- 1 - lasseur de géométrie 4 ème Pour démontrer que. Un point est le milieu d un segment Un point est sur un cercle Un point est l image d un autre par es distances sont égales eux angles ont la même mesure eux droites sont parallèles eux droites sont perpendiculaires ou un angle est droit Un triangle est isocèle Un triangle est équilatéral Un triangle est rectangle Un quadrilatère est un parallélogramme Un quadrilatère est un rectangle Un quadrilatère est un losange Un quadrilatère est un carré Une droite est une médiatrice Une droite est une bissectrice Une droite est une médiane Une droite est une hauteur Une droite est tangente à un cercle Une droite est remarquable dans un triangle Page 2 Page 2 Page 2 Page 3 Page 4 Page 5 Page 6 Page 7 Page 7 Page 7 Page 8 Page 8 Page 8 Page 9 Page 9 Page 9 Page 9 Page 9 Page 10 Page 10 Pour calculer. Une distance Un angle Page 10 Page 11 lasseur de géométrie en 4 ème - ollège ondorcet - ourdan
Un point est le milieu d un segment - 2 - Utiliser une symétrie centrale Les points et sont symétriques par rapport au point donc est le milieu du segment []. Utiliser une médiatrice est la médiatrice du segment [] donc coupe [] en son milieu. Utiliser une médiane ans le triangle, la droite est la médiane issue de donc passe par le milieu du côté correspondant []. Utiliser un parallélogramme est un parallélogramme (ou un rectangle ou un losange ou un carré) donc ses diagonales [] et [] se coupent en leur milieu. ppliquer un des théorèmes des milieux ans le triangle, la droite (P) passe par le milieu du côté [] et (P) est parallèle à un deuxième côté []. onc (P) coupe le troisième côté [] en son milieu P. P Un point est sur un cercle Utiliser des distances égales = = = 2 cm donc les points, et sont sur le même cercle de centre et de rayon 2 cm. Utiliser un triangle rectangle Le triangle est rectangle en donc appartient au cercle de diamètre []. Par conséquent, le cercle circonscrit au triangle est le cercle de diamètre [] et a pour centre le milieu du segment []. Un point est l image d un autre par Utiliser une symétrie centrale Utiliser une symétrie axiale est le milieu du segment [] donc est le symétrique de par rapport au point. n peut aussi dire que est l image du point par la symétrie de centre. est la médiatrice du segment [] donc est le symétrique de par rapport à. n peut aussi dire que est l image de par la symétrie d axe. lasseur de géométrie en 4 ème - ollège ondorcet - ourdan
- 3 - es distances sont égales Utiliser un triangle isocèle est isocèle en donc =. Utiliser un triangle équilatéral est équilatéral donc ==. Utiliser un losange Utiliser un rectangle est un losange (ou un carré) donc ===. est un rectangle (ou un carré) donc ses diagonales [] et [] ont la même longueur. Utiliser un parallélogramme est un parallélogramme (ou un rectangle ou un losange ou un carré) donc ses côtés opposés [] et [], ainsi que [] et [], sont de la même longueur. Utiliser une médiatrice appartient à la médiatrice du segment [] donc est équidistant des extrémités et de []. Par conséquent =. Utiliser une bissectrice Utiliser un cercle Le point appartient à la bissectrice de l angle a. onc est équidistant des côtés [) et [) de a. Par conséquent H = K. H K Les points,, sont sur le cercle de centre donc les distances,, sont égales au rayon de ce cercle. lasseur de géométrie en 4 ème - ollège ondorcet - ourdan
- 4 - eux angles ont la même mesure Utiliser un triangle isocèle est isocèle en donc a = a Utiliser un triangle équilatéral est équilatéral donc a = a = a =60 Utiliser des angles opposés par le sommet n sait que les angles et N sont opposés par le sommet donc = N N Utiliser deux droites et une sécante a et a sont deux angles alternes-internes formés par les deux droites () et () parallèles et la sécante () a et a sont deux angles correspondants formés par les deux droites () et () parallèles et la sécante () donc a = a. donc a = a. Utiliser une bissectrice (z) est la bissectrice de l angle a xy x donc (z) partage a xy en deux angles a xz et a zy de la même mesure. z y lasseur de géométrie en 4 ème - ollège ondorcet - ourdan
eux droites sont parallèles - 5 - Utiliser deux droites perpendiculaires Utiliser deux droites parallèles (d 1 ) ( ) et (d 2 ) ( ) donc (d 1 ) // (d 2 ) u : (d 1 ) ( ) (d 2 ) (d 1 ) // ( ) et (d 2 ) // ( ) donc (d 1 ) // (d 2 ) u : ( d 1 ) ( d 2 ) ( ) (d 1 ) et (d 2 ) sont perpendiculaires à la droite ( ) donc (d 1 ) et (d 2 ) sont parallèles entre elles. (d 1 ) et (d 2 ) sont parallèles à la droite ( ) donc (d 1 ) et (d 2 ) sont parallèles entre elles. Utiliser un parallélogramme ppliquer le théorème des milieux est un parallélogramme (ou un rectangle ou un losange ou un carré) donc ses côtés opposés [] et [], ainsi que [] et [], sont parallèles. ans le triangle, (N) passe par les milieux et N des côtés [] et [] donc (N) est parallèle au troisième côté []. N Utiliser une sécante a et a sont deux angles alternes-internes formés par les deux droites () et () et la sécante () et a = a donc () // (). a et a sont deux angles correspondants formés par les deux droites () et () et la sécante () et a = a donc () // (). lasseur de géométrie en 4 ème - ollège ondorcet - ourdan
eux droites sont perpendiculaires ou un angle est droit - 6 - Utiliser trois droites Utiliser une tangente à un cercle (d 1 ) // (d 2 ) et (d 1 ) ( ) donc (d 2 ) ( ) u : ( ) (d 2 ) La droite est tangente au cercle de centre au point donc est perpendiculaire à (). (d 1 ) et (d 2 ) sont parallèles et ( ) est perpendiculaire à (d 1 ) donc ( ) est perpendiculaire à (d 2 ) (d 1 ) Utiliser une médiatrice Utiliser une hauteur d un triangle est la médiatrice de [] donc []. (H) est la hauteur issue de dans le triangle donc (H) (). H Utiliser un losange Utiliser un rectangle est un losange donc ses diagonales [] et [] sont perpendiculaires. est un rectangle donc ses quatre angles sont droits. Par conséquent : () (). lasseur de géométrie en 4 ème - ollège ondorcet - ourdan
- 7 - Un triangle est isocèle Utiliser deux côtés égaux = donc le triangle est isocèle en Utiliser deux angles égaux a = a donc le triangle est isocèle en. Un triangle est équilatéral Utiliser trois côtés égaux == donc le triangle est équilatéral. Utiliser des angles égaux a = a = a =60 donc le triangle est équilatéral. Un triangle est rectangle Utiliser des distances égales La longueur S de la médiane issue de S est égale à la moitié du côté [RT] donc le triangle SRT est rectangle en S. S Utiliser un cercle appartient au cercle de diamètre [] donc est rectangle en. R T Utiliser des distances une part : [G] est le côté le plus long et G² = 5² = 25 autre part : G² + ² = 3² + 4²= 9+ 16 = 25 onc G² = G² + ² onc d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle G est rectangle en. G lasseur de géométrie en 4 ème - ollège ondorcet - ourdan
Un quadrilatère est un parallélogramme - 8 - Utiliser des côtés parallèles a ses côtés opposés [] et [], [] et [], deux à deux parallèles donc est un parallélogramme. Utiliser le milieu commun de deux segments GH a ses diagonales [G] et [H] qui se coupent en leur milieu donc GH est un parallélogramme. H G Un quadrilatère est un rectangle Utiliser des angles droits a trois angles droits donc est un rectangle. Utiliser un parallélogramme et un angle droit est un parallélogramme et a un angle droit donc est un rectangle. Utiliser les diagonales d un parallélogramme est un parallélogramme et ses diagonales [] et [] ont la même longueur donc est un rectangle. Un quadrilatère est un losange Utiliser des distances égales a ses quatre côtés égaux === donc est un losange. Utiliser un parallélogramme et un angle droit est un parallélogramme et ses diagonales [] et [] sont perpendiculaires donc est un losange. Utiliser un parallélogramme et des distances égales est un parallélogramme et il a deux côtés consécutifs [] et [] de la même longueur donc est un losange. lasseur de géométrie en 4 ème - ollège ondorcet - ourdan
Un quadrilatère est un carré - 9 - Utiliser un rectangle et un losange est un losange et un rectangle donc est un carré. Une droite est une médiatrice Utiliser une droite perpendiculaire et un milieu est perpendiculaire à () et coupe le segment [] en son milieu donc est la médiatrice du segment []. Utiliser des distances égales = donc appartient à la médiatrice de []. = donc appartient à la médiatrice de []. Par conséquent la droite () est la médiatrice du segment []. Une droite est une bissectrice Utiliser des angles de même mesure x (z) partage a xy en deux angles a xz et a zyde la même mesure donc (z) est la bissectrice de a xy. z y Utiliser des distances égales est équidistant des deux côtés (x) et (y) de a xy donc appartient à la bissectrice de a xy. y Par conséquent, () est la bissectrice de a xy. Une droite est une médiane x Utiliser la définition ans le triangle, la droite () passe par le sommet et par le milieu du côté opposé [] donc () est la médiane issue de dans le triangle. Une droite est une hauteur Utiliser la définition ans le triangle, (H) passe par le sommet et est perpendiculaire au côté opposé [] donc (H) est la hauteur issue de dans le triangle. H lasseur de géométrie en 4 ème - ollège ondorcet - ourdan
Une droite est une tangente à un cercle - 10 - Utiliser des droites perpendiculaires passe par un point d un cercle de centre et est perpendiculaire à la droite () donc est tangente au cercle en. Une droite est remarquable dans un triangle Utiliser un triangle quelconque et deux droites remarquables a) ans le triangle JKL, deux médiatrices (d 1 ) et (d 2 ) se coupent en donc la 3 ème médiatrice passe aussi par. (d 2 ) J L (d 1 ) K R b) ans le triangle RST, deux bissectrices (Sx) et (Ty) se coupent en un point donc la 3 ème bissectrice passe aussi par. Par conséquent, (R) est la 3 ème bissectrice. y x T alculer une distance S Somme de deux distances [] onc = + = 6 + 3 = 9? 6 3 ifférence de deux distances Les points,, G sont alignés dans cet ordre donc G = G - G = 8 5 G = 3 5 8? G ppliquer le théorème de Pythagore est rectangle en donc, d après le théorème de Pythagore : ²= ²+ ² 5 cm ppliquer le théorème de Thalès Les triangles et N sont tels que les points,, sont alignés les points,, N sont alignés les droites (N) et () sont parallèles donc d après le théorème de Thalès : N = = N 3 cm LK est rectangle en donc d après le théorème de Pythagore : KL²= K² + L² 3 cm? K N lasseur de géométrie en 4 ème N? L 6 cm - ollège ondorcet - ourdan
- 11 - Utiliser un triangle rectangle Utiliser le segment des milieux ans le triangle, [J] a pour extrémités les milieux et J des côtés [] et [] donc J= :2. ans rectangle en, [] est la médiane issue de donc est égale à la moitié de l hypoténuse []. J alculer un angle Somme de deux angles ifférence de deux angles a xt = a xz + a zt x z a ut = a uz - a tz u t a xt = 28 + 42 28 a ut = 110-35 110 a xt = 70 42 t a ut = 75 35 z Utiliser un triangle quelconque Utiliser un triangle rectangle ans le triangle, tous les angles sont supplémentaires donc a + a + a = 180 a + 37 + 82 = 180 donc a = 180 (82 + 37)? 82 37 est rectangle en onc a + a =90 a + 62 = 90 donc a = 90-62 62? Utiliser un triangle isocèle Le triangle est isocèle en donc a = a et comme tous ses angles sont supplémentaires 112 a + a + a = 180 2 a + 112 = 180 a = a 180 = 2112 lasseur de géométrie en 4 ème - ollège ondorcet - ourdan