BAC BLANC MATIERE : MATHEMATIQUES OBLIGATOIRE CLASSE de : Termale S SALLE : Grade Permaece PROFESSEUR : Mle GUIHENEUF ATE : Vedred javer 6 HEURE ébut : 8 h HEURE f : h MATERIEL UTILISE : CALCULATRICE AUTORISEE OUI NON Rappel : Tous les prêts, échages et sortes de documets sot strctemet terdts durat les devors, tout élève dot prévor le matérel dot l a beso EXERCICE N ( pots ) Parte A Sot u la focto défe sur ], [ par : l u / Justfer que la focto u est strctemet crossate sur ], [ / émotrer que l'équato u admet ue uque soluto sur l'tervalle [, ] / E dédure le sge de u e focto de Parte B f Sot f la focto défe sur ], [ par : l O appelle C sa courbe représetatve das u repère orthogoal / étermer la lmte de la focto f e et e f u, où u est la focto défe das la parte A b) E dédure le ses de varato de la focto f sur ], [ / a) émotrer que pour tout réel de l'tervalle ], [, ' / a) Motrer que : f f b) E dédure u ecadremet de EXERCICE N ( 7 pots ) Parte A Sot f la focto défe sur R \ { l } par : f / étermer les lmtes de O ote C sa courbe représetatve das u repère orthogoal e f au bores de so domae de défto / Sot g la focto défe sur R par : g e O doe le tableau de varatos de la focto g c-cotre : ( Résultats adms, à e pas démotrer ) a) Calculer f ', pour tout réel l et motrer que f ' et b) E dédure les varatos de f / Résoudre das R \ { l } l'équato : f g sot du même sge, pour tout réel l Parte B O déft la sute u par : u et pour tout de N : u f / Motrer que, pour tout das N, o a : u u u / Que peut-o dédure de la questo précédete, pour la sute u? / O admet que la lmte de la sute u est soluto de l'équato, où f est la focto défe das la parte A f étermer Lm u
/ O désre calculer la somme : S u u u u u à l'ade d'u algorthme a) Compléter l'algorthme suvat, pour qu'l répode au problème posé : Italsato va das N va das U va das S Tratemet Tat que N < va das U S+U va das S N+ va das N F Tat que Sorte Affcher S b) Coder cet algorthme sur votre calculatrce, et dquer sur votre cope la valeur affchée à 6 près EXERCICE N ( pots ) Parte A U magas de brcolage dspose d u stock de cadeas : Certas sot premer pr, les autres haut de gamme O admet mateat que, das ce magas : 8% des cadeas proposés à la vete sot premer pr, les autres haut de gamme ; % des cadeas haut de gamme sot défectueu ; 7% des cadeas sot défectueu O prélève au hasard u cadeas das le magas O ote : p la probablté qu u cadeas premer pr sot défectueu; H l évèemet : «le cadeas prélevé est haut de gamme» ; l évèemet : «le cadeas prélevé est défectueu» / Eprmer e focto de p la probablté P ( ) E dédure que p 8 ( O pourra s'ader d'u arbre probablste ) / Le cadeas prélevé est e bo état étermer la probablté que ce sot u cadeas haut de gamme Parte B as le magas, o pred u lot de cadeas La quatté e stock de ces cadeas état très mportate, o peut cosdérer que le cho de ces cadeas est réalsé de faço dépedate Sot X la varable aléatore égale au ombre de cadeas défectueu das ce lot de cadeas / étermer la lo de probablté de X / Calculer la probablté d avor a) eactemet cadeas défectueu, à près b) au mos cadeas défectueu, à près / O chost mateat u lot de cadeas Les codtos de sélecto de ces cadeas s'effectuet toujours de faço dépedate étermer la plus pette valeur de l'eter pour lequel la probablté d avor au mos u cadeas défectueu sot supéreure à 9 EXERCICE N ( pots ) / a) Résoudre das C l'équato : b) Résoudre das C l'équato : 9 6 / O se place à préset das le pla complee, mu du repère orthoormé O ;u,v O cosdère les pots A ( ), B ( ), C ( ), ( ) et E ( 8 ) a) Fare ue fgure, qu sera complétée au fur et à mesure des questos b) Motrer que le quadrlatère ACE est u parallélogramme c) étermer l'affe du pot I, cetre du parallélogramme ACE d) Sot F le pot d'affe : F étermer la forme algébrque de F e) Motrer que : ( AF ) // ( BI ) / A tout pot M du pla dstct de C, d'affe ( ), o assoce le pot M ' d'affe Z tel que : Z a) O pose :, avec et réels étermer la forme algébrque de Z, e focto de et b) étermer l'esemble E des pots M du pla tels que Z sot u magare pur Vérfer que le pot B appartet à E esser l'esemble E das le repère de la questo /
EXERCICE N ( pots ) Parte A Sot u la focto défe sur ], [ par : l u CORRECTION / Calcul : u ' Or, ], [ doc u ' > e tat que somme de deu termes postfs oc la focto u est strctemet crossate sur ], [ / Calcul : u l l 7 et u l l, 99 La focto u est cotue et strctemet crossate sur [, ], à valeurs das l, l Or, l, l doc l'équato u admet ue uque soluto sur l'tervalle [, ] / La focto u est strctemet crossate sur ], [ et u avec, doc o e dédut le tableau de sges de u Parte B f Lm e plus, Lml doc Lmf Sot f la focto défe sur ], [ par : l / Lmte e : Lm doc Par produt et somme avec, Lm l Lmte e : Lm doc Lm e plus, Lm l doc Par produt et somme avec, Lm f / a) Calcul : f' l l b) E tat que carré, Lm l l l u pour tout réel strctemet postf, doc f ' est du sge de u f ' < s ], [ et ' questo / de la parte A Par coséquet, f > s ], [ La focto f est décrossate sur ], [ et crossate sur ], [ u doc u et doc l et ef l / a) est soluto de l'équato, dot le sge a été établ das la as ce cas, f l A savor : f b) O sat que :, doc Par produt : e plus, doe auss Ce qu mplque : et ef pus, sot f EXERCICE N ( 7 pots ) Parte A Sot f la focto défe sur R \ { l } par : f / Lmte e : e
'ue part : Lm 'autre part, Lm e, doc e Lmte e l : 'ue part : Lm l 'autre part, Lm e, doc Lm e Par quotet, l l l Lm Par quotet, Lm f Lm f l et Lm e, doc Lm e Par quotet, Lm f l l l Lmte e : Calcul : f Alors Lm et Lm e, doc Lm et Lm e e e e e e Par verse et produt : Lm f / a) Calcul : f' e e e e e e e e g e > pour tout réel l, e tat que carré, doc f ' et g e sot du même sge b) 'après le tableau de varatos de g, doé au début de cette questo, g admet u mmum égal à, doc : g R \ { l } Par coséquet, f ' R \ { l } La focto f est strctemet crossate sur ], l [ et sur ] l, [ f, sot, pus e et e e e et e O e dédut : ou e Sot ou e, sot ou / Résolvos das R \ { l } l'équato : O obtet alors l L'équato f admet deu solutos qu sot : et l Parte B O déft la sute u par : u et pour tout de N : u fu, où f est la focto défe das la parte A / Motros que, pour tout das N, o a : u u * Motros que ce double ecadremet est vra pour u u et u, 78 O a be : u u u e e * Supposos que ce double ecadremet sot vra pour le rag Motros qu'l reste vra pour le rag 'après hpothèse de récurrece, o a : u u, or la focto f est crossate sur ], ], doc f fu fu f, à savor u u e * oc par hérédté, pour tout das N, o a : u u / La sute u est doc décrossate et morée par o e dédut d'après théorème de covergece du cours, que la sute u coverge vers u réel l, tel que : l f que l'o a résolu das la questo / de la parte précédete O avat trouvé deu / La lmte l est soluto de l'équato solutos : et l Or, l O e dédut que seule covet oc, Lm u / a) Italsato va das N b) L'affchage doé par la calculatrce est :,778 va das U va das S Tratemet Tat que N < U ( e U ) va das U S+U va das S N+ va das N F Tat que Sorte Affcher S
EXERCICE N ( pots ) Parte A / essos u arbre probablste : P P H P Calcul : H PH P PH P Or, le tete doe : 7 H 8p 6 8p P, doc résolvos :, 6 8p 7 6 Ce qu doe :, 8p 6 Sot p 8 8 / Calcul : H P P H P H p 8 8 6 6 69 P P 7 9 9 6 H H 97 8 p H -p Parte B / Epreuve : " O prélève u cadeas " ; Succès S : " Le cadeas est défectueu " avec p ( S ) 7 O répète l'épreuve fos de faço dépedate et o compte le ombre X de succès X sut la lo bomale de paramètres et p 7 / a) P ( X ) 7 b) P ( X ) P ( X 9 ) 6 / Nous sommes das les mêmes codtos que la questo précédete, avec la lo bomale de paramètres ( coue ) et p 7 O veut P ( X ) > 9, c'est-à-dre P ( X ) > 9, doc P ( X ) < l, O e dédut :, 9, sot l, 9 l, pus l, 9 l et, car l 9 < l, 9 O e dédut EXERCICE N ( pots ) / a) Résoudre das C l'équato : : Calcul : 6 ( ) Il este doc deu solutos complees cojuguées, qu sot : et b) Résoudre das C l'équato : 9 6 O pose :, avec et réels L'équato 9 6 s'écrt alors : 9 6, sot ecore : 9 9 6, ou 9 6 O e dédut le sstème :, qu devet : 6 9 Par somme des deu équatos, o a :, sot Remplaços das la ème équato : 6, pus et ef, La soluto de l'équato 9 6 est / a) C-cotre b) AC E C A E 8 O e dédut que : AC E, doc ACE est u parallélogramme c) I, cetre du parallélogramme ACE, doc I mleu de [ A ] A I 6 d) F 8 8 C K v F A u B I E
e) A F AF et AF B I BI O e dédut : AF BI oc ( AF ) // ( BI ) / a) Calcul : Z 6 b) M E Re ( Z ) avec,, avec avec E est le cercle de cetre K ( ) et de rao, prvé du pot C ( ) Z B B B, doc Re ( ZB ), doc B E
CORRECTION EXO SPE Parte A : ombres tragulares et carrés d eters / O remarque que : 6 6 7 8 et 6 6, doc 6 est u ombre tragulare et auss le carré d u eter Ue autre démarche état la suvate : Este-t-l u eter tel que 6, ce qu équvaut à 7, sot tel que : 7 7 7 Calcul : 88 89 oc, 7 admet deu solutos qu sot : 9 et 8 8 9 Seul, doc la soluto est 8, et o a be : 6 6 7 8 / a) est le carré d u eter Il este u eter aturel p tel que p p / p p / p b) p / p est le carré d u eter p / p p / 8p p / 8p p / 8p p / 8p Parte B : étude de l équato dophatee assocée O cosdère ( E ) l équato 8, où et désget deu eters relatfs / (, ) et (, ) sot deu couples solutos de ( E ) / Méthode Sot d u dvseur postf de et de, tels que ( ; ) est soluto de ( E ) O a doc d, d et 8 as ce cas, d dvse toute combaso léare de et de, e partculer, d 8, c'est-à-dre d oc d Et doc et sot premers etre eu Méthode Sot ( ; ) u couple soluto de ( E ) O a doc : 8 as ce cas, o a la formule u v avec u et v 8, sot u et v eters 'après le théorème de Beout : et sot premers etre eu Parte C : le avec le calcul matrcel 8 Sot et deu eters relatfs O cosdère la matrce A ' 8 / 8 A O e dédut : ' 8 et ' ' 8 8 / ét ( A ) 8 9 8 doc la matrce A est versble, et o a : A ' 8 as ce cas, ' ' 8' A O e dédut : ' 8' et ' ' ' ' ' '
/ S ( ; ) est soluto de ( E ) alors 8 S ( ' ; ' ) est soluto de ( E ) alors ' 8' / Motros par récurrece que ; Alors ' 8' 8 ' ' Alors 9 ' 8' ' 6' 8' 6' ' 9' Alors 9 ' 8' ' 6' 8' 8' ' 7' 8 Alors ' ' Alors ( ' ; ' ) est soluto de ( E ) Alors 8 8 Alors 9 8 6 8 6 9 Alors 9 8 6 8 8 7 Alors 8 Alors ( ; ) est soluto de ( E ) est soluto de ( E ), pour tout * Vérfos que l'affrmato est vrae au rag : Autremet dt, ; est-l soluto de ( E ), sot ; est-l soluto de ( E )? C'est le cas ( rappel, c'est u des deu couples ctés das la répose à la questo B / ) * Supposos que l'affrmato sot vrae au rag Motros qu'elle reste vrae au rag O a A et ; est soluto de ( E ) d'après HR ' Or, o vet de démotrer das la questo C /, que s ( ; ) est soluto de ( E ) et A, alors ( ' ; ' ) est soluto ' de ( E ) oc, o peut coclure que ; est soluto de ( E ) ; est soluto de ( E ), pour tout eter aturel * 'après le rasoemet par récurrece, le couple Parte : retour au problème tal O cherche u ombre tragulare supéreur ou égal à 6, doc o cherche eter aturel tel que : 6, sot, ou ecore Calcul : 68 69 7 7 7 Il este doc deu solutos à l'équato qu sot : 6 et 6 Sachat que, mplque eter et 6 Par alleurs, o veut que sot le carré d u eter doc l este u eter aturel p tel que : 8p Autremet dt, l este u eter aturel p, tel que ( ; p ) sot soluto de ( E ) : 8 Or pusque 6, alors o cherche u couple ( ; p ) soluto de ( E ) avec 7 O a de plus établ que ; est soluto de ( E ), où et sot les sutes défes par : et et, pour tout eter aturel, A Cherchos doc parm toutes les matrces coloes as défes, celle(s) dot est supéreur à 7 Calculs : 7, 99 A, 6 77 A et A O peut doc coclure que 77 et doc 76 88 as ce cas, N 88 89 66 et 66 ² 66 est u ombre tragulare cherché