LSportisse Lycée Mimard St-Etienne CORRIGE de l épreuve MATH II ANQUE PT 998 lsportis@netsystemenet I ) Le plan P est orthogonal à la droite D = P dirigée par le vecteur unitaire K = Soit p D le projecteur orthogonal sur D On a : ( u R, p D (u) = u ) K K La matrice Mat (p D ) de p D dans la base est définie par les composantes dans la base des images par p D des vecteurs de la base ı, j, k : Mat (p D ) = Comme p + p D = Id, on obtient : 0 0 Mat (p) = 0 0 = 0 0 ) Comme p( k ) est orthogonal à K qui dirige D = P, K et le vecteur unitaire J = p( k ) 6 p( k ) = 6 sont orthogonaux En posant I = J K =, on obtient une base orthonormale directe La matrice 0 de passage Pass est donc orthogonale, comme matrice de passage d une base orthonormale à une autre base orthonormale Pass = t Pass Ses colonnes sont les composantes des vecteurs I, J, K dans la base : 6 6 Pass = 6 6 6 0 6 ) Si α < 0, S α et Σ α sont l ensemble vide Si α = 0, S α et Σ α sont la droite D = P dirigée par le vecteur unitaire K, d équations x = y = z On suppose désormais α > 0 4 ) Soit M(x, y, z) et M (x, y, z ) = p(m) La question I- permet d écrire : x = (x y z) y = ( x + y z) z = ( x y + z) = x y = x y y z = y z z x = z x Ainsi : M R, { f(m) = f(p(m)) g(m) = g(p(m)) M98DTCbtex - page
Tout point m de la courbe intersection de S α et du plan P est le projeté orthogonal de tout point M de la droite passant par m, de vecteur directeur K On a f(m) = α, puisque m appartient à α On a aussi, d après ce qui vient d être dit f(m) = f(p(m)) et donc f(m) = f(m) = α, ce qui signifie que tout point M de la droite passant par m, de vecteur directeur K est sur S α Le même raisonnement peut être tenu pour Σ α S α et Σ α sont des surfaces cylindriques de génératrices parallèles à K 5 ) S α P est la courbe d équations : { (x y) + (y z) + (z x) = α x + y + z = 0 (x y) +(y z) +(z x) = (x +y +z ) (xy +yz +zx) = (x +y +z ) ( (x + y + z) (x + y + z ) ) = (x + y + z ) (x + y + z) Donc S α P est la courbe d équations : x + y + z = α x + y + z = 0 S α P est donc l intersection du plan P par la sphère de centre O P, de rayon α C est donc le cercle du plan P, de centre O, de rayon α Les génératrices du cylindre S α sont orthogonales au plan P S α est le cylindre de révolution d axe D = P, passant par O, dirigé par K, de rayon α 6 ) Dans la symétrie orthogonale par rapport au plan d équation x = y, le point M(x, y, z) a pour image M (y, x, z) Donc, g(m) = g(m ) Σ α est donc invariante par la symétrie orthogonale par rapport au plan d équation x = y Par permutation circulaire, Σ α est invariante par les symétries orthogonales par rapport aux plans d équations y = z, z = x, et donc par la symétrie orthogonale par rapport à l intersection de ces plans, la droite D = P, passant par O, dirigé par K 7 ) Σ α est invariante par les symétries orthogonales S Q et S R par rapport aux plans Q et R, d équations respectives x y = 0, y z0, dont l intersection est la droite D = P, passant par O, dirigé par K Σ α est donc invariante par leur composée S R o S Q qui est la rotation d axe D, dirigé par K et d angle l angle de ces deux plans Dans la symétrie S Q, le point M(x, y, z) a pour image M (y, x, z) Dans la symétrie S R, le point M(x, y, z) a pour image M (x, z, y) Donc : 0 0 0 0 Mat (S Q ) = 0 0, Mat (S R ) = 0 0 0 0 0 0 Ainsi Mat (S R o S Q ) = Mat (S R ) Mat (S Q ) = 0 0 0 0 Utilisons la base orthonormale = ( I, J, K) Nous 0 0 avons vu, à la question I-, que la matrice de changement de bases est la matrice orthogonale : 6 6 Pass = 6 6 6 0 6 Donc : Mat (S R o S Q ) = Pass Mat (S R o S Q ) Pass = t Pass Mat (S R o S Q ) Pass = 0 0 0 0 S R o S Q est donc la rotation R d axe D, dirigé par K et d angle θ déterminé par cos θ =, sin θ = On trouve donc θ = 4π à π près Evidemment, Σ α est aussi invariante par la rotation R d axe D, dirigé par K et d angle M98DTCbtex - page
θ = 8π à π près Σ α est invariante par la rotation d axe D, dirigé par K et d angle π 8 ) Une partie de Σ α est donnée par : x y = α y z α z x α C est donc une partie du plan d équation x y = α, qui est orthogonal au plan P et donc parallèle à l axe du cylindre Σ α Plaçons-nous dans le repère (O, ) L équation du plan x y = α dans ce repère est donc : X = α { α X = Sa trace dans le plan P est donc la droite d équations De même, une autre partie de Σ α est donnée par : x y = α y z α z x α Z = 0 C est donc une partie du plan d équation x y = α, qui est orthogonal au plan P et donc parallèle à l axe du cylindre Σ α Plaçons-nous dans le repère (O, ) L équation du plan x y = α dans ce repère est donc : X = α { α X = Sa trace dans le plan P est donc la droite d équations ( Z ) = 0 α La droite coupe orthogonalement l axe OX en A (, 0, 0 α, α ), 0 Il est facile de voir que A Σ α La rotation du plan P de centre O, d angle π laisse la trace de Σ α sur P globalement invariante D où la contruction du point, de la droite, image de par cette rotation, orthogonale en à O D où aussi la contruction du point C, de la droite, image de par cette rotation, orthogonale ( en C à OC De même, la droite coupe orthogonalement l axe OX en L α ) ( α ), 0, 0, α, 0 Il est facile de voir que L Σ α La rotation du plan P de centre O, d angle π laisse la trace de Σ α sur P globalement invariante D où la contruction du point M, de la droite, image de par cette rotation, orthogonale en M à OM D où aussi la contruction du point N, de la droite, image de par cette rotation, orthogonale en N à ON La base du cylindre Σ α dans le plan P est donc l hexagone régulier P QRST U, dont les médiatrices des côtés sont OA, ON, O, OL, OC, OM La base du cylindre S α dans le plan P est le cercle (C) de centre O, de rayon α On fait le dessin en prenant α = 5 II ) On sait que tout endomorphisme symétrique s d un espace vectoriel euclidien est diagonalisable dans une base orthonormale de vecteurs propres Soit s = ( V, V, V ) une telle base orthonormale de vecteurs propres et σ, σ, σ, les valeurs propres de s On a donc i {,, }, s(v i ) = σ ivi u = u u, u = uv + +u V + u V = s(u) = u s(v ) + u s(v ) + u s(v ) = σ u σ u σ u s u s( u = = σ u + σ u + σ u = Si u est un vecteur unitaire, il dirige la droite D = Vect u, et on a la décomposition : s Donc s(u) = α u + v, v D, α R R = D D u s(u) = α u + u v = u v α u = α M98DTCbtex - page
8 R 6 y 4 Q N P (C) L 0 8 6 4 4 6 8 0 x O A S C 4 M U 6 T 8 0 Fig ases dans le plan P des cylindres S α et Σ α On définit ainsi les fonctions α et t qui à tout vecteur unitaire u font respectivement correspondre le réel : et le vecteur t( u ) u tel que : α( u ) = u s(u) = σ u + σ u + σ u s( u ) = α( u ) u + t( u ) Comme u et t( u ) sont orthogonaux, la relation de Pythagore donne : t( u ) = s( u ) α( u ) = σ u + σ u + σ u (α( u )) u = u = σ u + σ u + σ u (σ u + σ u + σ u ) (β( u )) = t( u ) = σu + σu + σu (σ u + σ u + σ u ) ) Soit (x, y) R R+ S il existe u = u u R u s, unitaire, tel que : alors : Donc, s il existe u = u u u u + u + u = σ u + σ u + σ u = x σ u + σ u + σ u (σ u + σ u + σ u ) = y s R, unitaire, tel que : M98DTCbtex - page 4
alors u, u, u sont solutions du système : X + X + X = () σ X + σ X + σ X = x σx + σx + σx = x + y σ σ ) On est dans le cas : σ < σ < σ a Le système précédent a pour déterminant le déterminant de Vandermonde V (σ, σ, σ ), qui est non nul, car σ, σ, σ sont deux à deux différents Donc, il admet une et une seule solution (X, X, X ) On résoud d ailleurs «à la main»et en utilisant les permutations circulaires : () X = y + (x σ )(x σ ) (σ σ )(σ σ ) X = y + (x σ )(x σ ) (σ σ )(σ σ ) X = y + (x σ )(x σ ) (σ σ )(σ σ ) b On a vu, que s il existe u, unitaire, tel que m( u ) = (x, y), nécessairement X = u, X = u, X = u sont données par les formules (), ce qui implique, compte tenu de la positivité de X, X, x et de σ < σ < σ implique : () y + (x σ )(x σ ) 0 y + (x σ )(x σ ) 0 y + (x σ )(x σ ) 0 Réciproquement, quel que soit (x, y) R R+, si les conditions () sont vérifiées, les formules () permettent d obtenir (X 0, X 0, X 0 et donc de choisir u = u, unitaire tel que m( u ) = (x, y) s c Dans le cas σ =, σ =, σ = 4, l ensemble des points m( u ) de R, lorsque u décrit l ensemble des vecteurs unitaires de R est l ensemble des points m(x, y) tels que : u u y 0 y + (x )(x 4) 0 y + (x + )(x 4) 0 y + (x + )(x ) 0 Or y + (x a)(x b) = 0 représente l équation du cercle de diamètre A(a, 0)(b, 0) y + (x a)(x b) 0 représente l extérieur de ce cercle, et y + (x a)(x b) 0 l intérieur L ensemble des points m( u ) de R, lorsque u décrit l ensemble des vecteurs unitaires de R est l ensemble des points intérieurs au demi grand cercle de diamètre A(, 0)(4, 0) extérieurs aux deux autres cercles En RDM, cette figure est appelée tricercle de Mohr 4 ) On est dans le cas : σ < σ = σ a Soit (x, y) R R+ D après la question II-, s il existe u = u u R u s, unitaire, tel que : alors X = u, X + X = u + u sont solutions du système : X + (X + X ) = () σ X + σ (X + X ) = x σx + σ(x + X ) = x + y La résolution des deux premières lignes du système donne : X = σ x σ σ X + X = x σ σ σ σ σ M98DTCbtex - page 5
b Pour que le système ait des solutions, il faut alors que la troisième ligne soit vérifiée : σ σ x + σ x σ = x + y x + y x(σ + σ ) + σ σ = 0 y + (x σ )(x σ ) = 0 σ σ σ σ Réciproquement, (x, y) R R+ vérifiant cette relation, il est facile de vérifier qu il existe u = u R s, unitaire, tel que : Ainsi, lorsque u décrit l ensemble des vecteurs unitaires, l ensemble des points m( u )(x, y) est l ensemble des points m(x, y) de R tels que : { y 0 y + (x σ )(x σ ) = 0 C est donc le demi-cercle, correspondant à y 0 de diamètre A(σ, 0)(σ, 0) c Cas σ =, σ = 4 0 8 u u 5 R 6 Q y 4 N P (C) 5 L 0 8 6 4 4 6 8 0 x O A y S C 4 M U 6 T 8 05 0 4 x 5 ) On est dans le cas σ = σ = σ II- σ < σ < σ II-4 σ < σ = σ Soit (x, y) R R+ D après la question II-, s il existe u = u u u alors X + X + X est solution du système : X + X + X = σ (X + X + X = = x σ (X + X + X ) = = x + y { Ce qui nécessite u u u x = σ x + y = σ s R, unitaire, tel que : = s R, unitaire, tel que : { x = σ y = 0 Réciproquement, l est facile de vérifier qu il existe u = m( u ) = (α( u ), β( u )) = (σ, 0) Ainsi, lorsque u décrit l ensemble des vecteurs unitaires, l ensemble des points m( u )(x, y) est le point A(σ, 0) 6 ) T (s) est la valeur maximale de β( u ) quand u décrit l ensemble des vecteurs unitaires de R C est la valeur maximale de la deuxième composante de m( u ) = (α( u ), β( u )) On a étudié trois cas : Si σ < σ < σ, alors T (s) = σ σ Si σ < σ = σ, alors T (s) = σ σ Si σ = σ = σ, alors T (s) = 0 M98DTCbtex - page 6
Ainsi, dans tous les cas, en utilisant la fonction g du I : T (s) = g(σ, σ, σ ) ) III a A M est une matrice symétrique réelle : elle admet donc trois valeurs propres réelles Le calcul du polynôme caractéristique de A M permet de les calculer : donne les valeurs propres : D après la question II-6 : σ = a a + 4b χ AM (x) = x(x ax b ) T (s M ) = σ σ σ = 0 σ = a + a + 4b = a + 4b b Dans le cas b = 0, et on suppose a 0 : les valeurs propres vérifient σ = σ = 0 < σ = a T (s M ) = a La matrice A s écrit : A = 0 0 0 0 0 0 0 0 a ce qui prouve qu une base orthonormale de vecteurs propres de l endomorphisme symétrique associé s M est s = ( e r, e θ, e z ), les vecteurs propres étant associés respectivement aux valeurs propres 0, 0, a On a répondu à la question II-4 au problème suivant : quel que soit (x, y) R R+, tout vecteur unitaire 0 u = u tel que m(( u ) = (α( u ), β( u )) = (x, y) vérifie - en posant X = u s, X = u, et en tenant u compte des valeurs des σ i - : X + X = ax = x a X = x + y A la question II-4, on a vu aussi que lorsque u décrit l ensemeble des vecteurs unitaires de R, le point m(x, y) décrit le demi-cercle de diamètre A(0, 0)(a, 0), correspondant à y 0, de rayon égal donc à a Donc y = β( u ) = T (s M ) = a = x = a Le système s écrit alors : On obtient ainsi X =, X = X + X = a ax = a X = a a a + = Donc, dans le cas b = 0, a 0, les vecteurs unitaires u du plan ( e θ, e z ), tels que β( u ) = T (s M ) = a, sont donnés par : 0 u = ± ± c Dns le cas b 0, les valeurs propres de s M vérifient : ( e r, e θ, e z) σ = a a + 4b < σ = 0 < σ = a + a + 4b M98DTCbtex - page 7
Donc, dans le cas où la traction n est pas simple, T (s M ) = σ σ a + 4b = on a vu que dans le cas de la traction simple, T (s M ) = a a + 4b Dans les deux cas, on a donc T (s M ) = Or l effort de traction est supportable lorsque T (s M ) R Comme a est proportionnel à l effort de traction, l effort de traction supportable sans dommage pour le matériau est maximal lorsque b = 0, ie en traction simple ) s M = pi Donc σ = σ = σ = p La question II-6 montre que T (s M ) = 0 Donc T (s M ) < R Quelle que soit la profondeur où se trouve l épave, elle n est pas endommagée par la pression M98DTCbtex - page 8