UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE. Table des matières. 1. Quelques formules de trigonométrie

UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE Table des matières. Quelques formules de trigonométrie. Fonctions trigonométriques réciproques.. Arc cosinus.. Arc sinus 4.. Arc tangente 4. Fonctions hyperboliques 5.. Heuristique définitions 5.. Propriétés 5 4. Eercices 6. Quelques formules de trigonométrie Tout d abord, un dessin pour epliquer la définition de cosinus sinus.,5 0,5 cos sin -,4 - -,6 -, -0,8-0,4 0 0,4 0,8,,6,4-0,5 - -,5 Fig.. Le cosinus le sinus d un arc Identité remarquable cos + sin = Periodicité Date: 0/0/0. cos + k π = cos, R, k Z

UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE sin + k π = sin, tan + k π = tan, R, k Z m π, m,k Z, Relations remarquables cos = cos, R sin = sin, R tan = tan, m π, m Z π π cos = sin sin = cos, π tan = tan, m π, m Z R Formules d addition cos y = cos cos y + sin sin y cos + y = cos cos y sin sin y sin y = sin cos y cos sin y sin + y = sin cos y + cos sin y tan tan y tan + tan y tan y = tan + y = + tan tan y tan tan y Démonstration. La formule pour cos y est montrée dans l Eercice. À partir de cte formule, on peut montrer toutes les autres. En eff, en utilisant que le cosinus est une fonction paire le sinus est pair, on a cos + y = cos y = cos cos y + sin sin y = cos cos y sin sin y, qui montre bien la deuième formule. Pour montrer la troisième formule on utilise la relation entre le cosinus le sinus voir ci-dessus π π sin y = cos y = cos + y π π = cos cos y sin sin y = sin cos y cos sin y. Finalement, on montre comme obtenir la cinquième formule. On a sin y sin cos y sin y cos cos y sin tan y cos tan y = = = cos y cos cos y + sin sin y cos y cos + sin tan y sin tan y cos = cos + sin tan y cos tan tan y = cos + tan tan y tan tan y = + tan tan y, qui termine la preuve. Essayez de montrer les formules qui restent. Formules de duplication cos = cos sin = cos = sin sin = sin cos tan = tan tan

UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE Démonstration. Il s agit tout simplement de cas particuliers des formules d addition, il suffit de choisir = y. Formules de l angle moitié + cos cos = tan = cos sin = cos + cos Démonstration. À titre d eemple, on montre la première. D après les formules de duplication, on sait déjà que cos = cos = cos, c est-à-dire on a que cos Il suffit de prendre la racine carrée pour conclure. = cos +. Quelques valeurs remarquables cos 0 = cos π 6 = cos π 4 = cos π = cos π = 0 sin 0 = 0 sin π 6 = sin π 4 = sin π = sin π = tan 0 = 0 tan π 6 = tan π 4 = tan π = Identité d Euler e i = cos + i sin, R.. Fonctions trigonométriques réciproques.. Arc cosinus. La fonction cos : R [,] est surjective, mais pas injective, en tant que fonction périodique. Mais si on considère la restriction du cosinus à l interval [0,π], cte fonction devient aussi injective donc bijective. Sa fonction réciproque s appelle arc cosinus, par définition de fonction réciproque il s agit d une fonction telle que arccos : [,] [0,π], arccoscos =, pour tout [0,π] = cosarccos, pour tout [,] Par définition, on a que arccos = le seul arc compris entre 0 π tel que son cosinus est. Eemple. On a arccos = π, car π/ est le seul arc compris entre 0 π dont le cosinus vaut /. Faites attention à l eemple suivant.

4 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE Eemple. Ça fait combien On aurait envie de répondre 7/6 π, mais comme 7 arccos cos 6 π =? 7 6 π [0,π], on sait que celle-ci n est la réponse correcte. Par définition de arccos, on sait que la réponse doit être le seul arc compris entre 0 π dont le cosinus vaut cos7/6 π. Alors, comme 5 7 cos 6 π = cos 6 π, 5/6 π est le seul arc entre 0 π avec cte proprié, on a que la réponse correcte est bien 7 arccos cos 6 π = 5 6 π... Arc sinus. La fonction sin : R [,] est à nouveau surjective, mais pas injective. Si on considère la restriction du sinus à l interval [ π, π ], cte fonction devient aussi injective donc bijective. Sa fonction réciproque s appelle arc sinus, donc on a [ arcsin : [,] π ],π, telle que [ π ] arcsinsin =, pour tout,π Par définition, on a que = sinarcsin, pour tout [,] arcsin = le seul arc compris entre π/ π/ tel que son sinus est. Eemple. On a par eemple arcsin = π 6, arcsin = π 4... Arc tangente. La fonction tangente est aussi périodique, donc elle n est pas injective. De tout façon, sur tout interval du type π/ + k π,π/ + k π elle est strictement croissante donc injective. En particulier, sa restriction tan : π,π R, est bijective, donc il y a la possibilité de définir sa fonction réciproque. Il s agit de la fonction arc tangente arctan : R qui a donc la proprié π arctantan =, pour tout,π Par définition, on a que π,π, = tanarctan, pour tout R arctan = le seul arc compris strictement entre π π tel que sa tangente est.

UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE 5. Fonctions hyperboliques.. Heuristique définitions. En particulier, d après l identité d Euler on a D après l identié d Euler, on a cos = Ree i sin = Ime i. e i = e i = cos + i sin = cos i sin, donc e i est le conjugué de e i. Ceci perm de dire cos = ei + e i i sin = ei e i Avec un peu de courage, on peut se demander: qu est-ce qui se passe si remplace par i dans les formules précédentes? Bien sûr, on n a pas le droit de faire ça, car on n a définit cos sin que pour des arguments réels...mais bon, voyons qu est-ce que ça donne quand même, au moins au niveau formel. En utilisant que i =, on obtiendra cosi = e + e Les deu fonctions à droite s appellent avec la notation e + e e e i sini = e e. cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique, cosh = e + e sinh = e e, R. L argument purement formel! précédent justifie pourquoi ces deu fonctions s appellent cosinus sinus...mais pourquoi hyperbolique? Une justification de ça vient de l identité remarquable pour les fonctions hyperboliques Celle-ci implique que cosh sinh =, R. I = {X,Y R : R tel que X = cosh, Y = sinh } = {X,Y R : X Y = X 0}, c est-à-dire, grâce à cosh sinh on peut paramétriser une branche de l hyperbole ayant équation cartesienne X Y =... Propriétés. En tant que somme de fonctions dérivables sur R, le cosinus le sinus hyperboliques sont dérivables sur R on a aussi On a donc cosh est pair sinh est impair. d d cosh = d e + e d d d sinh = d e e d cosh = e + e sinh = e e = e e = e + e = cosh, = sinh, = sinh, = cosh.

6 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE cosh, sinh - 0 4 5 6 7 8 - - Eercice. Justifier géométriquement que 4. Eercices cos y = cos cos y + sin sin y,,y R. Démonstration. Tout d abord, on observe qu on peut toujours supposer que y, car le cosinus est une fonction paire, donc cos y = cosy. En outre, on peut supposer > y, car si = y l identité est évidente. On fait l hypothèse supplementaire que,y [0,π/], pour simplicité. Si on se refère à la Figure, on voit que donc il faut montrer que On observe que que cos y = OC, OC = cos cos y + sin sin y. OM = cos cos y, MC = sin OM sin y sin y = sin sin y cos cos y sin y. Finalement on obtient cos y = OC = OM + MC = cos cos + sin sin y cos y cos y sin y = cos cos y sin y + sin sin y qui termine la preuve, dans l hypothèse 0 y π/. = cos cos y + sin sin y, Eercice. Montrer les formules cos p + cos q = cos p + q sin p + sin q = sin p + q cos p q cos p q cos p cos q = sin p + q sin p sin q = sin p q sin p q cos p + q

UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE 7 y M C O y y Fig.. La formule d addition du cosinus Démonstration. On observe que p = p + q + p q q = p + q donc d après les formules d addition du cosinus, on obtient cos p + cos q = cos p + q cos p q sin p + q + cos p + q cos p q + sin p + q = cos p + q cos p q. Pour les autres formules on pourra procéder de la même manière. p q, sin p q sin p q Eercice. Montrer que, avec t = tan/ pour des valeurs de que l on precisera, on a cos = t + t sin = t + t tan = t t. Démonstration. On observe que t = tan / implique que pour tout π,π on a donc = arctan t, cos = cos arctan t = cos arctan t = + tan arctan t = t + t, où on a utilisé la formule de duplication pour le cosinus la rélation + tan = cos. Pour montrer la formule pour sin on procède de manière similaire : on a sin = sin arctan t = sinarctan t cosarctan t = tanarctan t cos arctan t = t + t,. Faites attention : on a le droit de diviser par cosarctan t car ceci n est pas zero...pourquoi?

8 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE où on a utilisé à nouveau la rélation. Finalement, pour la troisième formule on a évidemment on doit avoir ±π/. tan = sin cos = t + t + t t = t t, Eercice 4. Montrez que sin = sin 4 sin Démonstration. On a = +, donc sin = sin cos + cos sin = sin cos + sin sin, où on a utilise les fomules sin = sin cos cos = sin. Pour terminer, il suffit d utiliser l identité fondamentale cos + sin =, donc sin = sin 4 sin, qui termine la preuve. Eercice 5. Montrez que Eercice 6. Résoudre l équation cos = 4 cos cos. cos + cos + cos = 0. Démonstration. On va utiliser deu méthodes. Première mhode. En utilisant l Eercice précédent la formule de duplication, on a cos + cos + cos = cos + cos + 4 cos cos = 4 cos + cos cos = cos cos + cos + = cos + cos, d où l équation initiale est équivalente à cos + cos = 0. Toute solution de cte équation sont données par cos = ou cos =., c est-à-dire l ensemble de toute solution est donné par { π + k π, 4 π + k π, π 4 + k π } : k Z. Deuième mhode suggestion de M. Guillaume Guio. D après les formules de l Eercice, on a + cos + cos = cos cos = cos cos, donc l équation initiale est équivalente à c est-à-dire Après on trouve les solutions comme avant. cos cos + cos = 0, cos cos + = 0.

UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE 9 Eercice 7. Résoudre l équation cos 54 π π = cos 4. Démonstration. Par construction de la fonction cosinus, on a que En utilisant ça avec on obtient aussi cos α = cos β α = β + k π ou α = β + k π, k Z. Donc les solutions de l équation sont { π α = 5 4 π β = π 4, 5 4 π = π + k π, k Z, 4 5 4 π = π + k π, k Z. 4 + k π, k + π : k Z }. Eercice 8. Résoudre l équation cos + π = sin + 4 π. Démonstration. Tout d abord, en utilisant que sin = cos π, on voit que l équation initiale peut s écrire aussi dans la forme cos + π = cos π 4. Comme dans l Eercice précédent, ceci revient à dire + π = π + k π, 4 k Z, + π = π + + k π, 4 k Z. Donc au final on trouve comme solutions { 7 6 π + k π, } π + k π : k Z. Eercice 9. Résoudre l équation cos + sin =. Démonstration. Ici on peut utiliser une astuce : on observe tout d abord que si on multiplie l équation par / cos + sin =, cte nouvelle équation est équivalente à celle du début, c est-à-dire elle a les mêmes solutions. Quelle est l avantage d avoir fait ça? On se souvient que cos π = sin π =,

0 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE donc finalement en utilisant les formules d addition notre équation devient cos π =. Ceci revient à dire que ou π = π + k π, k Z, π = 4 π + k π, k Z donc l ensemble des solutions est donné par { π + k π, 5 } 6 π + k π : k Z. Eercice 0. Résoudre l équation Démonstration. Tout d abord, il faudra avoir tan = tan. π + k π = k + π π 6 + k π = k + π 6, car sinon les écritures tan tan n ont pas de sens. Après, on observe que tan α = tan β α = β + k π. Donc tan = tan = + kπ. En tenant compte de la restriction, on trouver donc { } k π : k Z avec k pair. comme ensemble des solutions. Eercice. Résoudre l équation Démonstration. On pose pour simplicité alors l équation à résoudre est la suivante cos 4 + sin 4 =. X = cos Y = sin, X + Y = sous contrainte X + Y =. Finalement, ça revient à résoudre le système suivant { X + Y = X + Y = Ce n est pas difficile à voir que les seules solutions sont { { X = 0 X = Y = Y = 0 En revenant à la variable initiale, on trouve { cos = 0 sin = { cos = sin = 0 donc les solutions sont tout tel que le cosinus ou le sinus s annullent, c est-à-dire = k π, k Z.

UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE Eercice. Montrer que pour tout [,], on a arcsin + arccos = π/. Démonstration. On commence par observee que pour = = la formule est vraie. Maintenant on considère 0 < on voit que l identité dans ce cas vient directement de la constuction géomrique de cosinus sinus pourquoi?. Pour le cas < < 0, on observe que car il s agit d une fonction impaire, aussi Donc on a arcsin = arcsin, arccos = π arccos. arcsin + arccos = π arcsin + arccos, si < < 0, alors 0 < < donc on peut utiliser la partie précédente de l eercice conclure. Eercice. Calculer 4 arcsin sin sin arcsin π 5 8 arccos sin cos arcsin 5 5 π Démonstration. On observe que sin π/ [ π/,π/], donc on obtient 4 4 π π = sin π 4 π = sin, 4 arcsin sin π = π. Le deuième est un peu plus compliqué, mais d après l Eercice, on sait que 8 arccos sin 5 π = π 8 arcsin sin 5 π, on observe que 8 sin 5 π = sin 5 π = sin π 5 π = sin 5 π, /5 π [ π/,π/], donc au final 8 arccos sin 5 π = π arcsin sin 5 π = π 5 π = 0 π. Pour le troisième il n y a pas grand chose à faire, d après la définition de fonction réciproque on a sin arcsin = 5 5. Et finalement, pour de le dernier, on observe tout d abord que par construction on a π arcsin 5 π donc 0 cos arcsin. 5

UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE Finalement, en utilisant cte information l identité remarquable, on a cos arcsin = cos 5 arcsin = 5 = sin arcsin 5 = 6 5 5. Eercice 4. Calculer cosarcsin sinarccos. Démonstration. On commence par remarquer que π arcsin π, [,], donc cosarcsin est toujours unq quantité positive. Alors cosarcsin = cos arcsin = sin arcsin =. De manière similaire, on a 0 arccos π, donc sinarccos est toujours positif à nouveau sinarccos = sin arccos = cos arccos =. Eercice 5. Calculer cosarctan sinarctan. Démonstration. Comme avant, grâce au fait que on a que cosarctan est toujours positif donc où on a utilisé que π < arctan < π, cosarctan = cos arctan = + tan arctan = + tan = cos, π + k π, k Z. Pour le sinus, il faudra faire un peu plus attention: on voit que Donc on aura sinarctan 0, si 0, sinarctan < 0, si < 0. sinarctan = sin arctan = cos arctan = + = + =, si 0, + +,

UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE c est-à-dire sinarctan = sin arctan = cos arctan = + = + =, si < 0, + sinarctan = +, R. Eercice 6. Calculer tanarccos, pour tout [,0 0,], tanarcsin, pour tout,. Démonstration. Il nous suffit d utiliser un eercice précédent la définition de tangente. On a donc tanarccos = sinarccos cosarccos =, 0 aussi tanarcsin = sinarcsin cosarcsin =, < <. Eercice 7. Verifiez qu on a les rélations suivantes arctan + arctan = π, > 0 arctan + arctan = π, < 0. Démonstration. Il nous suffira de montrer la première après il suffit d utiliser que l arctangente est une fonction impaire. Première mhode On considère la fonction qui est dérivable sur 0, on a h = arctan + arctan, > 0, h = + + = 0, donc la fonction h est constante, c est-à-dire que qui termine la démonstration. h = h = π 4 + π 4 = π, > 0, Deuième mhode On considère un triangle rectangle ayant côtés de longueur. Soit α l angle opposé au cathète de longueur, alors on a = tan α, c est-à-dire α = arctan.

4 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE De la même façon, on a = tan β, c est-à-dire β = arctan, où est l angle opposé au cathète de longueur. Vu que α β sont complementaires, on obtient π = α + β = arctan + arctan. α Eercice 8. Vérifier qu on a 4 π arctan + arctany π,,y R tels que y. Démonstration. En fait, on observe que si y 0, c est-à-dire si 0 y 0 ou viceversa, on a donc on obtient 0 arctan π π arctany 0 ou viceversa, π arctan + arctany π, dans ce cas. Supposons maintenant que 0 y que y 0, alors en utilisant que la fonction y arctan + arctany est croissante, on obtient 0 arctan + arctany arctan + arctan = π. Si par contre 0 y y 0, alors on a 0 aussi y /. En utilisant à nouveau la croissance de l arctangente la rélation précédente, on a donc π arctan + arctan arctan + arctany 0, qui termine la démonstration de 4 Eercice 9. Vérifiez que π arctan + arctany π,,y > 0 y, π arctan + arctany π,,y < 0 y.

UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE 5 Démonstration. Il suffit d utiliser la monotonie de l arctangente π arctan + arctan arctan + arctany π. Pour la deuième, on peut utiliser le même argument. Eercice 0. Vérifiez qu on a arctantan, si π, π, = arctantan π, si [ π, π arctantan + π, si π,π] Démonstration. Soit π/,π/, alors sur c interval la fonction tangente est inversible, son fonction réciproque ant donnée par arctan, donc on a arctantan =. Si π < π/, alors il eiste 0 y < π/ tel que = y π donc d où on obtient arctantan = arctantany π = arctantan y = y, + π = arctantan. Le cas π/ < π se démontre de manière similaire. Eercice. Montrer que arctan + arctany = + y arctan, si y <, y + y arctan + π, si y >,y > 0, y + y arctan π, si y >,y < 0, y π, si y =. Démonstration. Il faut distinguer cas: si,y R sont tels que y <, alors on a vu que π arctan + arctany π, donc d après l eercice précédent les formules d addition pour la tangente, on obtient + y arctan + arctany = arctantanarctan + arctany = arctan. y Par contre, si y >, alors + y arctan + arctany = arctan + π, si,y > 0, y + y arctan + arctany = arctan π, si,y < 0. y Et finalement, dans le cas y =, on a tout simplement arctan + arctany = π, si > 0,

6 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE qu on a déjà montré. arctan + arctany = π, si < 0, Eercice. Résoudre l équation arctan + arctan = π 4. Démonstration. On commence en remarquant que les solutions de cte équation on pourra les chercher directement parmi les > 0, car De la même manière, on observe que arctan + arctan 0, si 0. > = arctan > π 4, donc on sait déjà que les solutions, si elle eistent, elles seront compris dans l interval 0,/. Donc on en train de résoudre arctan + arctan = π 4, parmi les tels que 0 < <. Maintenant on observe que pour 0,/, on a on peut donc utiliser l Eercice obtenir donc finalement on doit résoudre = <, arctan + arctan = arctan pour 0 < < /. L équation précédente donne arctan = π 4,, =, qui a une seule solution dans l interval 0,/, ceci ant donnée par = + 7. 4 Eercice. Soient A,B R. montrez qu il eiste r 0 ϕ R tels que 5 A cos + B sin = r cos ϕ, pour tout R. Démonstration. On observe que par la formule d addition du cosinus, on a r cos ϕ = r cos ϕ cos + r sin ϕ sin, donc pour démontrer 5, il nous suffira de prouver que on peut r,ϕ tels que A = r cos ϕ, B = r sin ϕ. On commence par observer que si A = B = 0, alors 5 est vraie avec r = 0 ϕ quelconque. Supposons maintenant que A + B 0. En utilisant l identité fondamentale, i.e. cos + sin =, on arrive à trouver r. On aura A + B = r,

UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE 7 c est-à-dire r = A + B. Donc, pour terminer il nous manque de montrer qu il eiste ϕ R tel que cos ϕ = A A + B sin ϕ = On observe que si A = 0 B 0, alors il faut que ϕ satisfait cos ϕ = 0 sin ϕ = B B, donc si A = 0 B 0, une solution est donnée par ϕ = Si A 0, alors on pourra dire que ϕ doit satisfaire On trouve alors comme possible solution ϕ = arctan π + arctan π, si B > 0, π, si B < 0. tan ϕ = B A. A, si A > 0, B A, si A < 0. B B A + B. Pour comprendre le deuième cas, il faut noter que arctan est toujours compris entre π/ π/, donc son cosinus est toujours positif. Mais vu le signe A nous donne le signe de cos ϕ aussi, quand A < 0 il faut rajouter à arctanb/a un demi tour : de cte manière, la tangente de π + arctanb/a reste la même par periodicité de la tangente, mais on changé de signe à son cosinus. Eercice 4. Appliquer l Eercice précédent à cos + sin. Démonstration. Il suffira d utiliser l Eercice précédent, avec A = B =. Alors on obtient la formule 5 avec c est-à-dire qui termine l Eercice. r = ϕ = arctan = π 4, cos + sin = cos π. 4 Eercice 5. Pour R, simplifier n cosk. Démonstration. L astuce est de regarder cte somme de cosinus comme une somme de puissances. À ce propos, on se souivent que e i = cos + i sin, donc. Rappel: si R, on a =. cos = ei + e i.

8 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE Plus en général, on aura donc alors n cosk = cosk = ei k + e i k, k N, n e i k + e i k = n e i k + n e i k. Maintentant il faudra utiliser l égalité suivante pour la somme des puissances voir les eercises de Quelques outils : si a C \ {}, on a n a k = an+ a, on utilise ça avec a = e i a = e i. On a donc n cosk = e n+ i e i + e n+ i e i = e i e i n+ + e i n e i e i + ei + e i n e i n+ e i e i. Maintenant on utilise à nouveau que e i + e i = cos e i n + e i n = cosn, donc on obtient n cosk = e i n+ + e i n+ = cosn +, cos + cosn cosn + cos = cos + cosn cosn + cos = + cosn cosn +. cos En utilisant la formule d addition du cosinus, on pourra encore un peu simplifier cte epression: on a n cosk = + = cosn cosn + cos + cosn + sinn sin cos Remarque. Évidemment, la formule précédente est très utile quand n N devient grand. Au lieu d avoir une somme de n termes, on n a que trois termes, qui dependent seulement des cosinus sinus de n. Eercice 6. Pour tout n N, écrivez cosn seulement en fonction de puissances de sin cos..

UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE 9 Démonstration. À nouveau, on pourra utiliser l identité ei = cos + i sin. On a donc, en utilisant la formule du bynôme de Newton voir dans les eercises de Quelques outils cosn = ei n + e i n = ei n + e i n Tout d abord, on observe que = cos + i sin n + cos i sin n = n n i k cos n k sin k k + n n i k cos n k sin k k = n n [i k + i k ] cos n k sin k. k i k + i k = i k + k i k = après on se souvient que i =, donc c est-à-dire que en général { i k, si k est pair, 0, sinon, i =, i 4 =, i 6 =... ainsi de suite, i m = m, m N. Donc la bonne nouvelle est que dans l epression précédente pour cosn...il n y a jamais i! Plus précisement, on aura { k i k + i k =, si k est pair, 0, sinon, Donc, finalement on obtient cosn = 0 k n tel que k est pair n k cos n k sin k, k c est-à-dire, en remplaçant k par un nouveau inde m = k/, on obtient 6 cosn = qui termine la preuve. [n/] m=0 n m cos n m sin m, m Eercice 7. Repez l eercice précédent, en remplaçant cosn par sinn. Remarque. On observe que pour n =, la formule 6 donne cos = m cos m sin m m m=0 = cos sin,. Ici, on note [α] la partie entière d un nombre α, c est-à-dire le plus grand nombre entier inferieur ou égal à α.

0 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE c est-à-dire, on a rrouvé la formule usuelle de duplication pour le cosinus. Pour n =, on rrouve cos = m cos m sin m m comme dans l Eercice 5. m=0 = cos sin cos = 4 cos cos,