organisé la manièr suivan : ans un rmir ms, l lin nr l moèl binomial classiqu l inrolaion linéair s éabli. Dans un scon ms, l moèl rinomial s raaché à un inrolaion araboliqu. L rinci l inrolaion s nsui énu au car s oions xoiqus à barrièr à clui s oions rosan

3 EVALUATION DE OPTION NEGOIABLE PAR L'INTERPOLATION DE ARBRE DE PRIX 3 sur lusiurs acifs risqués à rnmns inénans. Plusiurs résulas numériqus son nfin roosés our illusrr la convrgnc la mého. I. LE MODELE BINOMIAL La mého 'évaluaion roosé ros sur l'hyohès qu la valur un oion s localmn assimilabl à un foncion linéair la valur u sous-jacn. La aricularié la mého s qu l calcul s robabiliés ransiion n's as nécssair. Par la sui l'aroch ar inrolaion s rlié à l un s arochs binomials classiqus. A. LE HYPOTHEE DU MODELE oi à évalur un oion sur un acion coé. Ls hyohèss u moèl son ls suivans : H : L marché s suosé coml sans fricion ; H : L'inrvall gsion [0; τ] s écomosé n N érios longuur iniqu égal à. Ls ransacions n uvn avoir liu insananémn qu'aux as : i i ; avc i0,.,n ; H3 : H4 : L aux inérê coninu sans risqu r, xrimé n bas annull, s suosé consan ; En ms coninu ans l univrs risqu nur, l rocssus iffusion l'acif risqué s écri ar l'e.d.. suivan : r σw où : ésign l rix l'acion à l'insan ; σ, la volailié suosé consan u rnmn l'acion ; W, un brownin sanar ; H5 : En ms iscr, l rix l acif évolu, au cours chaqu ério, slon ux nancs, à la hauss, auqul cas il s mulilié ar l cofficin u, ou à la baiss, auqul cas il s mulilié ar l cofficin, avc u u. r r σ

4 4 J.. AUGRO & M. MORENO L évoluion binomial u rix so l acif sous-jacn u alors êr rrésné au cours la rmièr ério ar l schéma suivan : r 0 σ u 0 r 0 σ Nous noons : r F, u rσ F.u rσ F. L rix 'xrcic la maurié l'oion son rscivmn noés K τ. B. EVALUATION DE L OPTION A résn, il s suosé qu la foncion u rix l'oion u êr localmn inifié à un foncion linéair la valur u sous-jacn. L rinci l inrolaion s illusré ans l car un call uroén. oin u, ls valurs u call ans l'arbr our un nœu èr un insan onnés corrsonan rscivmn à la valur l'acion u. Par cs ux oins, il n u assr qu'un sul roi noé f. L hyohès réalisé ci-ssus rm rnir comm valur l oion au nœu èr la valur acualisé la roi au oin.

5 EVALUATION DE OPTION NEGOIABLE PAR L'INTERPOLATION DE ARBRE DE PRIX 5. ETIMATION DE OEFFIIENT DE LA DROITE oin a b ux réls. L équaion la roi f u s'écrir sous la form : f () a b Par hyohès, la roi f ass ar ls ux oins ( ; ) ( u ; u ). Ls cofficins a b son obnus arès résoluion u sysèm suivan : a F b u a F u b Afin simlifir ls écriurs, l changmn variabls suivan s inroui : a a F b b La résoluion u sysèm conui à : a' u u b' a'.. EVALUATION DE L OPTION L'écriur formll l hyohès inrolaion s : [ ] r E f ( ) () f éan un roi, sa érivé scon ainsi qu ss suivans son nulls. L évlomn Taylor f s onc : E un siml calcul conui à : f f ( ) f ( ) ( ) f '( ) a' r ( ) b' f ' ( ) a' r

6 6 J.. AUGRO & M. MORENO En conséqunc, l calcul l'séranc s ossibl sans connaîr xlicimn ls robabiliés ransiion. Il vin : E [ r f ( ) ] [ ( ) ( ) f '( ) ] r E f { f ( ) E[ ] f '( )} r r a' b' r r a' b' r ( r ) ( r ) a' r a' r E onc, E [ r f ( ) ] r ( a' b' ) () La érivé arill u rix l'oion ar raor au sous-jacn, δ, s un onné nécssair à un bonn gsion u ir. La n la roi, a, corrson à la érivé f ar raor au sous-jacn. Ell ourra onc srvir 'simaur our l δ l'oion.. LE MODELE BINOMIAL LAIQUE ADAPTE A résn, nous inrouisons un moèl binomial équivaln à clui RR (979) on la ruv la convrgnc mahémaiqu s roosé n annx A. En rrnan ls hyohèss H à H5 n consiuan un orfuill arbirag, on u éuir la robabilié q hauss l acif risqué ans l univrs risqu nur : q. u èr : L absnc oorunié arbirag rm obnir la valur u call au nœu r ( q ( q) ) u (3) D. OMPARAION DE DEUX MODELE BINOMIAUX Ean onné qu ls ux moèls ngnrn ls mêms éas la naur ossibls our la valur u sous-jacn, ls mêms foncions ayoff son réalisés. En

7 EVALUATION DE OPTION NEGOIABLE PAR L'INTERPOLATION DE ARBRE DE PRIX 7 conséqunc, il suffi consiérr un nœu qulconqu l arbr comarr la ifférnc nr ls ux valurs u nœu èr. Pour c raison, c ifférnc s éabli sous l hyohès un univrs monoérioiqu. On inic ar B la valur u nœu èr u au moèl binomial aaé ar L cll u moèl ar inrolaion linéair. La ifférnc caialisé s équaions () (3) s écri : r ( ) q ( q) ( a' b' ) B qu qu L u ( q) u u u u u u ( q) u 0 Numériqumn, aucun ifférnc n xis nr ls ux moèls. Ls moèls binomial aaé ar inrolaion linéair son équivalns. II. LE MODELE TRINOMIAL La mého ar inrolaion s énu au cas 'un arbr rinomial. fois, on osul qu localmn, la foncion u rix l'oion u êr aroché ar un arabol. omm récémmn, la mého s rlié à cll uilisan un arbr rinomial classiqu. Ls hyohèss H à H4 son rriss. L hyohès H5, aaé au moèl rinomial, s rformulé comm sui : H5 : Au cours chaqu ério, l rix so l acif évolu slon rois nancs, à la hauss, auqul cas il s mulilié ar l cofficin u, à la baiss, auqul cas il r s mulilié ar l cofficin r ou bin il s mulilié ar. r A. HEMA D EVOLUTION DU PRIX DU OU-JAENT L évoluion rinomial l acif sous-jacn u êr rrésné au cours la rmièr ério ar l schéma suivan :

8 8 J.. AUGRO & M. MORENO rλσ 0 u 0 r 0 m rλσ 0 Avc : u λσ,, λ un rél, u u rλσ r F.u, m F rλσ F. B. L'INDUTION ARRIERE fois, il s suosé qu la foncion u rix l'oion u êr localmn inifié à un foncion araboliqu la valur u sous-jacn. L rinci l inrolaion s illusré ans l car un call uroén. oin u, m, ls valurs u call ans l'arbr our un nœu èr un insan onnés corrsonan rscivmn à la valur l'acion u,. Par cs rois oins, il n u assr qu'un sul arabol noé f. L hyohès réalisé ci-ssus rm rnir comm valur l oion au nœu èr la valur acualisé la arabol au oin.

9 EVALUATION DE OPTION NEGOIABLE PAR L'INTERPOLATION DE ARBRE DE PRIX 9. ETIMATION DE OEFFIIENT DE LA PARABOLE oin a,b c rois réls. L'équaion la arabol f u s mr sous la form : f () a² b c La arabol assan ar ls rois oins (F ; ), (F; m ) (F u ; u ), ss cofficins son obnus n résolvan l sysèm suivan : a F ² b F c m a F² b F c u a F u ² b F u c Afin simlifir ls calculs, l changmn variabls suivan s inroui : a' a F² b' b F c' c E, la résoluion u sysèm conui à : ( ) a' u m ² u b' ( u² ) u a' u m c' m a' b' f éan un arabol, la érivé roisièm ainsi qu ss suivans son nulls. L évlomn Taylor f s : f ( ) f ( ) ( ) f '( ) ( ) f ''( ) Un légr calcul rm 'xrimr la foncion f ss érivés noammn n foncion s cofficins a', b' c' : f a' b' r r ( ) c' f ' ( ) r f '' ( ) r r a' b' a'

10 0 J.. AUGRO & M. MORENO L calcul l'séranc s mainnan ossibl, il vin : [ ] r E f ( ) r E f ( ) ( ) f '( ) ( ) f ''( ) r f ( ) E[ ] f '( ) E ( ) ( ) [ ] ( ) f '' a' b' r a' b' c' r r r r r ( rσ² r a' ) r r a' b' r a' b' rσ² r c' ( ) ( ) r r r r oi arès arrangmns, r { a' σ² b' c' } a' r (4) Ici, ls cofficins a b calculés n nombrux oins l'arbr ourron srvir 'simaur rscivmn s snsibiliés δ γ (érivé arill scon u rix l'oion ar raor au rix u sous-jacn).. LE MODELE TRINOMIAL LAIQUE ADAPTE L choix un rrésnaion rinomial l évoluion u rix l acif risqué sous-jacn s û à Boyl (986). moèl s ici aaé à la form la iffusion u rix so l acif risqué rnu récémmn. La convrgnc l aroch s facilmn émonré à l'ai u héorèm cnral limi Linbrg (f. Annx B). L sysèm robabilié régissan la ynamiqu u rix l acif risqué ans l univrs risqu nur s : Rsc l'séranc : F u F 3 F F ; Rsc u momn 'orr : F² u² F² 3 F² ² F² σ² ; omm s robabiliés égal à. La résoluion u sysèm conui à :

11 EVALUATION DE OPTION NEGOIABLE PAR L'INTERPOLATION DE ARBRE DE PRIX - - 3, ( ) 3 ( ) u ² ² 3 σ La valur u call au nœu èr s obnu ar l acualisaion s flux sérés : ( ) 3 m u r (5) D. OMPARAION DE DEUX MODELE TRINOMIAUX fois ncor, éan onné qu ls ux moèls ngnrn ls mêms valurs u sous-jacn ans ls ifférns éas la naur ossibls, il suffi s lacr à un nœu qulconqu l arbr comarr la ifférnc nr ls ux valurs u nœu èr. Afin simlifir l roblèm, un moèl monoérioiqu s consiéré. La ifférnc nr ls ux moèls s ramné au calcul l'écar caialisé nr ls équaions (4) (5). La valur u rix u call au nœu èr u moèl rinomial classiqu s réré ar l inic T clui u moèl araboliqu ar P. ( ) σ c' b' a' 3 m u P T r σ m 3 m u a' ( ) σ σ σ u ² u ² u ² m u 3 m u 0 L consa s l mêm qu our l moèl binomial : ls ux moèls rinomiaux son équivalns. La mého ar inrolaion roosé n nécssi as xlicimn l calcul s robabiliés. Ls lins éablis avc ls méhos ar arbr classiqus révèln l inérê c mého.

12 J.. AUGRO & M. MORENO III. EXTENION AUX OPTION EXOTIQUE La mého numériqu roosé n's as rsrin au siml cas 'oion brmua. Dux xnsions ans l car s oions xoiqus son imméias. L rocéé ar inrolaion u, ar xml, êr énu aux oions à barrièr aux oions à lusiurs acifs risqués on la maric s variancs - covariancs s rnmns s iagonal. A. OPTION A BARRIERE omm l soulignn Boyl Lau (994), un uilisaion "naïv" u moèl binomial RR u conuir à 'imorans rrurs ans l évaluaion s oions à barrièr. Richkn (995) uis huk Vors (996) on roosé mr à rofi la soulss u moèl rinomial Boyl our aorr un soluion à l évaluaion cs oions. Lurs méhos consisn à fair coïncir l'un s nivaux rix l'acif risqué avc la valur la barrièr. L'arbr 'évoluion ainsi consrui rm rscr la isribuion mahémaiqu u rix l'oion. L'aroch ar inrolaion binomial 3 u êr uilmn aaé à l évaluaion s oions à barrièr. La foncion u rix l'oion ar raor au rix l'acif risqué n's lus forcémn convx comm l monr l grahiqu ci-ssous ans l cas 'un call y u & ou. Ell rs oufois arochabl localmn ar un foncion linéair Prix 'un call u & ou n foncion u rix l'acion Prix l'acion avc : K90 ; r 5% ; τ an ; σ 5 % ; Barrièr 0. Afin 'illusrr la moificaion nécssair à c y évaluaion, un univrs monoérioiqu s consiéré. L cas un call own an ou s rnu our la résnaion la mého.

13 EVALUATION DE OPTION NEGOIABLE PAR L'INTERPOLATION DE ARBRE DE PRIX 3 L grahiqu suivan monr qu'un uilisaion "naïv" la mého ar inrolaion u formn biaisr l rix l'oion. A l'insar u moèl RR, l'hyohès 'inrolaion linéair aliqué à l'évaluaion 'un oion à barrièr ngnr un sursimaion u rix l'oion. En fai, au voisinag la barrièr, l rix l'oion n vrai as êr simé ar un siml foncion linéair f comm récémmn. Un foncion coninu linéair ar morcaux f smbl lus arorié. Où la valur la barrièr s noé B l rba R. Ainsi, il suffi rmlacr la foncion f ar la foncion f qu l'on calcul aisémn slon l rocéé éjà uilisé our ls arbrs binomial rinomial our réuir snsiblmn l biais ans l'évaluaion l'oion. oin a b ux réls. f s la form : f () a b si >B f () R si B. ul la ari f éfini sur la mi-roi > B nécssi un simaion. Un rai calcul, iniqu à cux mis n œuvr récémmn, rm 'obnir ls valurs R a b : a u b R ab. B Fu

14 4 J.. AUGRO & M. MORENO A l'ai 'un évlomn Taylor à l'orr ar acualisaion la valur la foncion f, il vin : r { af b} La mis n œuvr u moèl muliérioiqu imliqu la conjugaison l'aroch linéair rimair lorsqu, our un schéma binomial onné, l rix l'acif n franchi as la barrièr, l'aaaion roosé, lorsqu l rix l'acif franchi la barrièr( n annx, un xml 'évoluion s arbrs rix l'acif sous-jacn u call s évloé). Il u êr monré qu localmn la volailié u rnmn u rix l'acif, résulan c inrolaion, n's lus alors n aéquaion avc la volailié u rnmn n coninu. Mais, l légr biais inroui s numériqumn négligabl. En ff, our ls moèls binomiaux RR ou aaé, la varianc u rnmn inrinsèqu aux moèls n rscn as la varianc u rnmn n ms coninu u rocssus l'acif. Il y a convrgnc la varianc u rocssus iscr vrs la varianc u rocssus coninu. D la sor, l biais inroui n éfavoris as sysémaiqumn l'évaluaion lus, il s'som avc l'augmnaion u nombr érios. Ainsi, lorsqu l nombr érios n vrs l'infini, la isribuion mahémaiqu u rix l'acif risqué s rscé. B. OPTION DEPENDANT DE PLUIEUR ATIF RIQUE L'aroch ar inrolaion u êr énu au cas 'un oion à lusiurs acifs risqués on ls rnmns son inénans. nan, l rinci la mého s résné ans l cas un oion n rosan qu sur ux acifs. Ls hyohèss H à H3 son rriss. Dans l'univrs risqu nur, ls rocssus iffusion s acifs T son rscivmn ls suivans : r σ W (6) Où : T T r T σ V T (rs. T ) s l rix l'acion (rs. ) à l'insan ; σ (rs. σ T )s la volailié u rnmn l'acion (rs. ) ;

15 EVALUATION DE OPTION NEGOIABLE PAR L'INTERPOLATION DE ARBRE DE PRIX 5 W (rs. V ) s un brownin sanar ror à l'acion (rs. ) ; W V son suosés inénans. L évoluion u rix s acifs risqués s rrésné ar s rocssus binomiaux orhogonaux iniqus à clui u moèl binomial linéair. En conséqunc, l évoluion u rix l'oion u êr rrésné ar un arbr quarinomial riimnsionnl. On no : σ u σ ut T. T Ls valurs corrsonans l oion son : Hauss acion T uu u u Baiss acion Tanis qu ans ls cas récéns, un courb suffisai our arochr l rix l'oion, un surfac vin ici nécssair 4. Il s ossibl choisir un surfac 'équaion f ayan la form suivan : (,T) at b ct f L calcul u rix l'oion s'ffcu ar clui l'séranc la foncion f acualisé. Arès calcul, il vin (f. annx D) : [,T ] ( ) a' r r E f (,T ) r b' c' ' (7) r r

16 6 J.. AUGRO & M. MORENO Où ls cofficins a, b, c son onnés ar : a' uu u u b' { u uu a' ( ut uut )} ( u )( u ) u T T u uu ' c' a' u uu a' uut b' u c' ut ( T ut ) IV. APPLIATION NUMERIQUE Dans c rnièr scion, ls méhos évaluaion roosés son miss n œuvr. La convrgnc numériqu s arochs linéairs araboliqus s illusré ans l cas 'un oion uroénn. Puis, la convrgnc numériqu s xnsions la mého ar inrolaion aux cas s oions à barrièr à clui s oions à ux acifs risqués s illusré ans l car 'un call own & ou 'un call sur maximum ux acifs. Donnés iniials : all ; 00 ; K 00 ; σ : 5 % ; r : 5 % ; τ : an ; λ 3 /

17 EVALUATION DE OPTION NEGOIABLE PAR L'INTERPOLATION DE ARBRE DE PRIX 7 onvrgnc s rix u call obnus ar ls moèls inr olés vrs l rix B Prix u call Nombr érios m oèl linéair moèl araboliqu B Dans c rmir grahiqu, ls oscillaions yiqus s moèls binomiaux la convrgnc lus lissé s moèls rinomiaux son rouvés. Ls rrurs rlaivs s ux arochs son comarabls à clls obnus ar ls moèls originaux RR Boyl.

18 8 J.. AUGRO & M. MORENO Donnés iniials : all own & ou ; K 00 ; σ 0% ; B 90 ; r 5% ; τ an ; R 0. Prix u call own & ou n foncion u m o è l lin é a ir a a é 8.7 Prix u call Nom br érios Linéair inrolé Mron L biais local inroui sur la volailié u rnmn l'acif risqué n'a quasimn aucun incinc sur la valur l'oion. En rvanch, l gain résulan l'aaaion la mého aux oions à barrièr s consiérabl ar raor aux moèls binomiaux classiqus. Dans l'xml raié, l'rrur rlaiv s infériur à 0,5 % our un nombr érios suériurs à 00 anis qu our l moèl RR s ics 'rrurs rlaivs suériurs à 0 % son obnus mêm our un nombr érios 0 fois suériur. Un éu oran sur l'rrur rlaiv ngnré ar ls moèls binomiaux ar inrolaion RR, a rmis rlvr un rrur moynn nviron 0 fois infériur our la mého ar inrolaion ar raor à cll RR. Donnés iniials : all sur maximum sur acifs ; : 00 ; σ : 5 % ; T : 95 ; σ T : 30 % ; K 00 ; r : 5 % τ an

19 EVALUATION DE OPTION NEGOIABLE PAR L'INTERPOLATION DE ARBRE DE PRIX 9 Prix onvrgnc u rix u moèl quarinomial inrolé vrs l rix ulz Nombr érios Arbr Inrolé ulz L'xml sur un call sur maximum ux acifs monr bin qu localmn la foncion u rix u call u êr aroché ar un surfac la form f,t at b ct. Ls résulas obnus son comarabls aux méhos lus ( ) classiqus comm cll Boyl, Evnin Gibbs (989). D'aurs ss on éé réalisés avc s arbrs hxanomial nonomial rman miux rnr n com la convxié la foncion (ans l car 'oion sur maximum) ar l'inrméiair rms n ², T² Malgré la iminuion l'rrur rlaiv commis, ls ms calculs n jusifin as 'alourir l'aroch. ONLUION omm nous l avons émonré, ls arochs ar arbr rix inrolés corrsonn à s méhos raiionnlls. s méhos rmn ranscrir la convxié u rix s oions n foncion la valur u rix l'acif sous-jacn. ous crains coniions, ls oions à barrièr ls oions coningns à lusiurs acifs risqués uvn êr évalués ar c aroch. Un xnsion imméia aux oions à barrièr ousi aurai aussi u êr roosé. nan, c mého n u êr aliqué qu'avc un xrêm récauion. Ls lins éablis avc ls arochs raiionnlls rouvn qu ls cofficins mulilicaifs hauss baiss u rix l'acif risqué n'on as éé arbirairmn choisis. Ils corrsonn aux cofficins qui assurn la convrgnc mahémaiqu u rix l'oion. ANNEXE Annx A : onvrgnc u moèl binomial classiqu aaé La ruv la convrgnc u moèl binomial aaé u êr obnu la mêm manièr qu our l moèl binomial RR. La ruv aoré ici n's onc qu

20 0 J.. AUGRO & M. MORENO arill a our bu monrr qu l moèl aaé vérifi ls conrains suffisans s héorèms mis n œuvr ar RR our émonrr la convrgnc n loi u moèl vrs clui B. oi * un valur l'acif risqué au bou n érios. A l'insar u moèl RR, il s aisé vérifir qu l moèl aaé vérifi : * u E log qlog log n µ ˆn * Varlog q u ( q) log n σˆ n Où q ésign la robabilié hauss l acif risqué ans l univrs risqu nur. Pour qu la convrgnc soi assuré, il s nécssair qu : u q log log n µ lorsqu n. u q ( ) q log n σ où µ ésign l rnmn l'acif risqué. A l'ai évlomns limiés, on vérifi qu ls aramèrs : u rσ rσ q σ 4 rmn 'obnir our ou n : µ ˆ n µ ˆ n σ σ σ 4 n E ar conséqun, lim ˆ µ n µ lim ˆ σ n σ. Rmarquons oufois qu n n l nombr érios iscréisaion l'inrvall gsion oi êr suffisammn gran our assurr l'xisnc la robabilié q (q oi êr sricmn comris nr 0 ). D là, on u aliqur l'un s vrsions u héorèm cnral limi ralé ar RR qui rm 'assurr la convrgnc suivan lorsqu n :

21 EVALUATION DE OPTION NEGOIABLE PAR L'INTERPOLATION DE ARBRE DE PRIX * log µ ˆn Prob z N z σˆ n Par aillurs, lorsqu n, il s facil vérifir qu la robabilié q n vrs / onc aucun hénomèn 'absorion n'n résul. Enfin, ls aurs résulas nécssairs à la émonsraion la convrgnc u énn sécifiqumn u raor u moèl RR. Or clui-ci s égal au raor () u u moèl aaé. L'nsmbl cs résulas rmn 'assurr la convrgnc l'aroch vrs l moèl Black chols comm l'on monré RR. Annx B : onvrgnc u moèl rinomial aaé héorèm a noammn éé uilisé ar Tian (993) ans l car moèls binomial rinomial 'évaluaion 'acif oionnl. Nous n rrnons la résnaion. Ls coniions u héorèm cnral limi Linbrg, aliqués à un moèl rinomial, son : Ls robabiliés, 3 aarinnn à l'inrvall ouvr ] 0; [ n convrgn as vrs ss bors lorsqu n ; La somm s robabiliés vau ; Ls cofficins mulilicaifs u, m hauss, nanc moynn baiss son inénans u nivau u rix l'acif ; La moynn la isribuion rinomial s égal à la moynn la isribuion lognormal ; La varianc la isribuion rinomial s égal à la varianc la isribuion lognormal. Mahémaiqumn, cs hyohèss uvn êr rsrins aux coniions : 3 ; ε > 0, n IN, ε <, < ε u m 3 M, 3

22 u² m² 3² M² V J.. AUGRO & M. MORENO où u, m son s consans, r M σ V. L'alicaion irc c héorèm assur la convrgnc l'aroch rinomial aaé. Annx : Alicaion numériqu u moèl binomial au cas 'un call own & ou L moèl linéair s ici aliqué au cas 'un call own & ou avc ls onnés iniials suivans : K 00 ; σ 0% ; B 90 ; r 5% ; τ an ; R 0 ; Nombr érios : 7. Arbr 'évoluion u rix l'acif risqué

23 EVALUATION DE OPTION NEGOIABLE PAR L'INTERPOLATION DE ARBRE DE PRIX 3 Arbr 'évoluion u rix u call own & ou Annx D : alcul l'séranc l'oion énan ux acifs La foncion f inrolaion roosé s un surfac u y : (,T) at b ct f L'hyohès 'inrolaion rm 'évalur ls cofficins a, b, c ar l'inrméiair u sysèm suivan : at r u u b r u ct r uu T ut at r u b r ct r u T ut at r u b r u ct r u T T at r b r ct r T T Afin simlifir ls équaions, l changmn variabl suivan s inroui : r a' at, r b' b, r c' ct '

24 4 J.. AUGRO & M. MORENO La résoluion u sysèm aboui aux valurs a, b, c suivans : a' uu u u b' { u uu a' ( ut uut )} ( u )( u ) u T T u uu ' c' a'u uu a' uut b' u c' ut ( T ut ) Tous ls érivés gré 3 la foncion f son nulls. D c fai, à l'ai u évlomn Taylor, il vin : f (,T ) a T b ct f (,T ) ( ) f (,T ) ( T T ) f (, T ) T TT ( ) f (,T ) ( T T ) f (,T ) ( )( T T ) f (, T ) Un rai calcul conui à : f a' b' c' r r r (,T ) ' f ft a' b' r r ft (,T ) T a' r T (,T ) f (,T ) 0 a' c' r r T T (,T ) ( ) ftt,t 0 La rmoné l arbr s ffcu ar l calcul l'séranc la foncion f acualisé. Il vin : E [ r f (,T ),T ] r a' b' c' r r r ( r )( r a' ) r ' ( r ) ( ) a' b' r a' c' r r r r r a' ' r a' b' c' r r r ( )( ) r a'

25 EVALUATION DE OPTION NEGOIABLE PAR L'INTERPOLATION DE ARBRE DE PRIX 5 r a' r r ( r ) b' c' ' Un agn économiqu s suosé raionnl lorsqu il réfèr ossér lus qu ossér moins. L rmir moèl rinomial 'évaluaion 'un oion s û à Boyl n 986 (f Boyl 88). L aramèr λ inroui ar Boyl oi êr ajusé sor à c qu ls rois robabiliés risqu nur ransiion u rix l'acif au sin l'arbr soin cohérns. Un rmièr coniion éan λ >. Ici, la coniion s moifié la valur minimal λ én noammn u aux sans risqu. 3 L'évaluaion s oions à barrièr slon l moèl rinomial u résnr un ifficulé qui u êr résolu slon ifférns rocéés, noammn n ayan rcours localmn à un inrolaion linéair. 4 lon l y 'oion énan lusiurs acifs consiéré, l rix l'oion n's as convx ar raor à chacun s acifs. Référncs bibliograhiqus AUGRO J.. MORENO M., "Evaluaion séqunill 'un acif coningn à lusiurs acifs risqués", éminair AFFI, 4 écmbr 998. AUGRO J.. MORENO M., "Evaluaion arillmn séqunill s oions à barrièr", éminair Lyon-Lausann, 3 écmbr 998. BARRAQUAND MARTINEAU, "Numrical Valuaion of High Dimnsional Mulivaria Amrican curiis", Journal of Financial an Quaniaiv Analysis, n 30, 995, BLAK F. HOLE F., "Th ricing of oions an corora Liabiliis", Journal of Poliical Economy, Vol. 8, n 3, 973, BOYLE P.P, "Oions : A Mon arlo Aroach", Journal of Financial Economics, n 4, 977, BOYLE P.P., "A Laic Framwork for Oion Pricing wih wo a Variabls", Journal of Financial an Quaniaiv Analysis, Vol 3, n, March 988, -. BOYLE P. HOON LAU., "Buming U Agains h Barrir wih h Binomial Mho", Th Journal of Drivaivs, summr 994. BOYLE P.P., EVNINE J. GIBB., "Numrical Evaluaion of Mulivaria oningn laims", Rviw of Financial uis, vol., n, 989, HEUK T. VORT T., "omlx Barrir Oions", Th Journal of Drivaivs, fall 996. OX J., RO. RUBINTEIN M., "Oion Pricing : A imlifi Aroach", Journal of Financial Economics, Vol. 7, 979,

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