CHAPITRE Angles orientés, trigonométrie Capacités au programme : Utiliser le cercle trigonométrique, notamment pour : déterminer les cosinus et sinus d angles associés ; résoudre dans R les équations d inconnue x : cos x = cos a et = sin a. Dans toute la suite du cours, le plan sera rapporté et orienté par le repère orthonormé, #» ı, #» ȷ ). I) Angle orienté formé par deux vecteurs du plan A) esure d angle en radians Définition 1 : Angle orienté dans le cercle trigonométrique) Soit un point du cercle trigonométrique. L angle orienté I, ) est l angle formé par les deux demi-droites [I) et [) parcouru en sens direct. J I Fig..1 : L angle orienté est marqué en rouge. Définition : Radian) Soit un point du cercle trigonométrique. Tout nombre réel α associé à par l enroulement de la droite réelle est appelé mesure de l angle orienté I, ). L unité de mesure est le radian. Exemple : Si est un point du cercle trigonométrique, notons l la longueur du petit arc I. Alors une mesure de l angle I, ) est l si on va de I vers en sens direct donc lorsque a une ordonnée positive), et l si on va en sens indirect donc lorsque a une ordonnée négative). Exercice 1 : Justifier pourquoi pour tout angle donné, la mesure en degré entre 0 et 0) est proportionnelle à la mesure en radian entre 0 et ) et déterminer les coefficients. Solution : Le cercle trigonométrique est partagé régulièrement à partir du point I que ce soit pour les degrés ou pour les radians et donc les mesures en degrés et en radians sont proportionnelles. 180 degrés correspondent à radians. n a donc le schéma suivant :
Chapitre : Angles orientés, trigonométrie + 5 0 7 5 5 11 7 5 Fig.. : Angles remarquables et position sur le cercle trigonométrique. Rad 180/ /180 Deg Remarque : Correspondance avec les degrés) Grâce au résultat de l exercice précédent on peut établir le tableau suivant. Degrés 0 0 5 0 90 10 15 150 180 Radians 0 Tab..1 : Correspondance de 0 à. 5 Degrés 10 5 0 70 00 15 0 0 Radians 7 5 5 7 Tab.. : Correspondance de 7/ à. 11 B) Congruences et mesure principale Propriété 1 : Soit un point du cercle trigonométrique et α une mesure de l angle entier relatif k, le réel α + k est encore une mesure de I, ). I, ). Alors pour tout Preuve : Soit k Z. Si k : k = k et donc k correspond à k tours complets) du cercle trigonométrique en sens direct. Donc en partant du point associé à α, on retombe sur, ce qui implique que la mesure de I, ) est aussi α + k. S. Der onsessian - dermon.fr
I) Angle orienté formé par deux vecteurs du plan 5 Si k Z : k correspond à k tours du cercle trigonométrique en sens indirect. n retombe encore sur et I, ) mesure donc α + k radians. Remarque : n comprend grâce à cette propriété que l on ne peut pas parler d une mesure d angle orienté mais bien des mesures. Pourtant, géométriquement, cela correspond à la même chose. n a envie donc d écrire que si α et β sont deux mesures d un même angle orienté dans le cercle trigonométrique, alors α = β, mais la propriété nous dit que c est faux. Il faut donc inventer une notion qui permet de regrouper les mesures d un angle orienté dans une même famille. Définition : Congruence modulo ) Deux réels α et β sont congrus ou égaux) modulo si leur différence est un multiple de, c est à dire si k Z 1 tel que α = β + k. Dans ce cas, on note α = β mod ou encore α = β []. Remarque : D après la définition, «modulo» signifie «à un multiple de près». Comme prévu, grâce à cette notion d égalité modulo, on regroupe toutes les mesures d un angle dans une même catégorie. Peut être omis en première lecture) Contrairement à ce que l on peut penser en lisant la définition, l égalité modulo est semblable en beaucoup de points à l égalité classique que l on connaît. Réflexivité : n peut écrire pour tout réel x que x = x. Et bien il en est de même modulo car x = x + 0 et donc x = x mod. Symétrie : De même on sait que si x = y, alors y = x. C est la même chose avec la congruence modulo : si x = y mod, il existe un entier k tel que x = y+k. ais alors y = x+ k), ce qui implique que y = x mod. Transitivité : Enfin, avec l égalité classique, si x = y et y = z, alors x = z. Et avec l égalité modulo, si x = y mod, il existe un entier k tel que x = y + k. Et si y = z mod, il existe un entier l tel que y = z + l. ais alors x = z + l) + k = z + k + l) et donc x = z mod. Compatibilité avec + et : n peut aussi ajouter et multiplier par un réel non nul les deux membres d une congruence modulo avec une petite nuance pour la multiplication : * Si x = y mod et x = y mod alors x + x = y + y mod. En effet : il existe k et k deux entiers tels que x = y + k et x = y + k et donc x + x = y + y + k + k ) et on a bien x + x = y + y mod. * Si x = y mod et α R, alors αx = αy mod α. En effet, s il existe k entier tel que x = y + k, alors en multipliant les deux membres par α, on a αx = αy + k α et donc αx = αy mod α. Soit un point du cercle trigonométrique. n considère le petit arc I, c est à dire le plus court des deux. Puisqu il vaut au maximum un demi-périmètre de cercle, la longueur l de cet arc est un réel de [0, ]. Une mesure de l angle orienté I, ) est alors l si, en suivant l arc, on va de I vers en sens direct, et est l si on va de I vers en sens indirect. ais quelle mesure donner à l angle I, ) lorsque les trois points sont alignés? En effet, suivant le point de vue on peut lui attribuer soit 1. Le symbole veut dire «il existe». S. Der onsessian - dermon.fr
Chapitre : Angles orientés, trigonométrie radians soit radians. n décide donc de dire que c est la même chose et quitte à choisir on prendra le positif, soit. Donc on peut mesurer un angle orienté uniquement avec un réel de l intervalle ], ]. Lorsqu on choisit une mesure d angle dans cet intervalle, on dit que l on donne la mesure principale de l angle. otation : Dorénavant, pour dire qu un angle, ) mesure α radians, on écrira, en tenant compte de ce qui a été dit,, ) = α mod, autrement dit, on confond volontairement un angle et sa mesure modulo. Propriété : Soient et deux points du cercle trigonométrique avec α et β les mesures respectives des angles I, ) et I, ) modulo. Alors la mesure de l angle orienté, ) est β α mod. Preuve : n va montrer ce point en utilisant pour mesures de I, ) et I, ) la longueur des arcs I et I parcourus en sens direct. Ce sont des éléments de l intervalle [0, [. otons les respectivement α et β comme dans l énoncé. Une mesure de l angle, ) est donc la longueur de l arc affectée d un signe + ou suivant la position des points. n distingue donc deux cas suivant que est entre I et ou pas. Si I, une mesure de l angle, ) est la longueur de l arc parce que ce dernier est parcouru de à en sens direct. L angle, ) a donc pour mesure la différence des longueurs des arcs Î et Î, c est donc bien β α mod. Si I, l arc est parcouru de vers en sens indirect et donc la mesure de, ) est l opposé de cette longueur d arc, c est donc l opposé de la différence des longueur des arcs I et I et c est α β) = β α mod. J J I I Fig.. : Différentes positions possibles des points et.. et pas une mesure principale parce qu il n y a qu une façon de procéder et donc qu un réel possible. S. Der onsessian - dermon.fr
I) Angle orienté formé par deux vecteurs du plan 7 C) Angle orienté de deux vecteurs du plan Définition Soient #» u et #» : v deux vecteurs non nuls dans le plan muni d un repère orthonormé direct, #» ı, #» ȷ ). L angle orienté #» u, #» v ) est par définition l angle orienté, ) où et sont deux points du cercles trigonométrique tels que et sont colinéaires et de même sens que #» u et #» v. Sa mesure principale est l unique réel α de ], ] tel que #» u, #» v ) = α mod. J I #» v #» u Fig.. : Angle de deux vecteurs quelconques et cercle trigonométrique Remarque : Différences entre un angle orienté et un angle géométrique) n distingue deux notions. Pour trois points A, et B du plan, l angle géométrique ÂB et l angle orienté A, B). Supposons que ÂB ait pour mesure α en radians. Alors α est nécessairement un réel de l intervalle [0, ] en degrés entre 0 et 180). Le réel α n est pas forcément une mesure de l angle A, B). Si α n est ni nul ni égal à pour éviter les cas faciles), alors une mesure et même la mesure principale) de A, B) sera α. Dans le cas contraire, elle sera α. Réciproquement, si la mesure principale de l angle A, B) est α radians, alors la mesure de l angle géométrique sera α radians. Pour finir, on peut distinguer les deux sur un dessin à l aide de la flèche qui donne l ordre de lecture. A A B B Angle géométrique Angle orienté Fig..5 : Angle orienté et angle géométrique associé. Exercice : Déterminer les mesures principales des angles suivants. 1) #» a, #» b ) = 17 mod ) #» e, #» f ) = 9 mod 5) #» l, m) #» = mod ) #» c, #» d ) = 11 mod ) #» g, #» h ) = 1, 5 mod S. Der onsessian - dermon.fr
8 Chapitre : Angles orientés, trigonométrie Solution : Pour déterminer la mesure principale de l angle, on enlève ou on ajoute au nombre autant de fois qu il faut pour tomber dans l intervalle ], ]. 1) 17 8 = ], ] donc 17 = mod et on obtient #» a, #» b ) = mod. ) 11 = ], ]. Donc #» #» c, d ) = mod. ) 9 + = ], ] et #» #» e, f ) = mod. ) 1, 5 = 5 donc 1, 5 = ], ] et donc #» #» g, h ) = mod. 5) = + donc = ], ] et #» l, m) #» = mod. Conséquence 1 : Deux angles orientés sont égaux si et seulement si leurs mesures sont égales modulo si et seulement si ils ont la même mesure principale. Preuve : C est en fait une conséquence de la définition. Deux angles orientés de vecteurs sont égaux si et seulement si les angles orientés associés dans le cercle trigonométriques sont égaux si et seulement s ils ont la même mesure modulo si et seulement s ils ont la même mesure principale. Propriété Soient #» u, #» : v et w #» Relation de Chasles) trois vecteurs non nuls du plan. Alors #» u, #» v ) + #» v, w) #» = #» u, w). #» #» w #» v #» w #» u #» u u #» puis #» v puis w. #» #» v u #» puis w #» puis #» v. Fig.. : Relation de Chasles et position des vecteurs. Preuve : Soient, et P trois points du cercle trigonométrique associés aux vecteurs #» u, #» v et w #» comme dans la définition. Il existe trois réels α, β et γ tels que I, ) = α mod, I, ) = β mod et I, P) = γ mod. n obtient donc en utilisant la définition :, ) +, P) = β α) + γ β) mod = γ α mod =, P) n peut donc conclure en utilisant la définition d un angle orienté de deux vecteurs du plan. Remarque : Attention, cette égalité doit être comprise au niveau des mesures comme «la mesure du premier plus la mesure du second est congrue à la mesure du troisième modulo» et pas comme «la somme d une mesure du premier et d une mesure du second est égale à la mesure du troisième» et pas non plus comme «la somme des mesures principales des deux premiers est égale à la mesure principale du troisième». S. Der onsessian - dermon.fr
I) Angle orienté formé par deux vecteurs du plan 9 Propriété : Soient #» u et #» v deux vecteurs non nuls du plan. n a les égalités suivantes : 1) #» u, #» v ) = #» v, #» u ) ) #» u, u) = mod ) u, v ) = #» u, v) = + #» u, #» v ) mod ) #» u, #» v ) = u, v) Preuve : n va démontrer chaque égalité séparément. n notera pour tout vecteur #» u non nul du plan, #» u, #» u ) = 0 et sa mesure est 0 mod. 0 l angle nul. n a automatiquement 1) n utilise la relation de Chasles : #» u, #» v ) + #» v, #» u ) = #» u, #» u ) = 0 mod. Donc #» u, #» v ) = #» v, #» u ). ) Les vecteurs #» u et #» u sont colinéaires et de sens opposés. Donc ils sont associés sur le cercle trigonométrique à deux points diamétralement opposés et donc un arc de cercle qui les sépare est de longueur c est un demi-cercle). Donc l angle orienté #» u, u) a pour mesure modulo. ) D après la relation de Chasles #» u, #» v ) + #» v, v) = #» u, v). r d après le point ), mod. Donc on obtient directement en lisant l égalité de droite à gauche mod. D autre part, u, #» v ) + #» v, v) + v, #» u ) = u, #» u ). r #» v, v) = tous les deux mod. n a donc, en le soustrayant aux deux membres Et donc directement, u, #» v ) = v, #» u ) = #» u, v). #» v, v) = #» u, v) = + #» u, #» v ) u, #» u ) puisqu ils mesurent u, #» v )+ 0+ v, #» u ) = 0. ) n utilise l égalité sur l angle u, v) : en posant w #» = #» v, u, v) devient u, w) #» qui vaut d après le point ) #» u, w). ais w #» = #» v ) = #» v. n a donc bien #» u, #» v ) = u, v). Exercice : ontrer que la somme des mesures des angles orientés dans le même sens d un triangle est égale à radians. Solution : Soit ABC un triangle. n considère la somme S ABC des trois angles orientés en sens direct comme sur la figure ci-dessous. n va montrer en utilisant les règles précédentes qu elle est congrue à modulo. A B C Fig..7 : Angles orientés dans un triangle. n a S ABC = AB, AC) + CA, CB) + BC, BA). ais d après la propriété précédente, CA, CB) = CA, CB) et donc CA, CB) = AC, BC). n utilise donc la relation de Chasles pour obtenir : S. Der onsessian - dermon.fr
0 Chapitre : Angles orientés, trigonométrie S ABC = AB, AC) + CA, CB) + BC, BA) = AB, AC) + AC, BC) + BC, BA) = AB, BA) = AB, AB) = mod Exercice : Écrire puis démontrer la propriété de l angle inscrit à l aide des angles orientés. Solution : Angle inscrit) Propriété : Soient, A et B trois points d un cercle de centre tels que soit distinct de A et B. n a A, B) = A, B). n utilise la relation de Chasles : A, B) = A, ) +, B). r les triangles A et B sont isocèles en et on obtient donc en utilisant la propriété de la somme des angles : A, ) =, A) = + A, ) mod ;, B) = B, ) = +, B) mod. n a donc A, B) = + [ A, ) +, B)] mod. r = 0 mod et donc on a bien l égalité d angles voulue : A, B) = A, B). A Fig..8 : Propriété de l angle inscrit et angles orientés. B II) Trigonométrie A) Premières définitions et angles remarquables Définition 5 : Soit x R et le point du cercle trigonométrique associé à x. Le cosinus du nombre réel x est l abscisse de et son sinus est son ordonnée. n obtient donc la décomposition : = cos x) #» ı + ) #» ȷ S. Der onsessian - dermon.fr
II) Trigonométrie 1 x cos x Fig..9 : Cosinus et sinus d un nombre réel. Définition Soient #» u et #» : Cosinus et sinus d un angle orienté) v deux vecteurs non nuls et x R une mesure de l angle orienté définition, cos #» u, #» v ) = cos x et sin #» u, #» v ) = #» u, #» v ). Alors par Propriété 5 : Cosinus et sinus d angles remarquables) x 0 0 cos x 1 1 1 1 0 Remarque : Ce tableau est en réalité facile à mémoriser. Il suffit de connaitre les valeurs des angles, et la ligne des sinus est composée de 0, 1,, et puis on simplifie. La ligne des cosinus est identique à la ligne des sinus mais lue dans l autre sens. Preuve : n note le point associé au réel x. n va calculer les cosinus et sinus de x en fonction de la position de. 1) 0 rad : est en I. Ses coordonnées sont 1, 0) donc = 0 et cos x = 1. ) rad : n peut voir A comme la moitié d un triangle équilatéral de longueur de côté 1 cm. Les trois angles de ce triangle mesurent radians. La hauteur issue du sommet, A) est aussi bissectrice de l angle associée et médiatrice du côté opposé. Elle forme donc un triangle rectangle dont les angles hormis l angle droit) mesurent et et les côtés sont 1 pour l hypoténuse et 1 pour le petit côté. D après le théorème de Pythagore, le dernier côté mesure. Puisque A est un tel triangle, on en déduit immédiatement que cos x = et = 1. ) rad : est sur la première bissectrice la droite d équation y = x). En effet, est la moitié de qui correspond à l angle droit. Donc nécessairement cos x = x = y =. r x + y = 1 et donc x = 1. Donc x = 1, et puisque x 0 il suffit de regarder la position sur le cercle trigonométrique) x =. D où cos x = et =. ) rad : n reprend point par point la démonstration de et on obtient = et cos x = 1. 5) rad : est en J. Ses coordonnées sont 0, 1) donc = 1 et cos x = 0. S. Der onsessian - dermon.fr
Chapitre : Angles orientés, trigonométrie x cos x A Fig..10 : Le triangle équilatéral et / rad x cos x A Fig..11 : Le triangle équilatéral et / rad. Propriété : Pour tout x réel, 1) cos x + sin x = 1 ; ) 1 cos x 1 et 1 1 ; ) pour tout entier relatif k, cosx + k) = cos x et sinx + k) =. Preuve : n obtient ces résultats immédiatement en se servant du cercle trigonométrique. 1) Le cercle trigonométrique est constitué de l ensemble des points x, y ) dont la distance au centre est 1. Soit donc un réel x et le point associé. n a = 1 et donc, puisque le repère est orthonormé, x 0) + y 0) = x + y = 1. n a donc x + y = 1. r par définition, x = cos x et y =. n obtient alors cos x + sin x = 1. ) Soit x R, on a cos x + sin x = 1. ais les deux quantités cos x et sin x sont des réels positifs dont la somme est 1. Ils sont donc nécessairement inférieurs à 1. n a cos x 1 et donc 1 cos x 1, et de même sin x 1 et donc 1 1. n peut interpréter cette règle de la façon suivante. Le cercle trigonométrique est contenu dans le carré de sommets 1, 1), 1, 1), 1, 1) et 1, 1) comme on peut le voir sur la figure ci-dessous. ) Soit x R. Pour tout entier k, x et x+k sont associés au même point du cercle trigonométrique. Donc nécessairement leurs cosinus et sinus sont égaux. B) Cosinus et sinus d angles associés Les propriétés de symétrie remarquables du cercle trigonométrique vont nous permettre de dégager des liens forts entre les cosinus et sinus d angles dits «associés» c est à dire qui s obtiennent l un par rapport à l autre à l aide des symétries. Ces formules ne doivent pas être apprises bêtement mais être S. Der onsessian - dermon.fr
II) Trigonométrie Fig..1 : Le cercle trigonométrique contenu dans le carré. retrouvées à l aide de la géométrie du cercle trigonométrique. Pour s exercer à les utiliser, on pourra rechercher les cosinus et sinus de l ensemble des angles particuliers rencontrés auparavant. Propriété 7 : Angles de mesures opposées) Pour tout réel x, cos x) = cos x et sin x) = sinx). Autrement dit, deux angles opposés ont le même cosinus et des sinus opposés. cos x cos x) sin x) Fig..1 : Angles opposés et leurs cosinus et sinus respectifs. Preuve : Soit x ], ] et le point associé. Alors, le point, associé à x, est le symétrique de par rapport à l axe des abscisses. En effet, les longueurs des arcs I et I sont égales à x et le cercle trigonométrique admet l axe des abscisses comme axe de symétrie. n en déduit que dans ce cas cos x) = cos x les abscisses sont égales) et sin x) = les ordonnées sont opposées. Soit maintenant x R quelconque. Il existe x 0 ], ] tel que x = x 0 mod. n en déduit que cos x) = cos x 0 ) = cos x 0 = cos x en utilisant la propriété et le point précédent. Et de même sin x) = sin x 0 ) = cos x 0 = cos x. Propriété 8 : Angles complémentaires) Pour tout réel x, cos x) = et sin x) = cos x. Autrement dit, deux angles orientés complémentaires ont un sinus et un cosinus échangés. Preuve : n observe premièrement que pour tout réel x, x et x sont symétriques par rapport au réel. En effet, ils sont distincts ou égaux à : x = x x = x = ; et ils sont à égale S. Der onsessian - dermon.fr
Chapitre : Angles orientés, trigonométrie sin x) d) cos x) cos x Fig..1 : Angles complémentaires et leurs cosinus et sinus respectifs. distance de : x) = x = x. ais le cercle trigonométrique est symétrique par rapport à la droite d d équation y = x comme d ailleurs toute droite passant par l origine) qui est justement associée à l angle. En effet, cette droite passe par et le point de coordonnées, ) = cos, sin ). n en déduit que les deux points et associés à x et x sont symétriques par rapport à cette droite et ont donc des coordonnées échangées. Donc cos x) = et sin x) = cos x. Propriété 9 : Angles supplémentaires) Pour tout réel x, cos x) = cos x et sin x) =. Autrement dit, deux angles orientés supplémentaires ont le même sinus et des cosinus opposés. sin x) cos x) cos x Fig..15 : Angles supplémentaires et leurs cosinus et sinus respectifs. Preuve : n reprend le même raisonnement que pour les angles complémentaires. Premièrement, pour tout réel x, x et x sont symétriques par rapport au réel. En effet, ils sont distincts ou égaux à : x = x x = x = ; et ils sont à égale distance de : x) = x = x. ais le cercle trigonométrique est symétrique par rapport à l axe des ordonnées qui est justement associée à l angle. n en déduit que les deux points et associés à x et x sont symétriques par rapport à cette droite et ont donc des abscisses opposées et la même ordonnée. Donc cos x) = cos x et sin x) =. S. Der onsessian - dermon.fr
II) Trigonométrie 5 Propriété 10 : Demi-tour) Pour tout réel x, cosx + ) = cos x et sinx + ) =. Autrement dit, après un demi tour, le cosinus et le sinus sont changés en leurs opposés. cos + x) cos x sin + x) Fig..1 : Demi-tour et impact sur le cosinus et le sinus d un angle. Preuve : En ajoutant à la mesure x R d un angle, on fait faire au point associé un demi-tour autour du point sur le cercle trigonométrique. Le point obtenu est alors le symétrique de par rapport au point. n en déduit donc que les coordonnées de et de sont opposées, ce qui se traduit par cosx + ) = cos x et sinx + ) =. Propriété 11 : Quart de tour direct) Pour tout réel x, cosx + ) = et sinx + ) = cos x. Autrement dit, après un quart de tour direct, le cosinus après le quart de tour) devient l opposé du sinus avant le quart de tour) et le sinus après le quart de tour) devient le cosinus avant le quart de tour). sin + x) cos + x) cos x Fig..17 : Quart de tour direct et impact sur le cosinus et le sinus d un angle. Preuve : Soit x R, n pose y = x, donc x = y +. n a : cosx + ) = cosy + ) = cos y = cosx ) = cos x) = sinx + ) = siny + ) = sin y = sinx ) = sin x) = cos x n a bien entendu utilisé les propriétés démontrées précédemment pour obtenir ce résultat. S. Der onsessian - dermon.fr
Chapitre : Angles orientés, trigonométrie Propriété 1 : Quart de tour indirect) Pour tout réel x, cosx ) = et sinx ) = cos x. Autrement dit, après un quart de tour direct, le cosinus après le quart de tour) devient le sinus avant le quart de tour) et le sinus après le quart de tour) devient l opposé du cosinus avant le quart de tour). cosx ) cos x sinx ) Fig..18 : Quart de tour indirect et impact sur le cosinus et le sinus d un angle. Preuve : Soit x R, x = x). n en déduit donc cosx ) = cos [ x)] = cos x) = sinx ) = sin [ x)] = sin x) = cos x Exercice 5 : Déterminer le cosinus et le sinus des réels suivants : a) b) c) 5 d) e) 5 f) g) h) i) j) k) Solution : Pour répondre à cet exercice, il ne faut absolument pas hésiter. n a pris les symétriques par rapport à et aux différents axes de symétrie des angles de mesures remarquable. n a donc directement : Groupe e quadrant e quadrant e quadrant x cos x 1 5 1 5 1 0 1 1 1 0 1 1 Tab.. : Cosinus et sinus déduits des angles remarquables S. Der onsessian - dermon.fr
II) Trigonométrie 7 C) Équations trigonométriques élémentaires Propriété 1 : Quels que soient a et b deux réels, cos a = cos b b = a mod ou b = a mod sin a = sin b b = a mod ou b = a mod Preuve : n utilise, ici encore, les propriétés du cercle trigonométrique. Ce dernier est symétrique par rapport à l axe des abscisses et à l axe des ordonnées. Si deux nombres réels a et b ont le même cosinus, ils sont représentés par deux points ayant la même abscisse sur le cercle trigonométrique. Ils sont donc égaux ou symétriques par rapport à l axe des abscisses. n en déduit que a et b sont soit égaux, soit opposés modulo. Donc en symboles, b = a mod ou b = a mod. Si deux nombres réels a et b ont le même sinus, ils sont représentés par deux points ayant la même ordonnée. Ces deux points sont égaux ou symétriques par rapport à l axe des ordonnées. Donc soit a et b sont égaux ou symétriques par rapport à, c est donc que b = a mod ou b = a mod. sin a sin b cos a cos b Égalité des cosinus. Égalité des sinus. Fig..19 : Solutions d équations trigonométriques élémentaires. Remarque : n utilise cette propriété afin de résoudre des équations du type cos x = r ou = r d inconnue x, où r est un réel fixé de l intervalle [ 1, 1], et en particulier lorsqu on connaît un angle dont le cosinus ou le sinus vaut r. n déduit alors toutes les solutions en utilisant la propriété. Il s agit ici d une résolution exacte et pas approchée comme au collège : la touche arccos ou arcsin de la calculatrice ne nous aidera, a priori qu à trouver une valeur numérique proche d une des solutions. Exemple : Facile) n considère l équation E) = 1. n sait que sin 5 ) = 1 et donc d après la propriété, pour x R, x est une solution de E) si et seulement si x = 5 mod ou x = + 5 = 11 = mod, autrement dit les solutions de E) sont l ensemble des nombres du type 5 + k ou + k avec k un entier relatif. S. Der onsessian - dermon.fr
8 Chapitre : Angles orientés, trigonométrie Exemple : Plus difficile) n considère l équation E) cos x = dont l ensemble des solutions sera noté S E. À première vue il s agit d un type d équation que l on a pas vu et on ne peut pas répondre. ais on a pourtant vu que pour tout x R, cos x) =. Soit donc x R. x S E cos x = cos x = cos x) x = x mod ou x = x mod x = x = mod ou 0 = mod mod impossible) Et donc S E est l ensemble des nombres du type + k où k est entier relatif. Remarque : n a bien écrit à la dernière ligne mod et pas mod, la raison étant que la multiplication et la division ont un impact sur le modulo. En effet, en écrivant x = mod, on dit qu il existe un entier relatif k tel que x = + k. En divisant par, on obtient donc x = + k et pas x = + k. Exercice : Résoudre dans R les équations suivantes. 1) cos x = ) = ) = cos x ) cos x + ) = Solution : n appele E 1 ) E ) les équations et S E1 S E les ensembles de solutions associés. 1) Soit x R. x S E1 cos x = cos x = cos x = mod ou x = mod Donc S E1 = { + k k Z} { + k k Z}. n écrira plus simplement S E1 = {± + k k Z} ) Soit x R. x S E = = sin ) x = mod ou x = + = 5 = mod Donc S E = { + k k Z} { + k k Z}. S. Der onsessian - dermon.fr
II) Trigonométrie 9 ) Soit x R. x S E = cos x = + ) x = x + mod ou x = x = x mod x = mod ou x = 10 mod 5 Donc S E = { + k k Z} { 10 + k 5 ) Soit x R. k Z}. x S E cos x + ) = cos x + ) = cos 5 x + = 5 mod ou x + = 5 mod x = x = mod ou x = 7 mod mod ou x = 7 mod 1 Donc S E = { + k k Z} { 7 + k k Z}. 1 S. Der onsessian - dermon.fr