Correcion de l exercice 4 du cours Managemen Bancaire : «Eude du modèle de Meron» I) Valeur de l enreprise Quesion : dans quel cas (pariculier) es il possible d observer la valeur de l enreprise? Si l enreprise es une holding qui déien des ires de sociéés coées, la valeur de la holding peu êre déerminée à parir des cours des sociéés coées. C es la somme des paricipaions dans ces sociéés. Dans ce cas, la valeur de l enreprise es déerminée à parir de l acif. Si ous les ires de l enreprise (acions, obligaions ou aures) son coés, la valeur de l enreprise es égale à la somme des valeurs des ires coés observables sur le marché boursier. Dans ce cas, la valeur de l enreprise es déerminée à parir du passif. Quesion : qu es ce qui déermine la volailié de la valeur de l enreprise? La volailié de la valeur de l enreprise es déerminée par le risque économique lié aux élémens de l acif (représenan les projes économiques de l enreprise). Dans le modèle de Meron, on suppose que la valeur de l enreprise es indépendane de la srucure du passif. Quesion 3 : simuler l évoluion de la valeur de l enreprise (voir l Annexe pour l uilisaion d ouils de simulaion avec un ableur). On simulera l évoluion journalière de la valeur de l enreprise (en prenan 5 jours ouvrés par an). Idenifier des simulaions ypes qui illusren différenes siuaions financières de l enreprise. Dans le modèle de Meron, le défau es consaé à l échéance de la dee. L enreprise es en défau si la valeur de l acif es inférieure au nominal de la dee à rembourser. L enreprise n es pas en défau si la valeur de l acif es supérieure ou égale au nominal de la dee à rembourser. Les deux siuaions de l enreprise son illusrées par la figure ci dessous. Evoluion de la valeur de l'enreprise 8 Valeur de l'enr eprise (en M ) 6 4 8 6 4 Tendance 5 5 75 5 Temps (en jours) Valeur de la dee à rembourser à l'échéance : 7 M L'enr erpise n'es pas en défau à l'échéance. L'enr erpise es en défau à l'échéance. François LONGIN
II) Inerpréaion des fonds propres e de la dee en ermes d opions Quesion 4 : exprimer formellemen la valeur des fonds propres e la valeur de la dee en foncion de la valeur de l enreprise à la maurié de la dee (dae T). D après le conra de dee (priorié des créanciers sur les acionnaires), la valeur des fonds propres e la valeur de la dee en foncion de la valeur de l enreprise (foncions «payoff») s exprimen comme sui : V T D V T > D Dee D T V T D Fonds propres E T V T D Quesion 5 : représener graphiquemen la valeur des fonds propres e la valeur de la dee en foncion de la valeur de l enreprise à la maurié de la dee (dae T). 9 8 Valeur de la dee à maurié Valeur de la dee 7 6 5 4 3 Dee zér o coupon à r embour ser à maurié: 7 M 4 6 8 4 6 8 Valeur de l'enr er pise Valeur des fonds propres à maurié Valeur des fonds pr opr es 9 8 7 6 5 4 3 Dee zér o coupon à r embourser à maurié : 7 M 4 6 8 4 6 8 Valeur de l' enrerpise François LONGIN
Quesion 6 : analyser les fonds propres e la dee de l enreprise en ermes d opions. Meron (974) inerprèe les fonds propres e la dee d une enreprise sous forme d opions. De manière synhéique, la valeur de la dee s écri : D T = min (D, V T ) ce qui s écri aussi D T = D max (D V T, ) ou encore D T = V T max (V T D, ). La valeur des fonds propres s écri : E T = max (V T D, ). En considéran les deux dernières expressions, on rerouve bien que la valeur de l enreprise (vue de l acif) es égale à la somme de la valeur des fonds propres e de la valeur de la dee (vue du passif), soi : D T + E T = V T. D après les expressions ci dessus, la dee s analyse comme une dee zéro coupon sans risque de monan D e une posiion coure sur un pu sur la valeur de l enreprise avec un prix d exercice D e une maurié T ou encore comme une posiion longue sur la valeur de l enreprise e une posiion coure sur un call sur la valeur de l enreprise avec un prix d exercice D (relaion de parié call/pu). Les fonds propres de l enreprise s apparenen à un call sur la valeur de l enreprise avec un prix d exercice D e une maurié T. Quesion 7 : expliquer les différences enre les opions échangées sur les marchés financiers e les ires financiers vus comme des opions. Quelles différences y a il au niveau de l acif sous jacen? Quelles différences y a il au niveau de l émission? Les opions raiées sur les marchés financiers ne son pas émises par les enreprises ellesmêmes mais par des insiuions financières, des pariculiers ou d aures enreprises. A priori, l exisence des opions n a pas d impac sur la valeur de l acif sous jacen. En pariculier, les émeeurs d opions n on pas d influence sur la valeur du sous jacen. La valeur des ires financiers émis par les enreprises peu êre modifiée par la poliique de l enreprise en maière d invesissemen (e donc de risque de la valeur de l enreprise), de dividendes e de financemen. Les décisions relaives à cerains ires financiers de l enreprise (exercice de bons de souscripion ou conversion d obligaions en acions par exemple) peuven avoir un impac sur les ires eux mêmes (la srucure financière peu êre modifiée enraînan un phénomène de diluion). Pour les bons de souscripion d acions par exemple, en cas d exercice, il y a créaion de nouvelles acions. Pour les opions raiées sur les marchés financiers, l acif sous jacen es un acif don la valeur es observable (cours du marché) e qui peu êre acheé ou vendu. Pour les ires d enreprise, l acif sous jacen es l enreprise elle même e en général sa valeur n es pas observable e l enreprise ne peu êre acheée ou vendue. Cee différence es imporane pour l applicaion de la héorie de Black Scholes Meron puisque cee héorie repose sur un raisonnemen d arbirage e en pariculier sur la possibilié de consruire un porefeuille de couverure composé de l acif sous jacen e du ire sans risque e nécessian de pouvoir acheer ou vendre à chaque insan l acif sous jacen. Quesion 8 : quelles son les limies de l approche opionnelle? Les limies de l approche opionnelle son de deux ordres : héorique e praique. D un poin de vue héorique : L acif sous jacen éan l enreprise elle même, il ne peu êre vendu ou acheé. Or, le raisonnemen de Black Scholes Meron nécessie la consrucion d un porefeuille de couverure répliquan le payoff de l opion, ce porefeuille éan géré dynamiquemen en achean ou vendan à chaque insan l acif sous jacen e le ire sans risque. François LONGIN
La valeur de l enreprise qui es déerminée par l acif es indépendane de la srucure du passif. D un poin de vue praique : Les dees émises par les enreprises ne ressemblen pas forcémen au modèle qui suppose une dee zéro coupon de maurié donnée. Les différences concernen le profil de remboursemen du capial, les inérês payés à des daes inermédiaires e la maurié. La dee peu êre de naure financière mais aussi commerciale (crédis fournisseurs). III) Valorisaion des fonds propres e de la dee Quesion 9 : donner la formule analyique de la valeur des fonds propres e de la valeur de la dee de l enreprise. Calculer numériquemen la valeur des fonds propres e de la dee à la dae. A maurié de la dee, la valeur des fonds propres e la valeur de la dee se calculen à l aide des expressions ci dessus (voir la quesion 6). Avan maurié, la valeur des fonds propres e la valeur de la dee peuven se calculer à l aide du modèle de ype Black Scholes Meron qui perme d évaluer un call e un pu. E = V N D = V N r ( ) ( T ) d D N ( ) e d r ( T ) ( d ) + D N ( ) e d avec V + r + σ ln ( T ) D d = e d = d σ T σ T Quesion : donner la formule analyique du aux de rendemen jusqu à maurié (yield o mauriy) de la dee e de la prime de risque mesuran l écar enre le aux de la dee (risquée) e le aux sans risque (spread). Calculer numériquemen le aux de rendemen e la prime de risque à la dae. Le aux de rendemen de la dee, noé R, es défini comme sui : D R = ln T B Par définiion, la prime de risque, noée π, es égale à R r, où r es le aux sans risque. La prime de risque es donnée par : N T V r ( D e ( d ) + N ( d ) π = T ) François LONGIN
Quesion : donner la formule analyique de la probabilié de défau (defaul probabiliy). Calculer numériquemen la valeur de la probabilié de défau à la dae. Sous la probabilié hisorique pour l acif sous jacen (moyenne µ e écar ype σ), la probabilié de défau (hisorique) se calcule comme sui : Pr ob V ( < D ) T = Pr ob V e µ σ ( T ) + σ T W D ln µ σ V < D = Pr ob W < σ T Numériquemen, la probabilié de défau hisorique es égale à,5%. ( T ) Quesion : donner la formule analyique du aux de recouvremen anicipé (expeced recovery rae). Calculer numériquemen la valeur du aux de recouvremen à la dae. Le aux de recouvremen anicipé es donné par la formule : V T Pr ob D V e V T < V = D µ T N N ( d ) ( d ) Numériquemen, le aux de recouvremen es égal à 78,4%. IV) Eude de sensibilié Quesion 3 : quels son les faceurs influençan la valeur des fonds propres e la valeur de la dee de l enreprise? Représener graphiquemen la valeur des fonds propres e la valeur de la dee en foncion de ces faceurs. son : Les faceurs qui influencen la valeur des fonds propres e la valeur de la dee de l enreprise La valeur de l acif de l enreprise V La volailié de l acif de l enreprise σ Le aux d inérê sans risque r La valeur nominale de la dee zéro coupon D La maurié de la dee zéro coupon T si l évaluaion es réalisée à la dae ou le emps jusqu à maurié T si l évaluaion es réalisée à une dae ulérieure. Quesion 4 : quels son les faceurs influençan la valeur du aux de rendemen e la prime de risque de la dee de l enreprise? Représener graphiquemen la valeur du aux de rendemen e la prime de risque en foncion de ces faceurs. La prime de risque dépend des paramères suivans : Le aux sans risque r La volailié de la valeur de l acif de l enreprise σ François LONGIN
V Le raio d endeemen r ( T ) D e Le emps jusqu à maurié T. On peu consaer les effes suivans : Plus le aux sans risque es élevé, plus la prime de risque es faible. Plus la volailié de la valeur de l enreprise es élevée, plus la prime de risque es élevée. Plus le raio d endeemen es élevé, plus la prime de risque es élevée. Il n y a pas de relaion simple enre le emps jusqu à maurié e la prime de risque (cela dépend de la valeur des aures paramères). Quesion 5 : quels son les faceurs influençan la probabilié de défau de l enreprise? Représener graphiquemen la valeur de la probabilié de défau en foncion de ces faceurs. La probabilié de défau dépend des paramères suivans : La posiion relaive de la valeur de l enreprise para rappor au nominal de la dee à rembourser V/D La volailié de l acif de l enreprise σ Le aux de renabilié anicipé de l acif (pour la probabilié hisorique) µ La maurié de la dee zéro coupon T si l évaluaion es réalisée à la dae ou le emps jusqu à maurié T si l évaluaion es réalisée à une dae ulérieure. On peu consaer les effes suivans : Plus le raio V/D es élevé, plus la probabilié de défau es faible. Plus la volailié de la valeur de l enreprise es élevée, plus la probabilié de défau es élevée. Plus le aux de renabilié anicipé de l acif es élevé, plus la probabilié de défau es élevée. Il n y a pas de relaion simple enre le emps jusqu à maurié e la probabilié de défau (cela dépend de la valeur des aures paramères). Quesion 6 : quels son les faceurs influençan le aux de recouvremen de l enreprise? Représener graphiquemen la valeur du aux de recouvremen en foncion de ces faceurs. Le aux de recouvremen dépend des paramères suivans : La posiion relaive de la valeur de l enreprise para rappor au nominal de la dee à rembourser V/D La volailié de l acif de l enreprise σ Le aux de renabilié anicipé de l acif (pour la probabilié hisorique) µ La maurié de la dee zéro coupon T si l évaluaion es réalisée à la dae ou le emps jusqu à maurié T si l évaluaion es réalisée à une dae ulérieure. On peu consaer les effes suivans : Plus le raio V/D es élevé, plus le aux de recouvremen es élevé. François LONGIN
Plus la volailié de la valeur de l enreprise es élevée, plus le aux de recouvremen es faible. Plus le aux de renabilié anicipé de l acif es élevé, plus le aux de recouvremen es élevé. Il n y a pas de relaion simple enre le emps jusqu à maurié e le aux de recouvremen (cela dépend de la valeur des aures paramères). V) Evoluion de l enreprise Quesion 7 : que s es il passé? Evaluer quaniaivemen ce changemen? La valeur de l enreprise es égale à M (= 59,78 M + 5, M ). La valeur des fonds propres e de la dee son compaibles avec un niveau de volailié de 4% qui a donc foremen augmené au cours de l année écoulée. Cee augmenaion de la volailié radui l augmenaion du risque de l enreprise. François LONGIN