Remise à Niveau Mathématiques

Mathématiques RAN - Fonctions Remise à Niveau Mathématiques Deuième partie : Fonctions Corrigés des eercices Page sur 0 RAN Fonctions Eercices corrigés - Rev 03

Mathématiques RAN - Fonctions DÉFINITIONS 3. FONCTION NUMÉRIQUE 3. COMPOSITION DE FONCTIONS 4 PROPRIÉTÉS 4. PARITÉ 4. SENS DE VARIATION (OU CROISSANCE/DÉCROISSANCE) D UNE FONCTION 5.3 PÉRIODICITÉ 5.4 LIMITES D UNE FONCTION 6.5 ASYMPTOTES 7.6 CONTINUITÉ 8 3 DÉRIVATION 9 3. DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES : NOTIONS 9 3. DÉRIVÉE D UNE FONCTION : 9 3.3 EXPRESSIONS DE DÉRIVÉES DE QUELQUES FONCTIONS 9 4 ETUDE DE FONCTIONS SPÉCIFIQUES 4. FONCTIONS CONSTANTES 4. FONCTIONS EN ESCALIERS 4.3 FONCTIONS AFFINES 4.4 FONCTIONS PUISSANCE M IÈME DE X 3 4.5 FONCTIONS RACINE M IÈME DE X 4 4.6 FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES 4 4.7 FONCTIONS LOGARITHME NÉPÉRIEN ET EXPONENTIELLE 6 Page sur 0 RAN Fonctions Eercices corrigés - Rev 03

Mathématiques RAN - Fonctions Définitions. Fonction numérique Déterminer le domaine de définition des epressions suivantes : a. y = : D y = R ; b. y = : D y = R -{} ; c. y = : D y = R -{- ; } ; d. y = : on doit avoir ² >, donc >. D y = ]- ; - [ ] ; [ ; e. y = 4 6 : on doit avoir 4 et 6. D y = [4 ; 6] ; y = 6 5 9 : la valeur absolue n influe pas sur le signe de l epression sous la f. ( ) racine. Il faut seulement s assurer que ² - 6 5 0, epression du second degré de discriminant = 6, dont les deu racines réelles sont donc et 5. Un polynôme du second degré est du signe de son premier coefficient, ici, tant que ne se trouve pas entre les racines. Celui-là est donc positif pour non compris entre et 5 et D y = ]- ; [ ]5 ; [ ; g. ( ) y = 6 3 4 3 : on a ici aussi un polynôme du second degré. Calculons en détail son discriminant et ses racines éventuelles : = 3 4 3 4 6 = 8 4 6 48 48 6 = 66 7 6, dont on peut chercher une ( ) ( ) écriture simple de la racine carrée (à l image de ce qui a été fait en RAN eercice. 7.) les conditions ne sont pas réunies pour effectuer cette simplification. On peut remarquer aussi qu aucune forme du type a b 3, mise au carré, ne peut donner (tentez donc de le montrer). On appellera et les deu racines réelles du polynôme de départ, données dans l ordre croissant et on pourra dire que D y = ]- ; [ ] ; [ ; h. y = 3 4 : ici = -7 : le polynôme n admet pas de racine réelle et ses valeurs sont du signe de son premier coefficient, positif, pour tout réel. D y = R ; i. y = 4 : même réfleion qu en d. au-dessus et D y = ]- ; -[ ] ; [ ; j. y = : ici, il faut à la fois > et > -, c est à dire >. D y = ] ; [ ; k. y = 9 : ici = 65. On appellera et les deu racines réelles du polynôme de départ, données dans l ordre croissant et on pourra dire que D y = ]- ; [ ] ; [ ; l. w = t : il faut que t soit différent de. D w = R -{}. Page 3 sur 0 RAN Fonctions Eercices corrigés - Rev 03

Mathématiques RAN - Fonctions. Composition de fonctions.. Soit la fonction d epression f() = 3², qu on étudiera sur R. Quel est son domaine d arrivée? Décrire sa fonction réciproque f -. Dire que décrit R, c est dire que 0, ce qui implique ² 0, donc 3² 0 et donc 3². Lorsque prend toutes les valeurs positives, 3² prend toutes les valeurs supérieures à. L ensemble d arrivée de f est [ ; [. y = 3² y = 3², et étant positif :.. = y 3. : f. 3 On note f la fonction carré, g la fonction inverse et h la fonction. Déterminer les epressions des fonctions composées f o g, g o f, f o h, h o f, g o h, h o g. ( ) = = : «carré de l inverse» ; g f ( ) f g = ( ) ( ) : «moins, puis au carré» ; ( ) f h ( ) : «moins, puis inversé» ; h g ( ) g h = Propriétés. Parité.. Donner l epression d une racine carrée paire. La fonction f :.. = : «inverse du carré» ; h f = : «au carré, puis moins» ; = : «inversé, puis moins»., définie sur un domaine symétrique par rapport à 0, est paire. Quels sont les effets de la parité de deu fonctions sur celle de leur produit ou de leur quotient? Soit f et g paires. On définit le produit fg sur l intersection des deu domaines, nouveau domaine forcément symétrique autour de zéro. On définit aussi le quotient f/g sur cette intersection, à laquelle on aura enlevé les racines éventuelles de g et leurs opposées pour conserver la symétrie par rapport à 0. Alors fg(-) = f(-)g(-) = f()g() = fg(). fg est paire (idem pour f/g). On voit aisément de même que paire impaire = impaire et que impaire impaire = paire. (idem pour un quotient) Page 4 sur 0 RAN Fonctions Eercices corrigés - Rev 03

Mathématiques RAN - Fonctions. Sens de variation (ou croissance/décroissance) d une fonction.. Montrer que la fonction inverse est strictement décroissante sur * R. Soit a et b deu nombres strictement positifs, avec a < b. Comparons /a et /b. a b =. Le numérateur est strictement négatif et le dénominateur strictement positif. b a ab * Ainsi < 0, c est à dire f(b) < f(a). f est strictement décroissante surr. b a (on peut aussi diviser /b par /a et vite constater que ce rapport est inférieur à ).. Montrer que la fonction racine carrée est strictement croissante sur R. Soit a et b deu nombres positifs, avec a < b. Comparons a et b. ( )( ) b a b a b a b a = =. Le numérateur est strictement positif, ainsi que le b a b a dénominateur. Ainsi b a > 0 et en appelant f cette fonction : f(a) < f(b). f est strictement croissante sur R. (on peut aussi diviser b par a et vite constater que ce rapport est supérieur à ).3 Périodicité.3. E désigne la fonction partie entière. Montrer que la fonction E ( ) On voit facilement que si on note f cette fonction, f() = E() = (E() ) = E() = f(). La fonction f est périodique et est d ailleurs sa période. est périodique..3. Quelles sont les fonctions affines périodiques? Soit l epression f() = a b. Supposons qu il eiste un réel fié T non nul tel que pour tout, f(t) = f(). Alors a(t) b = a b, donc a at b = a b. Comme T est non nul par hypothèse, alors il faut que a = 0. Ainsi f() = b. Les fonctions affines périodiques sont les fonctions constantes. Page 5 sur 0 RAN Fonctions Eercices corrigés - Rev 03

Mathématiques RAN - Fonctions.4 Limites d une fonction.4. Etudier la limite en de f : ; g : ; h :. 3 lim ( ) = lim ( ) = ; lim = lim = lim = 3 3 3 3 ; lim = lim = (produit de deu facteurs qui tendent vers ). ( ) ( ).4. Etudier la limite en 0 de : f : ; g : 9 3 (la fraction de départ donne une forme indéterminée 0/0, donc on la transforme) ( )( ) ( ) ( ) lim lim lim = = 0 0 ( ) 0 ( ) = lim = lim = = 0 ( ) 0 ( 9 3)( 9 3) ( 9 3) ( 9 3) 9 3 lim lim lim 9 9 = = = lim 0 0 0 0 9 3 = = 3 3 6.4.3 Un peu plus corsé : quelle est la limite en de /? On a une forme indéterminée de type 0. Une variable en eposant se traite souvent par l emploi d un logarithme. tend vers, donc on le posera positif sans influer sur le raisonnement, et on ln( ) ln ( ) peut écrire que = e. On sait qu un théorème de comparaison dit que lim = 0. ln( ) On en déduit que lim = 0 e e =. Page 6 sur 0 RAN Fonctions Eercices corrigés - Rev 03

Mathématiques RAN - Fonctions.5 Asymptotes.5. 4 6 Etude de la fonction f : 8 : D f, limites, recherche d asymptotes, tracer la courbe. Domaine de définition : le dénominateur ne doit pas s annuler. = 64 96 < 0, donc le dénominateur n admet pas de racine. D f = R. Limites : en l infini, la limite de f est celle du quotient des termes de plus haut degré, soit. Sans valeur interdite, il n y a pas ici d autre limite à calculer. Asymptotes : les limites en l infini montrent que C f admet une asymptote (en ou - ) horizontale d équation y =. Représentation graphique :.5. Etude de la fonction g :. Démontrer que son epression peut s écrire sous la forme : c g ( ) = a b, avec a, b et c trois réels à déterminer, limites, recherche d asymptotes, tracer sa courbe. c ( a b)( ) c a ( b a) c b a b = = vaut g() pour tout si, et seulement si, 4 a = et b a = 0 et c b = 0, soit a =, b = et c = 4. On a donc : g ( ) = 4 Limites : lim = lim ( 0) = ±. ± ± On voit par la même occasion que [g() ()] tend vers zéro lorsque tend vers l infini, donc la droite d équation y = est asymptote (oblique) à la courbe de g. Page 7 sur 0 RAN Fonctions Eercices corrigés - Rev 03

Mathématiques RAN - Fonctions 4 4 4 4 lim = lim = lim = lim = et 0 0 La courbe de la fonction g admet une asymptote verticale d équation =. Représentation graphique :.6 Continuité.6. Déterminer si f : est continue sur R. Un problème pourrait survenir lorsque = 0. Pour tout < 0, f() = -/ = - lim f = et lim f = et et pour tout > 0, f() = / =. Ceci nous permet d écrire : ( ) ( ) 0 0 montre que la fonction n est pas continue en zéro, donc sur R non plus. Elle n est d ailleurs pas définie non plus en zéro : impossible d attribuer une valeur à f(0). Page 8 sur 0 RAN Fonctions Eercices corrigés - Rev 03

Mathématiques RAN - Fonctions Soit.6. sin f :. Cette fonction est-elle définie sur [0 ; π]? Cette fonction est-elle continue? sin Pour les mêmes raisons, cette fonction n est pas définie et encore moins continue lorsque sin s annule, soit en = 0, = π, = π..6.3 Soit E la fonction qui fait correspondre à tout réel positif sa partie entière (l entier immédiatement inférieur à ce réel). Vérifier qu elle n est pas continue sur l ensemble de son domaine de définition. E est définie sur R et vaut l entier k pour tout réel situé dans l intervalle [k ; k[. Ainsi lorsque prend une valeur entière k, les limites à droite et à gauche de f() sont différentes : lim f = k et lim f = k. f n est pas continue sur son domaine de définition. ( ) ( ) k k 3 Dérivation 3. Dérivées et différentielles : notions 3. Dérivée d une fonction : 3.3 Epressions de dérivées de quelques fonctions 3.3. Dériver les epressions suivantes et donner leur nombre dérivé en = a : a. f() = ² 3 (a = -) b. g() = 3 ² 7 (a = ) c. f() = 3 3 3 ² (a = ) d. g() = 3² 3 (a = -) e. f() = (4 5) 3 (a = -) f. g() = (a = 4) g. f() = (3 ) (a = ) h. g() = (² ) (a = ) i. f() = 3 (a = -) 3 j. g() = (a = 0) k. f() = 5 (a = -) l. g() = 3 (a = 0) 3 3 m. f() = (a = -) n. g() = (a = ) o. f() = 3 (a = ) p. g() = ln ( ) (a = ) q. f() = ln 3 3 (a = -4) r. g() = ln (² ) (a = 3) s. f() = ( ) e (a = ) t. g() = e e (a = ln()) u. f() = e (a = 0) Page 9 sur 0 RAN Fonctions Eercices corrigés - Rev 03

Mathématiques RAN - Fonctions a. D f = R ; f () = 3 ; f (-) =. b. D g = R ; g () = /3 ; g () = 0/3. c. D f = R ; f () = ² - 3 / ; f () = -/. d. D g = R ; g () = 6 ; g (-) = -0. e. D f = R ; (u n ) = nu u n- donc f () = (4 5)² ; f (-) = 9 = 08. f. D g = R ; ( n ) = n n- et g() = 3/ donc g () = 3/ / = 3/ ; g (4) = 3/ 4 = 3. 3 4 3 3 6 g. D f = R ; (uv) = u v uv donc f () = = = ; f () = h. D g = R ; (uv) = u v uv donc ( 4 ) 0 3 g () = ( 4 ) = = i. D f = R {-3 ; 0} ; (/v) = -v /v² donc f () = ; f (-) = - /4 = -3/4. 3 j. D g = R {-} ; (u/v) = (u v-uv )/v² donc g () = k. D f = R {-} ; idem : f () = ( ) 3( ) 3 6 = ( ) ( ) ( ) ( ) = ; f (-) = 7. ( ) ( ) 5 7 l. D g = R {-} ; idem : g () = ( )( ) ( ) m. D f = R {- ; } ; (/v) = -v /v² donc f () = n. D g = R {- ; 0} ; g = u/v donc g () = 3 3 3 = ( ) ( ) 6 3 = 9. = (5 3/) ; g () = 3/. ; g (0) = 6/4 = 3/. ; g (0) = -3. ( ) ( ) ( ) ( )( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = ( 3 ) ( 3 ) ; f (-) = /9 =4/3. ; g () =. 3 3 3 6 4 3 3 6 o. D f = R ; idem : f () = ; f () = /4² = 3/4. p. D g = ]- ; /[ ; (ln(u)) = u /u donc g () = ; g () =. ( 3) ( 3) 6 q. D f = ]- ; -3[ ]3 ; [ ; (ln(u)) = u /u et u = = 3 3 6 3 6 = donc f () = ( 3 ) 3 ( 3)( 3) ; f (-4) = 6/7. ( ) ( ) r. D g = ]- ; -[ ] ; [; (ln(u)) = u /u donc g () = ; g (3) = 3/4. = e e e ; f () = -3/e. s. D f = R ; (uv) = u v uv donc f () = ( )( ) ( ) t. D g = R ; g () = e - e = e (e - ) ; g (ln()) = e ln (e ln ) = ( ) = 6. ( ) e 4e u. D f = R {0} ; (/v) = -v /v² donc f () = = ; f (0) n eiste pas. e e ( ) ( ) Page 0 sur 0 RAN Fonctions Eercices corrigés - Rev 03

Mathématiques RAN - Fonctions 3.3. Donner, grâce à un calcul de limite, l epression de la dérivée de : v. La fonction inverse ; w. La fonction racine carrée. ( h) ( h) h f lim h = = lim = lim = lim = h 0 h h 0 h h 0 h h h 0 h v. ( ) w. ( ) ( ) ( h )( h ) ( ) ( ) h h f ( ) = lim = lim = lim h 0 h h 0 h 0 h h h h = lim = h 0 h 4 Etude de fonctions spécifiques 4. Fonctions constantes 4. Fonctions en escaliers 4.. Représenter graphiquement la fonction qui, à tout réel positif, associe E( ). Cette fonction est définie sur l ensemble des réels positifs. Soit k un entier naturel ; lorsque décrit l intervalle [k² ; (k)²[, décrit l intervalle [k ; k[ et E( ) = k. Graphiquement : Page sur 0 RAN Fonctions Eercices corrigés - Rev 03

Mathématiques RAN - Fonctions 4.3 Fonctions affines 4.3. On compare les pri de deu agences de location de véhicules. Pour une même camionnette, le loueur A propose le tarif suivant : forfait de 60, plus,5 /km et le loueur B propose un forfait de 80, plus,5 /km. On note la distance, variable, que l on pourrait parcourir, f() le pri que l on paierait chez A et g() le pri chez B. Représenter graphiquement les fonctions f et g, dire graphiquement et par le calcul pour quelles distances le loueur B est moins cher que le loueur A. f() =,5 60 et g() =,5 80. Représentation graphique : C f C g f() = g() f() < g() f() > g() Graphiquement, B est moins cher que A à partir de 0 km parcourus. Algébriquement : f() > g() ssi,5 60 >,5 80 ssi,5 -,5 > 80 60 ssi > 0. Page sur 0 RAN Fonctions Eercices corrigés - Rev 03

Mathématiques RAN - Fonctions 4.4 Fonctions puissance m ième de 4.4. Soit la fonction du second degré d epression f() = -,5² 5. Donner sa dérivée, étudier le signe de cette dérivée, dresser le tableau de variation de f en indiquant ses etremums locau. f () = -5 5. 5 5 > 0 ssi 5 < 5 ssi < 3. La fonction f est strictement croissante sur ]- ; 3[ (l inéquation montre aussi que f est strictement décroissante sur ]3 ; [. Tableau de variation : - 3 f () 0-0,5 f 4.4. Soit la fonction du troisième degré d epression f() = 0,³ -,5² 5. Donner sa dérivée, étudier le signe de cette dérivée, dresser le tableau de variation de f en indiquant ses etremums locau. f () = 0,3² 5 5. Cherchons ses racines éventuelles : = 5 8 = 7 > 0. La dérivée admet deu racines réelles, qui valent = (5 7)/0,6 et = (5 7)/0,6. Elle est positive tant que ne se trouve pas entre ces deu racines. Tableau de variation : - f () 0-0 f Page 3 sur 0 RAN Fonctions Eercices corrigés - Rev 03

Mathématiques RAN - Fonctions 4.5 Fonctions racine m ième de 4.5. Etudier les variations de la fonction racine cubique. f ( ) 3 = = 3, valeur définie de manière unique quel que soit le réel. f ( ) = 3 3 = = 3 3 3 3 où l on voit que la fonction f n est pas dérivable en = 0 (limite pour f ()) ; cependant f est continue en zéro puisque ses limites en 0 et 0 - sont égales et de valeur finie (0). La fonction dérivée de f est strictement positive sur est strictement croissante sur R. * R et donc la fonction 4.6 Fonctions homographiques 4.6. La rentabilité d un produit à la mode lancé à la date t = 0 décroît avec le temps, l effet de mode 45 passant, suivant l epression : f ( t ) = 4t, où t est le temps eprimé en années et f(t) est la t rentabilité eprimée en M /an. Montrer que f est une fonction décroissante du temps, déterminer au bout de combien de temps la rentabilité devient nulle, déterminer les asymptotes à la courbe de f, représenter cette fonction graphiquement. On peut regrouper l epression en une fraction unique (mais ce n est pas du tout une obligation vu la simplicité de la fonction) : 45 4t ( t ) 4t 8t 45 f ( t ) = =. t t Pour justifier la décroissance de f, on pourra s abstenir de la dériver. En effet, la première epression donnée montre une fraction dont la valeur diminue lorsque t augmente, à laquelle on ajoute une quantité négativement proportionnelle à t, donc qui diminue aussi (on considère t positif). On pourra cependant dériver f ci-dessous : à partir des deu formes disponibles de f(t) : 45 45 * f ( t ) = 4t donne f ( t ) = 4, somme de deu termes négatifs. t t * f ( t ) 4t 8t 45 = t donne f ( t ) ( ) ( )( ) ( ) le numérateur est une somme de trois termes négatifs. 8t 8 t 4t 8t 45. 4t 6t 6 = =, dont ( t ) ( t ) Page 4 sur 0 RAN Fonctions Eercices corrigés - Rev 03

Mathématiques RAN - Fonctions On montre donc rapidement que la dérivée est négative pour tout réel positif t ; f est décroissante sur R. La rentabilité devient nulle lorsque 45 * 4t = 0 45 4t ( t ) = 0 4t 8t 45 = 0, équation du second degré de t 8 8 discriminant 64 70 = 784 = 8². Deu racines : t = = 4, 5 irréaliste et 8 8 8 t = =, 5. 8 * La même équation du second degré est à résoudre si on prend la deuième forme de f(t). La rentabilité devient nulle au bout de deu ans et demie. Asymptotes à la courbe de f (étude pour tout réel t) : Il y a une valeur interdite de t pour f : -, en laquelle la limite de f est infinie. Donc C f admet une asymptote verticale d équation t = -. 45 Ensuite, en l infini : lim ( f ( t ) ( 4t )) = lim = 0, ce qui montre une asymptote oblique t ± t ± t d équation y = -4t. Page 5 sur 0 RAN Fonctions Eercices corrigés - Rev 03

Mathématiques RAN - Fonctions 4.7 Fonctions logarithme népérien et eponentielle 4.7. Soit la fonction d epression f() = -² 3 0. On s intéressera à la composition g = ln o f. Donner le domaine de définition de g, la dériver, étudier ses variations et ses limites, déterminer les asymptotes à sa courbe. Pour que g() = ln(f()) eiste, il faut que f(), polynôme du second degré, soit strictement positif. Discriminant : = 3² 4.0 = 49. Les deu racines réelles de f() sont : 5 et et ce polynôme, de premier coefficient négatif, -, prend des valeurs positives lorsque se trouve entre les racines. Ainsi, D g = ]- ; 5[. 3 g ( ) =. Son dénominateur, f(), est positif sur le domaine de définition de g et 3 0 cette dérivée est du signe de son numérateur : positive ssi <,5. Conclusion : g est strictement croissante sur ]- ;,5[ et strictement décroissante sur ],5 ; 5[. lim ou 5 ( ) f = lim ln ( ) 0, donc f ( ) ou 5 =. Deu asymptotes verticales : = - et = 5. Page 6 sur 0 RAN Fonctions Eercices corrigés - Rev 03

Mathématiques RAN - Fonctions 4.7. Après l analyse de nombreuses données statistiques, il est apparu que le pourcentage p de chances qu un commercial a de vendre son produit à un client potentiel dépend du temps t (en t t p = 00 e e. heures) qu il a consacré à présenter son produit, suivant la formule : ( ) Calculer p(0), déterminer la limite de p en, étudier les variations de p et dresser son tableau de variations en y indiquant ses etremums éventuels et conclure sur le temps que le commercial doit consacrer à la présentation de son produit pour que ses chances de le vendre soient maimales. Ici, t est à nouveau concrètement positif, mais nous ferons une étude sur R pour l eemple. p(0) = 00(e 0 - e 0 ) = 0 (s il ne passe pas de temps à présenter son produit, il n a aucune chance de le vendre). t t e e = 0 0 = 0. (s il passe un temps infini, le client sera parti avant d acheter ) lim ( ) t Intéressons-nous à la limite en - : cette différence donne la forme indéterminée -. Factorisons : e t t t e = e t e t ou encore e t e. Lorsque t tend vers -, la première forme factorisée ( ) ( ) t t donne (- ), soit - et la seconde donne (-), soit -. lim ( e e ) t =. p (t) = 00(-e -t (-)e -t ) = 00.e -t ( e t ). Les deu premiers facteurs sont strictement positifs et le troisième l est ssi e t <, c est à dire t < ln(). ln() = 0,693 environ, ici en heures. 0,693 60 4 min. ln( ) ln( ) p( ln ( ) ) = 00e ( e ) = 00 = 5 En faisant 4 minutes de présentation, le commercial a des chances maimales de vendre son produit, soit 5% de probabilité. Page 7 sur 0 RAN Fonctions Eercices corrigés - Rev 03

Mathématiques RAN - Fonctions 4.7.3 Résoudre les (in)équations suivantes : a) ln ln( ) = ln b) ln( ) = 3 c) ln( ) 3 = 0 d) ln 3 e) ln(3² ) ln ln f) e 3 = g) e 3 = e 3 h) e 0,0 4 = e i) e 3 = j) e (e ) = 0 k) e = l) e 3 m) e 3 - < e e n) e < e o) e 0 p) e 0 q) 3 e 0 r) e 0,5 s) e 5 > e t) ( 3)( ) 0 puis (e 3)( e ) 0 a) ln ln ( ) = ln Il faut donc avoir > 0 et - > 0, ie > 0 et <, ie 0 < <. ln = ln ( ) ssi = ssi = ( ) = ssi = /3 Cette solution étant strictement comprise entre 0 et, elle est valide. Réponse : = /3 b) ln( ) = 3 Il faut donc avoir - > 0, ie <. = e 3 ssi = e 3, qui est inférieur à, donc valide. Réponse : = e 3 c) ln ( ) 3 = 0 Il faut donc avoir - > 0, ie <. = e -3 ssi = e -3, qui est inférieur à, donc valide. Réponse : = e -3 d) ln 3 Il faut donc avoir > 0. e 3 Réponse : 0 < e 3, soit ]0 ; e 3 ]. e) ln (3² ) ln ln Il faut donc avoir > 0 et 3² > 0, donc > 0 et (3 ) > 0, donc > 0 et 3 > 0, donc > /3 3 ln ln ssi ln ( 3 ) ln ssi 3 ssi Réponse : /3 <, soit ]/3; ]. f) e 3 = 3 = ln() = 0 ssi = 3 Page 8 sur 0 RAN Fonctions Eercices corrigés - Rev 03

Mathématiques RAN - Fonctions g) e 3 = e 3 3 = 3 ssi = 5/4 h) e 0,0 4 = e 0,0 4 = ssi = -00 i) e 3 = e 3 = ½ ssi - 3 = ln(½) = -ln ssi = (3ln)/ j) e (e ) = 0 Le facteur e ne peut être nul (une eponentielle est strictement positive). Pour la même raison, le facteur e ne peut être nul. Cette équation n admet pas de solution. k) e e = e = (e - ) ssi e = 4e ssi e = ssi = 0 l) e 3 ln3 m) e 3 - < e 3 - < ssi 4 < 4 ssi < n) e < e e < e ssi < ssi > o) e 0 e < ssi < 0 p) e 0 e ssi - ln ssi ln q) 3e 0 e - /3 ssi - ln(/3) ssi -ln(/3) ssi ln(3/) Page 9 sur 0 RAN Fonctions Eercices corrigés - Rev 03

Mathématiques RAN - Fonctions r) e 0,5 0,5 ln() ssi 0,5 0 ssi - s) e 5 > e 5 > ² ssi 0 > ² - 5 ssi ( 5) < 0 ² - 5 est un polynôme du second degré dont les racines sont 0 et 5 et dont le premier coefficient est positif. Il est donc négatif ssi se trouve entre les racines. Réponse : ]0; 5[. t) ( 3)( ) 0 puis (e 3)( e ) 0 ( 3)( ) est un polynôme du second degré dont les racines sont et 3 et dont le premier coefficient est négatif. Il est donc positif ssi se trouve entre les racines. Solution de l équation n : [; 3]. Pour l équation, on peut donc affirmer que e [ ; 3] et donc que [ln; ln3].. Page 0 sur 0 RAN Fonctions Eercices corrigés - Rev 03