TS Bac blanc n 5 Mai 6 Ls raisonnmnts doivnt êtr justifiés t ls calculs détaillés. L barèm st indicatif. La calculatric st autorisé mais ls échangs ntr élèvs sont intrdits. Exrcic 5 pts Parti A : Conditionnmnt ds pots ) X qui suit la loi normal d spéranc 5 t d écart-typ, PX 49, 5 P49 X 5, La probabilité qu un pot d crèm soit non conform st, ) a) X suit maintnant la loi normal d paramètrs 5 t donc Z suit la loi normal cntré réduitn,. b) On chrch un valur approché du rél u tl qu pz u, 6. Avc la calculatric, on trouv u, 555 c) On chrch tl qu PX 49, 6 PX 49, 6 P X 5, 6 P Z, 6 D après la qustion précédnt, on a, 555 donc, 64 ) a) On rconnaît un schéma binomial. Epruv : commandr un pot Succès : l pot st non conform d probabilité p, 6. La variabl aléatoir Y st l nombr d succès à l issu d n 5 épruvs idntiqus t indépndants. Donc Y suit la loi binomial d paramètrs n 5 t p, 6 5 Autrmnt dit, k, 5, PY k, 6 k, 94 5k k b) PY PY PY PY, 46 La probabilité qu la boutiqu rçoiv dux pots non conforms ou moins d dux pots non conforms Parti B : Campagn publicitair La taill d l échantillon st n 4 La fréqunc f d st f 99 4 n 4, nf 99 t n f 4 n, nf 5 t n f 5 donc on put utilisr l intrvall d confianc au nivau d confianc d 95 % pour la proportion d prsonns satisfaits parmi ls utilisaturs d la crèm I f n ; f n soit I. 6,. 79 Exrcic points
On considèr ls fonctions f t g définis sur l intrvall [ ; 6] par fx lnx t gx lnx cosx. Dans un rpèr du plan O, i, j, on not C f t C g ls courbs rprésntativs ds fonctions f t g. Cs courbs sont donnés n annx. Comparr ls airs ds dux surfacs hachurés sur c graphiqu. Pour tout x d [ ; 6] : cosx donc cosx donc fx gx On chrch ls abscisss ds points A t B (pas bsoin d chrchr ls coordonés) On résout sur [ ; 6] fx gx cosx cosx x ou x ou x 4 Comm g f st continu (comm somm d fonctions continus) t positiv sur ; avc alors gx fxdx st l air, n unités d air d la surfac compris ntr ls courbs C f t C g, l ax ds abscisss t ls droits d équation x t x. D mêm pour l air d la surfac On a A gx fxdx cosxdx t A gx fxdx cosxdx Un primitic d x cosx st x x sinx Donc A x sinx t A x sinx 4 Ls dux surfacs hachurés ont mêm air. Exrcic 5 pts On considèr l cub ABCDEFGH, d arêt d longuur, rprésnté ci-dssous t on munit l spac du rpèr orthonormé A ; AB, AD, AE. 4 4 ) M x ; y ; z FD
DM tdf avc t y t Un rprésntation paramétriqu d la droit FD st y t, t ) BG ; ; t BE ; ; ont ds coordonnés non proportionnlls donc ils sont non colinéairs t formnt un coupl d vcturs dircturs du plan BGE. n BG n BE n st orthogonal à un coupl d vcturs dircturs du plan BGE donc n st un vctur normal au plan BGE. BGE a un équation d la form x y zd avc d. Or B BGE donc d d. Un équation du plan BGE st x y z ) La droit FD a pour vctur dirctur DF;;. DF n donc FD st prpndiculair au plan BGE. K x ; y ; z st l point d intrsction d FD t BGE y t x y z y t t t t x y z t Donc K ; ; 4) BE ; ; donc BE BG ; ; donc BG EG ; ; donc EG Donc l triangl BEG st équilatéral.
Bas Hautur AirBEG 5) VolumBEGD AirBEG DK DK ; ; donc DK VolumBEGD Exrcic 4 : fonctions 6 ou 7 Parti A ) f x x lim x x donc, par limit d invrs, x lim x donc, par limit d somm t invrs, lim f x x. La droit d équation y st asymptot horizontal à C au voisinag d. lim x x donc, par limit d invrs, x lim x donc, par limit d somm t invrs, x lim f x. La droit d équation y st asymptot horizontal à C au voisinag d. ) Pour tout rél x, f x x x x x x. ) f st dérivabl sur comm quotint d fonctions dérivabls dont l dénominatur n s annul pas. x, f x x x x x x x x x, x, x donc f x donc f st strictmnt croissant sur. 4) I f xdx x x dx ln x ln ln ln Comm f st continu t positiv sur ; alors I st l air, n unités d air, d la parti du plan délimité par C, l ax ds abscisss t ls droits d équation x t x. Parti B ) Pour tout rél x, f x f x x x x x x ) Pour tout rél x, P x ; f x t M x ; f x. Or K st l miliu d MP donc K a pour coordonnés x x ; droit d équation y. ) f x f x c st à dir x ; donc K appartint à la. 4
4) Pour tout rél x ;, f x f x x x Pour tout rél x ;, x donc x (car la fonction xponntill st strictmnt croissant donc x. D plus x donc f x f x donc f x f x D plus ls fonctions f t f sont continu sur ; donc l air n unités d airs du domain délimité par ls courbs C t C, l ax ds ordonnés t la droit d équation x st A f x f xdx f x f xdx f x dx I dx ln Parti C ) Vrai. k, x, kx donc kx donc kx ) Faux. f k st dérivabl sur comm quotint d fonctions dérivabls dont l dénominatur n s annul pas. x, f k x k kx kx Si k, x, f k x donc fk st strictmnt décrosisant. ) Vrai. k, k 5 donc k 5 donc k 5 (par strict croissanc d la fonction xponntill) donc k 5 donc k donc f 5 k Or. 99 donc f 5 k, 99 5 Annx 5