TD 1: optimisation des fonctions d une variable réelle

TD 1: optimisation des fonctions d une variable réelle 1 Sans économie Eercice 1. Pour chacun des eemples suivants, calculer supf et inff. De plus, indiquer si ces bornes sont I I atteintes, et en quel(s) point(s). 1. f() = (1 ) sur I = [0, 1]. Correction : La fonction f est dérivable sur tout I et pour tout I, f () = 1 2. Donc f () = 0 si et seulement si = 1/2 les etrema de f ne peuvent donc être atteints qu en 0, 1/2 et 1. Or on a : f(0) = 0, f(1/2) = 1/4, f(1) = 0. Or comme I est fermé et borné, f atteint ses bornes. En conséquence : sup f = ma f = 1/4, atteint en 1/2, et inf f = min f = 0, atteint en 0 et 1. 2. f() = 1 e sur I = R +. Correction : La fonction f est dérivable sur tout I et pour tout I, f () = e. Donc f est strictement positive sur tout I, donc f est strictement croissante, et : f(0) = 0, lim f() = 1. + Ceci est suffisant pour conclure que inf f = min f = 0, atteint en 0, et sup f = 1 et qu il n est pas atteint. 3. f() = 3 4 4 3 + 6 2 12 + 1 sur I = R. Correction : D abord, l étude du terme de degré le plus élevé du polynome (3 4 ) nous montre que : lim f() = +. ± Donc sup f = + et n est donc évidemment pas atteint. Ensuite, pour tout R : f () = 12 3 12 2 + 12 12 = 12( 3 2 + 1). On remarque donc que f est un polynome s annulant en 1. On sait donc qu il se factorise par ( 1). On calcule alors : f () = 12( 1)( 2 + 1). Donc f ne s annule qu en 1, et 1 est l unique point d etremum potentiel. Elle est négative pour 1 et positive pour 1. Donc f est décroissante sur ], 1] et croissante sur [1, + [. Donc inf f = min f = f(1) = 6. 1 4. f() = sur I = [0, 1]. 2 + 1 1

Correction : Tout d abord, on a : 2 + 1 = ( 1 ) 2 + 3 2 4 > 0, donc f est bien définie sur I, et continue est dérivable sur I. En particulier, comme I est fermé et borné, f atteint ses bornes. De plus, pour tout I : f () = 1 2 2( 2 + 1) 3/2. f ne s annule donc qu en = 1/2, et les seuls points d etremum potentiels sont 0, 1/2 et 1. Or : f(0) = 1, f(1/2) = 4/3, f(1) = 1. Donc inf f = min f = 1, atteint en 0 et 1, et sup f = ma f = 4/3, atteint en 1/2. Eercice 2. Soit f : R R une fonction continue telle que Montrer qu elle admet un minimum global. Correction : Comme : Il eiste a R tel que : Comme : Il eiste b R tel que : lim f() = +. ± lim f() = +, a, f() f(0) + 1. lim f() = +, + b, f() f(0) + 1. De plus, comme f(0) < f(0) + 1, on a a < 0 et b > 0. f est continue sur le segment [a, b]. Donc il eiste 0 [a, b] tel que : min [a,b] f = f( 0). f( 0 ) f(0), donc si / [a, b], f() > f( 0 ). Donc f( 0 ) est le minimum global de f. Eercice 3. Soit f : [0, + [ R une fonction continue ayant une limite finie en +. 1. Montrer que f est bornée. Correction : Soit l la limite de f en +. Il eiste b [0, + [ tel que : b, l 1 f() l + 1. De plus, f est continue sur le segment [0, b]. Donc f est bornée sur [0, b] : il eiste m R + tel que : [0, b], f() m. Donc en choissant M := ma(m, l + 1, l 1 ), pour tout [0, + [ : f() M. 2. Montrer que f admet un maimum global ou un minimum global. 2

Correction : Premier cas : f l (le signe signifie "partout égal à"). Si pour tout [0, + [, f() = l, alors l est à la fois le minimum global et le maimum global de f. Deuième cas : f l. Soit alors 0 [0, + [ tel que f( 0 ) l. Supposons par eemple que f( 0 ) > l, le cas symétrique se traitant de façon similaire. Soit ρ R tel que l < ρ < f( 0 ). Il eiste b [0, + [ tel que : b, f() ρ. Or f est continue sur le segment [0, b], donc il eiste 1 [0, b] tel que : f( 0 ) > ρ, donc 0 b, donc : Donc pour tout b : Donc f( 1 ) est le maimum global de f. f( 1 ) = ma [0,b] f. f( 1 ) f( 0 ) > ρ. f() < f( 1 ). 3. Donner un eemple de fonction ayant un maimum global mais pas de minimum. Correction : f : 1 e. Eercice 4. Soit f une fonction continue et dérivable de R dans R admettant la même limite dans l ensemble R {, + } en et +. Montrer qu il eiste c R tel que f (c) = 0. Correction : On traite par eemple le cas ou la limite est finie, et on la note l. Le cas de la limite infinie est une conséquence directe de l eercice 2. Premier cas : f l. Dans ce cas, tout c R convient. Deuième cas : f l. Soit alors 0 R tel que f( 0 ) l, et supposons par eemple que f( 0 ) < l, le cas symétrique se traitant de façon similaire. On choisit alors ρ tel que f( 0 ) < ρ < l. Comme f l, il + eiste b > 0 tel que : b, f() ρ. De la même façon, il eiste a < 0 tel que : a, f() ρ. f est continue sur [a, 0 ], f(a) ρ et f( 0 ) < ρ. Donc par le théorème des valeurs intermédiaires, il eiste α [a, 0 [ tel que f(α) = ρ. De même, il eiste β ] 0, b] tel que f(β) = ρ. On peut donc appliquer le théorème de Rolle à la fonction f sur l intervalle [α, β]. Eercice 5. Soit f : [0, + [ R une fonction convee. 1. Montrer que l application : ]0, + [ R f() admet une limite l dans R {+ } lorsque +. 3

Correction : L application de R + dans R définie pour tout R + par : f() f(0) est croissante en. Donc elle admet une limite l R {+ } quand tend vers +. Or : donc : 2. Montrer que si l 0, alors f est décroissante. f(0) lim + = 0, f() lim + = lim f() f(0) = l. + Correction : Pour tout a R, l application qui a ]a, + [ associe : f() f(a) a = f() a + f(a) a est également croissante et tend vers l. Donc pour tout b ]a, + [ : f(b) f(a) b a Donc si l 0, pour tous a < b dans R, f(b) f(a), et donc f est décroissante. 3. Montrer que si l est fini, alors f() l admet une limite dans R { } lorsque +. l. Correction : On a vu à la question précédente que pour tout a < b dans R : Donc : et l application qui à associe : f(b) f(a) b a l. f(b) lb f(a) la, f() l est décroissante. Elle ademet donc une limite dans R { }. Eercice 6. Soit f : R R une fonction convee. 1. On suppose que f admet un minimum local. (a) Montrer que ce minimum est global. Correction : Soit 0 le point de minimum local de f. Soit ε > 0 tel que pour tout [ 0 ε, 0 + ε], f() f( 0 ). Pour montrer que le minimum est global, il suffit de montrer que si y R\[ 0 ε, 0 + ε], f(y) f( 0 ). Soit donc un tel y. On suppose par eemple que y > 0 + ε. Par un résultat du cours : On a donc le résultat. f(y) f( 0 ) f( 0 + ε) f( 0 ) 0. y 0 ɛ (b) Caractériser l ensemble des points où il est atteint. 4

Correction : On va montrer que l ensemble des points où le minimum est atteint est un intervalle. Vous montrerez en DM que cet intervalle est fermé. On note I l ensemble des points où le minimum est atteint (comme intervalle, ça nous donne du courage), et on note m le dit minimum. On prend a et b dans I avec a < b, et c tel que a < c < b. Le but est de montrer que c I. Soit t ]0, 1[ tel que : (1 t)a + tb. On a alors : m f(c) = f((1 t)a + tb) (1 t)f(a) + tf(b) = (1 t)m + tm = m. Donc c I. (c) Montrer que si f est strictement convee, alors il est unique. Correction : Soient a et b deu points de minimum global de f. Supposons qu ils soient différents. Alors par conveité : ( 1 f 2 a + 1 ) 2 b < 1 2 f(a) + 1 f(b) = min f. 2 Il y a donc une contradiction et a = b. 2. On suppose que f est dérivable et admet un point critique. Montrer que f atteint en ce point un minimum global. Correction : Soit 0 ce point critique. Si y > 0, par un résultat du cours : Donc : 0 = f ( 0 ) f(y) f( 0) y 0 f(y) f( 0 ). On raisonne de même quand y < 0. 3. On suppose que f est deu fois dérivable et qu il eiste un réel c tel que f c > 0. Montrer que f possède un unique minimum global. Que peut-on dire si l on suppose seulement que f > 0? Correction : Par l inégalité des accroissements finis appliquée à f, pour tout > 0 : f () f (0) c Donc quand +, f () > 0. De même, quand, f () < 0. Par le théorème des valeurs intermédiaires (f est continue), il eiste donc un point 0 tel que f ( 0 ) = 0. On conclut alors grâce à la question précédente. Je fais juste une remarque pour dire qu on aurait pu se passer du théorème des valeurs intermédiaires en utilisant l eercice 2. ep fournit un contre-eemple du deuième point. 2 Avec économie Eercice 7. C était une erreur de vous mettre cet eercice sans repasser derrière, l énoncé est très approimatif... Je le corrige quand même du mieu que je peu! 1. Soit un bien à produire en quantité R +. La fonction qui à la quantité associe le coût total lié à sa production est appelée fonction de coût et est notée C(). Sa dérivée C () est appelée coût marginal et est notée Cm(). Le coût moyen est défini par CM() = C()/. Montrer que si le coût marginal est supérieur (resp. inférieur) au coût moyen, alors ce dernier est croissant (resp. décroissant). 5

Correction : On montre que si Cm() CM(), alors CM() est croissant. Il faut comprendre même si c est très mal dit : montrer que si Cm() CM(), alors CM () 0. On calcule : ce qui donne le résultat. CM () = Cm() CM(), 2. Supposons qu une firme produit ce bien avec la fonction de coût C(). La vente d une quantité va lui rapporter une recette R(). On note alors Π() = R() C() le profit de cette firme. En supposant que le pri du bien est fié à p, on a alors R() = p. (a) Écrire les conditions d eistence d un niveau de production optimal, i.e. d une quantité telle que Π( ) = ma Π(). Interpréter ces relations. Correction : En, on devrait avoir : Π ( ) = p Cm( ) = 0, Π ( ) = Cm ( ) 0. La première égalité dit qu à l optimum, le coût d une unité supplémentaire de produit est égal au pri de vente, la seconde énonce que le coût marginal "croît" à l optimal (à mettre entre plein de guillemets!). (b) Dans le cas où la fonction de coût est convee, quel est l effet d une augmentation du pri p? Correction : On écrit maintenant comme une fonction de p, et on suppose qu elle est dérivable : = (p). On a alors : Cm((p)) = p Si q > p on a alors : Cm((p)) < q, Cm((q)) = q. Or Cm est croissante (C convee), donc (p) < (q). Une augmentation du pri de vente provoque une augmentation de la production. (c) Dans le cas où la fonction de coût est concave, que peut-on dire? Correction : Dans ce cas, on a oubien : ma Π() = Π(0) (or il est raisonnable de penser que C(0) = 0, et donc Π(0) = 0), ou bien : sup Π() = En effet, la fonction qui à R + associe : lim Π() = +. + C() C(0) est décroissante, et donc converge vers une limite l R { } quand +. Si l p, alors pour tout R + : C() C(0) p 6

et donc : p C() C(0), i.e. Π() Π(0). On est donc dans le premier cas. Si l < p, soit q R tel que l < q < p. Il eiste 0 R + tel que pour tout 0 : C() C(0) q. On a donc : p C() (p q) C(0) +. + 3. Supposons maintenant que le pri ne soit plus fié et que la production soit donnée en fonction du pri via une fonction de demande : = F (p) > 0. (a) Faire le calcul eplicite de la production optimale et de son pri pour : Correction : On a : F : p a bp, C : k 2. Π(p) = F (p)p C(F (p)) = (a bp)p k(a bp) 2. On trouve alors : p = a 1 + 2kb 2b 1 + kb, = a 1 2 1 + kb. On définit l élasticité-pri par : ε(p) = pf (p) F (p). (b) Montrer que, pour une faible variation p du pri, la variation F (p) de la demande vérifie : ε(p) F (p) F (p). p p Correction : Pour des faibles variations du pri, on a : Donc : pf (p) F (p) F (p) F (p) p. pf (p) p F (p) p F (p) F (p). p p (c) On dit d un bien que sa demande est élastique si son élasticité-pri est strictement inférieure à la valeur 1, inélastique si elle est strictement supérieure et unitaire si elle est égale. Montrer que pour un bien dont la demande est inélastique (resp. élastique), une hausse du pri engendre une hausse (resp. une baisse) de la recette pour la firme. 7

Correction : La recette de la firme s écrit : En dérivant ça, on obtient : R(p) = pf (p). R (p) = F (p) + pf (p) = F (p)(1 + ε(p)). Par eemple, comme F est positive, on a bien R (p) > 0 si ε(p) > 1. Eercice 8 (En version originale, #hipsterpower). 1. Une entreprise produit des disquettes au coût unitaire de 5 francs. L entrepreneur calcule que si chaque disquette se vend francs, (15 ) disquettes seront vendues. Quelle est la fonction de profit de l entreprise? Quel pri de vente l entrepeneur devrait-il choisir pour maimiser son profit? Correction : Si la disquette se vend francs, l entrepreneur doit produire (15 ) disquettes, au coût total de 5 (15 ) francs. Sa recette est alors (15 ) francs. Son profit est donc : (15 ) ( 5) = 2 + 20 75 = ( 10) 2 + 25. Cette valeur est maimale pour = 10, et vaut alors 25 francs. 2. Un entrepreneur peut produire des tetes économiques au coût unitaire de 5 francs. Chaque tete se vend d habitude à 10 francs et, à ce pri, 10 tetes sont vendus par jour. L entrepreneur constate que chaque baisse du pri d un franc permet de vendre une copie supplémentaire par jour. Écrivez les fonctions de demande et de profit. Quel pri de vente maimise le profit? Correction : Fonction de demande : On la note F. L entrepreneur constate que pour chaque {0,..., 10} : En d autres termes pour tout p {0,,10} : Fonction de profit : On la note Π. Pour tout p {0,..., 10} : F (10 ) = 10 +. F (p) = 20 p. Π(p) = p F (p) 5F (p) = p 2 + 25p 100 = (p 12, 5) 2 + 56, 25. Donc pour p {0,..., 10}, le maimum est atteint en 10. En fait, si l interpolation pour les pri supérieurs à 10 francs reste valable, il semblerait même que l entreprener ait intérêt à augmenter son pri à la valeur de 12 ou 13 francs, valeurs de p pour lesquels le profit s élève à 56 francs. 8