L E S F O N C T I O N S U S U E L L E S. Les fonctions ffines.. Définition. Une fonction ffine est une fonction f définie sur R pr : f ( x) = x+ b.2 Représenttion grphique. o o Si b =, l fonction est linéire. Si =, l fonction est constnte. L fonction ffine f ( x) = x+ b se représente pr l droite d d éqution : y= x+ b, où :. Sens de vrition. o est le coefficient directeur de l droite o b est l ordonnée à l origine (d psse pr le point B( ; b ).. Rppel sur le sens de vrition d une fonction. On choisit deux vleurs u et v pour l vrible x, telles que u < v, donc telles que u v< o Si f ( u) f ( v) lors : f ( u) f ( v) < < et l fonction est strictement croissnte, cr l fonction vrie dns le même sens que l vrible. o Si f ( u) f ( v) lors f ( u) f ( v) > > et l fonction est strictement décroissnte cr l fonction vrie en sens inverse de l vrible...2 Sens de vrition d une fonction ffine, si >. Soient deux vleurs de l vrible, telles que u < v, donc telles que u v<. On clcule : ( ) f ( v) f u = Conclusion : puisque u v Donc f ( u) f ( v) <, et > lors le produit ( u v) est.., est L fonction ffine f ( x) = x+ b est donc. lorsque est positif... Sens de vrition d une fonction ffine, si <. On risonne de l même fçon. On prend deux vleurs u et v de l vrible, telles que u < v, donc telles que u v< On clcule : ( ) f ( v) f u = Conclusion : puisque u v Donc f ( u) f ( v) <, et < lors le produit ( u v) est.., est
L fonction ffine f ( x) = x+ b est donc lorsque est négtif...4 Théorème. Une fonction f est ffine si et seulement si pour deux vleurs u et v de x, le rpport ( ) f ( v) f u u v est constnt. On dit que «les ccroissements de l vrible sont proportionnels ux ccroissements de l fonction «Adpttion grphique : On peut obtenir sur un grphique représentnt une fonction ffine, l vleur du coefficient en clculnt le y rpport x, qui équivut à yb ya, A et B étnt deux points de l droite dont on repéré les coordonnées. x x B A E X E R C I C E. Trouver l fonction ffine f telle que f ( ) = et ( ) f 2 =. 2. Trcer l représenttion grphique de f définie pr f ( x) = x+ 2, à prtir du point ( ; 2) utilisnt le coefficient directeur. 2 A en 2
. Trcer l représenttion grphique de l fonction définie pr : f x = x x o ( ), si o ( ) = 2 + 2 si f x x x ] ; 2] ] 2 ; [ o f ( x) = x 5 si x [ ;+ [ E X E R C I C E 2 Trcer l repr résenttion grphique de l fonction définie pr ( ) f x = 2x
.4 Signe de x+ b Théorème : b x+ b= pour une vleur x= x+ b est du signe de pour les vleurs de x supérieures à x. Si >, l fonction ffine est strictement croissnte. -b f ( x) f ( x) x b + f( x ) + 2. Si <, l fonction ffine est strictement décroissnte. f ( x) -b f ( x) x b + f( x ) + E X E R C I C E 4 A chercher A l ide d un tbleu de signes, déterminer le signe de : f( x) = 2x+ 4
g( x) =,8x,6.5 Résolution d une inéqution du er degré. On veut résoudre l inéqution : x+ 4< 5x+ 6 Méthode : On rmène l inéqution u type x+ b< Il vient : x+ 4 5x 6< 2x 2< Puis : Soit résoudre pr le clcul : 2x 2< 2x< 2 x> Soit on utilise l règle des signes du binôme : 2x 2 s'nnule pour x= 2x 2 est du signe de (négtif) pour x> D où : S= ] ; + [ E X E R C I C E A chercher Résoudre le système : x+ 6 x 4 x doit vérifier à l fois les deux propriétés : x... et x... C'est-à-dire :... x... Schém : 5
Donc : S =.. 2. Fonctions linéires et proportionnlité. 2. Propriété : Soit f une fonction linéire définie sur R pr f( x) est le coefficient de proportionnlité. = x, lors f( x ) est proportionnel à x et à x et Réciproquement : toute reltion de proportionnlité peut se trduire pr une fonction linéire. Remrques : Le coefficient de proportionnlité correspond u coefficient directeur de l droite représenttive. L droite représenttive psse pr l origine des xes. Exemple : Soit le tbleu de proportionnlité 2 2 4 2 4 6 2 On lui ssocie l fonction linéire f( x) = 2x 6 5 4 2 C D -4 - -2-2 4 5 6 - Les points A( 2; 4 ), B( ; 2 ), C( 2 ; 4) et D( ; 6) A B -2 - -4-5 sont lignés sur une droite pssnt pr l origine. E X E R C I C E 5 A chercher Proportionnlité et vitesse.. Quelles est l distnce prcourue en 2h6 min à l vitesse moyenne de 6 km. h 6
2. Quel est le temps nécessire pour prcourir 8 km à l vitesse moyenne de 45 km. h 2.2 Propriétés de linérité. Soit l fonction définie pr f( x) = x Pour tous nombres réels x, x2 et k f( x x) 2 f( kx ) = + =.. D où les conséquences : Dns un tbleu de proportionnlité, on peut : Additionner les nombres de 2 colonnes pour former une nouvelle colonne. Multiplier les nombres d une colonne pr un même nombre. E X E R C I C E 6 5 6 7 8 7 8,4 Compléter le tbleu de proportionnlité suivnt, en utilisnt les propriétés de llinérité. k Vérifier les résultts, schnt que k=,4 E X E R C I C E 7 7
Les fonctions définies ci-dessous vérifient-elles les propriétés de l linérité?. f( x) = x b. g( x) = 4x 5 2. Pourcentges. Sitution : on veut ugmenter une quntité p de t %. Que devient-elle? Solution : t t Elle devient p, telle que p= p+ p p= + p Remrque : t t + et sont ppelés coefficients multiplicteurs. E X E R C I C E 8 Pourcentges successifs. Trouver le pourcentge d ugmenttion correspondnt à deux ugmenttions successives de 5% et 8%. 8