Les fonctions usuelles

Les fonctions usuelles MPSI-Cauchy Prytanée National Militaire Pascal DELAHAYE 14 octobre 016 Le flocon de Von Koch est un objet de dimension ln4 ln3 1.6 1 Rappels 1.1 Fonctions polynomiales et rationnelles Proposition 1 : { Les fonctions polynomiales Les fonctions rationnelles sont { continues dérivables sur leurs ensembles de définition. Preuve 1 : Résultats connus! 1. Logarithme népérien Définition 1 : La fonction logarithme La fonction f : ]0,+ [ ]0,+ [ est continue sur l intervalle ]0, + [. 1/ Elle admet donc des primitives. On appelle fonction logarithme népérien l unique primitive de f qui s annule en = 1. Cette fonction est notée : ln : ]0,+ [ R ln 1

Cours MPSI-016/017 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ Proposition : Rappel des propriétés principales 1. ln est dérivable sur ]0 ; + [ et ]0 ; + [, (ln) () = 1. ln(1/) = ln. La fonction ln vérifie :, y > 0, ln(y) = ln+lny et ln(/y) = ln lny ln n = nln n Z 3. On a : lim 0 +ln = et lim ln = + + 4. On a l inégalité classique : > 0, ln() 1 5. On a la limite connue : ln(+1) 0 1 Preuve : 1. Par définition de la fonction logarithme.(a) On dérive la fonction f y () = ln(y) ln lny où y est un paramètre strictement positif. (b) Les deu autres formules s en déduisent. 3.(a) La démonstration de la limite en + fait appel à des théorèmes vus dans le cours sur la dérivabilité. (b) La limite en 0 + s en déduit. 4. On étudie le signe de la fonction f() = ln ( 1). 5. C est la traduction de la dérivabilité du logarithme en 0. Remarque 1. Les résultats précédents permettent d obtenir le graphe de la fonction ln. Graphe de la fonction logarithme Eercice : 1 Prouver que pour tout entier n > 3, la dérivée n ieme de la fonction f() =.ln est donnée par : f (n) () =.( 1) n 1(n 3)! n Remarque. En physique ou SI, on utilise sous la fonction logarithme décimal définie par l epression : log = ln ln10. 1.3 Eponentielle Définition : La fonction eponentielle La fonction logarithme népérien est continue et strictement croissante sur I = R +. Elle réalise donc une bijection de I = R + vers ln(i) = R. On définit la fonction eponentielle comme sa bijection réciproque : ep : R ]0, + [ ep() En raison des propriétés particulières de la fonction eponentielle, on notera plutôt :. ep() = e

Cours MPSI-016/017 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ Remarque 3. Vous verrez en deuième année que l on peut définir la fonction eponentielle par : e = + n=0 n n! Proposition 3 : Rappel des propriétés principales 1. ep est dérivable sur J = R et R, ep () = ep() { e. ep est un morphisme de groupes : (, y) R, e +y = e e y et n = (e ) n n Z e = 1/e 3. On a l inégalité classique : R, e 1+ 4. Limites : lim e = 0 + et lim + e = +. 5. Autre limite importante : lim 0 e 1 = 1. Preuve 3 : 1. On applique le théorème de dérivation d une fonction réciproque. C est une conséquence de la relation fonctionnelle ln(y) = ln+lny. Les deu autres formules se déduisent facilement de la première. 3. On étudie la fonction f() = e (1+). 4. Ces deu limites se déduisent immédiatement des limites en 0 + et en + de la fonction logarithme. 5. C est la traduction de la dérivabilité de l eponentielle en 0. Remarque 4. On obtient le graphede la fonction ep par symétriedu graphede ln parrapportàla premièrebissectrice. Dessin Graphe de la fonction eponentielle 1.4 Fonctions puissance α = e αln (où α R!!) Définition 3 : Définition de n pour n Z Pour R et n N On a par définition n = (n fois) Pour R n et n Z\N On a par définition n = 1 n Pour R On a par convention 0 = 1 3

Cours MPSI-016/017 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ Définition 4 : Définition de α pour α Z Pour α Z, on définit : f α : ]0,+ [ R α = e αln Remarque 5. Vérifier la cohérence de cette définition avec les définitions connues de n lorsque n Z sur R +. Proposition 4 : Les fonctions puissances vérifient les propriétés usuelles des puissances entières. Ainsi, { (α, β) R R + : 1. α. β = α+β. ( α ) β = α.β 3. α β = α β Preuve 4 : La vérification est immédiate! Eemple 1. Démontrer les formules ln( α ) = α.ln et (e ) α = e α pour tout α R. Remarque 6. Les fonctions puissances montre que le flocon de Von Koch est un objet fractal de dimention ln4 ln3. Définition 5 : Les fonctions racine nième Soit n N. La fonction f : n est { continue strictement croissante sur R +. Elles sont donc bijectives de R + dans R +. Leur bijection réciproque est appelée racine nième et est notée : f 1 : R + R + n. Remarque 7. On vérifie facilement que pour tout R +, on a : n = 1 n Proposition 5 : 1. f α est dérivable sur R + (fonction composée) et R +, f a() = α α 1.. En notant I =]0,+ [, Si α = 0, f α est constante et vaut 1. Si α > 0, f α est strictement croissante sur I. Si α < 0, f α est strictement décroissante sur I. Preuve 5 : Vérifications immédiates! α = 1 α > 1 0 < α < 1 α = 0 α < 0 Figure 1 Fonctions puissance α 4

Cours MPSI-016/017 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ Proposition 6 : Continuité et dérivabilité en 0 1. Lorsque α > 0, on peut prolonger par continuité f α et 0 en posant f α (0) = 0.. Dérivabilité en 0 : Si α > 1, f α est dérivable en 0 avec f α(0) = 0. Si α = 1, f α est dérivable en 0 avec f α (0) = 1. Si 0 < α < 1, f α n est pas dérivable en 0 (demi-tangente verticale). Preuve 6 : Simples calculs de limites! Proposition 7 : Inverse d une fonction puissance La fonction f α est bijective de R + dans R + et : f 1 α = f 1 α Preuve 7 : On démontre facilement en vérifiant que R + f α of 1 α () = f 1 α of α() = Eercice : Justifiez la dérivabilité de la fonction f définie sur ]0; [ par f() = (cos ) ln. Calculez sa dérivée. Proposition 8 : Une nouvelle Forme Indéterminée Lors du calcul de limite, la forme 1 est une forme indéterminée! Preuve 8 : Il suffit de calculer les limites en 0 des fonctions définies par f 1 () = (1+) 1 et f () = (1 ) 1. 0 Remarque 8. Rappel des différentes formes indéterminées : 0,, 0 et +. Remarque 9. Ne jamais prendre la limite d une puissance qui dépend de la variable!! On évite ce problème en eprimant l epression à l aide de la forme eponentielle qui définit la fonction puissance. 1.5 Comparaison des fonctions ln, ep et puissances Définition 6 : Notation de Landau Soit a une notation qui représente, soit un réel, soit ± (a R). Soient f et g deu fonctions définies au voisinage de a, avec g ne s annulant pas au voisinage de a privé de a. On dira que f est négligeable devant g au voisinage de a lorsque : f() lim = 0 et on écrira : f() = o(g()) a g() Théorème 9 : Comparaison des fonctions usuelles en + Soient α, β, γ trois réels strictement positifs. 1) Comparaison puissance et eponentielle : en + : α = o(e β ) ) Comparaison ln et puissance : en + : ln γ = o( α ) d où α ln β 0 + 0 3) Comparaison ln et eponentielle : en + : ln γ = o(e β ) Preuve 9 : 1. On se ramène à l étude de la limite de e θ en +. Puis on étudie la fonction f() = e/ θ.. On se ramène à la situation précédente en posant y = ln. 3. On utilise les deu résultats précédents. Eemple. Calculez les limites suivantes : 5

Cours MPSI-016/017 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ 1. f() =.ln(3) en 0 +.. g() = 34 en +. 3. h() = ln. 3 3 e en +. Les fonctions circulaires et leurs réciproques.1 Rappels sur les fonctions circulaires Proposition 10 : { cos Les fonctions sin sont C sur R et : R : { (cos) = sin (sin) = cos. La fonction tan est C sur R\{ []} et : R\{ []} : (tan) = 1+tan = 1 cos Preuve 10 : Résultats connus et admis! Remarque 10. Dans la proposition précédente,les notations (cos), (sin) et (tan) sont pratiquesmais incorrectes! On acceptera cependant cet abus de notation. 1 y = sin() 1 y = cos() 0 1 1 Je vous rappelle les formules de trigonométrie à connaître impérativement : 1. cos(a+b) = cosa.cosb sina.sinb. sin(a+b) = sina.cosb+cosa.sinb 3. tan(a+b) = tana+tanb 1 tana.tanb 4. cosa = cos a sin a =.cos a 1 = 1.sin a 5. sina = sina.cosa 6. tana =.tana 1 tan a y = tan() 3 On obtient en posant t = tan θ : 1. cosθ = 1 t 1+t. sinθ = t 1+t 3. tanθ = t 1 t 6

Cours MPSI-016/017 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ Remarque 11. Les formules précédentes sont très utiles dans le calcul d intégrales ou de primitives de fonctions circulaires. Proposition 11 : Comparaison au voisinage de 0 1. sin 0 1. tan 0 1 3. 1 cos / 0 1 Preuve 11 : 1. Les deu premières limites se prouve géométriquement en appliquant le théorème des gendarmes et en comparant des aires dans le cercle trigonométrique. Les démonstrations utilisant la dérivée des fonctions sin et tan en 0 n est pas acceptable car on utilise les valeurs de ces limites pour prouver leur dérivabilité.. On lève la forme indéterminée en multipliant numérateur et dénominateur par 1 + cos.. La fonction arcsin Sur l intervalle [, ], la fonction sinus est continue strictement croissante vers [ 1,1]. Elle admet donc une bijection réciproque notée arcsin : [ 1,1] [, ]. La fonction arcsin : Quelques valeurs particulières à connaître : arcsin(0) = 0 arcsin(1/) = 6 arcsin ( ) 1 = 4 arcsin ( 3 ) = 3 arcsin(1) = arcsin est l arc de [, ] dont le sinus est Remarque 1. Comme la fonction sin, la fonction arcsin est impaire et croissante Eemple 3. Démontrer que ] 1,1[, tan(arcsin) = 1 Attention : Piège!!! La définition de la fonction arcsin nous donne deu relations : Mais que dire de arcsin(sin) pour réel quelconque?... { 1. [ 1, 1] on a : sin(arcsin) =. [, ] on a : arcsin(sin) = Eercice : 3 Etudier l application f définie sur R par : f() = arcsin(sin). 7

Cours MPSI-016/017 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ Proposition 1 : La fonction arcsin est dérivable sur l intervalle ] 1,1[ (demi-tangentes verticales en 1 et 1) et ] 1,1[, (arcsin) () = 1 1 Preuve 1 : Application du théorème de dérivation de la réciproque d une fonction. Remarque 13. La fonction arcsin n est pas dérivable au bornes de son ensemble de définition. Proposition 13 : Limite On a la limite suivante : arcsin lim 0 = 1 Preuve 13 : Conséquence de la dérivabilité de la fonction arcsinus en 0..3 La fonction arccos Sur l intervalle [0, ], la fonction cosinus est continue strictement décroissante vers [ 1, 1]. Elle admet donc une bijection réciproque notée arccos : [ 1,1] [0,]. La fonction arccos : Quelques valeurs particulières à connaître : arccos(0) = arccos(1/) = 3 arccos ( ) 1 = 4 arccos ( 3 ) = 6 arccos(1) = 0 arccos est l arc de [0, ] dont le cosinus est Remarque 14. Comme la fonction cos, la fonction arccos est décroissante. Eemple 4. Démontrer que [ 1,1], 0, tan(arccos) = 1 Attention : Piège!!! La définition de la fonction arccos nous donne deu relations : Mais que dire de arccos(cos) pour réel quelconque?... { 1. [ 1, 1] on a : cos(arccos) =. [0, ] on a : arccos(cos) = Proposition 14 : La fonction arccos est dérivable sur l intervalle ] 1,1[ (demi-tangente verticale en 1 et 1), et ] 1,1[, (arccos) () = 1 1 8

Cours MPSI-016/017 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ Preuve 14 : Application du théorème de dérivation de la réciproque d une fonction. Remarque 15. La fonction arccos n est pas dérivable au bornes de son ensemble de définition. Proposition 15 : [ 1,1], arcsin+arccos = (1) et arccos+arccos( ) = () Preuve 15 : On peut par eemple étudier les dérivées des fonctions { f() = arcsin+arccos g() = arccos+arccos( ). Formule 1 Formule Remarque 16. 1. La relation (1) permet d eprimer la fonction arccos en fonction de la fonction arcsin. On pourra ainsi l utiliser pour remplacer arccos() par arcsin() dans les études de fonctions.. On peut utiliser la relation () pour prouver que le graphe de la f arccos est symétrique par rapport à A(0, ). Eemple 5. Etudier l application f définie sur R par : f() = arccos(cos ). Eercice : 4 Etudier la fonction f définie par f() = arcsin(sin)+ 1.arccos(cos) dans le but de la représenter..4 La fonction arctan Sur l intervalle ], [, la fonction tangente est continue strictement croissante vers R. Elle admet donc une bijection réciproque notée arctan : R ], [. Restriction de tan à ], [ et fonction arctan : 9

Cours MPSI-016/017 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ Quelques valeurs particulières à connaître : arctan(0) = 0 arctan ( 1 3 ) = 6 arctan(1) = 4 arctan( 3) = 3 arctan est l arc de ], [ dont la tangente est Eercice : 5 ( ) Soit a 1,...,a 13 des réels. Montrer qu il eiste deu valeurs distinctes p, q [[1,13]] telles que : 0 ap aq 1+a pa q 3. Attention : Piège!!! La définition de la fonction arctan nous donne deu relations: Mais que dire de arctan(tan) pour réel quelconque?... { 1. R on a : tan(arctan) =. ], [ on a : arctan(tan) = Eemple 6. Calculer X = arctan 1 +arctan 1 5 +arctan 1 8 Eercice : 6 Démontrer que R, sin(arctan) = 1+ Proposition 16 : La fonction arctan est dérivable sur R et R, (arctan) () = 1 1+ Preuve 16 : Par application du théorème de dérivation de la fonction réciproque. Proposition 17 : Comparaison en 0 arctan On a la limite suivante : lim 0 = 1 Preuve 17 : Conséquence de la dérivabilité de la fonction arctan en 0. Proposition 18 : R arctan+arctan 1 = ε (ε = signe()) Preuve 18 : Il suffit de dériver la fonction f() = arctan+arctan 1. Eercice : 7 Soient (a, ) R tels que a 1. Montrer que : arctana+arctan = arctan a+ 1 a +ε (ε { 1,0,1}) Pour simplifier une epression ou démontrer une formule comportant des fonctions trigonométriques circulaires, il eiste en général trois méthodes possibles : 1. On peut effectuer un changement de variable judicieu. On peut s intéresser à la tangente, au cosinus ou au sinus d un des deu membres. 3. On peut effectuer une dérivation et reconnaître une dérivée connue. Attention dans ce cas à appliquer correctement le théorème de primitivation. Eercice : 8 ( Simplifier pour ] 1,1[, arctan 1 ). 10

Cours MPSI-016/017 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ 3 Les fonction hyperboliques On définit les fonctions hyperboliques ch, sh et th sur R de la façon suivante : Remarquer la correspondance avec les epressions complees des fonctions circulaires... ch = e +e cos = ei +e i sh = e e sin = ei e i i th = sh ch tan = sin cos Proposition 19 : Les fonctions hyperboliques sont dérivables sur R et R : ch = sh cos = sin Preuve 19 : Pas de difficulté. sh = ch à comparer à sin = cos th = 1 th = 1 ch tan = 1+tan = 1 cos Proposition 0 : Limites On a les limites suivantes : sh th lim 0 = 1 et lim 0 = 1 Preuve 0 : Conséquence de la dérivabilité des fonctions sh et th en 0. Formules à connaître : ch+sh = e ch sh = e cos+isin = e i cos isin = e i ch sh = 1 cos +sin = 1 Remarque 17. 1. les formules précédentes se démontrent par un simple calcul.... Comme en trigonométrie circulaire, il eiste des formules de trigonométrie hyperbolique. sin par ish On pourra retrouver ces fomules en remplaçant : cos par ch dans les formules de trigonométrie circulaire. tan par ith Retrouver ainsi les formules permettant d eprimer ch et sh en fonction de ch et sh. Proposition 1 : Branches infinies. La courbe d équation y = e est asymptote au deu courbes d équation y = sh et y = ch qui se positionnent de part et d autre de cette asymptote. Preuve 1 : On vérifie facilement que sh e 0 et ch e 0. Une étude classique du sens de variation des fonctions hyperboliques permet d obtenir les graphes suivants. 11

Cours MPSI-016/017 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ y = ch +1 y = e y = th 1 y = sh Figure Fonctions sh, ch et th Remarque 18. La courbe de la fonction ch est appelée une chaînette. Il s agit de la courbe obtenue en tenant une chaîne entre deu doigts. (Voir votre professeur de physique pour la démonstration) Proposition : Retenir que R, 1 ch sh < ch 1 < th < 1 Preuve : Conséquences des études de fonctions. Eercice : 9 ( ) Etudier la fonction définie par f() = arctan ( th() ) arctan ( sh() ). Eercice : 10 ( ) Montrer que 0 th = th 1 th puis calculer S n = 4 Connaissez-vous votre cours? Vous devez impérativement savoir répondre au différentes questions suivantes : n 1 k th( k ). k=0 Questions Réponses attendues. Que faut-il vérifier pour pouvoir appliquer le théorème de la bijection? cf cours 3. Que faut-il vérifier pour prouver que la bijection réciproque est dérivable? cf cours 5. Donner l epression de (f g) Réponse : f g g +f g g 1

Cours MPSI-016/017 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ 6. Savez-vous définir les fonctions ln, ep et α avec α R? cf cours Pouvez-vous justifier leur dérivabilité? 7. Savez-vous démontrer que : ln(+1) 1, e 1 0 1, arcsin 0 1? 0 cf cours 8. Pourquoi peut-on affirmer que α β = α+β pour tout > 0 et tout α, β R? cf cours 9. Que dit le théorème de comparaison des fonctions ep., log. et puissances en +? cf cours Sauriez-vous redémontrer que e / + 10. Pouvez-vous tracer précisément les graphes des différentes fonctions ep., log. et puissances? cf cours 11. Pouvez-vous redéfinir les fonctions arcsin, arccos, arctan et tracer précisément leur graphe? cf cours 1. Que représentent les valeurs arcsin(), arccos(), arctan()? cf cours arcsin(sin) = 13. Dans quels cas peut-on affirmer que : arccos(cos) = arctan(tan) =? cf cours 14. Savez-vous tracer les fonctions définies par f() = arcsin(sin) et g() = arccos(cos )? cf cours 15. Connaissez-vous et savez-vous retrouver les dérivées des fonctions arcsin, arccos, arctan? cf cours 16. Eiste-t-il un lien entre arcsin et arccos? arccos et arccos( )? arctan et arctan 1? cf cours 17. Sauriez-vous calculer la valeur X = arctan+arctan5+arctan8? 5 4 18. Pouvez-vous redéfinir les 3 fonctions hyperboliques? cf cours Connaissez-vous précisément leur dérivée? Pouvez-vous les tracer sur un même graphique? 0. Comment retrouver rapidement les formules de trigonométrie hyperbolique? cf cours Eprimer th en fonction de t = th? t th = 1+t 1. Pouvez-vous prouver que arcsin(th ) = arctan(sh ) pour tout R? Par dérivation 13

Cours MPSI-016/017 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ 5 Eercices Codage : 1. Les eercices avec des coeurs sont à traiter en priorité.. Le nombre d étoiles ou de coeurs correspond à la difficulté des eercices. Pour toutes les fonctions usuelles vues en cours, il est essentiel de bien connaître : 1. Les définitions de ces fonctions. Leur ensemble de définition et l ensemble des valeurs prises 3. Leur graphe (points particuliers, tangentes, asymptotes...) et leurs propriétés (parité, périodicité...) 4. Leur ensemble de dérivabilité et l epression de leur dérivée 5. Les différentes formules faisant intervenir ces fonctions 1) Les fonctions puissances, eponentielles et logarithmes 1. Lorsque dans une epression, la puissance est un réel quelconque ou bien dépend de la variable, on commence par mettre l epression sous forme eponentielle avant de commencer toute étude.. Bien connaître les formules avec les puissances ainsi que les relations caractéristiques de l eponentielle et du logarithme. 3. Bien connaître les limites particulières, utiles pour lever les formes indéterminées. Eercice de TD : 1 ( ) Soit la fonction f de R dans R définie par f() = (+ +1) 1. 1. Montrer que f se prolonge par continuité sur R en une fonction g.. Déterminer la limite de f en +. 3. Etudier la parité de g. 4. Justifier la dérivabilité de g sur R. 5. On admet que lim 0 g () = 0. Que peut-on en déduire sur la dérivabilité de g en 0? Eercice de TD : ( ) Soient a et b, réels strictement positifs. Etudier la limite en + de la fonction f() = ( a +b ) 1. Eercice de TD : 3 ( ) Etudier la limite en 0 de la fonction f() = ecos e ch cos ch. Aide : une mise en facteur devrait aider... ) Les fonctions trigonométriques réciproques 1. Outre les ensembles de définition, de dérivabilité, les graphes et les epressions des dérivées, il faut également (a) connaître quelques formules... (b) savoir que arccos(cos ), arcsin(sin ) et arctan(tan ) donnent que sur certains intervalles.. Bien distinguer les deu types de questions suivantes : (a) Déterminer les valeurs de vérifiant... Il s agit ici de résoudre une équation et la méthode par analyse/synthèse sera en général utilisée (b) Prouver que pour tout I, on a la relation suivante... On choisira ici i. une méthode de type Soit I, calculons (avec éventuellement un changement de variable) ou ii. un raisonnement par équivalences successives ou enfin iii. une méthode utilisant une étude de fonction (qui aboutit à une dérivée nulle sur un intervalle) 14

Cours MPSI-016/017 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ Eercice de TD : 4 1. ( ) Résoudre l équation : arcsin() = arccos().. ( ) Résoudre l équation : arcsin()+arcsin( ) = 4. 3. ( ) Résoudre l équation : arctan( 1)+arctan+arctan(+1) =. Eercice de TD : 5 ( ) Etudier la fonction f définie par f() = (++ 1 )arctan Eercice de TD : 6 ( ) Après avoir déterminé son ensemble de définition, simplifier f définie par f() = arctan ( 1 sin 1+sin) : 1. à l aide des formules de trigonométrie.. par dérivation. Eercice de TD : 7 ( ) Simplifier la fonction f() = arcsin( 1 ) après avoir déterminé son ensemble de définition. Eercice de TD : 8 ( ) Etudier la fonction définie par f() = arcsin ( ( 1) (1+ )). Eercice de TD : 9 ( ) Démontrer que : [0;1], arcsin = 4 + 1 arcsin( 1). Aide : on pourra procéder par dérivation, ou (et!!) utiliser la trigonométrie en posant = sin u. Eercice de TD : 10 ( ) Formule de Machin. Cette formule permit à M. Machin de déterminer 100 décimales de en 1706. Montrer que l équation 4arctan arctan 1 39 = 4 admet une unique solution dans R et déterminer une méthode pour obtenir la forme eacte de cette solution. 3) Les fonctions hyperboliques 1. Bien connaître les ensembles de définition, de dérivabilité, les graphes et les epressions des dérivées. Savoir retrouver quelques relations simples de trigonométrie hyperbolique Eercice de TD : 11 ( ) Montrer que R, on a arccos(th)+.arctan(e ) =. ( ) Eercice de TD : 1 1. Pour n N et R, calculer sh( n )P n () puis simplifier l epression P n () =. En déduire la limite lorsque n + de P n (). 3. Pour (n,, y) N R R tel que y, calculer l epression Q n (,y) = 1 n 4. En déduire la limite lorsque n + de Q n (, y). Eercice de TD : 13 n ( ) Calculer S 1 = ch(a+kb) et S = k=0 n sh(a+kb). k=0 n ch( k). Eercice de TD : 14 ( ) Soit sch la fonction définie par sch() = 1 ch. 1. Etudier l ensemble de définition et les variations de sch en précisant les limites au bornes. k=1 n 1 k=0 ( ch k +ch y k ).. Montrer que la restriction de sch à [0, + [ admet une bijection réciproque. On note argsch cette application. 3. Donner les variations ainsi que les limites au bornes de cette fonction argsch. 15

Cours MPSI-016/017 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ 4. Tracer les courbes réprésentatives des deu fonctions précédentes. 5. Epliciter la fonction argsch. Eercice de TD : 15 np ( ) Soit p N. Pour tout n, on note S n = sh 1 k. k=n 1. Prouver que pour tout ]0, 1[, on a : 1+ e sh 1. En déduire que : n, ln ( ) np+1 n Sn ln ( ) n 1 np. 3. Déterminer alors la limite de S n lorsque n +. 1. 16