DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES

DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES SYLVIE BENZONI Notations générales. Quel que soit le d-uplet d entiers naturels α = (α 1,..., α d ), quel que soit x = (x 1,..., x d ) ou C d, on note x β := x β 1 1... x β d d, et α désigne la dérivée partielle d ordre α = α 1 + + α d définie par α ϕ := α 1 x 1... α d x d ϕ si ϕ est une fonction α fois différentiable (on utilisera aussi la notation α pour les distributions). L espace de Schwartz. L ensemble des fonctions C à décroissance rapide S ( ) := {ϕ C ( ) ; (α, β) N d N d, p α,β (ϕ) := sup x x β α < } est un espace vectoriel sur lequel les p α,β forment une famille dénombrable de semi-normes. On le munit de la topologie (métrisable) induite par ces semi-normes. Cela signifie qu une suite de fonctions (ϕ n ) n N d éléments de S ( ) converge vers ϕ dans S ( ) si et seulement si p α,β (ϕ n ϕ) tend vers zéro quel que soit (α, β) N d N d. La même topologie est induite par les semi-normes q n,m définies par q n,m (ϕ) := max α n sup x (1 + x ) m α, où désigne la norme euclidienne «canonique» sur. En effet, pour tout x, on a x d max β =1 xβ, et pour tout m N, il existe c m > 0 tel que pour tout t R +, (1 + t) m c m (1 + t m ). Donc on a pour tout x, ce qui implique D autre part, pour tout β N d, donc (1 + x ) m c m (1 + d m/2 max β =m xβ ), ( q n,m (ϕ) c m max pα,0 (ϕ) + d m/2 max p α,β(ϕ) ). α n β =m x β x β (1 + x ) β, p α,β (ϕ) q α, β (ϕ). Quel que soit p [1, + ], l espace S ( ) s injecte continûment dans L p ( ), ce que l on note S ( ) L p ( ). Date: 13 novembre 2012. 1

2 SYLVIE BENZONI Démonstration. Pour p = + on remarque simplement que pour tout ϕ S ( ), ϕ L = p 0,0 (ϕ) = q 0,0 (ϕ). Pour p < +, on utilise que x (1 + x ) s est intégrable en dimension d si s > d. Par suite, en choisissant un entier m > d/p on a pour tout ϕ S ( ), p dx (1 + x ) mp (1 + x ) m p dx d où q 0,m (ϕ) p (1 + x ) mp dx, ( ) 1/p ϕ L p C q 0,m (ϕ), C := (1 + x ) mp dx. L espace S ( ) est stable par dérivation à tout ordre. Ceci découle immédiatement du fait que p α,β ( γ ϕ) = p α+γ,β (ϕ), cette égalité impliquant de plus que la dérivation γ est continue de S ( ) dans S ( ), quel que soit γ N d. L espace S ( ) est stable par multiplication par des fonctions polynomiales de n importe quel degré. Il suffit de le vérifier pour le monômes x η. Pour cela, on va faire appel à la formule de Leibniz multidimensionnelle: (1) α (ψϕ) = α! γ!(α γ)! ( γ ψ) ( α γ ϕ). γ α (L inégalité γ α ci-dessus signifie γ i α i pour tout i {1,..., d}, et α! = α 1!... α d!.) Or pour ψ(x) = x η, on a γ η! ψ(x) = (η γ)! xη γ si γ η et 0 sinon. Donc, si on note M η l opérateur de multiplication par la fonction x x η, α (M η ϕ)(x) = α!η! γ!(α γ)!(η γ)! xη γ α γ. Par suite, γ α,η p α,β (M η ϕ) γ α,η α!η! γ!(α γ)!(η γ)! p α γ,β+η γ(ϕ). Ainsi, M η est une application linéaire continue de S ( ) dans S ( ). L espace S ( ) est stable par transformation de Fourier, et F est une application linéaire continue de S ( ) dans S ( ). Démonstration. Elle repose sur les formules reliant dérivation et transformation de Fourier (2) α ϕ = ( i) α M α ϕ, α ϕ(ξ) = (iξ) α ϕ(ξ). Ces formules sont valables avec la définition suivante pour la transformation de Fourier: F (ϕ)(ξ) = ϕ(ξ) = e ix ξ dx.

DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES 3 La vérification (immédiate) est laissée au lecteur. On en déduit que d où puisque β (M α ϕ) S ( ) L 1 ( ). ξ β α ϕ(ξ) = ( i) α + β F ( β (M α ϕ))(ξ), p α,β ( ϕ) β (M α ϕ) L 1 ( ) < + L espace S ( ) est une algèbre pour le produit (ordinaire) des fonctions, et S ( ) S ( ) S ( ) (ϕ, ψ) ϕψ est une application bilinéaire continue. En effet, d après la formule de Leibniz (1), p α,β (ψϕ) γ α α! γ!(α γ)! p γ,β(ψ) p α γ,0 (ϕ). L espace S ( ) est une algèbre pour le produit de convolution, et est une application bilinéaire continue. S ( ) S ( ) S ( ) (ϕ, ψ) ϕ ψ Démonstration. On peut utiliser les résultats précédents car, on a (par le théorème de Fubini) F (ϕ ψ) = F (ϕ)f (ψ), d où le diagramme commutatif: (ϕ, ψ) ϕ ψ F (f, g) f g. (Par abus de notation on désigne encore par F l opérateur (ϕ, ψ) ( ϕ, ψ).) Autrement dit, si Π désigne le produit ordinaire, Γ le produit de convolution, on a Γ = F ΠF, où F est la transformée de Fourier inverse (tout aussi continue que F ), définie par F (g)(x) = 1 g(ξ) e ix ξ dξ. (2π) d L espace S ( ) est «compris» entre l espace des fonctions C à support compact D( ) et l espace E ( ) des fonctions C, au sens où l on a des injections continues D( ) S ( ) E ( ), l espace E ( ) étant muni de la topologie de la convergence uniforme de toutes les dérivées (y compris d ordre zéro!) sur tout compact, et l espace D( ) étant muni d une topologie (assez délicate à définir) telle qu une suite (ϕ n ) d éléments de D( ) converge si et seulement s il existe un compact fixe K contenant tous les supports des ϕ n et (ϕ n ) converge uniformément sur K ainsi que toutes ses dérivées. De plus, D( ) est dense dans S ( ), qui est lui-même dense dans E ( ).

4 SYLVIE BENZONI Qu est-ce qu une distribution tempérée? On peut voir l espace de Schwartz comme un ensemble de fonctions test permettant de définir des «fonctions généralisées» que l on appellera plus précisément des distributions tempérées. Celles-ci n auront pas nécessairement des valeurs ponctuelles mais seront définies au travers de leurs «valeurs contre les fonctions test». Les distributions tempérées sur comprennent tout d abord toutes les fonctions «ordinaires» f telles que fϕ L 1 ( ) quel que soit ϕ S ( ) et ϕ f(x) dx soit une forme linéaire continue sur S ( ). (Notons que puisque S ( ) est métrisable, la continuité d une forme linéaire équivaut à sa continuité séquentielle.) C est le cas par exemple si f L p ( ) avec p [1, + ]. En effet, d après l inégalité de Hölder on a f(x) dx f L p ( ) ϕ L p ( ) et on a vu que S ( ) s injectait continûment dans L p ( ). C est le cas aussi pour une fonction f localement intégrable et à croissance au plus polynomiale, c est-à-dire pour laquelle il existe k N et C > 0 tels que f(x) C (1 + x ) k, x. Car alors f(x) dx C (1 + x ) R R k dx C q 0,k+m (ϕ) (1 + x ) m dx d d pour m > d. Définition 1. Une distribution tempérée sur est une forme linéaire continue sur S ( ). Étant donnée une distribution (tempérée) T on note généralement T, ϕ l image d une fonction test ϕ S ( ) par T. En particulier, dans les deux exemples cités ci-dessus, on identifie la fonction f avec la distribution (tempérée) T f définie par T f, ϕ = f(x) dx. Bien entendu, l ensemble des distributions tempérées comprend aussi des objets qui ne sont pas des fonctions. Le plus célèbre d entre eux, dont l introduction est antérieure au développement de la théorie des distributions par L. Schwartz, est la masse de Dirac δ, définie par δ, ϕ = ϕ(0). C est clairement une distribution tempérée puisque δ, ϕ p 0,0 (ϕ). On définit de même δ y quel que soit y par δ y, ϕ = ϕ(y). La masse de Dirac est en fait une mesure de Radon, c est-à-dire une forme linéaire continue sur l espace des fonctions continues bornées. Voici un autre exemple, assez subtil, de distribution tempérée sur R. Il est basé sur la fonction f : x 0 1/x, qui n est pas localement intégrable. De ce fait, on ne peut

DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES 5 pas la voir comme une distribution (tempérée). Cependant, on lui associe une distribution tempérée appelée valeur principale de 1/x, en observant que pour tout ϕ S (R), lim ε 0 x dx x >ε existe et définit une forme linéaire continue sur S (R). Démonstration. Notons tout d abord que quels que soient ε > 0 et ϕ S (R), la fonction fϕ est bien intégrable sur ], ε[ ]ε, + [. Pour l existence de la limite, on peut utiliser le critère de Cauchy. Si ε > ε > 0, x >ε x dx x >ε x dx = Or (d après la formule de Taylor à l ordre 1!) x = ϕ(0) x + 1 0 ε x >ε ϕ (θx) dθ. x dx. Le premier morceau étant fonction impaire de x, son intégrale sur [ ε, ε[ ]ε, ε ] est nulle. Il reste donc x >ε x dx x >ε x dx 1 = ϕ (θx) dθ dx 2 ε ε ϕ L. ε x >ε 0 Ceci tend vers zéro lorsque ε et ε tendent vers zéro (puisque ϕ L = p 1,0 (ϕ) < + ). La limite existe donc. Cependant, il n est pas tout à fait évident de voir qu elle définit une forme linéaire continue sur S (R). Pour cela, introduisons une fonction plateau χ D(R), valant 1 sur [ 1, 1] et à valeurs dans [0, 1]. On suppose en outre que χ est paire, de sorte que χ(x) x >ε x dx = 0 quel que soit ε > 0. Ainsi, en écrivant ϕ = χϕ + (1 χ)ϕ, on a pour tout ε ]0, 1[, x dx = ϕ(0) χ(x) dx + (1 χ(x)) x x dx, d où et par suite x >ε x >ε lim ε 0 x >ε x dx = lim ε 0 x >ε R x χ(x) 1 0 ϕ (θx) dx + dx ϕ L R x 1 x 1 (1 χ(x)) x dx, χ(x) dx + ϕ L 1. On conclut en utilisant l injection continue S (R) L 1 (R) et à nouveau le fait que ϕ L = p 1,0 (ϕ). On note v.p.(1/x), ϕ = lim ε 0 x >ε x dx. Remarque 1. L expression vague de «fonction généralisée» peut être trompeuse (en laissant entendre que toute fonction ordinaire en fait partie). Il existe en effet des fonctions d apparence anodine qui ne sont pas des distributions tempérées. C est le cas par exemple de la fonction analytique x e x2 : son défaut est de tendre beaucoup trop vite vers l infini en ± ; en particulier pour = e x2 on a e x2 dx = +.

6 SYLVIE BENZONI L espace S ( ). L ensemble des distributions tempérées forme évidemment un espace vectoriel. Il est naturellement muni de la topologie duale faible, définie par la convergence faible des suites: une suite de distributions tempérées (T n ) n N converge vers T S ( ) si et seulement si, quel que soit ϕ S ( ), la suite numérique ( T n, ϕ ) n N converge vers T, ϕ. Un exemple fondamental de convergence au sens des distributions est celui des approximations de l unité, qui donnent une représentation de la masse de Dirac comme limite de suites de fonctions C à support compact. Définition 2. On appelle approximation de l unité une famille de fonctions ρ ε pour ε > 0 telle que ρ ε (x) = ε d ρ(x/ε), x, avec ρ D( ) d intégrale 1. (On suppose souvent de plus ρ 0.) Noter que si (ρ ε ) ε>0 est une approximation d unité alors par changement d échelle on a ρ ε (x) dx = 1, ε > 0. C est cette propriété fondamentale qui permet de montrer que ρ ε tend vers δ dans S ( ) lorsque ε tend vers zéro. En effet, quelle que soit ϕ S ( ) on a alors ρ ε (x) dx ϕ(0) = ρ ε (x) ( ϕ(0)) dx = ρ(y) (ϕ(εy) ϕ(0)) dy. Cette dernière intégrale est en fait prise sur un compact fixe (le support de ρ), et comme ϕ est continue, elle converge vers zéro lorsque ε tend vers zéro d après le théorème de Lebesgue. Un autre exemple tout aussi important de convergence au sens des distributions est fourni par le lemme de Riemann-Lebesgue: dans le langage des distributions, il signifie en effet que la famille de fonctions x e iξx tend vers zéro au sens des distributions lorsque ξ tend vers +. Ainsi on a deux exemples vraiment différents de convergence au sens des distributions. Dans le premier on a un phénomène de concentration autour de 0, vu par les distributions mais pas par les fonctions (noter que pour tout x R, ρ ε (x) tend vers zéro), et dans le second il s agit d oscillations à haute fréquence, vues par les fonctions mais pas par les distributions (la limite au sens des distributions se réduisant à la valeur moyenne des fonctions, c est-à-dire ici 0). Quid des distributions non tempérées? D après les injections continues et denses D( ) S ( ) E ( ), on a E ( ) S ( ) D ( ), où D ( ) est l espace des distributions (tout court), c est-à-dire des formes linéaires continues sur D( ), et E ( ) est l espace des distributions à support compact, qui s avèrent être les formes linéaires continues sur E ( ). Définition 3. Le support d une distribution (tempérée) T est le complémentaire de l union de tous les ouverts ω tels que T, ϕ = 0, ϕ D( ) ; supp ϕ ω (sachant que le support d une fonction ϕ continue est l adhérence de l ensemble des points où ϕ ne s annule pas).

DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES 7 Cette définition d apparence alambiquée est cohérente avec la notion de support pour les fonctions: si f est une fonction continue à support compact K, cela signifie que le complémentaire de K, Ω est l intérieur de l ensemble des points où f s annule; autrement dit, si x Ω il existe un ouvert ω Ω tel que f ω 0, de sorte que fϕ = 0 quelle que soit ϕ D(ω); réciproquement, si x ω tel que fϕ = 0 quelle que soit ϕ D(ω) alors f ω 0 et donc x Ω. Par exemple, le support de la masse de Dirac δ est réduit au singleton {0} (et plus généralement le support de δ y est {y}). Toute fonction localement intégrable s identifie à une distribution: si f L 1 loc (Rd ) alors on peut lui associer T f D ( ) définie par T f, ϕ = f(x) dx, ϕ D( ). On remarque en outre que l application f L 1 loc (Rd ) T f est injective. Par exemple, la fonction citée plus haut, x e x2 peut être vue comme une distribution (mais rappelons le, pas comme une distribution tempérée). Multiplication d une distribution par une fonction. Pour généraliser le produit de fonctions, on peut définir le produit d une distribution T par une fonction ψ en posant ψt, ϕ = T, ψ ϕ, à condition que l ensemble des fonctions test ϕ soit stable par multiplication par ψ. C est le cas pour toute fonction ψ de classe C lorsque les fonctions test sont C à support compact : autrement dit, quelles que soient T D ( ) et ψ E ( ), ψ T D ( ). Si de plus T est une distribution tempérée, rien ne dit que ψ T soit encore une distribution tempérée. D après les résultats de stabilité de S ( ) vus plus haut, ce sera le cas si ψ est elle même une fonction C à décroissance rapide, ou si c est une fonction polynomiale. Si T est à support compact, alors quelle que soit ψ E ( ), ψ T est à support compact. À titre d exemple, notons que x δ n est rien d autre que la distribution nulle, tandis que x v.p.(1/x) s identifie avec la fonction constante égale à 1. Remarque 2. En revanche, il est impossible de définir un produit «raisonnable» entre distributions: il n y a en tous cas aucune chance pour qu il prolonge le produit des distributions par les fonctions tout en étant associatif, car sinon on aurait 0 = v.p.(1/x) (x δ) = (v.p.(1/x) x) δ = δ. Remarque 3. Rien n autorise à multiplier une distribution par x 1/x. D ailleurs, on montre qu une distribution T vérifie xt = 0 si et seulement si T = c δ, où c est une constante arbitraire. On en déduit par exemple que xt = 1 si et seulement si T = v.p.(1/x) + c δ, où c est une constante arbitraire. Dérivation au sens des distributions. La puissance de la théorie des distributions réside sans doute dans le fait que l on puisse dériver n importe quelle distribution à n importe quel ordre. La définition de la dérivée d une distribution est simplement obtenue par généralisation de l intégration par parties. Définition 4. Soient T une distribution (tempérée ou non) et α N d. Alors la formule α T, ϕ = ( 1) α T, α ϕ définit une unique distribution α T (tempérée si T l est).

8 SYLVIE BENZONI Il faut prendre garde à ce qu en général, la dérivée d une fonction au sens des distributions ne coïncide pas avec sa dérivée au sens classique. C est le cas notamment pour les fonctions dérivables par morceaux. L exemple de base est celui de la fonction de Heaviside En effet, par définition H : R R x H(x) = T H, ϕ = T H, ϕ = + 0 { 1, si x 0, 0, si x < 0. ϕ (x) dx = ϕ(0) = δ, ϕ, c est-à-dire que T H = δ (tandis qu au sens des fonctions, H est définie et vaut 0 partout sauf en 0, c est-à-dire que H se confond avec la fonction nulle). Plus généralement, on a le résultat suivant. Proposition 1 (Formule des sauts). Soit f : R e classe C 1 sur R et sur R +, éventuellement discontinue en 0 mais ayant des limites finies à gauche et à droite de 0. On note [f] = lim f(x) lim f(x). x 0 x 0 Alors sa dérivée au sens des distributions est donnée par T f = T f + [f] δ. La démonstration est une simple application de la formule d intégration par parties. On vérifie facilement que la formule de Leibniz s étend au produit d une distribution par une fonction de classe C. La dérivation fournit de nouveaux exemples de distributions, avec notamment les dérivées de la masse de Dirac. En particulier, la dérivée première de δ S (R) est définie par δ, ϕ = ϕ (0). Remarque 4. D après la formule de Leibniz généralisée, on a pour tout ψ E (R), (ψ δ) = ψ δ + ψ δ. Il faut toutefois prendre garde au fait que ψ δ ne se réduit pas simplement à ψ(0) δ : le calcul montre que ψ δ = ψ(0) δ ψ (0) δ, de sorte que la formule de dérivation du produit ci-dessus s écrit aussi (ψ δ) = (ψ ψ (0)) δ + ψ(0) δ = ψ(0) δ. Le résultat général suivant montre que les dérivées de la masse de Dirac jouent un rôle très important. Théorème 1. Toute distribution dont le support est réduit au singleton {0} est une combinaison linéaire finie de dérivées (au sens des distributions) de la masse de Dirac en 0. Exercice 1. Soit l : (x, y) R 2 \{(0, 0)} l(x, y) := ln(x 2 + y 2 ). Montrer que l définit une distribution tempérée sur R 2 et montrer que l = 4π δ au sens des distributions. Indication: passer en coordonnées polaires.

DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES 9 Transformation de Fourier au sens des distributions. Attention ici nous revenons aux distributions tempérées exclusivement. La transformation de Fourier F : S ( ) S ( ) s étend naturellement à S ( ) en posant T, ϕ = T, ϕ, ϕ S ( ). Ceci n est autre qu une généralisation de la formule f(y) ϕ(y) dy = f(η) ϕ(η) dη (qui découle directement du théorème de Fubini et de la définition de f et ϕ lorsque f et ϕ sont intégrables et de carré intégrable). Par exemple, δ, ϕ = δ, ϕ = ϕ(0) = dx, c est-à-dire que δ = 1 (la distribution associée à la fonction constante égale à 1). Un exemple moins immédiat est celui de la transformation de Fourier (au sens des distributions) de la fonction de Heaviside. Puisque H = δ, on a Ĥ = δ = 1. Par ailleurs, on a Ĥ = iξ Ĥ (voir (3) ci-après). D après le résultat mentionné dans la remarque 3, on en déduit que Ĥ = i v.p.(1/ξ) + c δ, où c est une constante à déterminer. Pour cela, on observe que si ϕ S (R) est paire, sa transformée de Fourier aussi et par conséquent Ĥ, ϕ = c ϕ(0) = c H, ϕ = + 0 2π ϕ(ξ) dξ = 1 2 + + ϕ(ξ) dξ, ϕ(ξ) dξ. Ces deux quantités étant égales par définition de Ĥ, on en déduit c = π. En combinant la définition de T et celle des dérivées au sens des distributions avec les formules (2), valables pour les fonctions C à décroissance rapide, on voit que ces dernières s étendent aux distributions tempérées: (3) α T = ( i) α xα T, α T = (iξ) α T. Exercice 2. Calculer la transformée de Fourier d une gaussienne x 1 σ /2σ2 e x m 2, 2π où σ > 0 et m, puis celle de la fonction bornée x e it x 2, où t R +. Indication: pour la première, se ramener par des changements de variable appropriés au cas m = 0, d = 1, puis en résolvant par exemple une équation différentielle, au calcul de R e x2 dx; pour la seconde, appliquer le théorème de Cauchy à la fonction z ; Re z < 0 e z x 2, ϕ où ϕ S ( ) est fixée, utiliser le premier résultat et faire un passage à la limite.

10 SYLVIE BENZONI Convolution. On généralise facilement la convolution des fonctions à la convolution d une distribution tempérée avec une fonction C à décroissance rapide. En effet, si ψ S ( ) alors quel que soit x, la fonction y ψ(x y) appartient aussi à la classe de Schwartz. Par conséquent, quel que soit T S ( ), on peut définir une fonction T ψ = ψ T par (T ψ)(x) = T, ψ(x ). L exemple fondamental est la convolution par la masse de Dirac: (δ ψ)(x) = ψ(x). De façon générale, T ψ définie comme ci-dessus est une fonction C, de dérivées α (T ψ)(x) = T, α ψ(x ). Toutefois son comportement à l infini n est pas évident. Du coup on peut se demander si c est même seulement une distribution tempérée. La réponse est heureusement affirmative. En effet, pour tout ϕ S ( ), (T ψ)(x) dx = T, ψ(x ) dx T, ψ(x ) dx par linéarité de T et de l intégrale (ceci demanderait quelque justification), c est-à-dire encore (T ψ)(x) dx = T, ˇψ ϕ, où ˇψ(x) := ψ( x). Ceci est en fait un moyen de définir T ψ directement comme une distribution tempérée, en posant T ψ, ϕ = T, ˇψ ϕ, ϕ S ( ). On voit ainsi facilement que le lien entre produit de convolution et produit ordinaire via la transformation de Fourier, exprimé dans la formule (4) F (ϕ ψ) = F (ϕ)f (ψ), se généralise au produit de convolution entre S ( ) et S ( ): En effet, F (T ψ) = F (T )F (ψ). F (T ψ), ϕ = T ψ, ϕ = T, ˇψ ϕ = T, F 1 ( ˇψ ϕ). Or, d après (4) et la formule d inversion de Fourier On en déduit la relation attendue: F 1 (Φ)(x) = 1 (2π) d F (Φ)( x), F 1 ( ˇψ ϕ) = (2π) d F 1 ( ˇψ) ϕ = (F ( ˇψ)ˇ) ϕ = ψ ϕ. F (T ψ), ϕ = F (ψ)f (T ), ϕ.

DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES 11 Remarque 5. En posant Φ = ϕ, Ψ = ψ et en appliquant la transformation de Fourier inverse à la formule (4) on obtient d où l on déduit F 1 (Φ) F 1 (Ψ) = F 1 (ΦΨ), (5) F (ΦΨ) = 1 F (Φ) F (Ψ). (2π) d Comme (4), cette formule s étend au cas d une distribution tempérée T et d une fonction Ψ S ( ): F (T Ψ) = 1 F (T ) F (Ψ). (2π) d Cependant, sachant que l on ne peut pas multiplier les distributions, cette dernière formule fournit un argument contre l extension du produit de convolution à deux distributions tempérées quelconques. Il reste néanmoins possible de définir le produit de convolution d une distribution tempérée avec une distribution à support compact. En effet, si T est une distribution à support compact et S est une distribution tempérée, on peut définir Š S (Rd ) par Š, ϕ = S, ˇϕ, ϕ S (Rd ), puis Š ϕ D(Rd ) quel que soit ϕ S ( ), et enfin T S, ϕ = T, Š ϕ, ϕ S (Rd ). En particulier, on voit immédiatement que T δ = T, c est-à-dire que la formule ψ δ = ψ s étend aux distributions (tempérées). Autrement dit, δ est élément neutre pour le produit de convolution. Références [1] Strichartz, R. S., A guide to distribution theory and Fourier transforms. World Scientific Publishing Co. Inc. 2003. [2] Zuily, C., Éléments de distributions et d équations aux dérivées partielles : cours et problèmes résolus. Dunod, 2002.