LIMITES ET CONTINUITE I) LIMITES A L'INFINI ) Limite infinie à l'infini Si tout intervalle ]A;+ [ contient tous les f(x) pour x assez grand, on dit que f a pour ite + en +. on écrit f x = f x = A > 0, a > 0 tel que si x > a alors f(x) > A * x n = ; x= Si tout intervalle ]- ; A[ contient tous les f(x) pour x assez grand, on dit que f a pour ite en +. On écrit f x = f x = A < 0, a > 0 tel que si x > a alors f(x) <A * x n = ; x= Si tout intervalle ]A;+ [ contient tous les f(x) pour x assez petit, on dit que f a pour ite + en -. On écrit f x = x f x = A > 0, a < 0 tel que si x < a alors f(x) > A entier naturel pair x n = x Si tout intervalle ]- ; A[ contient tous les f(x) pour x assez petit, on dit que f a pour ite en -. On écrit f x = x f x = A < 0, a < 0 tel que si x < a alors f(x) <A entier naturel impair x n = x
2) Limite finie en l'infini Si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les f(x) pour x assez grand, on dit que f a pour ite l en +. On écrit f x =l f x = L > 0, > 0, * a > 0 tel que si x > a alors a > 0 tel que si x > a alors x n =0 ; x =0 L - < f(x) < L + f x L < Si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les f(x) pour x assez petit, on dit que f a pour ite l en -. On écrit f x =l f x =L x > 0, a < 0 tel que si x < a alors f x L < * x n =0 Lorsque f x = l (resp f x x ), on dit que, dans un repère, la droite d'équation y = l est asymptote à la courbe représentative de f en + (resp - ) II) LIMITE INFINIE EN UN POINT Soit a un réel. Dire que f x = + signifie que tout intervalle ]A;+ [ ( A R ) contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez proche de a. Soit a un réel. Dire que f x = - signifie que tout intervalle ]- ; A[ ( A toutes les valeurs de f(x) pour x assez proche de a. R ) contient Si n est pair x 0 x n = + et x n = +
Si n est impair x 0 x n = + et x 0 x n = - Lorsqu'une fonction f a pour ite + ou - en un nombre réel a (éventuellement à droite ou à gauche de a), on dit que la droite d'équation x = a est asymptote à la courbe représentative de f. III) LIMITES ET OPERATIONS Dans tout ce chapitre a désigne un réel ou + ou -, l et l' désignent des réels. Somme de fonctions : f x l l l g x l' f x g x l + l' ONPC Produit de fonctions : f x l l>0 ou l<0 ou l>0 ou l<0 ou 0 g x l' ou f x g x l+l' ONPC Quotient de fonctions : f x l l 0 l>0 ou l>0 ou l<0 ou l<0 ou g x l' 0 0 f > 0 f < 0 l' 0 f > 0 f < 0 l' 0 f x g x l l ' 0 ONPC si l'>0 si l'<0 si l'>0 si l'<0 ONPC Exercices: ex (feuille)
Composée de deux fonctions Propriété : a, b et c désignent des réels ou + ou -, f et g des fonctions. Si f x =b et g X =c alors X b g[ f x ]=c Exercices: ex 2 (feuille) IV) LIMITES ET COMPARAISON Dans tout ce chapitre a désigne un réel ou + ou -, Si a est un réel : - si on cherche la ite en a, on appelle voisinage de a tout intervalle de la forme ] a - r ; a + r[ avec r>0 - si on cherche la ite en a +, on appelle voisinage de a tout intervalle de la forme ] a ; a + r[ avec r>0 - si on cherche la ite en a -, on appelle voisinage de a tout intervalle de la forme ] a - r ; a [ avec r>0 - si a = + on appelle voisinage de a tout intervalle de la forme ]A,+ [ - si a = - on appelle voisinage de a tout intervalle de la forme ] ;A[ Propriété : Soient f, g et h trois fonctions définies au voisinage de a et L un réel. Si au voisinage de a, f(x) g(x) et Si au voisinage de a, f(x) g(x) et g x = alors f x = g x = alors f x = Si au voisinage de a, h(x) f(x) g(x) et g x = h x =L alors f x =L x =a Exercices: ex 3 (feuille) V) ASYMPTOTE OBLQUE Soit f une fonction et C sa courbe représentative. La droite d'équation y = a x + b est asymptote à C au voisinage de + La droite d'équation y = a x + b est asymptote à C au voisinage de - (f (x) (ax+b))=0 x + (f (x) (ax+b))=0 x ex 4 (feuille)
VI) CONTINUITE Soit f définie sur I = ] a r ; a + r [ avec r > 0 et a I f continue en a f x f x = = f(a) f continue sur I si elle l est en tout a de I. Remarque : Si I = [a;a+r[ f continue en a f x = f(a) Si I = ]a-r;a] f continue en a f x = f(a) Graphiquement, la continuité sur I se traduit par le fait que la courbe peut se tracer sans lever le crayon. Propriété : Si f est dérivable sur I alors f est continue sur I Attention la réciproque est fausse : la fonction racine carrée est continue en 0 mais pas dérivable en 0. Propreté : Si f et g continues sur I alors f + g ; k.f (k un réel) et fg sont continues sur I.. Si f et g continues sur I et g ne s annule pas sur I alors f g est continue sur I... Conséquences : Les fonctions polynômes sont continues sur R. Les fonctions rationnelles sont continues sur les intervalles leur ensemble de définition. La fonction racine est continue sur R + La fonction valeur absolue est continue sur R Exercices: 77 p 76-79 p 76 8 p 76 Th des valeurs intermédiaires Exercice : 90 ) p 77 Si f est continue sur I et a, b deux réels de I alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c entre a et b tel que f(c) = k Donc l'équation f(x) = k admet au moins une solution dans [a;b]
Corollaire : Soit 2 réels a et b avec a < b. Si f est continue et strictement monotone sur [a;b], pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un et un seul réel c dans [a;b] tel que f(c) = k. Donc l'équation f(x) = k admet une et une seule solution dans [a;b] Corollaire : a et b désignent des réels ou + ou -. Si f est continue et strictement monotone sur ]a;b[, pour tout réel k compris entre f x et f x, il existe un et un seul réel c dans ]a;b[ tel que f(c) = k. x b Exercices: ex 5 (feuille) + 88 p 77 9 p 77 95 p 78
) Déterminer les ites des fonctions suivantes : f (x)=2 x 3 +5x 2 8x+3 g(x)= 2x2 +3 x+2 2 x+4 j(x)= x 2 4 en + et - en + ; - et 2. en 2 et -2. h(x)= e2 x + 4 2e x en + ; - et ln(2). 2) Déterminer les ites des fonctions suivantes : f (x)= 2 x 2 + en -. g(x)= x+2 x+ en h(x)=( 3e 2 x +3) 7 en -. sin (x) 3) a) Déterminer la ite de la fonctions définie par f (x)= en. x b) Déterminer les ites en + et - de la fonction g définie par g(x)=x 3 +3cos(x). 4) soit la fonction f définie sur R-{} par f (x)= 2x2 5 x+6 et C sa courbe représentative. x a) Montrer que la droite D d'équation y = 2 x 3 est asymptote à C. b) Etudier la position relative de C par rapport à D. 5) a) Déterminer le nombre de solution de l'équation e x 2x=7. b) Faire un algorithme qui calcule à 0 3 près la solution de cette équation.