VERS LA SIMULATION MULTI-ÉCHELLE D ORDRE ÉLEVÉ DES ÉCOULEMENTS CAPILLAIRES. Université de Nice Sophia-Antipolis - Inria - Lemma

Université de Nice Sophia-Antipolis - Inria - Lemma VERS LA SIMULATION MULTI-ÉCHELLE D ORDRE ÉLEVÉ DES ÉCOULEMENTS CAPILLAIRES Eléonore Gauci Rapport de stage de master de mathématiques Directeur de stage : Alain Dervieux

Université de Nice Sophia-Antipolis - Inria - Lemma Vers la simulation multi-échelle d ordre élevé des écoulements capillaires Rapport de stage de master de mathématiques Directeur de stage : Alain Dervieux Eléonore Gauci Résumé Ce mémoire rend compte de deux travaux complémentaires : tout d abord l étude numérique à l aide d une première approximation présente dans le logiciel Ananas (société Lemma) d un écoulement avec capillarité. Puis l analyse d erreur d approximation d un schéma CENO à reconstruction quadratique pour un modèle de convection-diffusion à l ordre 3 destiné à représenter une approximation plus précise que l existante. Université de Nice, le 13 juin 014

Avant-propos Pour mon mémoire de M de Mathématiques, j ai eu l opportunité d effectuer un stage à l Inria et au Lemma, sous la direction d Alain Dervieux. Présentation des institutions L INRIA est l Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique. L équipe Ecuador dans laquelle j ai effectué mon stage à Sophia Antipolis travaille en collaboration avec l équipe Gamma à Rocquencourt, avec Inria Bordeaux, l université de Montpellier et la société Lemma. Bien que la principale activité de l équipe Ecuador soit la Différenciation Automatique, l équipe est spécialiste en Mécanique des Fluides Numérique, dans les estimations d erreurs et de calculs et l utilisation des états adjoints. La société Lemma a été créée en Avril 001 en tant qu éditeur de logiciels scientifiques et compagnie de recherche et de développement. Elle comporte douze ingénieurs sur trois sites : le siège se trouve à Sophia-Antipolis et une filiale est implantée à Houston (USA). Les activités de Lemma concernent l ingénierie physique numérique des multi-matériaux et couvrent les ingénieries maritime, spatiale ainsi que la défense. La société crée des logiciels commerciaux scientifiques dans le domaine de la Mécanique des Fluides et des Structures. Son but est d éditer de nouveaux logiciels en intégrant des avancées récentes en analyse numérique et des améliorations dans les capacités de simulation. Depuis 009, Lemma propose un logiciel de simulation numérique en Mécanique des Fluides particulièrement moderne. Les points forts de Lemma résident dans les techniques numérique de modélisation de la turbulence et de maillages. Son logiciel Ananas {TM} multi/physics (CFD/CSM) a évolué en un logiciel commercial de pointe fourni par la société à des compagnies européennes ou américaines. Motivations La simulation d écoulements de fluides avec interfaces constitue un domaine de recherche à part entière et les améliorations récentes des techniques de modélisation numérique permettent de prédire des écoulements comportant une grande variété de phénomènes physiques ( capillarité, transferts thermiques, instabilité de cisaillement, atomisation de jet, ). Dans les réservoirs spatiaux par exemple de nombreux phénomènes complexes se produisent et il est difficile en particulier de prédire avec précision le mouvement de l interface liquide/gaz. Pour effectuer des simulations numériques réalistes,il est nécessaire de prendre en compte avec une grande précision les phénomènes de capillarité. Remerciements Je tiens tout particulièrement à remercier Alain Dervieux, mon directeur de stage, pour son implication et ses bons conseils, sans lesquels ce mémoire n aurait pu voir le jour. Je le remercie également pour la manière dont il m a très vite impliquée au sein de son équipe et de ses projets, me faisant participer aux diverses réunions et rencontres. Je remercie ensuite toute l équipe Ecuador avec laquelle j ai partagé tous mes midis à l Inria mes déjeuners et les diverses pauses café. Merci à Steve Wornorm, Valérie Pascual, Laurent Hascoet, Gauthier Brethes et Ala Taftaf. Je remercie également toute l équipe de la société LEMMA de Sophia Antipolis. Tout d abord je remercie son directeur Charles Leca qui m a accueillie dans ses locaux et m a mise en relation avec Alain Dervieux. Un grand merci à Olivier Allain qui m a fait découvir la modélisation informatique et m a débloqué toutes mes pannes informatiques. Je remercie enfin tous les développeurs et acteurs de la société LEMMA à Sophia Antipolis : Florence Lebleu, Damien Guégan, Géraldine Olivier, Romain Laraufie, Vincent Levasseur et Nathalie Boh. Tous m ont accordé un peu de leur temps.

Table des matières I Etude numérique d un écoulement avec capillarité 3 1 La capillarité 3 Représentation mathématique de l interface 3.1 La méthode de Level Set....................................... 3 3 Le logiciel ANANAS 4 4 Etude d une goutte oscillante 5 4.1 Solution analytique du problème.................................. 5 4. Maillage................................................ 6 4.3 Conclusion.............................................. 11 II Modèle CENO de convection-diffusion 1 5 Introduction 1 5.1 Historique............................................... 1 5. Schémas ENO/CENO........................................ 1 5.3 Discrétisation du problème continu par une approche Volumes Finis.............. 13 6 Schéma ENO reconstruction quadratique pour le modèle de l équation de la chaleur 13 6.1 Etude du problème en 1D...................................... 14 6. Position du problème en D..................................... 15 III Erreur anisotrope goal-oriented 19 7 Rappels sur les maillages basés-métrique riemannienne 19 8 Analyse d erreur 1 8.1 Concepts d estimation a priori et a posteriori........................... 1 8. Erreur et métrique optimale..................................... Références 6

Première partie Etude numérique d un écoulement avec capillarité 1 La capillarité A la différence des gaz, formés de molécules parcourant de longues distances entre deux collisions et ne présentant pas de cohésion de phase, les liquides et solides présentent une cohésion qui tend à maintenir ensemble leur molécules. Cette cohésion est d origine électrique. Bien que globalement électriquement neutre, chaque molécule présente -vu de l extérieur- des zones de polarité partielles, positives ou négatives. Un exemple facile à comprendre est celui du dipôle entre atomes de différentes électropositivités, le plus électropositif ayant tendance à attirer plus vers lui les électrons de la molécule. Chaque molécule interne à la phase est attirée par ses voisines, les forces correspondantes ayant une résultante essentiellement nulle. Sur une interface entre le liquide et un gaz, ces forces ne peuvent pas s équilibrer et la résultante est une force normale à l interface, dirigée vers la phase liquide. Plus une molécule de liquide est exposée au contact avec le gaz, plus cette force est grande. On montre qu elle est proportionnelle à la courbure moyenne d interface. Par ailleurs, les contacts triples liquide-gaz-solide donnent lieu à des angles de contact définis par l équilibre des trois interactions (loi de Young-Dupré). Ceci explique que tout liquide tend spontanément à diminuer sa surface de contact avec le gaz de manière à minimiser son énergie de tension superficielle, ce qui entraîne la formation de gouttes ou de bulles pour lesquelles la forme sphérique présente le plus faible rapport surface/volume. Fig. 1 Tension de surface Fig. La sphère est la surface d énergie de tension superficielle minimale Représentation mathématique de l interface Définition 1. L interface est une surface de séparation entre deux milieux à la traversée de laquelle certaines variables physiques vont subir une discontinuité. Considérons une interface Γ liquide-gaz. Supposons que cette frontière (courbe en dimension ou surface en dimension 3) bouge dans sa direction normale avec une vitesse F connue. On se propose de suivre le mouvement de cette interface à l aide de fonctions calculables..1 La méthode de Level Set Introduction à la méthode 3

Il y a deux façons de suivre l évolution de l interface : par approche lagrangienne ou "front tracking" (l interface est représentée par un ensemble de points connectés entre eux et se déplaçant sur une grille fixe) et l approche eulérienne ou "front capturing" où l interface est définie par un champ scalaire dont l évolution sur une grille fixe est décrite par une équation de convection. Ce champ scalaire peut-être choisi suivant deux méthodes : la méthode Volume of Fluid où il s agit d un champ de fraction volumique et la méthode Level Set (de lignes de niveaux) où il s agit d une fonction distance à l interface. Intéressons-nous à cette dernière méthode. La méthode Level Set ( Courbes de niveau ) a été introduite par Osher et Sethian [OS88]. Le point essentiel de la méthode Level Set est d imaginer la position initiale de la frontière comme la courbe de niveau zéro de la fonction suivante : Définition. La Level Set est une distance à l interface signée φ(x, t) : φ < 0 dans le gaz φ = 0 à l interface φ > 0 dans le liquide φ = 1 Il s agit donc d étudier l évolution de la fonction φ à partir de la donnée initiale. Et pour chaque pas de temps la frontière est donnée par la Level Set de niveau zéro de la fonction φ. Cherchons donc l équation de la Level Set pour décrire le mouvement de la fonction Level Set dans le liquide. Nous partons du principe qu une particule fictive se trouvant initialement sur l interface Γ est déplacée avec la vitesse matérielle U. Ce qui implique : { φ t + U φ = 0 φ(x(t), 0) = φ 0 (x) Les avantages de la Level Set Ils sont les suivants : Les changements de topologies de l évolution de la frontière (séparation d une bulle en deux bulles par exemple) sont manipulés naturellement contrairement à la méthode lagrangienne qui souffre d une incapacité à prendre en compte de manière intrinsèque ces changements. Passage facile du D au 3D : on discrétise l équation de Level Set par la technique des lois de conservations hyperboliques. Les propriétés géométriques de la frontière sont déterminées facilement : pour chaque point de la frontière le vecteur normal est donné par : et la courbure de la frontière par : 3 Le logiciel ANANAS n = φ φ, φ κ = φ = φ xxφ y φ x φ y φ xy + φxxφy. (φ x + φ y) 3 Rappelons les grandes lignes des méthodes d ANANAS utilisées en capillarité. Le paragraphe suivant décrira le cas test réalisé avec ANANAS sur la base de ces méthodes. L équation étudiée est celle de Navier-Stokes avec capillarité : ( ) ρ(φ)u t + div( ρ(φ)u U ) + ν U + p = ρ(φ)g + σκδ φ n div(u) = 0 φ t + U φ = 0 où : 4

U(x, y, t) : vecteur vitesse du fluide ( m.s 1 ) ρ : densité du fluide ( kg.m 3 ) p(x, y, t) : pression (P a) φ : fonction Level Set g : vecteur d accélération gravitationnelle ( m.s ) σ : coefficient de tension surfacique ( N.m 1 ) κ(x, y, t) = ( φ(x,t) φ(x,t) ) : courbure locale ( m 1 ) ν > 0 : coefficient de viscosité dynamique ( kg.m 1.s 1 ) n : normale extérieure δ φ : fonction de Dirac des valeurs de φ Le logiciel ANANAS : 1. résout (en particulier) les équations de capillarité précédentes pour un mélange de liquides incompressibles.. applique une analyse d erreur. 3. itère sur la taille de maille basée sur cette ananlyse. 4 Etude d une goutte oscillante Nous allons illustrer le comportement de l approximation présente dans ANANAS sur un phénomène physique simple. On considère une goutte d eau en D de forme elliptique dans l air soumise à aucune force au temps initial autre que la tension de surface. L étude du mouvement d une goutte d eau dans un milieu continu représente une étape fondamentale et historique pour l étude des écoulements diphasiques puis multiphasiques. Différentes méthodes ont d ores et déjà été utilisées pour étudier son mouvement. 4.1 Solution analytique du problème C est à Pierre-Simon Laplace (XVIIIe siècle) que nous devons la première théorie sur la capillarité. Mais l étude des gouttes oscillantes a été davantage étudié à partir de la deuxième moitié du XIXe siècle à la fois pour obtenir une compréhension théorique (Kelvin 1890, Chandrasekhar 1959 et 1961, Reid 1960, Prosperetti 1977 et 1980) et aussi en vue de diverses applications technologiques (Valentine, Sather & Heidger 1956, Strani & Sabetta 1988). Le premier modèle mathématique d oscillations linéaires d une goutte dans le vide dans le cas d une fluide parfait est dû à Rayleigh (1879). C est en 193 que Lamb généralise la solution du problème en incluant l influence du milieu environnant. La solution décrit les déformations instantanées d une goutte par une série infinie d harmoniques sphériques de sa surface où chaque terme de cette fonction correspond à un mode propre d oscillation. La solution est donnée par où : + R(θ, t) = R 0 [1 + R j (t)p j (cos θ)] j=0 P j (cos θ) : sont les polynômes de Legendre : P j (x) = 1 j j! x [(x 1) j ] j R 0 : est le rayon de la goutte non perturbée R j : est l amplitude instantanée du jième mode θ : est l angle polaire en coordonée sphérique prenant pour origine le centre de la goutte La fréquence Ω j du jième mode de la goutte dans l air est donnée par Ω j = j σj(j 1)(j + ) ρt 3 0 Sont représentés, en Fig. 3 et Fig. 4, respectivement le deuxième polynôme de Legendre évalué en cos(θ) et le mode propre fondamental de vibration d une goutte d eau oscillant autour de sa position stable circulaire représentée en pointillés. 5

Fig. 3 Courbe de la fonction P (cos(θ)) Fig. 4 Mode propre fondamental d une goutte d eau Les effets de la viscosité de la goutte ont été introduits plus tard (Chandrasekhar 1959, Reid 1960) et ceux du fluide extérieur dix ans après (Miller & Scriven 1968). La prise en compte des effets de tension de surface combinée avec la méthode Level Set a été pour la première fois proposée dans une publication de Sussman, Smereka et Osher [SSO94]. Elle utilise la fonction φ Level Set pour le calcul de la courbure à l interface et la modélisation volumique du terme de tension de surface proposée par Brackbill[BKZ9]. 4. Maillage Les cas-tests D présentés dans ce mémoire sont réalisés sans adaptation de maillage. Ils ont pour domaine de calcul un carré de 1.10 3 m de coté et pour maillage l assemblage d un maillage structuré carré de 3.10 3 m au centre, de type drapeau anglais, et d un maillage non structuré tout autour (Fig. 5 et Fig. 6). Comme condition initiale, la goutte a pour forme une ellipse placée au centre du maillage structurée (en pratique on définit la fonction Level Set en C++) et a un plus grand diamètre de 1.10 3 m. Initialement la goutte est donc soumise à une tension de surface qui va tendre à la rendre circulaire mais la quantité de mouvement imprimée va la déformer jusqu à une ellipse d axe orthogonale à la première ellipse et le mouvement va continuer en une oscillation entre ces ellipses. En l absence de frottements dans les deux fluides, ce mouvement dure indéfiniment. Bien sûr numériquement, le système va soit accumuler des erreurs numériques et diverger soit amortir le mouvement. Les conditions physiques du phénomène sont résumées comme suit : vitesse initiale : 0 m.s 1 densité de la goutte d eau : 998 kg.m 3 densité de l air : 1. kg.m 3 tension superficielle de l eau en contact avec l air σ : 0.07 N.m 1 g : 0 m.s ν : 0 kg.m 1.s 1 Le calcul est entrepris sur 0.035 secondes c est à dire une quinzaine de périodes si on se refère à la solution analytique. 6

Fig. 5 Maillage entier Fig. 6 Détail du maillage Fig. 7 Masse volumique du multifluide liquide + gaz comprise entre 1.9 kg.m 3 (gaz) et 998 kg.m 3 (liquide) mesurée toutes les 5.10 5 s entre l instant initial à 0s et 1.75.10 3 s. Fig. 8 Norme de la vitesse des deux fluides comprise entre 0 et 0.8 m.s 1 mesurée toutes les 5.10 5 s entre l instant initial à 0s et 1.75.10 3 s. 7

Fig. 9 Pression des deux fluides comprise entre 0 et 345 P a mesurée toutes les 5.10 5 s entre l instant initial à 0s et 1.75.10 3 s. Fig. 10 Courbure de la goutte d eau comprise à l instant initiale entre -8000 et -500 puis mesurée tous les 5.10 5 s entre l instant initial à 0s et 1.75.10 3 s. Observations La visualisation de la masse volumique (Fig. 7) nous permet de constater que le calcul donne une oscillation conforme à la théorie. Toutefois la mesure de la position du point la plus à droite de la goutte met en évidence un amortissement numérique des oscillations et même, au bout d une quinzaine d oscillations, la migration de la goutte vers un des bords sous l action de l instabilité des tourbillons du gaz. Si on considère l historique de la vitesse (Fig. 8), nous observons d importantes oscillations spatiales physiquement non vraisemblables et clairement rattachées aux détails du maillage. Or cette vitesse a pour source, via le principe fondamental de la dynamique, d une part un terme de gradient de pression et d autre part le terme de tension de surface. Visualisons le terme de pression. La Fig. 9 montre une surpression sur toute la surface de la goutte (due à la capillarité) avec des extrema proches des parties les plus courbées de l interface. Globalement la pression est assez régulière. En revanche l observation du terme d accélération issu de la tension de surface (Fig. 10), semble la désigner comme la véritable source de l irrégularité de la vitesse discrète. Pré-synthèse Notre calcul montre que l approximation se comporte de manière raisonnable mais démontre ses limites 8

dès que l on regarde de près les isovaleurs de la vitesse et encore plus encore les isovaleurs des intensités de tension de surface. Convergence du maillage Une cause assez habituelle des oscillations numériques est le choix d un maillage insuffisament fin vis à vis de la plus petite échelle spatiale nécessaire pour capter les détails de la solution physique. Dans ce cas, le remède est de choisir un maillage plus fin soit par une construction manuelle de ce maillage, soit en utilisant une méthode d adaptation de maillage guidée par une estimation d erreur. Par ailleurs un calcul unique est essentiellement entâché d une erreur numérique difficile à évaluer. Pour améliorer la confiance de l ingénieur dans le résultat du calcul, il convient de mettre en œuvre une convergence en maillage qui consiste à utiliser une série de maillages (typiquement trois maillages si on veut évaluer le degré de convergence numérique) et le comparer à l ordre théorique de l approximation. Nous avons donc considéré trois maillages imbriqués définis par la taille de maille x, y dans la zone de maille fine : maillage grossier : x = y = 3.10 5 m Fig.11 maillage moyen : x = y = 1.5.10 5 m Fig.1 maillage fin : x = y = 7.5.10 5 m Fig.13 Fig. 11 maillage grossier Fig. 1 maillage moyen Fig. 13 maillage fin La perte d amplitude quantifiée est environ quatre fois plus faible sur un maillage deux fois plus fin (Fig. 14 et Tab. 1), ce qui confirme bien la convergence théorique à l ordre [Roa94]. En revanche l examen du terme de tension de surface (Fig. 15, 16 et 17) montre que les oscillations conservent une longueur d onde qui suit la taille du maillage. De plus l amplitude est à peu près constante sur les 3 maillages. 9

Fig. 14 Convergence en maillage Instant initial 1ère oscillation e oscillation 3e oscillation Maillage fin 5.0.10 4 4.95.10 4 4.88.10 4 4.87.10 4 différence avec le temps précédent -0.05.10 4-0.07.10 4-0.01.10 4 Maillage moyen 5.0.10 4 4.86.10 4 4.65.10 4 4.55.10 4 différence avec le temps précédent -0.14.10 4-0.1.10 4-0.10.10 4 Maillage grossier 5.0.10 4 4.5.10 4 4.8.10 4 4.115.10 4 différence avec le temps précédent -0.50.10 4-0..10 4-0.165.10 4 Ordre numérique Tab. 1 Convergence de maillage Fig. 15 Courbure calculée en maillage grossier Fig. 16 Courbure calculée en Fig. 17 Courbure calculée en maillage moyen maillage fin 10

Comparaison structure du maillage Les artefacts numériques sont assez importants et corrélés avec les détails du maillage comme nous pouvons le voir Fig. 10. Nous avons voulu comparer le calcul sur des maillages de structures différentes. La première comparaison a été faite sur un maillage non structuré sur l ensemble du carré en gardant toujours un maillage plus fin sur le carré intérieur. Tout comme le prédit la théorie, les résultats ont été moins proches de la réalité qu en maillage structuré : l amortissement des oscillations est bien plus rapide qu en maillage grossier structuré : Fig. 18. Nous avons ensuite comparé le calcul en maille drapeau anglais et en Friedrichs-Keller. L amortissement est plus rapide en Friedrichs-Keller comme le montre la Fig. 19 mais la goutte ne dévie quasiment pas du centre vers un bord comme elle le fait en maille drapeau anglais. Fig. 18 Maillages structuré et non structuré Fig. 19 Maillages drapeau anglais et Friedrichs- Keller 4.3 Conclusion Nous avons choisi un cas-test très simplifié mais avec un petit handicap, celui d un écoulement sans viscosité. Dans ce contexte l approximation étudiée fournie une solution montrant une bonne convergence à l ordre des principales caractéristiques du mouvement mais en regardant de près les termes de capillarité, nous constatons que ceux-ci présentent une mauvaise convergence susceptible de nuire à la qualité du calcul dans des cas plus difficiles. On peut expliquer ce comportement par le fait que la Level Set est calculée à l ordre de sorte que si on peut raisonnablement espérer une bonne convergence à l ordre de la Level Set et par conséquent de la masse volumique, le gradient de cette masse volumique en revanche pourrait au mieux converger à l ordre 1 tandis que pour les dérivées secondes et la courbure, la théorie ne nous permet pas d affirmer que l approximation sera convergente. La deuxième partie de ce mémoire est consacrée à la définition d un schéma théoriquement plus apte à approcher les problèmes de capillarité et à l analyse de son erreur notamment en vue d une estimation a priori utilisable en maillage adaptatif. 11

Deuxième partie Modèle CENO de convection-diffusion 5 Introduction 5.1 Historique Les schémas ENO, Essentillay Non Oscillating, ont été introduits au départ afin d apporter une réponse aux calculs haute précision de phénomènes advectifs comportant des singularités. Lax, Harten et Hyman [HHL76] et Godunov ont montré que, parmi les schémas linéaires pour l advection, seuls ceux d ordre 1 sont monotones (i.e. n introduisent pas d oscillation parasite). Alors que la plupart des propositions précédentes proposaient un panachage entre schéma d ordre 1 et schéma d ordre élevés (Harten ; méthodes TVD), Harten, Osher, Engquist et Chakravarthy en 1987 [HOEC87] en introduisant les schémas ENO ont voulu s appuyer seulement sur des schémas Volumes Finis d ordre élevé par reconstruction. Ces schémas ont pour inconnues des valeurs moyennes par cellule. Comme les autres schémas de type Volumes Finis, les divergences sont transformées en flux inter-cellules grâce à la formule de Stokes mais un choix essentiel repose d une part sur la reconstruction polynomiale des inconnues dans chaque cellule et d autre part sur un traitement des flux décentrés sur les interpolations obtenues sur chaque côté de l interface. L analyse de ces méthodes peut se faire à partir de la notion de k-exactitude et/ou des analyses d erreur de reconstruction. Le schéma sera dit k-exact si, en supposant que la solution est un polynôme de degré k, le schéma va restituer comme solution exactement le même polynôme de degré k. (Cette notion de k-exactitude ne date pas d un article précis mais était dans l air du temps aux Etats-Unis à cette époque). Les conséquences de la k-exactitude peuvent être évaluées à la manière du principe de Bramble-Hilbert de sorte que dans des cas simples un schéma k-exact pourra être précis à l ordre k + 1. En utilisant une seule reconstruction dans chaque cellule, on obtient une famille spéciale de schémas ENO. Ce sont des schémas ENO-Central présentant des oscillations dès que l interpolation est d ordre plus grand que 1. Néanmoins ils représentent un bon compromis entre précision et coût et dans ce rapport on s intéressera à ce type de schéma. Il faut toutefois signaler que la contribution de Harten, Osher, Engquist et Chakravarthy réside dans l utilisation de plusieurs reconstructions pour chaque cellule. Parmi ces reconstructions on sélectionne celles qui donnent la plus faible variation totale. Il en résulte un schéma qui n est pas strictement monotone (certains extrema seront surestimés ou sous-estimés, notion d "overshoot" et d "undershoot") mais une analyse est proposée qui démontre que l amplitude de ces surestimations décroît au même ordre que l erreur globale sur la solution. La reconstruction est en général réalisée soit par interpolation des erreurs ponctuelles voire régression moindres carrés sur des valeurs ponctuelles soit, et surtout de manière plus adaptée aux volumes finis, par régression moindres carrés sur des valeurs moyennes. Les erreurs de reconstruction sont justiciables d une analyse qui remonte à Ciarlet et Raviart [CR7] qui ont utilisé un principe de type Bramble-Hilbert et qui ont expliqué que lorsqu on a un polynôme reconstruit très proche au sens L d une fonction (sans passer forcément par les points de son graphe) on a des estimations d erreur intéressantes dans les espaces de Sobolev. 5. Schémas ENO/CENO Les schémas numériques ENO (Essentially Non Oscillatory) et CENO (Central Essentially Non Oscillatory) [HOEC87] cherchent à conserver un ordre de précision élevé même au voisinage de discontinuités tout en évitant l apparition d oscillations trop fortes de la solution. Une idée essentielle est que les valeurs moyennes des fonctions par cellule contiennent des informations sur la localisation d une éventuelle discontinuité contrairement aux valeurs en un point. Le principe est une généralisation de la méthode de Godunov, avec approximation d ordre élevé. La reconstruction de la solution à l interface (où sont localisées les discontinuités) s effectue par interpolation 1

polynomiale (ici quadratique) à partir des deux cellules voisines. Ces deux interpolations sont introduites dann un solveur de Riemann. Les schémas CENO sont coûteux mais adaptables à des maillages non structurés. C est donc une des voies d accès à des maillages en non structuré au prix de reconstructions et d intégration numériques des flux coûteuses. La principale méthode concurrente est la méthode de Discontinuous-Galerkin. Ces deux méthodes ont une complexité élevée et nécessite une soigneuse optimisation de leurs différentes étapes. (Exemple en 3D on a besoin de 6 voisins) 5.3 Discrétisation du problème continu par une approche Volumes Finis On se place sur un domaine où les frontières sont fixes au cours du temps. On considère Ω R N, N 3 le domaine occupé par le fluide. Ce domaine est approché par un polygone Ω h Ω. On se propose de résoudre approximativement u + F (u) = 0. t Construire une solution approchée nécessite une discrétisation du domaine construit Ω h en polygones simples qui forment la partition du domaine. Cette partition représente le maillage. Dans la méthode CENO qui nous intéresse, chaque cellule est reliée à un sommet i.e. l objectif est de reconstruire la solution aux sommets du maillage. On définit donc un nouveau maillage (dual) de tel sorte que chacun des sommets soit à l intérieur d un polygone appelé cellule duale ou volume de contrôle). Fig. 0 Construction de la cellule duale C i centrée au noeud F Théorème 1 (Green-Ostrogradsky). Le flux d un vecteur à travers une surface fermée est égal à l intégrale de la divergence de ce vecteur sur le volume délimité par cette surface :.FdV = F.ndσ C où C est la frontière d un certain volume C et n est la normale extérieure à ce volume. La formulation variationnelle s écrit : C C u t + F (u) n = 0 C 6 Schéma ENO reconstruction quadratique pour le modèle de l équation de la chaleur On considère l équation u (x, y, t) ν u(x, y, t) = 0 (1) t 13

L équation de la chaleur s écrit sous forme de flux : u (x, y, t) +.Γ(x, y, t) = 0 où Γ(x, y, t) =.u(x, y, t) (loi de Fick). () t 6.1 Etude du problème en 1D Schéma On considère l équation de la chaleur unidimensionnelle : { u t (x, t) ν u x (x, t) = 0 u(x, 0) = u 0 (x) avec x Ω [0; 1], t 0 et u est une fonction de Ω R + R. On va travailler sur un schéma de type volumesfinis avec reconstruction quadratique de la solution.on utilise un maillage régulier : x = x i+1 x i, i = 1,..., N. On divise Ω en cellules de contrôles C i centrées aux noeuds i, définies par : Posons C i = [x i 1, x i+ 1 ], avec x i+ 1 = x i+1 x i et x i 1 = x i x i 1. ū i = 1 u(x, t)dx = 1 xi+ 1 u(x, t)dx. x C i x x i 1 On intègre l équation de la chaleur sur la cellule C i : xi+ 1 x i 1 u t (x, t) ν u x (x, t)dx = t D où en multipliant par 1 x : xi+ 1 En discrétisant l équation en temps de la manière suivante : x i 1 u(x, t) ν[γ(x i+ 1 ) + Γ(x i 1 )] = 0, où Γ(x i) = u x (x i). 1 [ Γ(xi+ 1 tūi x ) Γ(x i 1 )] = 0. (3) ū n i + ν t x On obtient alors une équation discrétisée en temps et en espace : ū n+1 i ū n+1 i Reconstruction à partir des valeurs moyennes [ Γ n (x i+ 1 ) Γn (x i 1 )]. = ū n i ν t [ Γ n (x x i+ 1 ) Γn (x i 1 )]. (4) Pour évaluer Γ sur les interfaces on va le reconstruire comme l indique Harten et al dans [] par une fonction polynomiale de degré k = R(x, ū) à partir des valeurs moyennes. Le polynôme doit vérifier les propriétés suivantes : Proposition 1. Pour tout x tel qu il existe un voisinage sur lequel u est suffisamment régulière, il existe une fonction e, lipschitzienne continue aux points où u est continue et qui vérifie : Proposition. La propriété de conservation : doit être respectée R(x, ū) = u(x) + e(x)h k + O(h k+1 ) = 1 tūi x xi+ 1 x i 1 R(x, ū)dx 14

La reconstruction polynomiale s effectue généralement par un développement de Taylor à l ordre k 1. Ici l inconnue à reconstruire est un gradient. On définit les flux numériques de gradient centrées par : { Γ(xi 1 ) = [( 1 u x (x i 1 )) ( + u x (x i 1 )) +] Γ(x i+ 1 ) = [( 1 u x (x i+ 1 )) ) + ( u x (x i+ 1 )) +] Lemme 1. En reconstruisant quadratiquement la solution u(x, t n ) = u(x) n dans chaque cellule C i par la méthode des moindres carrés, on obtient pour erreur de troncature spatiale : 1 u 1 [ (x, t)dx + Γ(xi+ 1 x x x ) Γ(x i 1 )] = 7 4 νu(4) i ( x) + o(( x) 3 ) (5) C i Remarque 1. Cette étude montre donc que notre approximation spatiale de l équation de la chaleur par le schéma ENO en maillage uniforme, codée en tant que solveur volumes-finis centré avec interpolation polynomiale d ordre de la solution par cellule C i du maillage, conduit à une erreur principale de troncature d ordre, dont la partie principale est une dérivée quatrième de dispersion. 6. Position du problème en D Schéma On considère l équation u (x, y, t) u(x, y, t) = 0 (6) t Le domaine spatial est divisé en cellules de contrôles (cellules duales) C i, centrées aux sommets i où n est, par convention, la normale extérieure locale de la cellule C i. En intégrant l équation sur la cellule C i, et en utilisant la formule de Green-Riemann, on obtient : u(x, y, t)dxdy + Γ(x, y, t).ndσ = 0 (7) t C i C i Comme la cellule C i est polygonale, on peut décomposer la frontière suivant : u(x, y, t)dxdy + Γ(x, y, t).ndσ = 0, (8) t C i k V C i i C k où V i est l ensemble des voisins de i. Et, k V i C i C k u(x, y, t).ndσ k V i Reconstruction polynomiale quadratique C i C k 1 ( u i(x, y, t) + u k (x, y, t)).ndσ (9) Sur chaque cellule de contrôle C i et à chaque pas de temps, on va approximer la solution u(x, y, t n ) = u n (x, y) par un polynôme quadratique Ri n. Les valeurs moyennes du polynôme Rn i doivent être égales à celles de la solution ui n(x, y) sur la cellule C i,n i : R i = ū i,n. Autrement dit : R i,n 1 i = R n 1 i (x, y)dxdy = u n (x, y)dxdy (10) aire C i C i aire C i C i Le polynôme Ri n à reconstruire sur la cellule duale C i est défini par la relation suivante R i n = ūi,n + c n i,α [(X X 0,i) α (X X 0,i ) α ] α I I = α = (α 1, α ) N, α = α 1 + α [[1, ]] (X X 0,i ) α = (x x 0,i ) α1 (y y 0,i ) α où X 0,i = (x 0,i, y 0,i ) est le centre de gravité de la cellule C i Cette reconstruction jouit des propriétés suivantes : 15

R i,n i = ū i,n On reste proche de la cellule grâce au changement de repère en X 0,i On a un polynome reconstruit sans terme constant. En effet, en évaluant en X 0,i on trouve que le terme constant - terme constant sur le volume de la cellule est nul. Stencil Pour construire le polynôme Ri n sur la cellule C i on a besoin de définir le stencil S i formé à partir des cellules voisines de C i de telle sorte que l on ait assez de valeurs de la solution autour de i pour reconstruire les coefficients du polynôme. Fig. 1 Stencil Pour calculer les 5 coefficients du polynôme nous avons besoin d au moins 5 nœuds voisins donc de 5 cellules voisines. Considérons un sommet interne i (représenter sur la figure par A). Si i a 5 ou plus de voisins, le stencil est formé à partir des cellules centrées sur les voisins de i. Sinon le stencil S i contient les cellules C k et les cellules C l aussi, où l est un voisin de k et k un voisin de i. Calcul des coefficients c n i,α Comme dans le cas 1D nous allons utiliser la méthode des moindres carrés. Nous voulons donc minimiser k,n la distance L entre les moyennes sur les cellules C k, du polynôme R i associé à la cellule C i et la solution ū k,n pour chaque sommet k inclus dans le stencil S i Posons donc : où H i = k V (i) ( Rk,n i ū k,n) k,n R i = 1 aire C k C k Ri n(x, y)dxdy. Par la reconstruction de C k, on peut écrire : H i = ( 1 Ri n (x, y)dxdy ū k,n) aire C k k V (i) T C k où T représente les triangles qui composent la cellule C k, ou encore : H i = où K ik = = k V (i) 1 aire C k 1 aire C k K ik T C k T C k T T T (ūi,n + c n i,α[(x X 0,i ) α (X X 0,i ) α ] ) dxdy ū k,n α I (ūi,n + c n i,α[(x X 0,i ) α 1 (X X 0,i ) α dxdy] ) dxdy ū k,n aire C i α I 16 T C i T

α 1 = 1; α = 0 p = 1 α 1 = 0; α = 1 p = α = 1 où si et seulement si α 1 = 1; α = 1 p = 3 α 1 = ; α = 0 p = 4 α 1 = 0; α = p = 5 Il y a donc une bijection. I [[1, 5]] (α 1, α ) p où p est défini comme dans le système précédent et on posera c n i,p le coefficient de Rn i correspondant. La minimisation par la méthode des Moindres Carrés de H i par rapport aux c n i,p, p [[1, 5]] s écrit : H i c n i,p = 0, p [[1, 5]] La minimisation de H i par rapport aux c n i,p pour un p [[1, 5]] donne : H i c n i,p = k V (i) = k V (i).k ik. K ik c n i,p.k ik. [ 1 aire C k (X X 0,i ) α 1 dxdy (X X 0,i ) α dxdy ] aire C i T C k T T C i T Evaluation des flux Evaluons à présent les flux à un temps t sur les interfaces entre la cellule C i et ses voisins C k en utilisant une quadrature de Gauss à points. Fig. Interfaces entre C i et C k avec (1)= C (1) ik Les interfaces C i C k peuvent être décomposées en deux segments C (1) ik Dès lors, l intégrale sur chaque segment C (l) ik et ()= C() ik et C() ik est évaluée par une quadrature de Gauss avec trois points Evolution en temps 17

Nous avons discrétisé les équations en espace. Afin d effectuer des tests numériques, nous devons discrétiser à présent le temps. Nous choisissons pour cela une méthode de Runge-Kutta explicite à 3-pas, qui est précise à l ordre 3 pour les équations linéaires. La semi-discrétisation en espace de l équation de départ : u t (x, y, t) +.F( u(x, y, t) ) = 0, conduit au sytème d ODE suivant : du i dt (t) + Ψ i(u(t)) = 0, où la fonction Ψ i (u(t)) approxime.f ( u(x, y, t) ) au point (x i, y i ) et u(t) est l ensemble des moyennes ū k,n où k est dans un voisinage de i. On choisit la méthode de Runge-Kutta explicite à N-pas pour la discrétisation en temps : u (0) i = u (n) i u (α) i = u (0) i u (n+1) i = u (N) i t N + 1 α Ψ i(u (α 1) i ) pour α = 1,.., N. 18

Troisième partie Erreur anisotrope goal-oriented Les estimations d erreurs anisotropes a priori sont accessibles [LDA10] pour les formulations orientées fonctionnelle (ou goal-oriented) et sont devenus un outil efficace pour les problèmes d adaptation de maillage. On considère dans cette partie une approximation CENO pour l équation de la chaleur. Ce schéma est précis à l ordre sur des maillages irréguliers. 7 Rappels sur les maillages basés-métrique riemannienne Adaption de maillage L adaptation de maillage est une des méthode qui permet d accroître la précision de la solution numérique tout en réduisant le coût de calcul. Elles se caractérisent par une discrétisation du domaine de calcul considéré selon des dimensions et des directions que définissent un estimateur d erreur. Les méthodes d adaptations isotropes ayant tendance à utiliser trop d éléments dans les zones où le raffinement en maillage doit devenir plus important, il est préférable d utiliser une méthode d adaptation de maillages anisotropes afin de mieux profiter d un ajustement de la forme, de la taille et de l orientation des éléments du maillage suivant le comportement de la solution physique. Une méthode pour définir ces maillages anisotropes consiste à générer un maillage suivant une métrique Riemannienne qui spécifie le calcul des distances dans les générateurs de la maillage. L intérêt d utiliser des métriques est de contrôler le maillage indépendamment de l algorithme de génération utilisé et de disposer naturellement d outils d analyse qui n existent pas sur l espace des métriques discrètes. Dans ce mémoire, le maillage discret est modélisé par la métrique riemannienne. Le but final est de considérer le maillage comme une donnée ou une inconnue d un problème continu. Notion de métrique riemannienne Dans le domaine de génération de maillage adaptatif, la structure riemannienne est pour l instant le seul moyen de prescrire des tailles de maille dans toutes les directions et dans tout le domaine. Rappel 1. On appelle espace métrique euclidien un espace vectoriel muni d un produit scalaire (<.;. > M défini par un tenseur de métrique i.e. une matrice symétrique définie positive M Définition 3. Le tenseur de métrique est un tenseur de rang défini sur un espace vectoriel de dimension finie Soit M le tenseur de métrique. On rappelle qu on définit alors : Définition 4. Soit (x, M(x)) x Ω un espace métrique riemannien. La longueur d une arête ab est obtenue par : 1 1 l M (ab) = γ (t) M dt = t abm(a + tab)abdt 0 On rappelle enfin que l on peut représenter géométriquement le tenseur de métrique M par sa boule unité : un ellipsoïde de centre a, dont les axes sont les vecteurs propres de M. Les distances suivant ces axes sont données par h i = λ 1 i. La Fig. 3 en donne une représentation géométrique en trois dimensions. 0 19

Fig. 3 Boule unité Fig. 4 Métrique optimale Lien entre métrique riemannienne et adaptation de maillage Introduisons le lien entre l élément continu (la boule unité de la métrique riemannienne) et élément discret. Remarque. Les éléments continus sont convexes tout comme les éléments discrets. Cette condition est nécessaire pour avoir une relation bien posée entre formulation discrète et continue dans le cas des estimateurs d erreur. Posons H u la matrice Hessienne de u. L idée est de trouver la métrique optimale associée à H u pour construire un majorant du modèle d erreur local u(x) Ru(x) 0 et avoir ainsi une inégalité de la forme : 3 ( ) k soit x = (x, y) R, u(x) Ru(x) 0 a i x i y k i ( t x Hu x ) 3 i Notre modèle de l erreur de reconstruction quadratique est de la forme i=0 u(x) Ru(x) 0 sup D 3 u(δx) 3, δx où les δx décrivent les tailles de maille locale dans toutes les directions. Dans le but de trouver une métrique optimale, on cherche un pseudo-hessien H i en chaque sommet i tel qu à l intérieur de la cellule i on ait : ce qui s écrit en terme de métrique : u(x) Ru(x) 0 (sup H i (δx) ) 3 δx u(x) R 0 u(x) (trace(m 1 Hi M 1 ) 3 Pour cela, en suivant la méthode de [Car13] 3.3, on ajuste le terme cubique de la formule de Taylor avec la puissance 3 sur chaque arête ij autour de i puis on applique une formulation en Moindres Carrés. On cherche à présent dans notre optique d optimisation à minimiser l erreur suivante : E = (trace(m 1 Hi M 1 3 ) dxdy Génération de maillages anisotropes La génération d un maillage anisotrope se résume à des changements de tailles et d orientations des éléments composants le maillage, pour chacun des points du domaine de calcul. On a vu précédemment les notions de longueur, de volume et d angle dans l espace des métriques riemanniennes. Ces informations seront transmises au générateur anisotrope de maillage, qui fournira le meilleur ajustement possible. L idée principale est de générer un maillage unité comme suit : 0