Classe : Nom : Vendredi 31 mai Brevet blanc de mathématiques durée : 2 heures L usage d une calculatrice est autorisé. La présentation, la clarté du raisonnement, la rigueur de la rédaction seront des critères pris en compte dans la note attribuée à cette épreuve. Sauf mention contraire, toutes les réponses doivent être justifiées. Vous devez traiter les huit exercices suivants. Tous les exercices sont indépendants les uns des autres. Le sujet est à rendre avec la copie. Exercice 1 Quatre affirmations sont données ci-dessous : Affirmation 1 : ( 5 1 ) ( 5 + 1 ) est un nombre entier. Affirmation 2 : 4 n admet que deux diviseurs. Affirmation 3 : Un cube, une pyramide à base carrée et un pavé droit totalisent 17 faces. Affirmation 4 : Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Pour chacune des affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse en argumentant la réponse. Exercice 2 Charlotte a rangé des chansons dans un dossier de son lecteur MP3. Elle a noté leurs tailles exprimées en Mo (mégaoctets) et obtient la série suivante : 3,5 1,7 3,3 1,9 3,6 3,4 2,5 3,8 2,4 2,4 3,2 3,1 2,9 3,5 2,6 1,4 2 1. Calculer la moyenne de cette série. Arrondir au dixième. 2. Déterminer la médiane de cette série. 3. Compléter le tableau ci-dessous puis construire le diagramme circulaire correspondant. Taille (Mo) 1... < 2 2... < 3 3... < 4 Total Effectif Angle arrondi à l unité ( ) 4. 1 Mo correspond à 64 secondes d écoute. Combien de temps durera la lecture de toutes les chansons de ce dossier? (Résultat exprimé en minutes secondes, arrondi à la seconde.) Collège Jean-Moulin Page 1 sur 4 Brevet blanc mai 2013
Exercice 3 La formule d Al-Kashi permet de calculer la longueur du troisième côté d un triangle quelconque lorsque l on connaît la longueur des deux autres côtés et la mesure d un angle. Pour un triangle ABC, on a : BC 2 = AB 2 + AC 2 2 AC AB cos BAC On considère un triangle ABC tel que : AB = 6 cm ; AC = 12 cm et BAC = 60 1. Montrer en utilisant la formule d Al-Kashi que BC = 108 cm. 2. En déduire que le triangle ABC est rectangle en B. Exercice 4 On donne le programme de calcul ci-contre : 1. Vérifier que si l on choisit le nombre 2 au départ, on obtient 25.Écrire 25 sous la forme du carré d un nombre. 2. Quel nombre obtient-on si l on choisit -7 comme nombre de départ? Écrire le résultat sous la forme du carré d un nombre. 3. On note x le nombre choisi au départ. Choisir un nombre ; Ajouter 6 à ce nombre ; Multiplier le résultat par le nombre de départ ; Ajouter 9 au résultat. (a) Donner l expression de la fonction f qui au nombre x, associe le résultat du programme précédent. (b) Démontrer que f(x) = (x + 3) 2 4. On utilise un tableur. (a) Compléter le tableau ci-dessous en donnant les valeurs des images des nombres demandés par f(les calculs ne sont pas demandés). (b) Quelle formule doit-on écrire dans la cellule B2 pour obtenir l image de -7 par f? Cette formule doit pouvoir être étirée pour déterminer les images des autres nombres par f. 5. On donne le graphique ci-contre qui représente la fonction f : (a) Par lecture graphique, déterminer le(s) nombre(s) que l on peut choisir au départ pour obtenir 9 comme résultat? Faire apparaître sur le graphique les pointillés permettant de répondre à cette question. (b) A l aide d une factorisation, retrouver les réponses à la question précédente par le calcul. Collège Jean-Moulin Page 2 sur 4 Brevet blanc mai 2013
Exercice 5 Un glacier vend des cornets qui sont des cônes de 10 cm de hauteur et de 3 cm de rayon surmontés d une demi-boule de même rayon. 1. Pour cette partie, on suppose que les cornets sont entièrement remplis de glace de la pointe du cône au sommet de la boule. (a) Calculer la valeur exacte du volume V c du cône. (b) Montrer que le volume exact V de la glace est de 48π cm 3. Donner en cm 3, l arrondi au millième de ce volume. 2. En réalité le fond du cornet est rempli avec du chocolat sur une hauteur de 3 cm. Le chocolat forme un petit cône qui est une réduction du grand cône. (a) Quel est le coefficient de réduction qui permet de passer du grand cône au petit cône? (b) En déduire le volume V CH du chocolat. Donner en cm 3, l arrondi au millième de ce volume. (c) Calculer le volume V G de glace réellement contenu dans le cornet. Donner en cm 3, l arrondi à l unité de ce volume. 3. On admettra dans cette question que le volume de glace réellement contenu dans le cornet est de 148 cm 3. Le glacier achète la glace dans des boites de 15 L. Combien de cornets pourra-t-il remplir avec une boite de glace? Exercice 6 On supposera dans cet exercice que tous les potirons ont la même masse, que tous les melons ont la même masse et qu il en est de même pour les courgettes. 1 potiron pèse autant que 3 melons et 1 courgette. 2 potirons pèsent autant que 5 melons et 7 courgettes. Combien faut-il de courgettes pour équilibrer 1 potiron? Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même infructueuse sera prise en compte. Collège Jean-Moulin Page 3 sur 4 Brevet blanc mai 2013
Exercice 7 Lors de leur voyage en Espagne, les élèves ont visité La Sagrada Familia. Le prix d entrée au tarif normal est de 6 e par personne. Deux propositions de tarifs réduits (non cumulables) sont possibles : tarif A : une réduction de 84 e sur le prix total ; tarif B : une baisse de 35% du prix du billet d entrée. Donner, en fonction du nombre d élèves dans ce groupe, le tarif le plus avantageux. Exercice 8 Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Aucune justification n est demandée. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse correcte. 1. L échelle des figures n est pas respectée. 22,6 65,4 24,6 MN = 5 cm ; MP = 12 cm. L angle MPN mesure environ : 2. V étant le volume du petit cube et V étant le volume du grand cube, on a : 3. V = 4V V = 8V V = 2V 2 10 58 4 La mesure manquante est : 4. égale à 6 cm égale à 9 cm environ 6 cm La mesure de [MN] est : Collège Jean-Moulin Page 4 sur 4 Brevet blanc mai 2013
Exercice 1 ( 5 1 ) ( 5 + 1 ) = ( 5 ) 2 1 2 = 5 1 = 4 L affirmation 1 est vraie. Correction brevet blanc mai 2013 4 est un nombre entier. 1 ; 2 et 4 sont des diviseurs de 4, en effet : 4 = 1 4 = 2 2. L affirmation 2 est fausse. Un cube a 6 faces, une pyramide à base carrée a 5 faces et pavé droit a 6 faces. 6 + 5 + 6 = 17 L affirmation 3 est vraie. OA OC = 2, 8 5 = 14 25 OB OD = 2 3, 5 = 4 7 Exercice 2 Les points A, O, C d une part et B, O, D d autre part sont alignés dans le même ordre et OA OC OB, donc les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles. OD L affirmation 4 est fausse. 3, 5 + 1, 7 + 3, 3 +... + 2, 6 + 1, 4 + 2 1. = 47, 2 2, 8 La moyenne de cette série est d environ 2,8 Mo. 17 17 2. L effectif total de cette série est de 17, la médiane est donc la 9 e valeur en ordre croissant, c est à dire 2,9 Mo. 3. Taille (Mo) [1 ;2[ [2 ;3[ [3 ;4[ Total Effectif 3 6 8 17 Angle arrondi à l unité ( ) 64 127 169 360 4. La taille des chansons de ce dossier est de 47,2 Mo (voir question 1.). 47, 2 64 3021 s La lecture de toutes les chansons de ce dossier durera environ 50 minutes 3021 = 50 60 + 21 et 21 secondes. Exercice 3 1. BC 2 = AB 2 + AC 2 2 AC AB cos BAC BC 2 = 6 2 + 12 2 2 12 6 cos 60 BC 2 = 36 + 144 144 cos 60 BC 2 = 180 72 BC = 108 cm. 2. D une part : AC 2 = 12 2 = 144 D autre part : AB 2 + BC 2 = 6 2 + 108 = 36 + 108 = 144 AC 2 = AB 2 + BC 2, donc d après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en B. Exercice 4 1. 2 + 6 = 8 8 2 = 16 16 + 9 = 25 25 = 5 2 2. 7 + 6 = 1 1 7 = 7 7 + 9 = 16 16 = 4 2 3. (a) f : x x (x + 6) + 9 (b) f(x) = x (x + 6) + 9 f(x) = x 2 + 6x + 9 f(x) = (x + 3) 2 4. (a) A B C D E 1 x -7-0,5 2 2,5 2 f(x) 16 6,25 25 30,25 (b) On peut écrire les formules : = (B1+6)*B1 + 9 ou =(B1+3)^2 ou =(B1+3)*(B1+3)
5. (a) Par lecture graphique, on peut choisir les nombres 6 et 0 pour obtenir 9 comme résultat. (b) On cherche x tel que : (x + 3) 2 = 9 (x + 3) 2 9 = 0 [(x + 3) + 3] [(x + 3) 3] = 0 (x + 6)x = 0 revient à : x = 6 ou x = 0 Cette équation admet deux solutions 6 et 0, ce qui est cohérent avec la réponse précédente. Exercice 5 1. (a) V c = π OA2 SO = π 32 10 = 30π cm 3 Le volume du cône est de 30π cm 3 3 3 4 (b) V = 3 π 4 OA3 + V c = 3 π 33 + 30π = 36π 2 2 2 + 30π = 18π + 30π = 48π 150, 796 cm3. Le volume de la glace est de 48π cm 3 soit environ 150,796 cm 3. 2. (a) Le coefficient de réduction qui permet de passer du grand cône au petit cône est égal à SO SO c est à dire 3 10. (b) Dans une réduction de rapport 3 ( 3 3 10 10), les volumes sont multipliés par. ( ) 3 3 V CH = V c = 27 30π = 0, 81π 2, 545 cm3 10 1000 Le volume de chocolat est d environ 2,545 cm 3. (c) V G = V V CH = 48π 0, 81π 148 cm 3 Le volume de glace réellement contenu dans le cornet est d environ 148 cm 3. 3. 15 L correspond à 15000 cm 3. 15000 = 148 101 + 52 Le glacier pourra remplir 101 cornets de glace. Exercice 6 1 potiron pèse autant que 3 melons et 1 courgette donc 2 potirons pèsent autant que 6 melons et 2 courgettes et d après l énoncé que 5 melons et 7 courgettes. Un melon pèse donc autant que 5 courgettes. Pour équilibrer un potiron, il faut donc 3 fois 5 courgettes et une courgette, c est à dire 16 courgettes. Exercice 7 Soit x le nombre d élèves dans ce groupe : Le prix avec le tarif A est : 6x 84 Le prix avec le tarif B est : 0, 65 6x Le tarif A est plus intéressant que le tarif B pour un nombre d élèves inférieur à 40. A partir de 41 élèves il vaut mieux choisir le tarif B. On cherche les valeurs de x telles que : 6x 84 0, 65 6x 6x 84 3, 9x 6x 3, 9x 84 2, 1x 84 x 40 Exercice 8 1. L angle M P N mesure environ 24,6. 2. V = 8V 3. La mesure manquante est 2 10 4. La mesure de [MN] est égale à 9 cm.