Chapitre 2 Suites Sommaire 1 Généralités sur les suites....................................... 1.1 Définition d une suite...................................... 1.2 Suites arithmétiques et suites géométriques.......................... 1.3 Comportement global..................................... 1.4 Limite d une suite....................................... 2 Suites récurrentes........................................... 2.1 Sens de variation........................................ 2.2 Convergence.......................................... 2.3 Suite définie par a + b................................ 2.4 Suites récurrentes +2 a + b............................. 1 Généralités sur les suites 1.1 Définition d une suite Une suite peut être définie de deux façons : soit par la donnée de son terme général en fonction de l indice (comme une fonction de l indice. On pourrait écrire f(n. Par exemple 1 n ou v n 2 n ; soit par une relation de récurrence : on donne un ou deux premiers termes de la suite, ensuite une relation qui permet de calculer les termes suivants à partir des termes précédents. Par exemple u 0 1 et 3. On dit alors qu on a une suite récurrente. REMARQUE 1. Le 1 er terme d une suite peut être d indice 0 ou d indice 1. Dans la suite nous supposerons toujours que le 1 er terme est d indice 0. Dans les autres cas, il faudra adapter les définitions en faisant le décalage d indice nécessaire. 1.2 Suites arithmétiques et suites géométriques Définition 1. Une suite arithmétique de 1 er terme u 0 et de raison r est la suite définie par la relation de récurrence 1 + r. Exemple 1. La suite des nombres pairs est la suite arithmétique définie par u 0 0 et de raison r 2. Propriété 1. Le terme général d une suite géométrique de 1 er terme u 0 et de raison r est u 0 + nr. Définition 2. Une suite géométrique de 1 er terme u 0 et de raison q est la suite définie par la relation de récurrence q 1, pour n 1. Exemple 2. Les 1 ers termes de la suite géométrique de 1 er terme u 0 3 et de raison q 2 sont : 3, 6,18, 54,... Propriété 2. Le terme général d une suite géométrique de raison q et de 1 er terme u 0 est u 0 q n, pour n 1.
1.3 Comportement global Sens de variation Définition 3. Une suite u est croissante si pour tout n N, ; Elle est décroissante si pour tout n N,. Dans les deux cas, on dit que la suite est monotone. Exemple 3. Une suite arithmétique de raison r > 0 est croissante. De même une suite géométrique de raison q ]0; 1[ est décroissante. Par contre une suite géométrique de raison q < 0 n est pas monotone (les termes sont alternativement positifs et négatifs. REMARQUE 2. Pour une suite quelconque, étudier le sens de variation revient à étudier le signe de. Si cette différence est positive pour tout n N, la suite est croissante. Si elle négative, la suite est décroissante. Exemple 4. La suite (u de terme général n n+1 est croissante : en effet, pur tout n N, n+1 (n+1(n+1 n(n+2 (n+1(n+2 1 (n+1(n+2 qui est positif pour tout n N. n+2 n n+1 Proposition 1. Soit une suite définie par f(n où f : [0;+ [ R est une fonction. Si f est monotone alors la suite (u est monotone et a le même sens de variation que f. Démonstration. Si f est croissante, pour tout entier n, comme n < n+1, alors f(n f(n+1, c est à dire. Donc (u est croissante. Même raisonnement si f est décroissante. Suites bornées Définition 4. Une suite (u est majorée, s il existe M R tel que pour tout n N, M. Le réel M est alors un majorant de la suite. De même, une suite (u est minorée, s il existe m R tel que pour tout n N, M. Le réel m est alors un majorant de la suite. Une suite qui est à la fois majorée et minorée est une suite bornée. Exemple 5. La suite (u définie par 1 n+1 est bornée car pour tout n N, 0 1. REMARQUE 3. Une suite croissante est minorée par son 1 er terme et une suite décroissante est majorée par son 1 er terme. 1.4 Limite d une suite Étudier le comportement asymptotique d une suite consiste à examiner sa limite en +. De même que pour les fonctions, 3 cas peuvent se présenter : soit lim n + l, où l R, on dit alors que la suite (u converge vers le réel l ; soit lim n + ±, on dit alors que la suite (u diverge ; soit la suite ( admet pas de limite, ni finie, ni infinie. On dit encore que la suite diverge. Exemple 6. La suite de terme général 1 n converge vers 0. Écrivons la liste des 1ers termes : 1; 1 2 ; 1 3 ; 1 4 ; 1 5 ;... 1 Les termes de la suite finissent par s accumuler autour de zéro. 100 ; 1 10 4 ;... 0 1/10 1/5 1/4 1/3 1/2 1 FIG. 3.1 Les termes de la suite 1 n, pour n 1 REMARQUE 4. De manière plus précise, on peut dire que lim n + l si et seulement si tout intervalle contenant l contient presque la totalité des termes de la suite, sauf éventuellement un nombre fini (à partir d un certain indice.
Convergence des suites arithmétiques et géométriques Théorème 1. Soit (u une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0. Alors (u est convergente si et seulement si q < 1 : si q [0;1[, alors la suite (u converge vers 0 ; si q ] 1;0], alors la suite (u converge vers 0 ; si q > 1, alors lim n + + ; si q < 1, alors ( a pas de limite. Exemple 7. La suite géométrique de raison 2 et de 1 er terme u 0 1 n a pas de limite. Théorème 2. Une suite arithmétique (u qui n est pas constante (la raison est non nulle est divergente. Plus précisément, si on note r la raison si r > 0, lim n + ; si r < 0, lim n ; 2 Suites récurrentes Nous avons vu en 1.1 qu une suite peut être définie à partir de la donnée d un ou plusieurs termes et d une relation de récurrence permettant de calculer les termes suivants à partir des termes précédents. Définition 5. Une suite récurrente d ordre 1 est une suite définie par la donnée de u 0 et une relation de récurrence f (, où f est une fonction. 2.1 Sens de variation Théorème 3. Soit (u une suite récurrence d ordre 1 définie par f (. Alors, Si f est croissante, (u est monotone ; Si f est décroissante, ( est pas monotone ; Démonstration. Supposons que f soit croissante et considérons. Il y a deux possibilités : soit u 0 soit u 0. Si u 0, alors f étant croissante, elle conserve l ordre, donc f(u 0 f(. En réitérant, u 2 et ainsi de suite, en prenant les images par f, de proche en proche on obtient f( 1 f(, c est à dire. Donc la suite (u est croissante. Si u 0, alors avec un raisonnement analogue au précédent, on montre que la suite (u est décroissante. Par contre si f n est pas croissante, la suite ( est pas monotone. Contre exemple f(x x. Alors la suite suite (u est telle que u 0, u 2 u 0, u 2 u 0,... La suite (u est alternée, pour n pair u 0 et pour n impair u 0. Une telle suite n est ni croissante, ni décroissante. 2.2 Convergence Le théorème suivant fournit un moyen pour déterminer la limite éventuelle d une suite récurrente. Théorème 4 (Admis. Soit f une fonction continue sur un intervalle I et (u une suite définie par f(, telle que pour tout n N, I. Si lim n + l alors f(l l. Exemple 8. Considérons la suite (u de 1 er terme u 0 1 et telle que 2 + 1. La fonction f du théorème 4 est ici f : x x 2 + 1. L équation f(x x est équivalente à x 2 1 admet l unique solution x 2. Dans la figure.2, on peut observer comment la suite (u converge vers 2. Ci-dessous les 20 premiers termes de la suite : 1, 0000 1, 5000 1, 7500 1, 8750 1, 9375 1, 9688 1, 9844 1, 9922 1, 9961 1, 9980 1, 9990 1, 9995 1, 9998 1, 9999 1, 9999 2, 0000 2, 0000 2, 0000 2, 0000 2, 0000 Exemple 9. Soit (u la suite définie par u 0 0.5 et cos. Les 20 premiers termes de la suite, calculés à 10 6 près sont : 0, 5000 0, 8776 0, 6390 0, 8027 0, 6948 0, 7682 0, 7192 0, 7524 0, 7301 0, 7451 0, 7350 0, 7418 0, 7372 0, 7403 0, 7382 0, 7396 0, 7387 0, 7393 0, 7389 0, 7392 Une solution de cosx x est 0,739 085 à 10 6 près.
Exemple 10. Considérons la suite (u définie par u 0 2 et 2 +. Les 20 premiers termes de la suite sont 2, 0000 2, 4142 2, 7609 3, 0420 3, 2652 3, 4396 3, 5744 3, 6778 3, 7567 3, 8165 3, 8619 3, 8961 3, 9219 3, 9413 3, 9559 3, 9669 3, 9752 3, 9814 3, 9860 3, 9895 Les termes de la suite semblent s approcher de 4. On peut vérifier par ailleurs que 4 2 + 4 2+2 4. 2.3 Suite définie par a + b Définition 6. Soient a,b des nombres réels. Une suite (u définie par la relation de récurrence a + b et la donnée de u 0 est une suite récurrente d ordre 1. Cette une suite récurrente définie par la donnée d er terme u 0 et d une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du terme précédent. REMARQUE 5. La suite (u définie dans la définition 6 n est ni arithmétique, ni géométrique. Elle est définie par f(, où f est la fonction affine f : x ax+b. Mais si a 0, (u, on retrouve une suite arithmétique et si b 0, une suite géométrique. Pour cette raison, une telle suite est qualifiée aussi d arithmético-géométrique. Exemple 11. Prenons par exemple u 0 2, a 2 et b 5, alors 2u 0 5 1, u 2 2 5 7, 2u 2 5 14 5 19,... Suite auxiliaire Étant donnée une suite arithmético-géométrique (u, en soustrayant un réel bien choisi c à tous les termes de (u, on obtient une suite auxiliaire (v qui est géométrique. Dans les énoncés, le réel c sera toujours donné. Alors, on pourra utiliser les résultats sur le sens de variation et la convergence de la suite (v pour en déduire les propriétés sur la suite (u. Exemple 12. Soit (u définie par u 0 2 et 3 + 4. On pose v n 1. Alors v n+1 1 3 + 4 1 3 + 3 3( 1 3v n Or, la suite géométrique (v n étant pas monotone, ni convergente, il en sera de même pour la suite (u. 2.4 Suites récurrentes +2 a + b Définition 7. Soient a,b des nombres réels. Une suite (u définie par la relation de récurrence +2 a + b et la donnée de u 0 et est une suite récurrente d ordre 2. Cette fois la relation de récurrence permet de calculer chaque terme à partir des deux termes précédents. Exemple 13. La suite définie par u 0 1, 1.5 et +2 0.3 0.4. Les 20 premiers termes de la suite, arrondis a000 e, sont 1, 000 1, 500 0, 300 0, 570 0, 318 0, 298 0, 215 0, 175 0, 135 0, 106 0, 083 0, 065 0, 051 0, 040 0, 031 0, 024 0, 019 0, 015 0, 012 0, 009 Cette suite n est pas monotone, mais elle semble converger vers 0.
Écriture matricielle La relation de récurrence +2 a + b peut s écrire [ ] [ un+1 0 1 +2 ][ un La première ligne de l égalité matricielle exprime l identité. Pour les premiers termes de la suite [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] u1 0 1 u2 0 1 u1 u3 0 1 u2 u 2 L intérêt de cette écriture est qu elle permet de réitérer la multiplication matricielle pour calculer le n e terme à partir des deux premiers termes. Par exemple [ u2 ] [ ][ 0 1 0 1 ][ u 2 ] u 4 ] [ ] 2 [ ] [ ] [ 0 1 u3 0 1 u 4 ][ u2 ] [ ] 3 [ ] 0 1 En réitérant, on obtient [ un ] [ ] n [ ] 0 1 Exemple 14. Dans la suite de l exemple 13, la relation de récurrence s écrit [ ] [ ] n [ ] un 0 1 1 0.3 0.4 1.5 Pour calculer le 20 e terme, on élève la matrice à la puissance 19 avec la calculatrice (le 20 e terme est 9, puisque le 1 er est u 0 : [ u20 u 21 ] [ 0 1 0.3 0.4 Donc le 20 e terme est bien 9 0.009 ] 19 [ ] [ ][ ] [ ] 0.0031551 0.0082358 1 0.0091987 0.0024708 0.0064494 1.5 0.0072034 3 2.5 y x 2 y x/2+1 1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 FIG.2 Convergence de la suite récurrente 1 2 + 1.
Un exemple Une usine émet chaque mois des matières polluantes et cette production augmente de 10 % chaque mois. Un système est mis en place pour réduire cette production et l on constate qu il permet une diminution équivalente à 30 % de la production de polluant émis deux mois avant. On note la masse de matières polluantes n mois après le début de la mise en place du système. Avant l installation du système, la production de polluant est u 0 3500 kg et, le mois suivant, après un mois de traitement, 1900 kg. 1. Calculer u 2 et. 2. Exprimer +2 en fonction de et de. On appelera R cette relation de récurrence. On se propose d étudier le comportement de cette suite. Pour cela deux approches sont possibles. Obtention d une formule explicite 1. Montrer que si une suite géométrique du type v n q n vérifie R alors q est solution de l équation du second degré q 2 1,1q+ 0,30. 2. Résoudre cette équation. On appelera q 1 et q 2 ses solutions. 3. On admet que toutes les suites (s n qui vérifient R sont de la forme s n α q n 1 + β qn 2. (a À l aide de u 0 et de déterminer α et β pour la suite (. (b Vérifier que u 2 et peuvent s obtenir à l aide de la formule α q n 1 + β qn 2. (c Donner alors la masse de polluant au bout de 10 mois d utilisation du système. (d Étudier la convergence de (. Par le calcul matriciel 1. Montrer que R peut s écrire sous forme matricielle : ( 2. Soit M 0 1 0,3 1,1 (. Montrer que ( un+1 +2 ( 0 1 0,3 1,1 M n ( ( 3. Donner alors la masse de polluant au bout de 10 mois d utilisation du système.. EXERCICE (Suite de FIBONACCI 1. La suite de Fibonacci est la suite ( définie par u 0 1 et par la relation de récurrente R : +2 +. 1. Déterminer les cinq premiers termes de la suite. 2. (a Montrer que si une suite géométrique du type v n q n vérifie R alors q est solution de l équation du second degré q 2 q 10. (b Résoudre cette équation. On appelera q 1 et q 2 ses solutions. (c On admet que toutes les suites (s n qui vérifient R sont de la forme s n α q n 1 + β qn 2. i. À l aide de u 0 et de déterminer α et β pour la suite (. ii. Donner la terme de la suite de rang 20. 3. (a Montrer que R peut s écrire sous forme matricielle : ( 0 1 (b Soit M 1 1 (. Montrer que (c Vérifier le terme de rang 20. ( un+1 +2 ( 0 1 1 1 M n (. ( 1. Leonardo FIBONACCI (v. 1175 à Pise, Italie - v. 1250 est un mathématicien italien qui a, entre autres, introduit la notation arabe des chiffres en Europe