Transformation de Fourier

Chapitre 9 Transformation de Fourier La transformation de Fourier décompose une fonction à valeurs complexes de plusieurs variables réelles en ondes planes. Il s agit donc d une extension de la théorie des séries de Fourier à des fonctions non nécessairement périodiques. Dans ce chapitre, nous nous intéressons à la transformée de Fourier des fonctions de L 1 ou de L 2, au chapitre suivant nous étendrons encore cette notions aux distributions tempérées. 9.1 Transformée de Fourier des fonctions de L 1 Définition 9.1. Soit u L 1 ( ; C). La transformée de Fourier û du u est la fonction définie pour ξ par û(ξ) : u(x)e 2iπx ξ dx, où x ξ désigne le produit scalaire de x par ξ dans. Remarquons que la définition ponctuelle de û a bien du sens partout en raison du théorème de comparaison. Proposition 9.2. La tranformation de Fourier est une application linéaire continue de L 1 ( ; C) dans L ( ; C). Démonstration. La linéarité suit celle de l intégrale. Pour la continuité, notons simplement que pour tout u L 1 ( ; C) et tout ξ, û(ξ) u(x) e 2iπx ξ dx u 1, de sorte que û u 1. Si nous dérivons formellement û par rapport à ξ i, où i {1,..., }, on obtient û (ξ) 2iπ x i u(x)e 2iπx ξ dx. ξ i Pour justifier l interversion de la dérivée et de l intégrale, il suffit par exemple que x x i u(x) appartienne à L 1 ( ; C). De la même manière, pour expliciter 92

2 û(ξ) il nous suffit de supposer que x x 2 ξi 2 i u(x) L1 ( ; C). Cela laisse suggérer que la régularité de û est liée à la décroissance de u à l infini. Inversement, si u est suffisamment régulière, on peut écrire pour ξ i 0, û(ξ) u(x)e 2iπx ξ dx 1 R 2iπξ i u x i (x)e 2iπx ξ dx. Cela suggère cette fois que la décroissance de û est intimement liée à la régularité de u. Introduisons l espace de Schwartz des fonctions indéfiniment dérivables à décroissance rapide. Définition 9.3. (Espace de Schwartz) Une fonction u : C appartient à l espace de Schwartz, noté S( ), si n importe quelle de ses dérivées partielle décroit à l infini plus rapidement que l inverse de tout polynôme. Plus précisément, S( ) u C (, C) α, β, C > 0 t.q. sup x β α u(x) C. x Rappelons que pour un multi-indice α : (α 1,..., α ), on désigne par α u la dérivée partielle α : α x 1 α 1 x α, où α : α 1 + + α est la longeur de α, et par x α le réel En utilisant la règle de Leibniz : α (u v) x α : x α1 1 xα. β+γα α! β!γ! β u γ v pour u, v C ( ; C) et α quelconques, et où α! : α 1! α!, le lecteur vérifiera aisément le résultat suivant : Proposition 9.4. Pour tous u, v S( ), α et P C[X 1,..., X ], on a que uv, α u et P u appartiennent tous à S( ). Mentionnons aussi que bien sûr D(, C) Cc ( ; C) S( ), et que x e x 2 S( ) \ Cc ( ; C). L espace de Schwartz, par définition, est le cadre approprié pour énoncer la Proposition 9.5. Pour tout u S( ) et tout α, quel que soit ξ. α û(ξ) ( 2iπx) α u(ξ), α u(ξ) (2iπξ) α û(ξ), 93

Démonstration. Comme il a été mentionné plus haut, il suffit dans le premier cas de dériver l expression intégrale définissant û, et dans le second de procéder par intégrations par parties. Dans l un et l autre cas, le fait que u S( ) permet de justifier l opération (convergence dominée et termes de bords nuls à l infini). Rappelons que C 0 ( ; C) désigne l espace de toutes les fonctions continues qui s annulent à l infini, ou de manière équivalente l adhérence de C c ( ; C) dans BC( ; C). ous pouvons maintenant renforcer la Proposition 9.2 de la manière suivante. Théorème 9.6 (Riemann-Lebesgue). La transformation de Fourier est une application linéaire continue de L 1 ( ; C) dans C 0 ( ; C). Démonstration. Soit u L 1 ( ; C). Par densité, il existe une suite (u n ) n Cc ( ; C) S( ) qui converge vers u dans L 1 ( ; C). En utilisant la Proposition 9.2, on déduit que û n û dans L ( ; C). Grâce aux propositions 6.9 et 9.5, pour tout n, on a û n C 0 ( ; C). En effet, si ε > 0 et α est tel que α 1, alors û n (ξ) 1 2π ξ α u n 1 2π ξ α u n 1 < ε pour tout ξ K ε, où K ε : {ξ : ξ 2π/ε α u n 1 } est un compact. Par conséquent, comme C 0 ( ; C) est fermé pour la convergence uniforme, on obtient que û C 0 ( ; C). Le résultat qui suit nous sera utile dans la suite. Proposition 9.7 (Passage du chapeau). Si u et v L 1 ( ; C), alors ûv dx uˆv dx. Démonstration. Remarquons d abord que si u et v L 1 ( ; C), alors par la Proposition 9.2 û et ˆv L ( ; C) et par conséquent ûv et uˆv L 1 ( ; C) (via Hölder), de sorte que les intégrales ci-dessus sont bien définies. Par les théorèmes de Fubini et Tonelli, on obtient û(x)v(x) dx u(y)e 2iπx y dy v(x) dx R v(x)e 2iπx y dx u(y) dy R ˆv(y)u(y) dy. La transformation de Fourier jouit de propriétés remarquables relativement au groupe des translations et des dilatations. 94

Définition 9.8. Si u : C, pour a et λ R \ {0}, on définit la translatée de u par a, et la dilatée de u par λ comme pour tout x. (τ a u)(x) : u(x a), (δ λ u)(x) : u x λ, Lemme 9.9. Si u L 1 ( ; C), a et λ R \ {0}, on a pour tout ξ. τ a u(ξ) e 2iπa ξ û(ξ), δ λ u(ξ) λ δ 1/λ û(ξ), Démonstration. On a, par définition, τ a u(ξ) u(x a)e 2iπx ξ dx u(y)e 2iπ(y+a) ξ dy De même, δ λ u(ξ) e 2iπa ξ u(y)e 2iπy ξ dy e 2iπa ξ û(ξ). u x λ e 2iπx ξ dx λ λ u(y)e 2iπy (λξ) dy λ û(λξ) λ δ 1/λ û(ξ). u(y)e 2iπ(λy) ξ dy Corollaire 9.10. La fonction u : x e π x 2 est laissée invariante par la transformation de Fourier. Démonstration. En effet, si α est un multi-indice de longueur α 1, par les propriétés de l exponentielle on a α u ( 2πx) α u. Comme u S( ), nous pouvons prendre la transformée de Fourier des deux membres de l égalité, et en tenant compte du fait que par la Proposition 9.5, (2iπξ) α û ( i ) α û, on obtient Dès lors α û ( 2πξ) α û. û α ( α û)u ( α u)û u u 2 0. Comme α est quelconque de longueur 1, on déduit que û u est constante. Comme û (0) û(0) u u(0) û(0) e π x 2 dx. 95

Pour calculer la dernière intégrale, on observe que, grâce au théorème de Fubini, on a 2 dx ( e πx2 dx) 2 ( dx) 2 1. e π x R R 2 e π x L utilisation de coordonnées polaires pour l intégrale en dimension 2 montre que celle-ci égale un, et la conclusion suit. Si t > 0, on déduit du Lemme 9.9 et du Corollaire 9.10 que e πt2 x 2 δ1/t (e π x 2 ) t e π x 2 /t 2. ous allons maintenant montrer le résultat principal de cette section, qui est l analogue du Théorème 8.3 du chapitre précédent. Théorème 9.11 (Formule d inversion de Fourier). Soit u L 1 ( ; C) BC( ; C) telle que û L 1 ( ; C). Alors, pour tout x, û(x) u( x). Démonstration. Par définition, û(x) û(ξ)e 2iπξ x dξ. Malheureusement, il n est pas possible d appliquer la Proposition 9.7 car la fonction ξ e 2iπξ x n appartient pas à L 1 ( ; C). Cependant, comme û L 1 ( ; C), il suit du théorème de convergence dominée de Lebesgue que û(x) lim t 0 + û(ξ)e 2iπξ x e πt 2 ξ 2 dξ car e πt2 ξ 2 1 ponctuellement lorsque t 0 +, et û(ξ)e 2iπξ x e πt2 ξ 2 û(ξ) pour tout ξ, avec û L 1 ( ). Ensuite, puisque ξ e πt2 ξ 2 L 1 ( ; C), on déduit du Lemme 9.9 et de la Proposition 9.7 que û(ξ)e 2iπξ x e πt 2 ξ 2 dξ τ x u(ξ)e πt 2 ξ 2 dξ R τ x u(ξ) e πt2 ξ 2 dξ R u(ξ x)t e π ξ 2 /t 2 dξ R u(ty x)e π y 2 dy. En conséquence, û(x) lim t 0 + u(ty x)e π y 2 dy u( x) e π y 2 dy u( x), où nous avons utilisé une fois encore le théorème de convergence dominée de Lebesgue en se basant sur la continuité de u et sur le fait que et que y e π y 2 L 1 ( ). u(ty x)e π y 2 u e π y 2 96

Corollaire 9.12. La transformation de Fourier est une application linéaire bijective de S( ) dans S( ). Démonstration. Soit u S( ). Montrons que pour tous multi-indices α et β, on a sup ξ ξ β α û(ξ) <. Par la Proposition 9.5, α û(ξ) ( 2iπx) α u(ξ) et dès lors ξ β α û(ξ) ξ β ( 2iπx)α u(ξ) 1 (2iπξ)β ( 2iπx)α u(ξ) (2iπ) β 1 β (( 2iπx) (2iπ) u). β Comme u S( ), par la Proposition 9.4 x β (( 2iπx) α u(x)) S( ), et en particulier appartient aussi à L 1 ( ; C). Il suit alors de la Proposition 9.2 que β (( 2iπx) α u) L ( ; C). ous avons ainsi montré que si u S( ), alors û S( ). On peut dès lors appliquer la formule d inversion de Fourier dans S( ) de sorte que et par conséquent u û est bijective. û u pour tout u S( ), Remarque 9.13. Au vu du Théorème 9.11 et du Corollaire 9.12, on peut écrire la transformation de Fourier inverse comme u(x) û(ξ)e 2iπx ξ dξ pour tout u S( ). Une des caractéristiques importantes de la transformation de Fourier est qu elle transforme les produits de convolutions en multiplications, et inversement. Corollaire 9.14. Si u et v S( ), alors u v S( ) et (i) u v ûˆv ; (ii) û ˆv uv. Démonstration. Commençons par (ii). Par définition du produit de convolution, on a, en utilisant la Proposition 9.7, le Lemme 9.9 et le Théorème 9.11, (û ˆv)(z) û(z y)ˆv(y) dy (τ z δ 1 û)(y)ˆv(y) dy R (τz δ 1 û)(y)v(y) dy e 2iπy z δ 1 û(y)v(y) dy R e 2iπy z u(y)v(y) dy uv(z). 97

Ci-dessus, on a également utilisé le fait que δ 1 û u, et qui est une conséquence de la formule d inversion de Fourier appliquée à û. Venons-en maintenant à ii). Par bijectivité de la transformation de Fourier sur S( ), u ˆf et v ĝ pour certains f et g S( ). Par conséquent, par (ii) on déduit que u v ˆf ĝ fg (δ 1 f)(δ 1 g) ûˆv puisque, par le Théorème 9.11, δ 1 f ˆf û et de même pour g. Enfin, grâce à (i) on a u v δ 1 ûˆv. Comme S( ) est stable par la transformation de Fourier, par la multiplication, et bien évidemment par δ 1, il suit que u v S( ), ce qui termine la preuve. Corollaire 9.15. Si u S( ), alors û 2 u 2. Démonstration. En effet, par la Proposition 9.7 et la formule d inversion de Fourier on a, û 2 2 û(ξ)û(ξ) dξ û(ξ) u(x)e 2iπx ξ dx dξ R û(ξ) u(x)e 2iπx ( ξ) dx dξ R û(ξ)u( ξ) dξ û(ξ)δ 1 u(ξ) dξ R u(ξ)δ 1 u(ξ) dξ u(ξ)δ 1 δ 1 u(ξ) dξ R u(ξ)u(ξ) dξ u 2 2. Dans la section qui suit nous définirons la transformation de Fourier des fonctions de L 2 ( ; C). Mentionnons que L 2 ( ; C) L 1 ( ; C) et que L 1 ( ; C) L 2 ( ; C), il sera ainsi nécessaire de s assurer que les deux notions coïncident sur l intersection. 9.2 Transformation de Fourier des fonctions de L 2 D après le Corollaire 9.15, la restriction de la transformation de Fourier à S( ) L 2 ( ; C) est linéaire et continue (et même unitaire) de S( ) L 2 ( ; C) dans S( ) L 2 ( ; C). Comme S( ) est dense dans L 2 ( ; C) pour la norme 2 (en effet C c ( ; C) S( ) et C c ( ; C) est dense dans L 2 ( ; C) pour la norme 2 ), on déduit, par exemple de la Proposition 5.5 appliquée à une suite constante, qu il existe une unique extension continue F : L 2 ( ; C) L 2 ( ; C) u F(u), 98

telle que F(u) û pour tout u S( ). On désigne par F(u) la transformée de Fourier pour u appartenant à L 2 ( ; C). Comme mentionné plus haut, a priori il n est pas immédiat que F(u) û pour u (L 1 ( ; C) L 2 ( ; C)) \ S( ). ous reviendrons sur ce point dans la suite. Commençons par le Théorème 9.16. La transformation de Fourier F est une bijection linéaire isométrique de L 2 ( ; C) dans L 2 ( ; C). De plus, pour tout u L 2 ( ; C), F(F(u)) δ 1 u. Démonstration. La conservation de la norme L 2 et la formule de Fourier inverse ont lieu sur S( ) (ceci est l objet du Théorème 9.11 et du Corollaire 9.15). Il suffit alors d invoquer la densité de S( ) dans L 2 ( ; C) et de passer à la limite en utilisant la continuité de F pour la norme L 2. Le résultat suivant étend la Proposition 9.7 aux fonctions de L 2 ( ; C). Proposition 9.17. Soient u et v L 2 ( ; C), alors F(u)v dx uf(v) dx. Démonstration. Ici à nouveau, on utilise la densité de S( ) dans L 2 ( ; C). En effet, soient (u n ) et (v n ) S( ) telles que u n u et v n v dans L 2 ( ; C). De la Proposition 9.7, on déduit que û n v n dx u nˆv n dx. Comme pour chaque n, u n et v n S( ), on a û n F(u n ) et ˆv n F(v n ). Il suffit alors de passer à la limite lorsque n dans l égalité précédente et d utiliser la continuité de F dans L 2 ( ; C) et l inégalité de Cauchy-Schwarz. Corollaire 9.18. Si u L 1 ( ; C) L 2 ( ; C), alors F(u) û. Démonstration. Soit χ n Cc ( ; [0, 1]) telle que χ n 1 in B(0, n). Si v Cc ( ; C), alors χ n v Cc ( ; C) S( ). En utilisant la Proposition 9.7 et la Proposition 9.17 on obtient ûχ n v dx uχ n v dx uf(χ n v) dx F(u)χ n v dx, de sorte que B(0,n) (û F(u))v dx 0 pour tout v Cc ( ; C). On choisit v ρ j û F(u), où (ρ j ) j est une suite régularisante (cfr Définition 4.15). En prenant la limite lorsque j, et en utilisant le Lemme 4.16 et le Théorème 3.25, on obtient que û F(u) presque partout dans B(0, n). Finalement, comme n est arbitraire, les deux fonctions coïncident presque partout sur. 99

ous terminons cette section par un résultat analogue au Corollaire 9.15 pour les fonctions de L 2 ( ; C). Corollaire 9.19 (Identité de Plancherel). Si u L 2 ( ; C), alors u 2 F(u) 2, et aussi, si u, v L 2 ( ; C), alors u v dx F(u)F(v) dx. Démonstration. On procède encore par densité. Pour u L 2 ( ; C), soit (u n ) S( ) une suite telle que u n u dans L 2 ( ; C). Alors, par le Théorème 9.16, û n F(u n ) F(u) in L 2 ( ; C), et grâce au Corollaire 9.15 on aboutit à u 2 lim n u n 2 lim n û n 2 lim n F(u n) 2 F(u) 2. En ce qui concerne le deuxième énoncé, il suffit d observer que pour tous u et v L 2 ( ; C), u v dx u + v2 2 u v 2 2 R 2 F(u + v)2 2 F(u v) 2 2 2 F(u) + F(v)2 2 F(u) F(v) 2 2 2 F(u)F(v) dx. Maintenant que nous avons montré que l extension F correspond à l application pour u L 1 ( ; C) L 2 ( ; C), nous pouvons utiliser indifféremment les notations û ou F(u) pour u L 1 ( ; C) L 2 ( ; C), et même pour u L 1 ( ; C) + L 2 ( ; C). 9.3 Application à la résolution de l équation de la chaleur L équation de la chaleur (avec donnée initiale u 0 ) sur l espace entier s écrit u t (t, x) Δu(t, x) 0 pour (t, x) R+, u(0, x) u 0 (x) pour x, où u : R + R, et Δu(t, x) i1 2 u(t, x). x 2 i Considérons, au moins formellement, la transformation de Fourier de u par rapport à la varialbe x uniquement : v(t, ξ) : u(t, x)e 2iπx ξ dx. 100

En utilisant la Proposition 9.5, on obtient, après avoir appliqué la transformation de Fourier à l équation, v t (t, ξ) 4π2 ξ 2 v(t, ξ) pour (t, ξ) R +, v(0, ξ) û 0 (ξ) pour ξ. L avantage de cette dernière formulation est que pour ξ fixé (et donc considéré comme une paramètre), il s agit là non plus d une équation aux dérivées partielles mais d une équation différentielle ordinaire, dont la solution s écrit simplement v(t, ξ) û 0 (ξ)e 4π2 ξ 2t. otons que si l on pose ρ(ξ) : e π ξ 2, alors e 4π2 ξ 2 t δ 1/ 4πt ρ δ 1/ 4πt ˆρ (4πt) /2 δ 4πt ρ, où on a utilisé le fait que ˆρ ρ par le Corollaire 9.10. En particulier, si u 0 S( ), en utilisant le Corollaire 9.14, on obtient v(t, ξ) û 0 (ξ)(4πt) /2 δ 4πtρ(ξ) (4πt) /2u 0 δ 4πt ρ(ξ). Par ailleurs le Corollaire 9.12 nous assure que la transformation de Fourier est bijective sur S( ), et donc, u(t, x) (4πt) /2 u 0 δ 4πt ρ(x) (4πt) /2 u 0 (y)e x y 2 dy. Maintenant que nous avons "deviné" la forme de la solution, nous pouvons démontrer le : Théorème 9.20. Soit u 0 L 1 ( ). Alors la fonction u : (0, ) R definie par u(t, x) : (4πt) /2 u 0 (y)e x y 2 dy est indéfiniment dérivable sur (0, ). De plus, elle vérifie et on a u t (t, x) Δu(t, x) 0 pour tout (t, x) (0, ) R, lim u(t, ) u 0 1 0. t 0 + Démonstration. On remarque aisément que la fonction (t, x, y) (4πt) /2 e x y 2 admet des dérivées partielles de tout ordre par rapport à t et/ou x qui sont bornées (et donc appartiennent à L ( ) par rapport à la variable y). Comme u 0 L 1 ( ) on est en droit d appliquer le théorème de convergence dominée de Lebesgue et donc de dériver sous le signe intégral ce qui assure que u C ((0, ) ). De plus, on vérifie également aisément que u (t, x) Δu(t, x) 0 t 101

pour tous (t, x) (0, ). ous nous intéressons maintenant à la convergence vers la donnée initiale. On note que, pour tout t > 0, (4πt) /2 dy 1 (9.3.1) et donc e y 2 u(t, x) u 0 (x) (4πt) /2 u 0 (x y) u 0 (x) e y 2 dy ce qui implique, après intégration suivant la variable x et utilisation du Théorème de Fubini, que u(t, x) u 0 (x) dx B(0,δ) + e y 2 u 0 (x y) u 0 (x) dy dx R (4πt) /2 e y 2 τ y u 0 (x) u 0 (x) dx R (4πt) τ y u 0 (x) u 0 (x) dx \B(0,δ) /2 dy e y 2 dy (4πt) /2 e y 2 sup τ y u 0 u 0 1 + 2u 0 1 dy. y B(0,δ) \B(0,δ) (4πt) /2 Par la continuité des translations dans L 1 ( ), on obtient sup τ y u 0 u 0 1 0 y B(0,δ) lorsque δ 0. Par ailleurs, par changement de variable il suit que pour tout δ > 0, e y 2 dy \B(0,δ) (4πt) /2 \B(0,δ/ e π z 2 dz 0 4πt) lorsque t 0, car z e π z 2 L 1 ( ). Finalement, en prenant d abord la limite lorsque δ 0, et ensuite celle lorsque t 0 on aboutit à ce qui termine la démonstration. lim t 0 + u(t, ) u 0 1 0, Remarquons pour terminer qu une conséquence de la propriété (9.3.1) est que pour tout t > 0, u(t, )dx u 0, (9.3.2) ce à quoi on fait généralement référence dans la littérature comme la préservation de masse (ce qui nous éloigne de la température!). 102