Chapitre 10 : Le Produit Scalaire A) Définitions et cas particuliers 1) Rappels a) Norme d'un vecteur La norme d'un vecteur est sa longueur. Par exemple, la norme du vecteur AB la longueur AB, ou encore la distance de A à B. est tout simplement On notera u la longueur, ou norme du vecteur u. Ainsi, nous avons AB =AB. b) Longueur d'un segment, distance entre deux points La formule pour la calculer la distance entre A et B, c'est à dire la longueur AB en fonction des coordonnées de A et B (en repère orthonormé) est : AB= (x B x A ) 2 +( y B y A ) 2 c) Longueur d'un vecteur Par ailleurs, x B x A et y B y A sont les coordonnées du vecteur AB norme du vecteur u de coordonnées (x ; y) se calcule par : u = x 2 + y 2 2) Produit scalaire de deux vecteurs, donc on peut aussi dire que la a) Nature et notation du produit scalaire On notera u. v le produit scalaire des vecteurs u et v, qui est un nombre réel (et non un autre vecteur). Il y a plusieurs façons équivalentes de définir le produit scalaire de deux vecteurs. b) Définition graphique par la projection orthogonale Soient deux vecteurs AB et AC : Si on projette orthogonalement C sur la droite (AB) en un point D, le produit scalaire de ces deux vecteurs, qu'on écrira AB. AC sera égal à : AD AC si A est en dehors du segment [CD] ou à AD AC si A est entre C et D. page 1/5
c) Définition avec le cosinus Si on regarde le schéma précédent on voit, puisque le triangle ABD est rectangle en D que : AD AB =cos( AD, AB),donc AD= ABcos( AD, AB) D'où pour deux vecteurs u et v une deuxième formule et définition du produit scalaire : u. v= u v cos u, v Autrement dit, le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit de leurs longueurs par le cosinus de l'angle qu'ils font. d) Définition avec les normes Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est aussi le nombre réel noté u. v tel que : u. v = 1 2 [ u+ v 2 u 2 v 2 ] On notera u 2 le produit u. u, qui est égal à u 2. En effet, en remplaçant v par u dans cette définition, on trouve : u. u= 1 2 [ u+ u 2 u 2 u 2 ]= 1 2 [ 2 u 2 2 u 2 ]= 1 2 [4 u 2 2 u 2 ]= 1 2 [2 u 2 ]= u 2 Remarque : si u ou v est le vecteur nul, le produit scalaire u. v sera égal à zéro. e) Définition analytique dans un repère orthonormé Soit deux vecteurs u x ; y et v x ' ; y', on aura : Toutes ces définitions sont équivalentes car : u. v= x x' y y '. d) <=> e) on a u 2 =x² y², v 2 = x ' ² y ' ²et u v 2 = x x ' 2 y y ' 2, d'où u. v= 1 2 [ x x ' 2 y y ' 2 x² y² x ' ² y' ²]= 1 [2 xx' 2 yy' ]= xx' yy ' 2. d) <=> c) Soit un repère orthonormé (O ; i ; j ) et deux points A et B tels que i colinéaire à u et de même sens, A tel que OA= u, et B tel que OB= v. On a alors, en gardant les notations u x ; y et v x ' ; y ', u. v=0 x' y y '= y y ', où x = u (puisque u= u i ) et y' est l'abscisse de v, soit y'= v cos u, v, ce qui nous donne bien u. v= u v cos u, v 3) Cas particuliers a) Vecteurs colinéaires Si deux vecteurs sont colinéaires et de même sens, leur angle sera de 0, donc le cosinus sera 1, et on aura : u. v= u v S'ils sont colinéaires et de sens contraires, leur angle sera 180 et le cosinus vaudra -1, on aura donc u. v = u v page 2/5
b) Vecteurs orthogonaux Deux vecteurs sont dits orthogonaux quand leur angle est de 90 ou -90. Le cosinus vaudra alors 0 et leur produit scalaire sera donc nul, soit u. v=0. Inversement, si deux vecteurs non nuls ont un produit scalaire nul, les cosinus de leur angle vaut obligatoirement zéro, donc leur angle est de 90 ou -90 : ils sont donc orthogonaux. D'où : B) Propriétés 1)) Commutativité Les deux vecteurs u et v sont orthogonaux <=> u. v=0 Pour tous u et v, on aura u. v= v. u En effet, cela se voit facilement au fait que l'expression x x' + y y' est symétrique en (x ; y) et (x' ; y') (autrement dit, on peut inverser x avec x' et y avec y' sans changer sa valeur). 2) Distributivité Pour tous vecteurs u, v et w, on aura u.( v+ w)= u. v+ u. w En effet, x(x' + x'') + y(y' + y'') = x x' + y y' + x x'' + y y''. 3) Linéarité Pour tous a et b réels, et pour tous vecteurs u et v, (a u).(b v)=a b ( u. v) En effet, (a x) (b x') + (a y) ((b y') = a b x x' + a b y y' = a b(x x' + y y'). 4) Identités remarquables ( u+ v).( u+ v)= u+ v ²= u ²+2 u. v + v ² ( u v). ( u v)= u v ²= u ² 2 u. v + v ² ( u+ v ).( u v)= u ² v ² Calculer ( AB+ AC ). CB (Solution : (( AB+ AC). CB=( AB+ AC).( AB AC)= AB ² AC ² ) ) C) Distance et orthogonalité 1) Produit scalaire et distance Nous avons vu que l'on notait u. u= u² lui-même et de même sens, on aura :. Par ailleurs, ce vecteur étant bien entendu colinéaire à u. u= u ²= u ² Si on considère le vecteur d'origine A et d'extrémité B, on aura : 2) Produit scalaire et orthogonalité AB ²= AB. AB= AB 2 = AB ² Soit deux vecteurs u et v : dire que ces deux vecteurs sont orthogonaux c'est dire que leurs directions sont perpendiculaires dans le plan (ou orthogonales dans l'espace). On note u v pour dire que ces vecteurs sont orthogonaux. On a donc u v <=> u. v=0. Ceci permet souvent de prouver que deux droites ou deux segments sont perpendiculaires. page 3/5
Soit les points A(3 ; 3), B(8 ; 8) et C(5 ; 1). Prouver que le triangle ABC est rectangle en A. 3) Une propriété du parallélogramme Soit un parallélogramme ABCD. On a alors : AC= AB+ BC= AB+ AD et BD= BA+ AD= AD AB, d'où : AC² = AB²+2 AB. AD+ AB² BD²= AD² 2 AB. AD+ AD² d ' où AC² +BD² =2( AB² + AD² )= AB² + BC²+CD²+ AD², soit : AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD² Dans un parallélogramme, la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des quatre côtés. page 4/5
Fiche de révision : Le Produit Scalaire Définitions : (avec u( x ; y) et v( x ' ; y' )) u. v= u v cos( u, v) u. v= 1 2 [ u+ v 2 u 2 v 2 ] u. v= x x '+ y y ' Projection orthogonale : Soit w la projection orthogonale de v sur la direction du vecteur u. Alors, u. v= u. w=± u w (+ ou - selon le sens de ces deux vecteurs). Vecteurs colinéaires : u. v = u v (même sens) ou u. v = u v (sens contraire) Vecteurs orthogonaux (directions perpendiculaires) : u et v sont orthogonaux <=> u. v=0 Commutativité, distributivité et linéarité : Pour tous u et v, on aura u. v= v. u Pour tous vecteurs u, v et w, on aura u. v w = u. v u. w Pour tous a et b réels, et pour tous vecteurs u et v, a u. b v =ab u. v Identités remarquables : u v. u v = u v ²= u ² 2 u. v v ² u v. u v = u v ²= u ² 2 u. v v ² u v. u v = u ² v ² Produit scalaire et distance : u. u= u ² u. u= u ²= u ² AB ²= AB. AB= AB 2 = AB ² Une propriété du parallélogramme ABCD : AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD² page 5/5