Notes de cours de Mthémtiques en terminle ES O. Lder 1
Tble des mtières 1 Suites numériques (1S) 4 1.1 Rppels.................................................. 4 1.2 Suite rithmétique............................................ 4 1.3 Suites géométriques........................................... 5 1.4 Seuil et limite d une suite géométrique................................. 6 2 Suites rithmético-géométriques (1S) 10 3 Continuité d une fonction et vleurs intermédiires (2S) 12 3.1 Rppels sur l dérivtion......................................... 12 3.2 Extremum d une fonction........................................ 14 3.3 Continuité sur un intervlle....................................... 15 4 Convexité-concvité (2S) 19 4.1 Lien entre l convexité et les vritions de l dérivée......................... 22 4.2 Point d inflexion............................................. 22 4.3 Appliction : Coût mrginl....................................... 24 5 Probbilités conditionnelles (2,5S) 25 5.1 Rppels :................................................. 25 5.2 Probbilité conditionnelle........................................ 27 6 Fonctions exponentielles (2,5S) 31 6.1 Fonction exponentielle de bse q.................................... 31 6.2 L fonction exponentielle........................................ 32 7 Fonction logrithme népérien (3S) 34 7.1 Définition................................................. 34 7.2 Propriétés................................................. 35 7.3 Dérivée et tbleu de vrition de l fonction ln............................ 36 7.4 Résolution d une éqution du type x n = k............................... 37 8 Lois de probbilité à densité (3S) 39 8.1 Définition et propriétés.......................................... 39 8.2 Lois uniformes.............................................. 40 8.3 Exercices................................................. 41 9 L loi normle (4S) 42 9.1 Rppels : Loi binomile......................................... 42 9.2 Loi normle centrée réduite N (0; 1).................................. 44 9.3 Loi normle N (µ; σ 2 ).......................................... 45 9.4 Progrmme clcultrice pour le clcul de P ( X b)....................... 48 10 Aire sous une courbe : Intégrtion (2S) 50 10.1 Intégrle d une fonction positive.................................... 50 10.2 Primitives................................................. 54 11 Fonction exponentielle, dérivtion (1S) 56 2
12 Fluctution, estimtion (2S) 57 13 Intégrtion : propriétés (2S) 60 3
1 Suites numériques (1S) 1.1 Rppels Définition 1.1. On ppelle suite numérique toute ppliction de l ensemble des nombres entiers supérieurs ou égux à un certin entier nturel n 0 dns l ensemble des nombres réels : Le terme de rng n est noté u n. (u n ) n n0 : {n N; n n 0 } R n u n Définition 1.2. Une suite (u n ) n n0 est dite croissnte si pour tout entier n n 0, on u n u n+1. décroissnte si pour tout entier n n 0, on u n u n+1. constnte si pour tout entier n n 0, on u n = u n+1. Une suite est dite monotone si elle est soit croissnte, soit décroissnte, soit constnte. Propriété 1.3. Soit (u n ) une suite. Si (u n ) est croissnte, lors pour tous entiers m, n supérieurs ou égux à n 0, on m n implique u n u m. Si (u n ) est décroissnte, lors pour tous entiers m, n supérieurs ou égux à n 0, on m n implique u n u m. Comme pour les fonctions, lorsqu une suite est croissnte (respectivement décroissnte) elle conserve (respectivement renverse) l ordre. 1.2 Suite rithmétique Définition 1.4. L suite (u n ) est une suite rithmétique de terme initil u 0 et de rison r, si elle est définie insi : { u 0 u n+1 = u n + r (Pour psser u terme suivnt de l suite, on joute un nombre fixé r) Dns ce cs, le terme de rng n est u n = r n + u 0. 4
Propriété 1.5. Soit (u n ) une suite rithmétique de rison r et de terme initil u 0. Notons que pour tout entier n, u n+1 u n est égle à l rison r. 1. Si r > 0, lors pour tout n : u n < u n+1 et l suite est strictement croissnte. 2. Si r = 0, lors pour tout n : u n = u n+1 = u n+2 =... et l suite est constnte. 3. Si r < 0, lors pour tout n : u n > u n+1 et l suite est strictement décroissnte. 1.3 Suites géométriques Définition 1.6. Une suite (u n ) est une suite géométrique de terme initil u 0 et de rison q : { u 0 u n+1 = q u n (Pour psser u terme suivnt de l suite, on multiplie pr un nombre fixé q, l rison) Propriété 1.7. Soit (u n ) n N une suite géométrique de rison q, lors quel que soit l entier nturel n, on : u n = u 0 q n ; u n = u 1 q n 1, si n 1 ; u n = u p q n p, si n p et p est un entier quelconque. Propriété 1.8. Soit (u n ) une suite géométrique de rison q et de terme initil u 0 positif. Notons que pour tout entier n, un+1 u n est égle à l rison q. 1. Si q > 1, lors pour tout n : u n < u n+1 et l suite est strictement croissnte. 2. Si q = 1, lors pour tout n : u n = u n+1 = u n+2 =... et l suite est constnte. 3. Si q < 1, lors pour tout n : u n > u n+1 et l suite est strictement décroissnte. Propriété 1.9. Soit q 1 un nombre réel, lors 1 + q + q 2 +... + q n = 1 qn+1 1 q Exemple. 1 + 2 + 4 +... + 2 10 = 1 210+1 1 2 = 2 11 1 = 2 047. Soit (u n ) une suite géométrique de rison q 1, on rppelé que u n = u 0 q n pour tout entier n. Ainsi : En résumé, u 0 + u 1 + u 2 +... + u n = u 0 + u 0 q + u 0 q 2 +... + u 0 q n = u 0 ( 1 + q + q 2 +... + q n) (on fctorisé pr u 0) = u 0 1 q n+1 1 q 5
Propriété 1.10. Soit (u n ) une suite géométrique de rison q 1, lors pour tout entier nturel n, on u 0 + u 1 +... + u n = u 0 1 q n+1 1 q On peut fire le même chose vec l formule u n = u 1 q n 1 : u 1 + u 2 + u 3 +... + u n = u 1 + u 1 q + u 1 q 2 +... + u 1 q n 1 = u 1 ( 1 + q + q 2 +... + q n 1) (on fctorisé pr u 1) = u 1 1 q n 1+1 1 q = u 1 1 q n 1 q Propriété 1.11. Soit (u n ) une suite géométrique de rison q 1, lors pour tout entier nturel n 1, on u 1 + u 2 +... + u n = u 1 1 q n 1 q Voici une générlistion : Propriété 1.12. Soit (u n ) une suite géométrique de rison q 1, n p deux entiers nturels. On note S = u p + u p+1 +... + u n }{{} n p+1 termes l somme de termes consécutifs de l suite géométrique, lors S = 1 er de termes 1 qnombre terme 1 q Exemple. Soit (u n ) l suite géométrique de rison q = 1.2 et de terme initil u 0 = 1000. Posons S = u 3 + u 4 +... + u 1 0. Le terme initil de l somme est u 3 = u 0 q 3 = 1000 1.2 3 = 1728. L somme S comporte 10 3 + 1 = 8 termes. D où S = 1728 1 1.28 28 510.42 1 1.2 1.4 Seuil et limite d une suite géométrique Soit (u n ) une suite géométrique de rison q > 0 et de terme initil strictement positif. À l ide de l clcultrice ou d un tbleur, il est possible de déterminer : si q > 1, un rng N à prtir du quel u n M pour tout entier n N. C est-à-dire, à dire un rng à prtir du quel les termes de l suite dépssent un certin seuil M fixé. si 0 < q < 1, un rng N à prtir du quel 0 < u n M pour tout entier n N. C est-à-dire, à dire un rng à prtir du quel les termes de l suite pssent en dessous d un certin seuil M fixé. Pssons mintennt à l notion de limite. En observnt le tbleu sur l évolution de q n lorsque n est de plus en plus grnd pge 8, on note que : si 0 < q < 1, lors q n d utnt qu on veut de 0 quitte à choisir n très grnd. Lorsque n tend vers l infini, q n tend vers 0. Nottion : lim n + qn = 0. 6
si q > 1, lors q n tend à être infiniment grnd plus n est grnd. Quel que soit le seuil M (grnd éventuellement), il v exister à prtir du quel q n ser supérieur u seuil M. Lorsque n tend vers l infini, q n tend vers l infini. Nottion : lim n + qn = +. Propriété 1.13 (dmise). Soit q un nombre réel strictement positif, lors : si 0 < q < 1 lors si q = 1 lors si q > 1 lors lim n + qn = 0 ; lim n + 1n = 1 ; lim n + qn = +. Définition 1.14. Une suite est dire convergente si elle dmet une limite finie lorsque n +. Une suite qui n est ps convergente est dite divergente. Remrque. Le suite (u n ) définie u n = ( 1) n pour tout entier n lterne entre les vleurs 1 et -1. Plus précisément, u n = 1 si n est pir et 1 sinon. Comme, il n y ps de rison de privilégier 1 à 1, cette suite, dite «lternée», n dmet ucune limite lorsque n +. Elle est donc divergente. Propriété 1.15. Soit u 0 et q deux nombres réels. si 0 < q < 1 lors si q = 1 lors si q > 1 lors lim u 0q n = 0 ; n + lim u 0 q n = u 0 ; n + lim u 0 q n = n + { + si u 0 > 0 si u 0 < 0. Propriété 1.16. Soit (u n ) une suite numérique et, b deux nombres réels. Supposons que l suite (u n ) converge vers un nombre l (c est-à-dire, lim u n = l), lors l suite (v n ), définie pr v n = u n + b pour n + tout entier n, converge vers l + b. Formellement : lim u n + b = l + b n + Rppelons que si (u n ) est une suite géométrique de rison q 1, lors u 0 + u 1 +... + u n = u 0 1 q n+1 1 q Propriété 1.17. Soit (u n ) une suite géométrique de rison q 1, lors Si 0 < q < 1, lors lim (u 0 + u 1 +... + u n ) = u 0 n + 1 q 7
Tble 1 Évolution de q n lorsque n est de plus en plus grnd q 0,1 0,2 0,5 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,5 2 n q n = 0, 1 n q n = 0, 2 n q n = 0, 5 n q n = 0, 8 n q n = 0, 9 n q n = 1 n q n = 1, 1 n q n = 1, 2 n q n = 1, 5 n q n = 2 n 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,1 0,2 0,5 0,8 0,9 1 1,10 1,20 1,50 2 2 0,01 0,04 0,25 0,64 0,81 1 1,21 1,44 2,25 4 3 0,001 0,008 0,125 0,512 0,729 1 1,33 1,73 3,38 8 4 0,0001 0,0016 0,0625 0,410 0,656 1 1,46 2,07 5,06 16 5 0,00001 0,00032 0,03125 0,328 0,590 1 1,61 2,49 7,59 32 6,000001 0,00006 0,0156 0,262 0,531 1 1,77 2,99 11,39 64 7 0,0000001 0,0000128 0,0078 0,210 0,478 1 1,95 3,58 17,09 128 8 0,00000001 0,00000256 0,0039 0,168 0,430 1 2,14 4,30 25,63 256 9 0,000000001 0,000000512 0,0020 0,134 0,387 1 2,36 5,16 38,44 512 10 1E-010 1,024E-007 0,0010 0,107 0,349 1 2,59 6,19 57,67 1024 11 1E-011 2,048E-008 0,0005 0,086 0,314 1 2,85 7,43 86,50 2048 12 1E-012 4,096E-009 0,0002 0,069 0,282 1 3,14 8,92 129,75 4096 13 1E-013 8,19E-010 0,0001 0,055 0,254 1 3,45 10,70 194,62 8192 14 1E-014 1,63E-010 6,10E-005 0,044 0,229 1 3,80 12,84 291,93 16384 15 1E-015 3,28E-011 3,05E-005 0,035 0,206 1 4,18 15,41 437,89 32768 20 1E-020 1,05E-014 9,54E-007 0,012 0,122 1 6,73 38,34 3 325,26 1048576 50 1E-050 1,13E-035 8,88E-016 1,43E-05 0,005 1 117,39 9 100,44 637621500,21405 1,13E+015 100 1E-100 1E-070 9E-031 2E-010 3E-05 1 13781 82 817 975 4E+07 1E+030 200 1E-200 2E-140 6E-061 4E-020 7E-10 1 189 905 276 7E+015 2E+035 2E+060 8
Si 1 < q, lors lim (u 0 + u 1 +... + u n ) = n + { + si u 0 > 0 si u 0 < 0 (prdoxe de Zénon). 9
2 Suites rithmético-géométriques (1S) Définition 2.1. Une suite (u n ) définie pr un terme initil et une reltion de récurrence de l forme : u n+1 = u n + b où et b sont des nombres réels, est ppelée suite rithmético-géométrique. Remrque. Quelques cs prticuliers : si = 0, lors l reltion de récurrence est de l forme u n+1 = b et l suite est constnte égle à b. si = 1, lors l reltion de récurrence est de l forme u n+1 = u n +b. L suite (u n ) est lors, en prticulier, une suite rithmétique de rison r = b. si b = 0, lors l reltion de récurrence est de l forme u n+1 = u n. L suite (u n ) est lors, en prticulier, une suite géométrique de rison q =. Exemple. L suite (u n ) définie pr { u 0 = 1000 u n+1 = 1.1u n + 20 est une suite rithmético-géométrique. u 1 = 1.1u 0 + 20 = 1.1 1000 + 20 = 1120 ; u 2 = 1.1u 1 + 20 = 1.1 1120 + 20 = 1252 ; u 3 = 1.1u 2 + 20 = 1.1 1252 + 20 = 1397.2. Méthode : Soit (u n ) une suite rithmético-géométrique définie pr l donnée de u 0 (ou d un utre terme) et pr l reltion de récurrence u n+1 = u n + b. On suppose de plus que 0, 1 et b 0. On définit une suite uxiliire (v n ) pr v n = u n α où α nous été donné 1 de telle mnière que l suite (v n ) soit géométrique. On démontre qu effectivement l suite (v n ) est bien géométrique en prouvnt que v n+1 = q v n pour tout entier nturel n. On exprime le terme v n en fonction de n. On en déduit l expression de u n en fonction de n. Si le premier terme de l suite (u n ) est u 0 et que l suite (v n ) est de rison q, lors u n = α + v 0 q n pour tout entier nturel n. L intérêt d une telle écriture est en premier de pouvoir clculer pr exemple u 10 sns voir à clculer les termes précédents et une seconde ppliction est l étude de l limite de l suite (u n ). Exemple. Soit (u n ) l suite rithmético-géométrique définie pr { u 0 = 1000 u n+1 = 1.1u n + 20 pour tout entier nturel n Posons v n = u n + 200 pour tout entier nturel n. 1. Pour les plus courgeux, on peut retenir que α solution de l éqution α = α + b convient. 10
Montrons que l suite (v n ) est géométrique. Soit n un entier nturel, lors v n+1 = u n+1 + 200 on pplique l reltion précédente vec n + 1. = 1.1u n + 20 + 200 d près le reltion de récurrence sur (u n). = 1.1u n + 220 = 1.1(u n + 220 1.1 ) = 1.1(u n + 200) = 1.1v n Ainsi, on déduit que l (v n ) est géométrique de rison q = 1.1 et de terme initil v 0 = u 0 + 200 = 1200. D près le cours, quel que soit l entier nturel n, v n = 1200 1.1 n. D où : pour tout entier nturel n. v n = u n + 200 1200 1.1 n = u n + 200 u n = 1200 1.1 n 200 11
3 Continuité d une fonction et vleurs intermédiires (2S) Exploiter le tbleu de vrition pour déterminer : le nombre de solutions d une éqution du type f(x) = k ou le signe d une fonction. On se limite à une pproche intuitive et on dmet que les fonctions usuelles sont continues pr intervlle. L propriété des vleurs intermédiires est présentée grphiquement ; on convient que les flèches obliques d un tbleu de vrition trduisent l continuité et l stricte monotonie de l fonction sur l intervlle considéré. 3.1 Rppels sur l dérivtion Définition 3.1. Soit f : I R une fonction définie sur un intervlle I contennt le nombre. Dire que f est dérivble en, c est dire que lorsque h tend vers 0, le tux de vrition de f( + h) f() h tend vers un réel l, ce qu on note lim h 0 f(+h) f() h = l. Dns ce cs, le nombre l est ppelé le nombre dérivé de f en et on le note f (). Définition 3.2. Soit f : I R une fonction dérivble en un point de I, l tngente à l courbe C f u point d bscisse, notée T (f), est l droite pssnt pr le point A et dont le coefficient directeur est f (). Propriété 3.3. Soit f : I R une fonction dérivble en un point de I, lors l éqution de l tngente à l courbe C f u point d bscisse est : Grphiquement : y = f ()(x ) + f() 12
C f y = f ()(x ) + f() f() A 1 f () 0 Définition 3.4. Soit f : I R une fonction définie sur un intervlle I, on dit que f est dérivble sur I si elle est dérivble en tout réel de I. Propriété 3.5. f est dérivble sur : f(x) = f (x) = c (constnte) 0 R x 1 x 2 2x x 3 3x 2 Soit n un entier reltif x n nx n 1 R ou ] ; 0[ ou ]0; + [ ] ; 0[ ou ]0; + [ 1 x 1 x 2 ]0; + [ f(x) = x f (x) = 1 2 x Propriété 3.6. Soit u, v : I R deux fonctions dérivbles sur un intervlle I et c un nombre réel, lors on : (u + v) = u + v (u v) = u v (c u) = c u (uv) = u v + uv 13
Supposons de plus que v ne s nnule pr sur l intervlle I, lors ( 1 v ) = v v 2 ( u v ) = u v uv v 2 Appliction à l étude des vritions d une fonction En revennt à l définition de l tngente, on voit que si l tngente en un point A d bscisse est croissnte (resp. décroissnte), il en v de même pour f u voisinge de A. C f f() T f, f() T f, C f Or le coefficient directeur de l tngente T (f) de C f en A est le nombre dérivé f (). Ainsi, l droite tngente est croissnte (resp. décroissnte) si et seulement si f () > 0 (resp. f () < 0). Propriété 3.7. Soit f : [; b] R une fonction dérivble sur un intervlle [; b], 1. f est constnte sur I, si et seulement si, l dérivée f est nulle sur I. 2. f est strictement croissnte sur I, si et seulement si, l dérivée f est strictement positive sur I (éventuellement nulle en des points isolés). 3. f est strictement décroissnte sur I, si et seulement si, l dérivée f est strictement négtive sur I (éventuellement nulle en des points isolés). En terme de tbleux de vritions les trois propriétés précédentes se présentent de l mnière suivnte : x b x b x b f (x) 0 f (x) + f (x) - 1. f(x) f() f(b) 2. f(x) f() f(b) 3. f(x) f() f(b) Remrque. Pour étudier les vritions d une fonction, il suffit d étudier le signe de s dérivée. 3.2 Extremum d une fonction Théorème 3.8. Soit f : I R une fonction dérivble sur un intervlle ouvert I et un nombre réel pprtennt à I. Si l dérivée f s nnule en chngent de signe en, lors f dmet un extremum en. Plus précisément, 1. si f (x) > 0 pour tout x < de I, f () = 0 et f (x) < 0 pour tout x > de I, lors l fonction f dmet un mximum en sur I : 14
y x f (x) > 0 f (x) < 0 f () = 0 2. si f (x) < 0 pour tout x < de I, f () = 0 et f (x) > 0 pour tout x > de I, lors l fonction f dmet un minimum en sur I : y x f (x) < 0 f (x) > 0 f () = 0 Remrque. L hypothèse du chngement de signe est nécessire : l fonction x x 3 n dmet ps d extremum sur R, pourtnt l dérivée f (x) = 3x 2 s nnule en x = 0, mis cette dérivée ne chnge ps de signe (elle est toujours positive). 3.3 Continuité sur un intervlle Définition 3.9. Soit f une fonction définie sur un intervlle I. On dit que f est une fonction continue sur l intervlle I lorsque s courbe représenttive peut se trcer d un trit continu, c est-à-dire «sns lever le cryon». Exemple. 1) 2) 3) 4) b c b b b Prmi les différents grphes de fonction représentés, les grphes 1), 3) et 4) correspondent à une fonction continue. 15
Propriété 3.10. Les fonctions usuelles sont continues sur leurs ensembles de définition : f est définie pr x x + b (fonction ffine) x x 2 + bx + c (polynôme du second degré) Polynôme de degré n x x x x+b cx+d (fonction inverse) (fonction homogrphique) x x (fonction rcine crrée) les fonctions exponentielles l fonction logrithme Intervlle(s) où f est continue R R R ] ; 0[ et ]0; + [ d d ] ; c [ et ] c ; + [ [0; + [ R ]0; + [ De plus, toutes fonctions définies à prtir d une expression utilisnt les précédentes fonctions est continue sur tout intervlle inclus dns son ensemble de définition. Exemple. L fonction f définie pr f(x) = 1+ x 1 x sur l intervlle ]1; + [ est continue. Propriété 3.11. Soit f : I R une fonction dérivble sur I, lors elle est continue sur cet intervlle. Remrque. Il existe des fonctions continues mis qui ne sont ps dérivbles. Pr exemple l fonction vleur bsolue { x si x 0 x x = bs(x) = x si x < 0 n est ps dérivble mis continue : 4 3 2 x x 1 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Plus précisément, l fonction vleur bsolue n est ps dérivble uniquement en 0. Il y une infinité de droites «tngentes» à l courbe représenttive u point d bscisse 0. Théorème 3.12 (des vleurs intermédiires). Soit f : [; b] R, vec < b, une fonction continue et k un nombre réel compris entre f() et f(b) lors l éqution f(x) = k sur l intervlle [; b], dmet u moins une solution x 0. 16
Remrque. Le théorème des vleurs intermédiires nous dit, morlement, que si l on trce le grphe d une fonction f en prtnt du point de coordonnées (; f() pour ller du point (b, f(b)) sns «lever le cryon» et si on se donne k un nombre réel compris entre f() et f(b) lors nécessirement on coupe l xe horizontle d éqution y = c. y f() C f k y = k 0 x 0 b x f(b) Ce qui implique que k dmet u moins un ntécédent pr l fonction f. Une conséquence : Propriété 3.13. Soit f : [; b] R, vec < b, une fonction continue et strictement monotone. Soi k un nombre réel compris entre f() et f(b) lors l éqution sur l intervlle [; b], dmet une unique solution x 0. f(x) = k Un cs prticulier : Propriété 3.14. Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervlle I = [; b]. Si f() f(b) < 0 lors l éqution f(x) = 0 dmet une solution unique dns [; b]. Pour rechercher l solution de l éqution f(x) = 0, on peut pr exemple mettre en oeuvre l lgorithme de dichotomie : 1: Vribles :, b sont des nombres 2: Entrées : Sisir, b 3: Tritement : 4: Si > b lors 5: c prend l vleur b 6: b prend l vleur 7: prend l vleur c 8: Fin Si 9: Si f(b) f() 0 lors 10: Tnt que b > 10 5 fire ) f() 0 lors 12: b prend l vleur +b 2 13: Sinon 14: prend l vleur +b 2 11: Si f( +b 2 17
15: Fin Si 16: Fin Tnt que 17: Fin Si 18: Sorties : Afficher et b Cet lgorithme réduit l intervlle [; b] de telle sorte qu il soit de longueur inférieure ou égle à 10 5 et contennt l solution à l éqution f(x) = 0. Ainsi, le nombre retourné est une vleur pprochée pr défut de l solution à 10 5 près. Exercice : Modifier l lgorithme pour qu il retourne une vleur pprochée pr excès et u millième près. 18
4 Convexité-concvité (2S) Reconnître grphiquement des fonctions convexes, concves. Utiliser le lien entre convexité et sens de vrition de l dérivée. Reconnître grphiquement un point d inflexion : Un point d inflexion est un point où l représenttion grphique trverse s tngente. Positions reltives des courbes représenttives des fonctions x e x, x ln(x) et x x. Exemple. Considérons l fonction f : [ 1; 5] R définie pr f(x) = x 2 4x + 5. Ci-dessous une représenttion grphique de l courbe représenttive de l fonction f insi que quelques unes de ses tngentes en différents points. C f y 1 0 1 x On observe que l courbe représenttive de l fonction f est u dessus de chcune de ses tngentes. Définition 4.1. Une fonction f : I R dérivble est convexe sur l intervlle I si s courbe représenttive est entièrement située u-dessus de chcune de ses tngentes. Exemple. Considérons l fonction f : [ 1; 5] R définie pr f(x) = x 2 +2x+2. Ci-dessous une représenttion grphique de l courbe représenttive de l fonction f insi que quelques unes de ses tngentes en différents points. 19
y 1 0 1 x C f On observe que l courbe représenttive de l fonction f est en dessous de chcune de ses tngentes. Définition 4.2. Une fonction f : I R dérivble est concve sur l intervlle I si s courbe représenttive est entièrement située en dessous de chcune de ses tngentes. Remrque. On peut définir d une utre mnière l notion de fonction concve : un fonction f est concve sur un intervlle I si l fonction g = f est convexe sur I. Étudier l convexité d une fonction c est déterminer sur quel(s) intervlle(s), elle est convexe et sur quel(s) intervlle(s), elle est concve. Exemple. Considérons une fonction f : [ 3; 10] R dont le grphe est donné ci-dessous. y 3 0 1 4 7.7 10 C f x On observe que l fonction f est : convexe sur les intervlles [1; 4] et [7.7; 10] ; concve sur les intervlles [ 3; 1] et [4; 7.7]. Remrque. Les seules fonctions qui soient à l fois convexes et concves sont les fonctions ffines. Soit f : I R une fonction dérivble et dns I, lors l éqution de l tngente à l courbe représenttive de l fonction f u point d bscisse est y = f () (x ) + f() Si on interprète formellement l propriété géométrique intervennt dns l définition de l convexité, on déduit que : 20
Propriété 4.3. Soit f : I R une fonction dérivble et un réel de I. Pour tout nombre réel x dns I, on : si f est convexe, f(x) f () (x ) + f() ; si f est concve, f(x) f () (x ) + f() ; Rppelons les représenttions grphiques de l fonction exponentielle et du logrithme : y y = e x y = ln(x) 1 0 1 x Propriété 4.4. L fonction exponentielle est convexe sur R ; L fonction logrithme est concve sur ]0; + [. Une conséquence des deux propriétés précédentes : Propriété 4.5. Pour tout nombre réel x, on e x x + 1 ; Pour tout nombre réel x > 0, on ln(x) x 1. Propriété 4.6. Soit f : I R une fonction dérivble et, b deux nombres dns I, lors : si f est convexe : f( +b 2 ) f()+f(b) 2 ; 21
si f est concve : f( +b 2 ) f()+f(b) 2 ; Propriété 4.7. Si f est une fonction convexe sur un intervlle I lors tout rc de courbe est situé en dessous de l corde correspondnte. Si f est une fonction concve sur un intervlle I lors tout rc de courbe est situé u-dessus de l corde correspondnte. 4.1 Lien entre l convexité et les vritions de l dérivée Propriété 4.8. Soit f : I R une fonction dérivble sur un intervlle I. 1. Si l dérivée f est croissnte sur I lors l fonction f est convexe sur I ; 2. Si l dérivée f est décroissnte sur I lors l fonction f est concve sur I. On dmettr pour l fin de ce chpitre que l dérivée de toutes les fonctions dérivbles considérées est ussi dérivble. Définition 4.9. Soit f : I R une fonction dérivble (deux fois). L fonction dérivée de l fonction f est ppelée fonction dérivée seconde de l fonction f et se note f : f = (f ) De l propriété précédente, on déduit le fit suivnt : Propriété 4.10. Soit f : I R une fonction dérivble sur un intervlle I. 1. Si l dérivée seconde f est positive sur I lors l fonction f est convexe sur I ; 2. Si l dérivée seconde f est négtive sur I lors l fonction f est concve sur I. 4.2 Point d inflexion Définition 4.11. Soit f : I R une fonction dérivble sur I et un réel de I. Le point M d bscisse de l courbe C f de l fonction f est ppelé un point d inflexion si l courbe C f trverse l tngente u point d bscisse. y T M C f x 22
Propriété 4.12. Soit f : I R une fonction dérivble sur I et un réel de I. Supposons que f chnge de convexité u voisinge du point d bscisse, lors le point d bscisse de l courbe C f est un point d inflexion. Propriété 4.13. Soit f : I R une fonction dérivble sur I et un réel de I. Supposons que f s nnule en et chnge de signe u voisinge du nombre, lors le point d bscisse de l courbe C f est un point d inflexion. En résumé : bscisse du point d inflexion bscisse du point d inflexion x x dérivée seconde f (x) + - 0 f (x) - + 0 dérivée f (x) f (x) fonction f(x) convexe concve f(x) concve convexe y T y C f M M T C f x x 23
4.3 Appliction : Coût mrginl Supposons qu on exprime le cout totl de production pr une fonction C : I R de l quntité produite. Le coût mrginl est l vrition du coût totl qui serit occsionnée pr l production d une unité supplémentire. Il dépend donc du niveu de production tteint et il est lui ussi une fonction de l quntité produite. Lorsque l quntité est un entier (pr exemple, nombre de pirs de chussure), lors : C m (q) = C(q) q = C(q + 1) C(q) et lorsque l quntité peut être un nombre réel (pr exemple, volume en litres) et l fonction coût C est dérivble, lors : C m (q) = C(q) = C (q) q Le coût mrginl joue un rôle fondmentl dns l nlyse des décisions de production ; lorsque le coût mrginl est négtif pour une production donnée, le chef d entreprise peut en effet s interroger sur l opportunité d ugmenter s production. En revennt ux deux tbleux de l pge précédente, on remrque que si C m = C est l dérivée du coût totl, lors l dérivée seconde du coût totl C est égle l dérivée du coût mrginl C m. D où Propriété 4.14. Soit C : I R une fonction coût dérivble sur I et C m : I R le coût mrginl définie pr C m (q) = C (q) pour tout q dns I. Supposons que l fonction coût dmet un point d inflexion d bscisse, lors le coût mrginl tteint un extremum en. 24
5 Probbilités conditionnelles (2,5S) Conditionnement pr un événement de probbilité non nulle. Nottion P A (B). Construire un rbre pondéré en lien vec une sitution donnée. Exploiter l lecture d un rbre pondéré pour déterminer des probbilités. Clculer l probbilité d un événement connissnt ses probbilités conditionnelles reltives à une prtition de l univers : formule des probbilités totles. Le vocbulire lié à l formule des probbilités totles n est ps un ttendu du progrmme, mis l mise en oeuvre de cette formule doit être mitrisée. 5.1 Rppels : Définition 5.1. Une expérience létoire est une expérience vérifint les deux conditions suivntes : elle comporte plusieurs issues envisgebles. on ne peut prévoir l issue lorsqu on rélise l expérience. On se restreindr ux expériences comportnt un nombre fini d issues. L univers (noté Ω) de l expérience létoire est l ensemble des issues de cette expérience. Un événement est un ensemble d issues de l expérience létoire. Les événements élémentires sont les événements réduits à une unique issue de l expérience. Exemple. Le jet d un dé, tirge d une crte dns un jeu de crte, tirge d une boule dns une urne. Définition 5.2. On ppelle événement contrire d un événement A, l événement noté Ā qui contient l ensemble des issues n pprtennt ps A. Définition 5.3. Soient A et B deux événements d une expérience létoire donnée. L intersection des deux événements A et B est l événement constitué des issues qui sont dns A et dns B, noté A B. L union des deux événements A et B est l événement constitué des issues de A ou de B (u sens lrge), noté A B. On dit que A est inclus dns B, noté A B si toutes les issues de A sont ussi des issues de B. L événement A B se rélise lorsque les deux événements à l fois se rélisent. L événement A B se rélise lorsqu u moins un des deux événements se rélise. 25
Définition 5.4. Dns une expérience létoire, deux événements E et E sont dit incomptibles s ils ne prtgent ps d issue commune (i.e : leur intersection est vide). Définition 5.5. Une (théorie de) probbilité ssociée à une expérience létoire est une ppliction qui à un événement E ssocie un nombre réel, noté P(E) telle que : 1. 0 P(E) 1, 2. P(Ω) = 1 (il se psse certinement quelque chose), 3. Pour tous A et B deux événements incomptibles, P(A B) = P(A) + P(B). Étnt donné un événement E, le nombre P(E) donne (mesure) les chnces de réussite de E. Plus P(E) est proche de 1, plus l événement E se réliser. L probbilité de l événement vide est nul (P( ) = 0). Morlement, lorsqu on rélise une expérience létoire, il se psse toujours quelque chose. Propriété 5.6 (loi des grnds nombres). Lors d une expérience répétée n fois, les fréquences obtenues d un événement E de l expérience se rpprochent de l vrible théorique P(E), l probbilité de l événement E. Propriété 5.7. Dns une expérience létoire, supposons que l univers Ω se décompose en n issues : x 1,..., x n (formellement, Ω = {x 1,..., x n }). Posons p i = P(x i ) l probbilité que l issue x i se rélise. Alors, p 1 +... + p n = 1 L somme des probbilités des issues possibles d une expérience létoire vut toujours un. Ce fit, peut être 26
utilisé comme un premier test de vrisemblnce d une théorie de probbilité proposée pour étudier une expérience létoire! Définition 5.8. Lorsque, dns une expérience létoire, toutes les issues élémentires ont l même probbilité de se réliser, on dit que l expérience est équiprobble. Exemple. Lncé d un dé équilibré, lncé d une pièce équilibrée. Soit A un événement d une expérience létoire, le nombre d issues que contient A est ppelé le crdinl de A et il est noté crd(a). Propriété 5.9. Lors d une expérience létoire ynt n issues équiprobbles : L probbilité de chque événement élémentire est 1 n. L probbilité d un événement A est P(A) = crd(a) n = nombre d issues fvorbles à A nombre d issues possibles Propriété 5.10. L probbilité de l événement contrire d un événement A est : P(Ā) = 1 P(A) Propriété 5.11. Soient A et B deux événements. Si A B lors, P(A) P(B). Morlement, l propriété précédente nous dit que plus un événement contient d issues plus il est probble. Exemple. On considère l expérience létoire du jet d un dé. Soit A l événement "le résultt est un multiple de trois" et B l événement "le résultt est un nombre pir". On note que A = {3, 6} et B = {2, 4, 6}, insi l intersection de A et B est A B = {6}. l union de A et B est A B = {2, 3, 4, 6}. Théorème 5.12. Si A et B sont deux événements d une expérience létoire lors : P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 5.2 Probbilité conditionnelle Dns l univers Ω d une épreuve létoire, on considère un événement A de probbilité non nulle (P(A) 0). Définition 5.13. Pour tout événement B, on ppelle probbilité conditionnelle de B schnt A le nombre P(A B) P A (B) = P(A) 27
Propriété 5.14. 1. L églité précédente permet d exprimer l probbilité de l intersection P(A B) = P(A) P A (B), 2. 0 P A (B) 1, 3. P A (B) + P A ( B) = 1. Propriété 5.15. Dns une sitution d équiprobbilité, on Exemple. P A (B) = nombre d issues de A B nombre d issues de A Les élèves d une clsse sont réprtis suivnt le tbleu ci-contre. Demipensionnire (D) Fille (F) Grçon (G) Totl 12 10 22 Externe (E) 6 8 14 Totl 18 18 36 On choisit u hsrd un de ces élèves. L probbilité que l élève choisi soit une fille est P(F ) = 18 36 = 0.5. L probbilité que l élève choisi soit une fille demipensionnire est P(D F ) = 12 36 = 1 3. Schnt que l élève choisi est une fille, l probbilité qu elle soit demi-pensionnire est P F (D) = 12 18 = 2 3. On peut vérifier que l on bien P F (D) = P(D F ) P(F ). Dns l univers Ω d une épreuve létoire, on considère un événement B et n événements A 1, A 2,..., A n de probbilités non nulles, formnt une prtition de Ω. C est-à-dire que les événements A i sont deux à deux incomptibles et leur union est l univers entier. Grphiquement : En d utres termes, une prtition A 1, A 2,..., A n est une mnière de clsser les issues possibles de notre expériences en n ctégories d événements notées A 1 à A n. Sur un rbre pondéré de probbilités (rélisé ci-desous pour n = 4), une brnche est représentée pr un segment (portnt une probbilité), un noeud est l jonction de deux ou plusieurs brnches, et un chemin est une succession de brnches llnt du noeud initil de l rbre à l une de ses extrémités. Chque chemin correspond à l évènement intersection des événements figurnt sur ce chemin (pr exemple A 2 B pour le 3 e chemin). 28
Arbre Événement Probbilité p A1 (B) B A 1 p A1 ( B) B p(a 1 ) p A2 (B) B A 2 B P(A 2 B) = P(A 2 ) P A2 (B) p(a 2 ) A 2 p A2 ( B) B p(a 3 ) p A3 (B) B p(a 4 ) A 3 p A3 ( B) B A 3 B P(A 3 B) = P(A 3 ) P A3 ( B) p A4 (B) B A 4 p A4 ( B) B Propriété 5.16. À prtir de là, pour les clculs, on utilise les règles suivntes : 1. L somme des probbilités portées sur les brnches issues d un même noeud est égle à 1. 2. L probbilité de l événément correspondnt à un chemin est le produit des probbilité portées sur ses brnches. 3. Le probbilité d un événement est l somme des probbilités des événements correspondnt ux chemins qui y boutissent. Dns l exemple précédent, vec n = 4, l troisième propriété s écrit insi : P(B) = P(A 1 ) P A1 (B) + P(A 2 ) P A2 (B) + P(A 3 ) P A3 (B) + P(A 4 ) P A4 (B) Propriété 5.17 (Formule des probbilités totles, cs n = 2). Soit A et B deux événements, vec A de probbilité non nulle (P() 0), lors P(B) = P(A B) + P(Ā B) c est-à-dire P(B) = P(A) P A (B) + P(Ā) PĀ(B) Une illustrtion vec un rbre pondéré de probbilité : p(a) A p A (B) p A ( B) B B A B P(A B) = P(A) P A(B) p(ā) Ā pā(b) pā( B) B B Ā B P(Ā B) = P(Ā) PĀ (B) B = (A B) (Ā B) P(B) = P(A B) + P(Ā B) 29
Propriété 5.18 (Formule des probbilités totles). Soit A 1, A 2,..., A n des événements d une expérience létoire. Supposons qu ils forment une prtition de l univers et que chcun d eux à une probbilité non nulle. Soit B un événement quelconque, lors P(B) = P(A 1 )P A1 (B) + P(A 2 )P A2 B +... + P(A n )P An (B) 30
6 Fonctions exponentielles (2,5S) 6.1 Fonction exponentielle de bse q On rppelle que si (u n ) est une suite géométrique de rison q > 0, lors u n = u 0 q n. On vit vu que l suite (u n ) est strictement décroissnte lorsque 0 < q < 1 et elle est strictement croissnte lorsque q > 1. q > 1 0 < q < 1 n n On peut définir une fonction dont le grphe psse pr le précédent nuge de points : Propriété 6.1 (et définition). Soit q > 0 un nombre réel. On considère le nuge de points ssocié à l suite géométrique (q n ) n N. Il existe une unique fonction f définie sur l ensemble des nombres réels R vérifint les conditions suivntes : 1. L courbe représenttive de f rélise un prolongement continu du nuge (c est-à-dire, f(n) = q n pour tout entier nturel n) ; 2. f est dérivble sur R ; 3. pour tous nombres réels x et y, f(x + y) = f(x) f(y). Cette fonction est ppelée l fonction exponentielle de bse q. On note pour tout nombre réel x, f(x) = q x Remrques. L propriété nous dit entre utre qu on est cpble (à l ide l clcultrice) de clculer q x quel que soient q > 0 et x un nombre réel. De plus l fonction x q x est dérivble. L reltion fonctionnelle f(x + y) = f(x) f(y) peut donc se réécrire insi : Conséquences de l reltion fonctionnelle : q x+y = q x q y Propriété 6.2. Soit q > 0, et b des nombres réels et n un entier nturel, lors : 1. 1 = 1 ; 2. q +b = q q b ; 3. q = 1 q ; 4. q q b = q b ; 5. q 2 = q ; 6. q n = (q ) n. Propriété 6.3. Soit q > 0 un nombre réel, lors quel que soit x, le nombre q x est strictement positif. 31
Propriété 6.4. On dmet que l fonction x q x, définie sur R, est : strictement décroissnte lorsque 0 < q < 1 ; constnte lorsque q = 1 ; strictement croissnte lorsque q > 1. y y 0 < q < 1 q > 1 x x Exemple. L fonction x 0.9 x est strictement décroissnte sur R cr 0 < 0.9 < 1 ; L fonction x 2.4 x est strictement croissnte sur R cr 1 < 2.4. Une conséquence, Propriété 6.5. Si q 1, lors pour tous nombres réels et b, on : q = q b si et seulement si = b 6.2 L fonction exponentielle Propriété 6.6 (et définition). Il existe une unique fonction x q x qui dmet pour nombre dérivé 1 en 0. On note e l bse de cette fonction exponentielle et e 2, 718. On dit que l fonction exponentielle de bse e est l fonction exponentielle. Elle se note exp : x e x. En prticulier, on : Propriété 6.7. Pour tous x, x dns R, on 1. e x+x = e x e x ; 2. e x = 1 e ; x 3. e x x = ex ; e x 4. e x 2 = e x ; 5. e nx = (e x ) n. Propriété 6.8. L fonction exponentielle est égle à s fonction dérivée. C est-à-dire : pour tout nombre réel x, exp (x) = exp(x). Formellement, on : (e x ) = e x. D utre prt, on vu que l fonction exponentielle est strictement positive insi s dérivée, qui est égle à l fonction exponentielle elle-même, l est ussi et on : 32
Propriété 6.9. L fonction exponentielle exp est strictement croissnte sur R. y y = e x e 1 0 1 x 33
7 Fonction logrithme népérien (3S) 7.1 Définition Rppelons que l fonction exponentielle x e x est continue strictement croissnte. Soit k > 0 un nombre réel lors, d près le corollire du théorème des vleurs intermédiires, il existe un unique réel x 0 tel que e x0 = k. Ce réel x 0 v être noté ln(k), insi on e ln(k) = k Ce nombre ln(k) v être ppelé le logrithme népérien du nombre k : Définition 7.1 (théorème). On dmet qu il existe une unique fonction ppelée logrithme népérien, notée ln, telle que : ln est définie sur ]0; + [ ; pour tout nombre réel x > 0, e ln(x) = x. Comme, e 0 = 1 et e 1 = e, on déduit que ln(1) = 0 et ln(e) = 1. Propriété 7.2. 1. Pour tout y > 0 et x R, on y = e x x = ln(y) ; 2. Pour tout x R : ln(e x ) = x. Remrque. L reltion entre l fonction logrithme népérien et l exponentielle est nlogue à celle déjà connue entre l fonction crrée et l rcine crrée : Fonction crrée et rcine crrée Logrithme népérien et exponentielle Si x > 0, ( x) 2 = x Si x > 0, e ln(x) = x Si x > 0, x2 = x Si x R, ln(e x ) = x On dit que l fonction logrithme népérien est l fonction inverse de l fonction exponentielle. De plus de l première reltion de l propriété précédente, on déduit l chose suivnte : si un point M(x; y) pprtient u grphe de l fonction exponentielle (c est-à-dire, si y = e x ) lors le point M (y; x) pprtient u grphe de l fonction logrithme népérien cr x = ln(y). Ainsi le grphe du logrithme népérien s obtient en prennt le symétrique du grphe de l exponentielle pr rpport à l première bissectrice d éqution y = x : 34
y y = e x y = x y = e x e y = ln(x) x = ln(y) 1 0 1 x e y x En résumé, Propriété 7.3. L fonction logrithme ln est continue et strictement croissnte sur ]0; + [. 2 y y = ln(x) 1 0 1 2 e 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 7.2 Propriétés 35
Propriété 7.4. Soit et b deux nombres de l intervlle ]0; + [. Alors, 1. ln() = ln(b) si et seulement si = b ; 2. ln() < ln(b) si et seulement si < b. En prticuler : ln() = 0 équivut à = 1 ln() = 0 équivut à = 1 ln() < 0 équivut à 0 < < 1 ln() > 0 équivut à > 1 Propriété 7.5. On dmet que pour tout, b > 0 et x R, on 1. ln(b) = ln() + ln(b) ; (le logrithme du produit est l somme des logrithmes) 2. ln( 1 ) = ln() ; 3. ln( b ) = ln() ln(b) ; 4. ln( x ) = x ln(). Soit (u n ) une suite géométrique de rison q. Posons pour tout entier nturel n, v n = ln(u n ). Soit n un entier nturel, ppliquons le logrithme népérien à l reltion de récurrence qui crctérise (u n ) : u n+1 = qu n ln(u n+1) = ln(q u n) ln(u n+1) = ln(u n) + ln(q) v n+1 = v n + ln(q) pr définition de l suite (v n) Ainsi, l suite (v n ) est une suite rithmétique de rison r = ln(q). Propriété 7.6. Si l suite (u n ) est une suite géométrique lors l suite (v n ), définie pr v n = ln(u n ) pour tout entier n, est rithmétique. 7.3 Dérivée et tbleu de vrition de l fonction ln Théorème 7.7. Le fonction logrithme népérien ln est dérivble sur ]0; + [. De plus, pour tout nombre réel x > 0, on : ln (x) = 1 x Remrque. L dérivée du logrithme népérien est l fonction inverse. Comme conséquence, on retrouve le fit que l fonction ln est continue sur ]0; + [. Théorème 7.8. Soit u : I R une fonction dérivble et strictement positive sur un intervlle I. L fonction f définie sur I pr f(x) = ln( u(x) ) est dérivble sur I et pour tout réel x dns I, on : f (x) = u (x) u(x) 36
Remrque. L précédente reltion peut être réécrite formellement insi : ( ln(u) ) = u u 7.4 Résolution d une éqution du type x n = k Soit k un nombre réel strictement positif et n un entier nturel. Supposons qu il existe x > 0 vérifint l condition x n = k et ppliquons le logrithme à cette éqution : x n = k ln(x n ) = ln(k) n ln(x) = ln(k) ln(x) = ln(k) n e ln(x) = e ln(k) n x = e ln(k) n on pplique le logrithme logrithme d une puissnce on pplique l exponentielle Donc si x > 0 est solution de x n = k, lors nécessirement x = e ln(k) n. Propriété 7.9. Si k est un réel strictement positif et si n est un entier nturel non nul lors l éqution dmet une unique solution x dns ]0; + [ : x n = k S = {e ln(k) n } Applictions : équtions et inéqutions (hors progrmme) Soit et b des nombres réels strictement positifs tels que 1. Propriété 7.10. L éqution x = b, d inconnue x, une unique solution dns R : le nombre ln(b) ln(). y y y = x 0 < < 1 > 1 b ln(b) ln() y = x x b ln(b) ln() x Propriété 7.11. L ensemble des solutions de l inéqution x < b est : dns le cs 0 < < 1, l intervlle ] ln(b) ln() ; + [ ; dns le cs 1 <, l intervlle ] ; ln(b) ln() [ ; 37
Propriété 7.12. L ensemble des solutions de l inéqution x > b est : dns le cs 0 < < 1, l intervlle ] ; dns le cs 1 <, l intervlle ] ln(b) ln() ; + [ ; ln(b) ln() [ ; 38
8 Lois de probbilité à densité (3S) 8.1 Définition et propriétés Définition 8.1. On dit qu une fonction f : I R est une densité de probbilité sur I lorsque : l fonction f est continue sur I ; l fonction f est à vleurs positives sur I ; l ire sous l courbe de f est égle à une unité d ire. On dit que l vrible létoire X suit l loi de densité f sur l intervlle I lorsque, pour tout < b dns l intervlle I, l probbilité que X soit compris entre et b s obtient insi : P( X b) = b f(t) dt Propriété 8.2. Soit X une vrible létoire qui suit l loi de densité f sur l intervlle [; b], lors pour tout nombre réel c dns [; b] : 1. P(X = ) = f(t) dt = 0 ; 2. P( X c) = 1 P(c X b). (événement contrire) 1 = P( X b) P( X c) P( X b) = 1 P( X c) O c b X Remrque. Le premier point de l précédente, nous dit que l probbilité qu une vrible létoire X de densité f prenne un vleur c précise est nulle. Pr contre, en générl, il existe un ɛ > 0 tel que l probbilité P(c ɛ X x + ɛ), que X soit à une distnce inférieur à ɛ de c, soit strictement positive. Définition 8.3. Soit X une vrible létoire qui suit l loi de densité f sur l intervlle [; b]. On ssocie l fonction F : R R définie pr F (t) = P(X t) pour tout nombre réel t. Cette fonction F est ppelée fonction de réprtition de F. Remrque. On peut montrer que F () = 0, F (b) = 1 et que F est croissnte. Définition 8.4. Soit X une vrible létoire de densité f sur l intervlle I. Soit J et K deux intervlles inclus dns I, supposons que P(X J) 0. On définit l probbilité conditionnelle de l événement {X K} schnt {X J} insi : P(X J K) P X J (X K) =. P(X J) 39
8.2 Lois uniformes Soit < b deux nombres réels et k un nombre. Du chpitre sur l intégrtion, on déduit que D où l propriété suivnte. b k dt = 1 (b )k = 1 k = 1 b Propriété 8.5 (et définitiion). Soit < b deux nombres réels, on définit f : [; b] R l fonction constnte égle à 1 b : f(x) = 1 b, lors f est une densité de probbilité. Si X est une vrible létoire qui suit l loi de densité constnte f sur l intervlle [; b], lors on dit que X suit une loi uniforme sur [; b]. Propriété 8.6. Si X suit une loi uniforme sur l intervlle [; b], vec < b, lors pour tout c d dns l intervlle [; b], on d 1 P(c X d) = b dt = d c b c 1 b ire = P(c X d) = d c b O c d b X Définition 8.7. L espérnce E(X) d une vrible létoire à densité f sur [; b] est définie pr E(X) = b x f(x) dx Propriété 8.8. Si X suit une loi uniforme sur l intervlle [; b], vec < b, lors son espérnce est E(X) = + b 2 Remrque. L espérnce de X qui suit une loi uniforme est égle à l moyenne de ses bornes +b 2. (lien vec l espérnce d une vrible létoire discrète) 40
8.3 Exercices Exercice 1. Suit à un problème sur son ordinteur portble, Gisèle décide d ppeler le service près-vente du fbricnt. Le temps d ttente exprimé en minutes, vnt d être en communiction vec un conseiller technique suit l loi uniforme sur l intervlle [1; 10]. 1. Quelle est l probbilité que Gisèle ttende moins de trois minutes? 2. Quelle est l probbilité qu elle ttende plus de cinq minutes? 3. Préciser le temps moyen d ttente. Exercice 2. Soit X une vrible létoire qui l loi uniforme sur l intervlle [1; 5]. P 0.35 0.3 0.25 0.20 0.15 0.1 0.05 0 1 2 3 4 5 6 X 1. Déterminer l densité f ssociée à X. 2. Clculer les probbilités suivntes : ) P(X 2.5) ; b) P(2.5 X) ; c) P(X 4) ; d) P(2.5 X 4) ; e) P(X < 1) ; f) P(X 0) ; g) P(X = 2). 3. Soit 1.1 4.9 et posons ɛ = 0.1, déterminer l probbilité que X soit environ égle à u dixième près : P( ɛ X + ɛ) Qu observe-t-on? 4. Déterminer l espérnce de X. 5. Schnt que X pprtient à l intervlle [1; 3], quelle est l probbilité que X soit compris entre 1 et 1.5? Exercice 3. Des études sttistiques ont montré que l durée d un sourire chez un enfnt de huit semines, exprimée en secondes, est comprise dns l intervlle [0; 23[, de fçon létoire. Notons X l vrible létoire correspondnt à l durée d un sourire chez un enfnt de huit semines donné. 1. Quelle est l loi de probbilité suivie pr X? 2. Clculer l probbilité qu un enfnt de huit semines sourit pendnt plus de 10 secondes. 3. Clculer l probbilité qu un sourire dure entre 5 et 15 secondes. 4. Quelle est l durée moyenne d un sourire? 5. Schnt qu un enfnt sourit depuis 12 secondes, clculer l probbilité qu il sourit encore pendnt plus de 10 secondes. Exercice 4. Chque soir, deux copins, Axel et Mtthieu, se connectent en réseu pour jouer. Mtthieu, ponctuel, se connecte chque soir à 19h précises tndis qu Axel se connecte de mnière létoire entre 19h et 19h30. 41
1. Quelle est l probbilité qu un soir, Mtthieu ttende plus de 10 minutes? 2. Un soir, Mtthieu ttend depuis 20 minutes. Agcé, il décide de se déconnecter dns les deux minutes qui suivent, si Axel n est toujours ps connecté. Quelle est l probbilité qu Axel et Mtthieu jouent ensemble en réseu ce soir-là? Exercice 5. L commnde =le() des tbleurs ffiche un nombre létoire de l intervlle [0; 1[. Soit X l vrible létoire égle u nombre ffiché vec l commnde =5*le(). 1. Quelle est l loi suivie pr X? 2. Clculer P(1 X 4). 3. Clculer l probbilité que le chiffre des dizines du nombre létoire X soit 2. 4. Schnt que le chiffre des dizines de X est 2, quelle est l probbilité que le chiffre des centines soit ussi égl à 2? 5. Quelle est l espérnce de X. 9 L loi normle (4S) Connître l fonction de densité de l loi normle N (0, 1) et s représenttion grphique. Loi normle d espérnce µ et d écrt type σ. Utiliser une clcultrice ou un tbleur pour obtenir une probbilité dns le cdre d une loi normle N (µ, σ 2 ). 9.1 Rppels : Loi binomile Définition 9.1. Considérons une expérience létoire de type "Pile ou Fce" vec une probbilité p d voir un succès et donc 1 p d voir un échec. Si l on répète n fois de mnière indépendnte l précédente expérience létoire, lors l vrible létoire qui correspond u nombre de succès suit une loi binomile de prmètres n et p. Définition 9.2 (Utilistion de l clcultrice). Soit X une vrible létoire qui suit une loi binomile de prmètres n et p, lors 1. Avec une csio : pour clculer P (X = k), on utilise l commnde : Bpd(k,n,p) ; pour clculer P (X k), on utilise l commnde : Bcd(k,n,p) ; 2. Avec une TI : pour clculer P (X = k), on utilise l commnde : Bpd(n,p,k) ; pour clculer P (X k), on utilise l commnde : Bcd(n,p,k) ; Remrque. On porter une ttention prticulière à l ordre des prmètres suivnt le modèle de clcultrice! Remrque. Le digrmme en bâtons d une loi binomile de prmètres n et p, lorsque n est très grnd et que p n est ps voisin de 0 et de 1, peut être pproché pr une courbe en cloche". 42
probbilité 0.15 n = 20 et p = 0.4 0.1 0.05 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 n Avec l clcultrice : Avec l csio, dns le progrmme TABLE, tper l commnde Y1 = BinomilPD(X,10,0.25). Puis fire une tble pour X llnt de 0 à 10 vec un ps de 1. (Pour trouver, l commnde BinomilPD, il fut fire (OPTN) [STAT] [DIST] [BINM] ). Avec l TI, il fut tper seq(binompdf(10,0.25,x),x,0,10,1) L 2. Propriété 9.3. Soit X une vrible létoire discrète qui suit une loi binomile de prmètres n et p, lors : l espérnce de X est E(X) = n p ; l vrince de X est V (X) = np(1 p) ; l écrt type de X est σ(x) = np(1 p). Exercice 6. 1. L vrible létoire X suit l loi binomile de prmètres n = 6 et p = 0.25. Voici une représenttion grphique des probbilités P (X = k) pour k llnt de 0 à 6. P(X = k) 0.35 0.3 0.25 0.20 0.15 0.1 0.05 0 1 2 3 4 5 6 k ) Lire P (X = 0). b) Lire l probbilité que X soit égle à 4. c) Déterminer u dixième près, P (X 3) à l ide de l précédente représenttion ou de l clcultrice. 2. On sélectionne les cndidts à un jeu télévisé en leur demndnt de répondre à six questions. Pour chcune des questions, ils devront choisir l réponse excte, prmi qutre ffirmtions. Un cndidt 43
se présente et répond à toutes les questions u hsrd. On note X l vrible létoire désignnt le nombre de réponses exctes données pr ce cndidt à l issue du questionnire. ) Quelle est l loi de probbilité de X? b) Quelle est l probbilité que toutes les réponses du cndidt soient fusses? c) Clculer l probbilité pour que ce cndidt donne u moins 3 bonnes réponses et soit insi selectionné. d) Quelle est le nombre moyen de bonnes réponses sur les 6 questions en répondnt u hsrd? 9.2 Loi normle centrée réduite N (0; 1) Propriété 9.4. L fonction définie sur R pr f(x) = 1 2π e x2 2 est une densité de probbilité. S courbe représenttive est ppelé «courbe de Guss». De plus, l courbe de Guss est symétrique pr rpport à l xe des ordonnées : 0.3 0.2 0.1 3 2 x 1 O 1 x 2 3 X Remrque. L propriété ffirme entre utre que l ire sous l courbe de Guss vut un. Soit x > 0 un nombre réel, rppelons que ( x) 2 = x 2, d où f( x) = 1 2π e ( x)2 2 = 1 2π e x2 2 = f(x) Ce qui prouve que l courbe de Guss est symétrique pr rpport à l xe des ordonnées. Définition 9.5. Une vrible létoire X suit l loi normle centrée réduite N (0; 1) si pour tous réels et b tels que < b, on : b 1 P( X b) = e x2 2 dx. 2π L fonction définie sur R pr f(x) = 1 2π e x2 2 est ppelée fonction de densité de l loi N (0; 1). Remrque. L loi normle centrée réduite est ussi ppelée «loi de Guss» (ou «loi Gussienne»). Le fit que l xe des ordonnées soit un xe de symétrie pour l courbe de Guss, implique, entre utre, l propriété suivnte : Propriété 9.6. Soit X une vrible létoire qui suit l loi normle centrée réduite N (0; 1), lors 1. P(X 0) = P(X 0) = 1 2. Pour tout nombre réel : 2. P(X = ) = 0 et donc P(X < ) = P(X ) ; 3. P(X ) = P( X). 44