TS CM MCANQU Page sur 9 Déformatons - méthode du traval - énerge et méthode du traval vrtuel. Problème posé : Détermner le déplacement d'un pont quelconque d'un système sostatque. ntroducton : es méthodes de calcul des déformatons exposées dans ce cours sont basées sur le prncpe de la conservaton de l'énerge. orsqu'une structure est chargée, elle se déforme. Pendant le chargement, les ponts où les forces sont applquées se déplacent, et les sectons où agssent les moments subssent des rotatons.. e système de forces et de moments extéreurs applqués produt un traval externe Ce traval est emmagasné par la structure sous forme d'énerge potentelle; celle-c est le potentel ou traval nterne. Traval externe : On consdère une barre de secton constante fxée à une extrémté et lbre à l'autre. Fgure On applque à l'extrémté lbre de la barre une force axale crossant graduellement de O à P (Fgure a). Sous l'acton de cette force, la barre subt une déformaton élastque lnéare varant de O à suvant la drecton de la force (Fgure b). e traval externe produt par la force P peut être exprmé comme étant égal à l'are sous la courbe de la Fgure b. On a donc :. P.
TS CM MCANQU Page sur 9 De la même façon, s on applque en un pont quelconque d'une structure un moment fléchssant crossant graduellement de O à M, le traval externe de ce moment est égal au produt du moment moyen par la rotaton θ qu'l provoque. On a :. M n outre, la force P étant attente, s on applque sur la barre une force addtonnelle P' qu provoque une déformaton addtonnelle ' suvant la drecton de P, le traval produt par la force P est égal à : ϑ. P. ' De la même façon, le moment M étant attent en un pont quelconque d'une structure, s l'on provoque une rotaton addtonnelle θ' en ce pont, le traval produt par le moment M est égal à : M.ϑ' e facteur / n'apparaît pas dans les expressons du traval produt s la force P et le moment M sont constants durant la déformaton ou la rotaton addtonnelle provoquée. 3 Potentel ou traval nterne : Barre soumse à une force axale : Fgure Une barre soumse à une force axale crossant graduellement de à P subt une déformaton varant de à et emmagasne une énerge potentelle nterne égale à : Or nous avons déjà vu : d'où : σ. ε.. P. avec σ P A P. A. avec : : déformaton totale P : force axale développée dans la barre : longueur de la barre A : secton de la barre : module d'élastcté
TS CM MCANQU Page 3 sur 9 n remplaçant dans l'équaton, on obtent : P.. A. Poutre sollctée par un moment fléchssant : ε : déformaton untare On consdère un tronçon nfntésmal d'une poutre sollctée par un moment fléchssant crossant graduellement de à M. 'angle de rotaton entre les sectons extrêmes de ce tronçon est égale à d ϑ et l'énerge potentelle nterne d emmagasnée dans ce tronçon nfntésmal est donné par : d.. dϑ Or d'après les relaton démontrées en flexon, nous avons : Ce qu nous donne fnalement : d ϑ.. d... Pour détermner l'énerge nterne totale due à la flexon dans une poutre dont la rgdté à la flexon est constante, on ntègre l'équaton précédente sur la longueur de la poutre.... Fgure 3
TS CM MCANQU Page 4 sur 9 xpresson de l'énerge nterne suvant le type de sollctaton : Sollctatons ffort normal Moment fléchssant ffort tranchant Torson nerge nterne. N ( x).. A.... V ( x). G. A a. M t ( x). G. J A : are de la secton drote G : module de Coulomb A a : secton rédute pour un effort tranchant : moment quadratque : module de Young J : moment d'nerte de torson 'expresson de l'énerge nterne pour un système spatal soums à tous types de sollctatons sera donné par la formule suvante : Remarque : N ( x) M y ( x) M x V x z ( ) y ( ) Vz ( x) M t. ( ). + + + + +. A.. G. A G. A G. J y es énerge de déformatons sont très mportantes pour les moments de flexon et de torson car les déplacements sont mportants et fables pour l'effort normal et les csallements. Pour le calcul des portques plans courants, chargés dans leur plan qu est plan de symétre, la torson est nulle et l n'y a qu'un moment de flexon. On ne prendra en compte dans les calculs : z a, y - que de la flexon généralement très prépondérantes. - que la flexon et l'effort normal s l y a des trants ou des fgures relatvement ndéformables (présence de trangularsatons complètes ou partelles). a, z
TS CM MCANQU Page 5 sur 9 4 Calcul des déformatons par la méthode du travalénerge : 4. Déplacement au pont d'applcaton d'une A.M. : Suvant le prncpe de la conservaton de l'énerge, l sufft d'écrre pour une structure subssant une déformaton : xemple : Détermner le déplacement vertcale à m-portée pour la poutre chargée c-dessous : Soluton : Nos avons P comme traval extéreur. t comme traval ntéreur. P x sur [ ;/] Pour cause de symétre, nous avons : / P 4 x
TS CM MCANQU Page 6 sur 9 Sot fnalement : Conservaton de l énerge : 3 3 P x P 4 3 96 D où : 3 P 48 4. Utlsaton des ntégrales de Mohr : Devant la longueur des calculs nécessares au calcul des ntégrales que l on rsque de rencontrer, un très grand nombre de calcul d ntégrales a été réalsé : ntégrales de Mohr. Méthodologe : - Rechercher le résultat correspondant aux deux moments de flexon dont nous devons ntégrer le produt. - Multpler le résultat obtenu par ongueur _ élément. élément 4.3 Déplacement d un pont quelconque d une structure : 4.3. Problème : Détermner le déplacement à m-portée de la poutre chargée c-dessous : Cette fos-c, l n y a pas réellement de charge applquée où on veut calculer un déplacement. 4.3. Soluton : Nous allons fare ntervenr la noton de traval vrtuel. e traval vrtuel est le traval produt par une force vrtuelle qu agt suvant un déplacement réel. orsqu on applque à une structure en équlbre un système de forces vrtuelles, ces forces provoquent des efforts ntéreurs vrtuels et de petts déplacements vrtuels
TS CM MCANQU Page 7 sur 9 dans la structure. A la place d un système de forces vrtuelles quelconque, on utlse de préférence une seule force vrtuelle ayant une valeur unté pour le calcul d un déplacement en un pont donné d une structure. Méthodologe du prncpe des travaux vrtuels : - Charger réellement la structure et tracer son dagramme M. - Applquer une charge vrtuelle unté au pont et dans la drecton du déplacement recherché (sans le chargement réél). Tracer M. 3- xprmer le traval vrtuel extéreur e (mnuscule pour vrtuel) 4- xprmer le traval vrtuel ntéreur. 5- Applquer la conservaton de l énerge. 4.3.3 Applcaton : Cas de chargement Dagrammes des moments S S Traval vrtuel extéreur : e F.f Traval vrtuel ntéreur : M M ( Conservaton de l énerge : e sot avec F 5 ) q ( 8 )( ) 4 4 5q 384 5q 4 f 384
TS CM MCANQU Page 8 sur 9 5 Cas d un trells : Détermner le déplacement vertcal du nœud C du trells chargé comme ndqué sur la fgure c-dessous. es barres ont toutes la même secton : A 5 mm. Résoluton : ère étape : On supprme les forces qu agssent aux nœuds D et et on applque au nœud C du trells (où l on cherche le déplacement vertcal) une force vrtuelle vertcale de kn. Pus on détermner les efforts ntéreurs vrtuels n dans les barres du trells dus à cette force unté. Remplr les cases correspondantes du tableau récaptulatf. è étape : On ntrodut les forces extéreures agssant aux nœuds D et. On détermne les efforts ntéreurs N dans les barres du trells dus à ces forces extéreures. es déformatons réelles des barres du trells dues à ces efforts ntéreurs sont désgnées par.
TS CM MCANQU Page 9 sur 9 Remplr les cases correspondantes dans le tableau récaptulatf. Barre n ongueuer n (kn) N (kn) n N (m).83 -.77-4.43 +84.3 4. +.5 +3. +59.4 3.83 +.77 4 4. -. -3. + 5.83 +.77-6 4. +.5 +3. +59.4 7.83 -.77-4.43 +84.3 3 è étape : On calcule le traval vrtuel extéreur : e.δ e 4 è étape : On calcul le traval vrtuel nterne de la structure qu est produt par l effort vrtuel ntéreur p dans chaque barre du trells qu se déplace suvant la déformaton réelle de la barre due aux forces réelles. On a donc : 7 n 5 è étape : or nous savons que : d où n N 7 A N A xprmons la conservaton de l énerge vrtuelle de déformaton :. δ C 7 n N A t on en dédut la valeur du déplacement (attenton aux untés) δ C. 3mm