Infographie et Image Informatique Gérard-Michel COCHARD cochard@u-picardie.fr Sébastien CHOPLIN sebastien.choplin@upicardie.fr Infographie 3D 3. 4. 5. 6. Transformations géométriques 3D Projections Types de projections Matrice de projection perspective 3. Matrice de projection parallèle Normalisation Volume de visualisation et volume canonique Normalisation pour une projection parallèle 3. Normalisation pour une projection perspective Clipping Courbes et surfaces 3D Courbes paramétriques Surfaces paramétriques Modélisation 3D Le modèle fil de fer
Le modèle à facettes 3. Le modèle des arbres octaux. Transformations géométriques 3D Les objets 3D sont des objets dont les points sont repérés par leurs coordonnées dans un repère classique Oxyz. Ces objets peuvent subir des transformations géométriques standards : translation, rotations, dilatation comme dans le cas 2D. On pourra utiliser les coordonnées homogènes représenter toutes ces transformations par des matrices 4x4. Dans le cas des rotations, il faut considérer les trois rotations autour des axes Ox, Oy, Oz. Les matrices correspondantes sont données ci-dessous, leurs expressions généralisent les résultats obtenus dans le cas bidimensionnel. translation de vecteur U(M,N,P) : M(U) = rotation d'angle α autour de Ox : M(x α ) = rotation d'angle β autour de Oy : M(y β ) = rotation d'angle γ autour de Oz : M(z γ ) = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 M N P 1 1 0 0 0 0 cos α sin α 0 0 -sin α cos α 0 0 0 0 1 cos β 0 sin β 0 0 1 0 0 -sin β 0 cos β 0 0 0 0 1 cos γ sin γ 0 0 -sin γ cos γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 dilatation de coefficients E, F, G : M(E,F,G) = E 0 0 0 0 F 0 0 0 0 G 0 0 0 0 1
Comme dans le cas 2D, une transformation quelconque peut être obtenue par composition des transformations élémentaires ci-dessus. Ainsi une rotation d'angle F autour d'une droite quelconque D s'exprime par le produit matriciel suivant : M(D F ) = M(QO) M(X a ) M(Y b ) M(Z F ) M(Y -b ) M(X -a ) M(OQ) où M(QO) correspond à la translation amenant le point Q sur O ; M(X a ) M(Y b ) effectue l'alignement de Oz sur D; M(Z F ) réalise la rotation d'angle F autour de Oz; M(Y -b ) M(X -a ) remet les axes dans leur direction originale et M(OQ) replace le point Q à sa position précédente. Projections Types de projections La figure ci-dessous indique les différents types de projection que l'on est amené à envisager. Il en existe deux classes principales : les projections perspectives où les lignes de projection convergent en un point appelé centre de projection et les projections parallèles où le centre de projection est rejeté à l'infini et, donc, où les lignes de projection sont des droites parallèles..
Les projections perspectives permettent de donner un certain réaliste tridimensionnel aux objets projetés. Suivant la conservation ou la non conservation du parallélisme de droites parallèles aux axes, on définit des points de fuite : si 2 directions parallèles sont conservées, on obtiendra un point de fuite qui est le point de concours des projections de droites parallèles au troisième axe ; si une seule direction parallèle est conservée, on obtiendra deux points de fuite ; enfin, si aucune direction parallèle n'est conservée on aura trois points de fuites. Les projections parallèles générales sont obliques : l'angle entre la direction de projection et le plan de projection est quelconque. Si cet angle est droit, on obtient une projection orthogonale, soit orthographique lorsque le plan de projection est orthogonal à un axe ce qui permet d'obtenir des vues de face, de dessus, de profil d'un objet, soit axonométrique ce qui permet d'obtenir une vue plus réaliste d'un objet ; cette dernière projection peut être trimétrique (les trois rapports w a/oa, w b/ob, w c/oc sont différents), dimétrique (deux des rapports w a/oa, w b/ob, w c/oc, sont égaux), isométrique ( les trois rapports w a/oa, w b/ob, w c/oc sont égaux). Deux projections obliques sont couramment utilisées : la projection cavalière et la projection cabinet; la projection cavalière est définie par un angle de 45 entre la direction de projection et le
plan de projection ( par suite, les projections des segments perpendiculaires au plan de projection ont même longueur que les segments eux-mêmes); la projection cabinet donne un résultat plus réaliste que la projection cavalière, l'angle entre le plan de projection et la direction de projection étant de 63,4 ( les projections des segments perpendiculaires au plan de projection ont une longueur moitié de celle des segments). La figure ci-dessous donne une illustration ( projection d'un cube) des projections cavalière et cabinet. Examinons maintenant comment on peut décrire mathématiquement les projections. Matrice de projection perspective La figure ci-dessous explicite les données du problème. On recherche la matrice qui permet d'obtenir les coordonnées du point P', projeté de P, en fonction des coordonnées du point P. Le théorème de Thalès fournit immédiatement la solution : des relations x'/d = x/z et y'/d = y/z on tire x'=x/(z/d), y' = y/(z/d) et, bien sûr, z' = d. Par suite : [x' y' z' 1 ] = [ x/(z/d) y/(z/d) d 1 ] 1 0 0 0 0 1 0 0 x y z z/d = x y z 1. 0 0 1 1/d 0 0 0 0 On en déduit la matrice de projection : 1 0 0 0 0 1 0 0 M per = 0 0 1 1/d 0 0 0 0
3. Matrice de projection parallèle La figure ci-dessous montre le contexte de calcul. Il s'agit de trouver la matrice permettant d'obtenir les coordonnées du point projeté P' en fonction des coordonnées du point P. On admettra que le plan de projection est le plan Oxy. La direction de projection peut être représentée par le vecteur unitaire V dont les composantes sont Vx = sin b cos a, Vy = sin b sin a, Vz = cos b. La droite PP', définie par un point quelconque (a,b,c) de PP' et le vecteur V, a pour équation (X-a)/V x = (Y-b)/V y = (Z-c)/V z où (X,Y,Z) est le point courant de PP' et en particulier, pour les points P et P', x'-x)/v x = (y'-y)/v y = (z'-z)/v z d'où x' = x - (V x /V z )z y' = y - (V y /V z )z z'=0 On en déduit immédiatement la matrice de projection parallèle : Pour la projection cavalière, b = 45, et, pour la projection orthogonale, b = 0, d'où les matrices particulières 3. Normalisation Volume de visualisation et volume canonique
La zone volumique à projeter est usuellement finie ce qui limite le nombre de points à projeter. On définit donc un volume de visualisation qui est un tronc de pyramide dans le cas d'une projection perspective et un prisme dans le cas d'une projection parallèle (a) et (b). Ces volumes sont limités par 2 plans parallèles au plan de projection; les distances de ces plans au plan de projection sont notées F (pour Front) et B (pour Back). Ces volumes de visualisation définissent sur le plan de projection une fenêtre de visualisation ; un système de coordonnées (VRC : View Reference Coordinates) est attaché à cette fenêtre de visualisation ( quelquefois appelée terminal virtuel); il est défini par un point de référence sur la fenêtre W (appelé point de référence de visualisation) et un trièdre direct W uvn où W uv est dans le plan de projection, et W n est normal au plan. Par ailleurs, la scène à représenter est définie dans un système de coordonnées WC (World Coordinates) Oxyz. Etant donné la prise en compte seule des points situés à l'intérieur du volume de visualisation, il est nécessaire d'effectuer une opération de clipping sur les faces de ce volume. Le calcul est long si on le fait directement sur le volume de visualisation; on peut cependant le rendre plus simple sur des volumes canoniques tels que ceux définis à la figure (a) et (b).
L'utilisation de ces volumes canoniques pour le clipping implique que le volume de visualisation soit transformé en le volume canonique correspondant. Cette opération est appelée une transformation de normalisation et pourra être représentée sous une forme matricielle N par pour une projection parallèle, N per pour une projection perspective. Nous indiquons ci-dessous le calcul de ces matrices de normalisation. Normalisation pour une projection parallèle La normalisation s'effectue en plusieurs étapes. Initialement, la scène à projeter est rapportée au système de coordonnées WC et le plan de projection au système de coordonnées VRC. Le volume de visualisation est un prisme limité par deux plans parallèles au plan de projection ; pour simplifier, on a pris sur la figure, F = 0 et B=0. L'objet considéré est matérialisé par un prisme triangulaire. La première étape consiste à translater le point W à l'origine O (a), ce qui s'effectue par la matrice T1 = M(-WO). On aligne ensuite, dans une deuxième étape, les axes de VDC et WC (b) ce qui s'effectue par trois rotations successives :
Dans une troisième étape, on effectue une déformation de type cisaillement pour rendre parallèles l'axe Wz et la direction de projection (c). La matrice correspondante est où les paramètres a et b sont obtenus à partir du vecteur unitaire pdéfinissant la direction de projection a = -p x /p y b = -p y /p z La quatrième et la cinquième étape consistent à placer l'un des sommets du volume de visualisation sur l'origine des coordonnées, ce qui correspond à une translation T2 (d) et à transformer le volume de visualisation en volume canonique ce qui correspond à une dilatation D (e) : En définitive, la matrice de normalisation est : N par = T1 R C T2 D 3. Normalisation pour une projection perspective La procédure de normalisation est assez analogue à la précédente. Elle comprend les mêmes phases. La figure ci-dessous illustre la suite des opérations : étape 1 : translation de W sur O; étape 2 : alignement des axes; étape 3 : cisaillement; étape 4 : translation du centre de projection à l'origine; étape 5 : dilatation. La matrice N per découle de ces opérations successives.
4. Clipping Rappelons la chaîne de transformations nécessaires à la visualisation plane d'une scène 3D : Après l'opération de normalisation, on effectue le clipping sur le volume canonique. Plusieurs algorithmes sont utilisés parmi lesquels l'algorithme classique de Cohen-Sutherland : la position d'un point par rapport au volume canonique est codé sur 6 bits; l'algorithme est donné ci-dessous pour un segment de droite ab. algorithme de Cohen-Sutherland début examen du segment ab ; Si code(a).and.code(b)=000000 alors ab est totalement visible ; sinon Si code(a).and.code(b)=000000 alors ab est partiellement visible ; rechercher les intersections ; sinon ab est totalement invisible ; FinSi FinSi fin Pour le calcul des intersections du segment avec les plans déterminant la surface du volume canonique, il est commode d'utiliser les équations paramétriques d'une droite
x = x a + t(x b - x a ) y = y a + t(y b - y a ) z = z a + t(z b - z a ) avec t Î [0,1]. L'intersection avec le plan y = 1, par exemple, conduit à une valeur t 1 = (1-y a )/(y b -y a ). Si cette valeur n'est pas comprise entre 0 et 1, l'intersection n'a pas d'intérêt puisqu'elle ne se trouve pas entre a et b; dans le cas contraire, en remplaçant t par t 1 dans les relations précédentes, on obtient les coordonnées x 1 et z 1 de l'intersection. 5. Courbes et surfaces 3D La représentation 3D d'objets complexes ou plus exactement leur description mathématique ne peut se satisfaire de tracés rectilignes. Pour cette raison, on utilise comme dans le 2D des courbes paramétriques, généralement cubiques. Quant aux surfaces non planes, elles peuvent être également approchées par des surfaces paramétriques bicubiques. Courbes paramétriques Les résultats concernant le 2D sont aisément généralisés. Pour des cubiques, la représentation paramétrique de telles courbes est : x(t) = a x t 3 + b x t 2 + cxt + d x y(t) = a y t 3 + b y yt 2 + c y t + d y z(t) = a z t 3 + b z t 2 + c z t + d z t Î[0,1] ce que l'on peut exprimer sous la forme matricielle x(t) = tm p G px y(t) = tm p G py z(t) = tm p G pz où l'indice p est relatif à une famille particulière de courbes, t = [ t 3 t 2 t 1 ], et G est un vecteur colonne qui contient les éléments de définition de la courbe. Les courbes d'hermite sont définies par leurs extrémités (X1,Y1,Z1) et (X4,Y4,Z4) et les tangentes en ces deux points T1 et T4 : On a :
Les courbes de Bézier sont définies par 4 points dont deux, (X1,Y1,Z1) et (X4,Y4,Z4), sont les extrémités de la courbe et les deux autres, situés sur les vecteurs tangents aux extrémités, sont des attracteurs. On a : Les courbes B-splines se définissent par tronçons [P i, P i+1 ] en utilisant les points P i-1 et P i+2. Pour un tronçon, les équations paramétriques sont définies par : Surfaces paramétriques En généralisant le cas des courbes paramétriques, on peut exprimer les coordonnées d'un point (x,y,z) d'une surface en fonction de deux paramètres u et v : x(u,v) = u C x v* y(u,v) = u C y v* z(u,v) = u C z v* où les matrices 4x4 C x, C y, C z définissent la surface et u = [ u 3 u 2 u 1 ], v* transposé de v = [ v 3 v 2 v 1 ]. Comme pour les courbes paramétriques, on utilise les trois types de surfaces paramétriques : Hermite, Bézier, B-splines.La figure ci-dessous donne un exemple de surfaces d'hermite et de
Bézier. 6. Modélisation 3D La modélisation 3D prend toute son importance dans les deux cas usuels suivants : la représentation d'un objet réel ; la complexité de l'objet doit être approchée par un modèle incorporant un nombre fini d'objets mathématiques élémentaires. la conception d'un objet nouveau (virtuel); il est évident que sa construction sera facilitée par utilisation d'un nombre fini d'objets mathématiques élémentaires. Les objets élémentaires peuvent être des segments rectilignes ou curvilignes, des facettes planes ou bicubiques, des volumes parallélépipédiques ou plus complexes. Dans les cas les plus courants (et aussi les plus simples), trois modèles sont utilisés : le modèle fil de fer de type linéaire, le modèle à facettes de type surfacique et le modèle des arbre octaux de type volumique.chacun de ces modèles a ses avantages et ses inconvénients et suivant le type d'application que l'on désire effectuer, il convient de choisir judicieusement le modèle le plus approprié. Le modèle fil de fer Il s'agit d'un modèle où les objets sont décrits par des segments de droite ou arêtes dont l'assemblage donne l'ossature de l'objet; plus le nombre de segments est élevé, mieux l'objet est décrit, mais par contre la visualisation en sera d'autant plus délicate. D'une manière générale d'ailleurs, la visualisation est délicate car l'objet étant transparent du fait de l'absence de surfaces opaques il est difficile de distinguer ce qui doit être visible de ce qui ne l'est pas et on peut avoir une fausse interprétation de l'objet à partir du modèle fil de fer.
Toutefois, le modèle présente un intérêt évident par sa simplicité et sa maniabilité par un système informatique; en particulier, les modèles de cartographie plane s'inspirent de ce modèle. La description d'un objet, dans le modèle fil de fer s'exprime en termes de sommets, d'arêtes, de polygones. Un objet peut être décrit par des polygones explicites : on donnera alors la liste des polygones composant l'objet, le fichier correspondant comportant des enregistrement du type (Q5, P1, P5, P3), le premier champ indiquant le numéro de polygone (clé), les trois autres désignant les numéros de points sommets. Etant donné la redondance inévitable provenant du fait qu'un sommet peut appartenir à plusieurs polygones, on peut dissocier les polygones et les sommets en dressant deux listes, celle des polygones et celle des sommets, le passage de l'une à l'autre pouvant s'effectuer grâce à des pointeurs.une troisième méthode dite des arêtes explicites consiste à dresser trois listes, celle des arêtes, celle des polygones et celle des sommets. La liste des arêtes comporte des pointeurs vers la liste des sommets (extrémité et origine) et des pointeurs vers la liste des polygones (en admettant qu'une arête est commune à deux polygones au plus).la liste des polygones comporte des pointeurs vers la liste des arêtes (côté du polygone). Le modèle à facettes Plus élaboré que le précédent, le modèle à facettes permet de décrire un objet avec plus de précision : on pourra distinguer entre une boite parallélépipédique fermée et une boite parallélépipédique ouverte (une facette en moins pour la seconde). Suivant le type de facette utilisé, on a une représentation plus ou moins adaptée à l'objet à modéliser. Le cas le plus simple est celui où toutes les facettes sont du même type, par exemple des triangles. Une description classique peut être composée de la liste des sommets et de la liste des facettes avec pointeurs vers les sommets. Ayant une modélisation à base de facettes, on pourra en tirer une modélisation fil de fer aisément; par contre l'inverse n'est pas possible car les arêtes ne permettent pas de déterminer les facettes utiles. 3. Le modèle des arbres octaux. Nous avons déjà mentionné au chapitre 1, la description possible d'une image par des arbres quaternaires. Ce procédé peut être généralisé au cas 3D. On considérera qu'un objet peut être constitué par un nombre plus ou moins grand de cubes appelés voxels (volumic pixels). Pour cela, on ramène l'univers à un (grand) cube de dimension 2 n, que l'on pourra diviser au plus en 2 3n voxels élémentaires. On divise d'abord l'univers en 8 voxels que l'on examine : ou bien ils sont tous pleins, ou bien ils sont tous vides, ou bien ils sont pleins en partie. Seuls ces derniers voxels sont, à leur tour, divisés en 8 voxels plus petits que l'on examine un par un suivant les mêmes critères; on continue ainsi au besoin jusqu'aux voxels élémentaires. Le résultat de l'analyse conduit à un arbre octal ( oct-tree) comme indiqué sur la figure ci-dessous. La liste des voxels pleins de cet arbre modélise ainsi l'objet.
Bibliographie FOLEY, VAN DAM, FEINER, HUGHES Computer Graphics, Principles and Practice Addison Wesley J.P.GOURRET Modélisation d'images fixes et animées Masson B.PEROCHE, J. ARGENCE, D. GHAZANFARPOUR, D.MICHELUCCI La synthèse d'images Hermès T.LIEBLING, H.ROTHLISBERGER Infographie et applications Masson Y.GARDAN, M. LUCAS Techniques graphiques interactives et CAO Hermès D.HEARN, M.P.BAKER Computer Graphics Prentice Hall