ECS-0 Fonctions usuelles /5 Fonction puissance entière (x x n ), pour n N : bijection de R + dans R + si n pair, bijection de R dans R si n impair, croît vers l'inni d'autant plus vite que n est grand (qd x + ), En 0, s'écrase d'autant plus que n est grand, dérivée en 0 nulle (tangente horizontale), point d'inexion en 0, si n est impair. Tracer le graphe ci contre, pour n pair et n impair! Fonction puissance négative (x x n ), pour n N. x n = 0, x 0 x n = + (en 0 cela dépend de la parité de n), + quand x + : tend vers 0 d'autant plus vite que n est grand, quand x 0 + : tend vers + d'autant plus vite que n est grand. Tracer des graphes ci contre! Fonction racines cas pair Si n est pair, la fonction (x x n ) est continue et strictement croissante de R + dans R +. On peut donc dénir une fonction réciproque : n : { R + R + x n x. Cette fonction est croissante et continue. Elle est dénie par : Tracer le graphe! x R +, y R +, x n = y x = n y. cas impair Si n est impair, la fonction (x x n ) est continue et strictement croissante de R dans R. On peut donc dénir une fonction réciproque, cette fois-ci dénie sur R : Cette fonction est croissante et continue. n : { R R x n x. Si x > 0 on a y = n x y n = x n ln(y) = ln(y) = n y = exp( n ). n On écrit donc alors : x = x n. ( ) On a donc : (x p ) p q = x p q = x q. Mais on a : ( ) = ( ). On retrouve le fait que la notation x a soit exclusivement réservée au cas où x > 0 (sinon : on écrit des horreurs très vite...) et désigne dans ce cas exp(a ). On a : n 0 = 0, avec tangente verticale en 0, n x = +, d'autant plus vite que n est petit, en 0 d'autant plus verticale que n est grand. Tracer le graphe! Fonction logarithme ln Quelques rappels Dénition Soit (f, F ) (F(I, R)). On dit que F est une primitive de f sur I si F est dérivable et si F = f. Proposition (admise) Soit (f, F, G) (F(I, R)) 3. On suppose que F est une primitive de f sur I. Alors (G est une primitive de f sur I) ( k R tel que G = F + k).
ECS-0 Fonctions usuelles /5 Proposition (admise) Soit f F(I, R). Si f admet des primitives sur I, alors il en existe une et une seule prenant une valeur donnée en un point donné de I. Proposition (admise) 3 Si f est une fonction continue sur I, alors f admet des primitives sur I. Proposition (cf chapitre fonction réelles) Si f est une fonction dénie sur un intervalle de la forme ]a, + [ (où a est un réel), et si f est croissante, alors elle admet une ite en +. Cette ite peut être un réel ou bien +. Dénition du logarithme népérien Dénition On appelle fonction logarithme népérien l'unique primitive de (x x ) sur R+ qui vaut 0 en x =. On la note = x t dt. NB : Le logarithme népérien est donc une application dérivable (car c'est la primitive d'une fonction continue) et de plus x > 0, ln (x) := x. Proposition La fonction (x ) vérie l'équation suivante : (x, y) (R + ), ln(x y) = + ln(y). Preuve Soit a R + xé. La fonction (x ln(ax)) a pour dérivée la fonction h : h(x) = a ax = x. C'est donc une primitive de la fonction (x x ). D'après la proposition rappelée en début de partie (proposition ), k R tel que x R +, ln(ax) = + k. En prenant x =, on obtient : ln(a) = k. On a donc x R +, ln(ax) = + ln(a). Ceci étant vrai pour a quelconque, on a le résultat. Comme ln() = 0, le logarithme de l'inverse est l'opposé du logarithme. x > 0, ln(x x ) = ln() = 0 + ln( x ) = 0 ln( x ) =. Plus généralement, le logarithme d'un quotient est la diérence des logarithmes. et la logarithme d'une puissance est x > 0, y > 0, ln( x ) = ln(y). y x > 0, n Z, ln(x n ) = n. Le logarithme népérien n'est pas la seule application vériant la propriété. En eet, elle est vériée par les logarithmes dénis pour d'autres bases de la façon suivante : Dénition 3 Le logarithme en base a > est l'application log a :]0, + [ R dénie par x > 0, log a (x) := ln(a). Le logarithme en base 0 sera simplement noté log ou Log au lieu de log 0. Etude de la fonction ln d (ln)(x) = x > 0, donc la fonction ln est strictement croissante sur R+. La fonction ln étant strictement croissante,d'après la propriété, elle admet une ite nie ou innie en +. Comme ln( n ) = n ln(), on a n ln(n ) = +. La fonction ln n'est donc pas majorée. La ite de ln en + ne peut donc être que +. En posant X = /x, on en déduit =. x 0 Proposition 3 = +, =. x 0 On étudie φ(x) = x. Une étude rapide montre que φ(x) 0, x R +. La courbe est donc située au dessous de sa tangente au point d'abscisse. Remarque La fonction ln étant dérivable en, on a : x x = ln( + h) =. h 0 h
ECS-0 Fonctions usuelles 3/5 Exponentielle réelle La fonction ln est une fontinue de R + dans R. Elle est strictement croissante sur R +. Par ailleurs, on = et = +. D'après le théorème de la bijection monotone, ln réalise donc x 0 une bijection de R + dans R. C'est à dire qu'à tout réel y, on peut associer l'unique réel strictement positif x tel que =y. On appelle exponentielle et on note exp la fonction réciproque de ln, c'est à dire : exp :] ; + [ ]0; + [ y x tel que = y. x R, y R +, (y = exp(x) ln(y) = x). x R, ln(exp(x)) = x. y R +, exp(ln(y)) = y. ln() = 0 exp(0) =. On pose exp() = e On a alors ln(e) =. On a la valeur numérique e =.78888, puis on introduit la notation : x R, e x := exp(x). Cette notation est justiée car on a x N, ln(e x ) = x. L'exponentielle est strictement croissante, car c'est la fonction réciproque d'une application strictement croissante. De plus, x ex = 0 et ex = +. Proposition 4 L'exponentielle d'une somme est le produit des exponentielles. (x, y) R, e x+y = e x e y. () Par conséquent : y R, e y = e y. (il sut de prendre x + y = 0 dans l'équation précédente)) Et plus généralement, l'exponentielle d'une diérence est le quotient des exponentielles : (x, y) R, e x y = ex e y. Preuve e x+y est l'unique solution de ln(e x+y ) = x + y, or on voit que e x e y est une solution de cette équation. Proposition (admise) 4 L'exponentielle réelle est une application continue et indéniment dérivable sur R. De plus, on a x R, exp (x) = exp(x). Si f : I R est dérivable en a I, alors la fonction g : x e f(x) est dérivable en a et on a d (ef(x) )(a) = g (a) = f (a)e f(a). Proposition 5 On a : x R, +x e x. Ce qui signie que la courbe représentative de la fonction exp est au-dessus de sa tangente en 0. Preuve 3 On pose φ(x) = e x x, alors φ (x) = e x > 0 pour x > 0 et φ (x) < 0 pour x < 0, donc φ(x) > φ(0) = 0 (faire un petit tableau de variations) Attention : l'écriture a x a un sens si x N, et a quelconque ; alors a x = a a a a }{{} x fois x Z et a 0 ; alors, pour x < 0, on a a x = a a a a }{{} x fois x R et a > 0 ; on a alors : a x = exp (x ln (a))
ECS-0 Fonctions usuelles 4/5 Etude des fonctions exponentielles (x a x ). La fonction (x a x ) est dérivable, comme composée de fonctions dérivables et d (ax ) = d ( ) exp(x ln(a)) = ln(a) exp(x ln(a)) = ln(a) a x (dérivation d'une fonction composée) La fonction (a a x ) est croissante si et seulement si ln(a)>0 c'est à dire si et seulement si a >. Etudes des ites : exp a = exp(x ln(a)) = x 0 si a > + si a < si a = Etude d'une fonction f de la forme f(x) = u(x) v(x). Dérivation et étude des variations La fonction f est dénie sur un domaine sur lequel u(x) > 0; on suppose u et v dérivables. On dérive f comme une fonction composée. f(x) = exp (v(x) ln(u(x)) d (f(x)) = d [v(x) ln(u(x))] exp (v(x) ln(u(x)) = d [v(x) ln(u(x))] u(x)v(x) = [v (x) ln(u(x)) + v(x) u (x) u(x) ] u(x)v(x). NB : cette formule n'est pas à connaître par coeur. Il faut néanmoins savoir faire ce genre de calcul sans hésiter... Exemple Dériver (x x x ). A FAIRE! Remarque Pour étudier les variations de f dénie par f(x) = u(x) v(x), il sut en fait d'étudier d [v(x) ln(u(x))] qui est du même signe que f (x). On n'est pas très étonné, car f(x) = exp(v(x) ln(u(x))). Comme la fonction exp est strictement croissante, il est clair que, pour toute fonction g, les fonctions g et exp g auront les mêmes variations. Calculs de ites Attention : si u(x) et v(x), on a une forme indéterminée. Calculer ( + x )x et ( + x )x et ( + ) x )(x Croissances comparées des fonctions exponentielles, logarithmes, puissances Théorème. = x. (α, β) (R + ), () α x β = 3. (α, β) (R + ), ( ) α = x 0 + 4. a ], + [, α R, a x x α = 5. a ], + [, α R, x ax x α = 6. Application : k N, x ], [, n + nk x n = A FAIRE : En admettant l'item, démontrer les autres item du theorème de croissances comparées. Nous avons vu des choses analogues dans le chapitre sur les suites. Je démontrerai l'item en cours. Exercices : Calculer les ites suivantes, si elles existent : ( xx, x 0 xx, + 3 (5x), + x) e x, x 3 e = x Exponentielle complexe Dénition 4 Si z C, avec z = a + ib, on appelle exponentielle du nombre complexe z, le nombre complexe e a e ib noté e z. Cette dénition permet donc de prolonger l'exponentielle au nombres complexes, en gardant la propriété e z+z = e z e z. Attention, si a C, e a = e a+i, on ne peut donc pas dénir le logarithme d'un nombre complexe. Ne pas poser par exemple ln(ρe iθ ) = ln(ρ) + iθ, parce que θ est déni à près.
ECS-0 Fonctions usuelles 5/5 Fonctions trigonométriques Dénition 5 On dit qu'une fonction f : D R est T périodique si x R, x D x+t D et f(x+t ) = f(x). Autrement dit son ensemble de dénition est invariant par translation de vecteur T et sa courbe représentative aussi. Dans ce cas on a par récurrence immédiate f(x + nt ) = f(x). Fonction sinus La fonction sinus est dénie sur R, périodique et impaire, sa dérivée vaut : sin (x) = cos(x). sin(x) La tangente en 0 a pour coecient directeur : on a : x 0 x =. La fonction est en-dessous de sa tangente en 0 sur R +, autrement dit : x > 0, sin(x) < x. Tangente horizontale aux points x = + k où k Z. Fonction cosinus La fonction sinus est dénie sur R, périodique et paire, sa dérivée vaut : cos (x) = sin(x). La tangente en 0 est horizontale. On a : cos(x) x 0 x = Fonction tangente La fonction tangente est dénie sur { } R \ + k k Z = ] + k, [ + k, par : tan x = sin x cos x. k Z Elle est continue et dérivable sur son ensemble de dénition avec : tan (x) = + tan (x) = cos (x) tan x En 0, la tangente est y = x et = et la fonction est au dessus de sa tangente : x ]0, /[, tan(x) > x. x 0 x Enn, la fonction tan est impaire. Revoir le formulaire de trigonométrie vu en début d'année! Fonction Arctangente Soit t la restriction de la fonction tangente à ], [, sur cet intervalle t est strictement croissante et continue, à valeur dans R. On peut donc dénir sa bijection réciproque : { ] R arctan :, [ x arctan(x) c'est une fonction continue et strictement croissante. Elle est dénie par : ] x, [, y R, tan(x) = y x = arctan(y) On a donc : et x ], [, arctan(tan(x)) = x y R, tan(arctan(y) = y. Proposition 6 La fonction arctan est impaire. Tableau de valeurs : y 0 3 arctan(y) 0 6 4 3 + 3 / / Exercice Prouver que : x > 0, arctan(x) + arctan( x ) =. Que se passe-t-il pour x < 0?