Moulay El Mehdi Falloul Théorie des robabilités et de la statistique
Itroductio La Probabilité et les statistiques sot deux discilies des mathématiques associées et idéedats à la fois. L aalyse statistique utilise souvet la théorie des robabilités. E outre, beaucou de sujets das les statistiques sot idéedats de la théorie des robabilités. La Probabilité est la mesure de la robabilité qu u évéemet se roduira. La Probabilité est utilisée our quatifier ue attitude d esrit evers certaies roositios dot la vérité est as certaie. La certitude que ous adotos eut être décrite e termes de mesure umérique etre 0 et 1 (où 0 idique l imossibilité et 1 idique la certitude). U exemle simle du calcul des robabilités est celui du jet d ue ièce de moaie. Puisque les résultats sot réutées équirobables, la robabilité de «face» est égale à la robabilité de «ile» et chaque robabilité est égale à 1/ ou de faço équivalete elle est égale à 50 % de chace de «ile» ou «face». La théorie des robabilités est largemet utilisée das beaucou de domaies d étude comme les mathématiques, les statistiques, les scieces écoomiques, la biologie, le jeu du hasard, la hysique, l itelligece artificielle, l actuariat, l iformatique, l aide à la décisio, la sociologie. La théorie des robabilités est égalemet utilisée our décrire les régularités des systèmes comlexes. Les Statistiques est l étude de la collecte, de l aalyse, de l iterrétatio, de la résetatio et l orgaisatio des doées. Das l alicatio des statistiques, ar exemle, das u roblème scietifique, idustriel ou social, il faut tout d abord ue oulatio ou u rocessus à étudier. Les oulatios euvet être des sujets divers tels que «toutes les ersoes vivat das u ays» ou «chaque atome comosat u cristal». Elles abordet tous les asects des doées y comris la laificatio de la collecte 3
de doées sur le la de la cocetio des sodages et des études emiriques. Cet ouvrage comorte 10 chaitres qui ortet sur les riciales théories des robabilités et des statistiques ; l aalyse combiatoire, les théorèmes fodametaux des robabilités, les variables aléatoires et lois de robabilités, les théories de l échatilloage et de l estimatio, les tests statistiques. 4
Chaitre I Cocets et théorèmes gééraux I. L aalyse combiatoire L aalyse combiatoire est ue brache des mathématiques qui étudie commet comter les objets. Elle fourit des méthodes de déombremets articulièremet utiles e théorie des robabilités. Les robabilités dites combiatoires utiliset costammet les formules de l aalyse combiatoire déveloées das ce chaitre. U exemle des alicatios itéressates de cette derière est la démostratio du déveloemet du biôme de Newto utilisé das le calcul des robabilités d ue loi biomiale. O suose que E est u esemble fii o vide de élémets. Par exemle, o eut imagier que E est ue ure coteat boules umérotées de 1 à. I.1 Les -listes d élémets d u esemble de élémets (Modèle : tirages d ue boule armi, avec ordre et remise.) désige u aturel suérieur ou égal à 1. Il eut être suérieur à. (Les -listes d élémets de E sot les élémets de E.) O tire ue boule. O ote so uméro. O la remet das l ure. O fait de même our ue ième boule, uis our ue 3 ième,, efi our ue ième. O obtiet aisi ue suite ordoée de uméros comris etre 1 et, avec d évetuelles réétitios. C est ue -liste d élémets de {1,,3,,}. 5
Il y a choix ossibles du remier uméro. Pour chacu de ces choix, il y a choix ossibles du secod uméro. Il y a doc faços de choisir les remiers uméros. Pour chacu de ces choix, il y a choix ossibles du 3 ième uméro. Il y a doc 3 faços de choisir les 3 remiers uméros. Pour chacu de ces 3 choix, il y a choix ossibles du 4 ième uméro. Il y a doc 4 faços de choisir les 4 remiers uméros. etc. O costate que : Les -listes d élémets d u esemble de élémets sot au ombre de. * Exercice : Le loto sortif Das le jeu du loto sortif, le arieur doit remlir ue grille où il idique les résultats qu il révoit our treize matchs de football. Pour chacu des treize matchs, trois réoses sot ossibles : l équie 1 est aocée comme gagate (réose [1]), le résultat révu est u match ul (réose [N]), L équie est aocée comme gagate (réose []). Ces trois réoses recouvret toutes les évetualités et, à l issue du match, ue et ue seule se trouvera réalisée. Voici u extrait de grille : N Equie 1 Equie Proostic 1 Nates Marseille [1] [N] [] Strasbourg Auxerre [1] [N] [].. 13 Bordeaux Metz [1] [N] [] La règle du jeu est la suivate : sur chacue des treize liges, le arieur coche ue et ue seule des trois cases [1], [N], [] corresodat au résultat qu il révoit. C est ce qu o aelle remlir la grille. 1 De combie de faços différetes eut-o remlir la grille? Déombrer les grilles our lesquelles, à l issue des matchs : a) toutes les réoses sot exactes ; 6
b) toutes les réoses sot fausses ; c) les trois remières réoses sot fausses et les dix autres exactes ; d) trois réoses et trois seulemet sot fausses. 3 Pour gager au loto sortif, il faut avoir au mois oze réoses exactes. Quel est le ombre de grilles gagates? Il est ossible de calculer le ombre des arties d u esemble de élémets ar ue méthode aalogue : O imagie que les élémets sot umérotés de 1 à. O se roose de défiir ue artie de l esemble. Il y a ossibilités our le remier élémet : le redre ou le laisser. Pour chacue de ces ossibilités, il y a ossibilités our le secod : le redre ou as. Il y a doc ossibilités our les remiers élémets. Pour chacue de ces ossibilités, il y a ossibilités our le 3 ième : le redre ou as. Il y a doc 3 ossibilités our les 3 remiers élémets. etc. Aisi : Il y a arties das u esemble de élémets. I. Les -arragemets d élémets d u esemble de élémets (Modèle : tirages d ue boule armi, avec ordre mais sas remise.) désige u aturel comris etre 1 et. O tire ue boule. O ote so uméro. O e la remet as das l ure. O fait de même our ue ième boule, uis our ue 3 ième,, efi our ue ième. O obtiet aisi ue suite ordoée de uméros comris etre 1 et, deux à deux disticts. C est u -arragemet d élémets de {1,,3,,}. Il y a choix ossibles du remier uméro. Pour chacu de ces choix, il y a ( 1) choix ossibles du secod uméro. Il y a doc ( 1) faços de choisir les remiers uméros. Pour chacu de ces ( 1) choix, il y a ( ) choix ossibles du 3 ième uméro. 7
Il y a doc ( 1)( ) faços de choisir les 3 remiers uméros. Pour chacu de ces ( 1)( ) choix, il y a ( 3) choix ossibles du 4 ième uméro. Il y a doc ( 1)( )( 3) faços de choisir les 4 remiers uméros. etc. O costate que : Les -arragemets d élémets d u esemble de élémets sot au ombre de : ( 1)( )...( + 1) 144444444 3 facteurs La différece etre ue -liste et u -arragemet est que les réétitios sot ossibles our les -listes, mais imossibles our les - arragemets. Par exemle (1, 1, ) est ue 3-liste mais as u 3- arragemet. (, 1, 3) est à la fois ue 3-liste et u 3-arragemet. Tout -arragemet est ue -liste. Les -arragemets sot les -listes sas réétitio. * Exercice : le tiercé 0 chevaux sot au déart. Jouer, c est révoir das l ordre les uméros des 3 chevaux qui arriverot e tête. Combie y a-t-il de jeux? De jeux gagats das l ordre? De jeux gagats das le désordre? I.3 Les ermutatios des élémets d u esemble fii. Les factorielles Le ombre de faços de rager les élémets de E est aussi le ombre de -arragemets d élémets de E : il s agit e effet de choisir sas remise u 1 er élémet uis u ième uis u 3 ième, etc., jusqu à l éuisemet de l esemble. Ce ombre est : ( 1)( )( 3) 1. Effectuos le roduit de la droite vers la gauche : ous recoaissos le roduit des etiers deuis 1 jusqu à comris. 8
Par défiitio, ce ombre est la factorielle de. Il y a! faços de rager élémets.! 1 3 (-1) La suite des factorielles eut être défiie de la faço suivate : 1! 1 et, our tout etier strictemet ositif : ( + 1)!! ( + 1). E effet, le roduit des etiers de 1 à + 1 est Le roduit ar ( + 1) du roduit des etiers de 1 à. La seule faço de redre cette égalité vraie aussi our 0, c est de oser : c est à dire : 0! 11! 0!1. La défiitio ar récurrece de la suite des factorielles est doc celle-ci : 0! 1 et (*N) (( + 1)!! ( + 1)) Il est tems de défiir le ombre de -arragemets d élémets de E à l aide des factorielles. Ce ombre est désigé ar A. A!/ ( )! (0 ) Ceci est vrai même si ou ou les deux sot uls ; e articulier : 0 0 A A0 1; A! I.4 Les -combiaisos d élémets d u esemble de élémets Das ce aragrahe, l etier est iférieur ou égal à l etier. Les -combiaisos d élémets d u esemble E de élémets sot les arties de E à élémets. O e tiet as comte de l ordre. La différece etre ue -combiaiso et u -arragemet est que das u -arragemet o tiet comte de l ordre, alors que das ue - combiaiso, o e tiet as comte. Par exemle, les 3-arragemets (1,,3) et (,1,3) sot différets, alors que les 3-combiaisos {1,,3} et {,1,3} sot les mêmes. 9
Das les -combiaisos, il y a i ordre i réétitio. A la 3-combiaiso {1,,3} o eut associer les 6 3-arragemets (1,,3), (1,3,), (,1,3), (,3,1), (3,1,), (3,,1). Le ombre 6 est le ombre d ordres ossibles our les 3 élémets 1,,3, c est à dire 3! Plus gééralemet, à toute -combiaiso corresodet autat de - arragemets que d ordres ossibles our élémets, c est à dire!. Il y a doc! fois lus de -arragemets que de -combiaisos. Il y a! fois mois de -combiaisos que de -arragemets. Le ombre de -combiaisos d u esemble de élémets est oté ou ecore : O retiedra les égalités suivates : Si (0 ) alors : facteurs 64444744448 A! C ( 1)( )...( + 1)!!( )!! (La derière écriture est la lus coveable das les calculs umériques.) 0 E articulier : C 0 C 0 C 1 0 0 0 Das tous les autres cas : C 0 I.5 Les combiaisos avec réétitios Cosidéros la situatio suivate : 4 cliets vieet se désaltérer das u débit de boissos. Ils s assoiet à ue même table. Chacu souhaite commader ue uique boisso. Il y a 10 tyes différets de cosommatios. Quel est le ombre de lateaux différets que eut comoser le barma our satisfaire les cliets? C 10
Le serveur choisit 4 boissos armi les 10 tyes. Il e tiet as comte de l ordre. Mais il accete les réétitios, uisque lusieurs cliets euvet désirer la même tye de boisso. So choix est ue 4-combiaiso avec réétitios d élémets ris das u esemble de 10 élémets. O eut illustrer les ossibilités ar des liges ordoées de 4 rods (les cliets) et 9 barres (séarat les 10 tyes) : comléter le tableau ci-dessous. SCHEMA SIGNIFICATION oo o o boissos du tye 1, 1 du tye 3, 1 du tye 6 o o o o 1 boisso de chacu des tyes 1, 4, 6, 10 o ooo 1 boisso du tye 5, 3 boissos du tye 10 o o oo oooo o o oo 1 boisso de chacu des tyes, 3, 6, 9 boissos de chacu des tyes 3 et 8 3 boissos du tye 7, 1 boisso du tye 9 1 boisso de chacu des tyes 4, 5, 6, 10 Das chaque schéma, il y a 13 ositios umérotées. 4 sot occuées ar des rods et 9 ar des barres. Le ombre des schémas est le ombre de faços de choisir 4 ositios armi 13 (ou 9 ositios armi 13, c est la même chose) sas teir comte de l ordre. Ce ombre est : 4 9 13 13 C 13 C13 4 9 Pour asser au cas gééral, o remlace 10 ar u etier aturel quelcoque et 4 ar u etier aturel quelcoque, as écessairemet iférieur à. Le ombre des -combiaisos avec réétitios d élémets d u esemble E de cardial est oté Γ. Il vérifie les égalités suivates : 11
Γ 1 Résumé C C + 1 + 1 1 + 1 + 1 1 Il y a! faços de rager élémets.! 1 3. (-1) Il y a A ( 1)( )...( + 1) A faços de choisir élémets armi e teat comte de l ordre. ( 1)( )...( + 1) C A /!!/!( )!! Choix de élémets discerables armi avec d évetuelles réétitios sas réétitio Les artitios avec ordre -listes -arragemets A sas ordre -combiaisos avec réétitios Γ C + 1 + 1 -combiaisos C Ue artitio de E est u esemble de arties de E à disjoites dot l uio est E. O souhaite réartir les élémets de E e arties (1 ) umérotées, à disjoites, de cardiaux resectifs 1,,, ( 1 + + + ). L esemble de ces réartitios a our cardial : Pour, ce cardial est autre que C 1, égal à C. Si (0 ) alors :! 1!!...! 1
A! 0 E articulier : C 0 C 0 facteurs 64444744448! ( 1)( )...( + 1)!( )!! C 1 Das tous les autres cas : C 0 3 La symétrie 0 0 0 Suosos que et q soiet etiers aturels de somme. Das u esemble de élémets, il y a autat de arties de élémets que de arties de q élémets, uisque redre élémets, c est laisser les q autres. D où 4 Le triagle de Pascal + c + 1 C c ( + q ) Das u esemble E de +1 élémets, o isole u élémet a. Le ombre de arties de E ossédat +1 élémets (0 ) (c est-à-dire 1 ) est égal au ombre de arties de E de +1 élémets e coteat as a (das E-{a}, il y e a C + 1 ), augmeté du ombre de arties de E formées de a et de autres élémets (il y e a c ). D où l égalité + 1 + 1 C + C C+ 1 5 Le biôme de Newto c q O sait que : (a + b) a + ab +b (a + b) 3 a 3 + 3a b + 3ab + b 3 (a + b) 4 a 4 + 4a 3 b + 6a b + 4ab 3 + b 4 O recoaît les coefficiets du triagle de Pascal. 13