DOMAINE : Géométrie AUTEUR : Margaret BILU NIVEAU : Avancé STAGE : Montpellier 03 CONTENU : Eercices Inégalités - Quelques inégalités secondaires, mais utiles - Proposition. (Inégalité de Nesbitt) Soient a, b, c > 0 des réels. Alors a b + c + b c + a + avec égalité si et seulement si a = b = c. c a + b 3, Démonstration. Appelons I le côté gauche de l inégalité, et J = a(b + c) + b(c + a)+c(a+b). Alors par Cauch-Schwar, IJ (a+b+c). On se ramène donc à montrer (a + b + c) (ab + bc + ca) 3, ce qui est équivalent à vrai car équivalent à (a + b + c ) (ab + bc + ca), (a b) + (b c) + (c a) 0. Cette dernière inégalité fait aussi apparaître clairement le cas d égalité. Proposition. (Inégalité de Schur) Soient,, des réels positifs et r un nombre réel. Alors r ( )( ) + r ( )( ) + r ( )( ), l égalité étant atteinte lorsque = =, ou bien lorsque deu réels parmi,, sont égau et le troisième est nul.
Démonstration. L inégalité étant smétrique en,,, on peut supposer. On peut réécrire le côté gauche sous la forme r ( ) + ( r r + r ) + r ( ). Le premier et le troisième terme sont positifs. En ce qui concerne le deuième, si r 0 alors r r et si r < 0 alors r r, donc il est positif aussi, ce qui conclut. Le cas r = est particulièrement important. Il s écrit après développement 3 + 3 + 3 ( + + + + + ) + 3 0. Il a d autres formes équivalentes, par eemple ( + )( + )( + ). () En posant + + = k, cela se réécrit (k )(k )(k ). D autre part, en remarquant que l inégalité correspond à la positivité d un polnôme smétrique en,,, on peut réécrire cela en terme des fonctions smétriques élémentaires : σ = + +, σ = + +, σ 3 =. Un calcul simple montre que 3 + 3 + 3 = σ 3 3σ σ + 3σ 3 et + + + + + = σ σ 3σ 3. Ainsi, l inégalité de Schur se réécrit c est-à-dire σ 3 4σ σ + 9σ 3 0, ( + + ) 3 + 9 4( + + )( + + ). () Il est aussi utile d avoir en tête la reformulation suivante de Cauch-Schwar (parfois appelée inégalité des mauvais élèves, ou lemme de T), qui facilite l application de Cauch-Schwar dans certains cas. Proposition 3. Soient a,..., a n et,..., n des réels strictement positifs. Alors a +... + a n n (a +... + a n ) +... + n, avec égalité lorsque les vecteurs (a,..., a n ) et (,..., n ) sont colinéaires.
Eercice (IMO 995) Soient a, b, c > 0 tels que abc =. Montrer que a 3 (b + c) + b 3 (c + a) + c 3 (a + b) 3. - Inégalités avec condition sur le produit des variables - De nombreuses inégalités olmpiques font intervenir des variables a,..., a n soumises à une condition du tpe a... a n =. Une méthode très utile pour aborder ce genre d inégalités consiste à se débarrasser de cette contrainte en opérant un changement de variables du tpe ( ) α ( ) α ( ) α 3 a =, a =,..., a n =, où α est un réel à choisir, souvent pris égal à. Eemple 4. Soient a, b, c des réels positifs tels que abc =. Montrer que a ab + + b bc + + c ca + 3. La substitution la plus simple a =, b =, c = (obtenue en prenant par eemple = = abc, = bc, = c) transforme le côté gauche en + + + + + = + + On applique l inégalité de Nesbitt pour conclure. n + + +. Remarque 5. Puisque les substitutions de ce genre peuvent compliquer sensiblement l inégalité à prouver, on a tout intérêt, pour gagner en clarté, à effectuer la substitution la plus judicieuse possible. Par eemple, ici, même si dans ce cas cela ne changeait pas grand chose à la lisibilité de l inégalité, on aurait pu choisir la substitution de sorte à ce que a et ab soient automatiquement réduits au même dénominateur, à savoir a =, b =, c =, ce qui donnait l inégalité de Nesbitt directement. Eercice (Russie 004) Montrer que si n > 3 et,..., n sont des réels strictement positifs de produit, alors + + + + + 3 +... + 3 + n + n >.
Eercice 3 Soient a, b, c > 0 avec abc =. Montrer que 3 + a b + b c + c a a + b + c + a + b + c. Eercice 4 Soient a, b, c, d > 0 avec abcd =. Montrer que a( + b) + b( + c) + c( + d) + d( + a). Eercice 5 Soit n 3 et soient,..., n > 0 tels que... n =. Montrer que + + + +... + n 3 n + n, lorsque n vaut 3 ou 4. - Autres inégalités - Les eercices suivants tournent autour de la transformation de Ravi, de l inégalité de Schur, de l inégalité de Cauch-Schwar, et de la manipulation de racines carrées. Eercice 6 (Olmpiades indiennes 989) Soient a, b, c les longueurs des côtés d un triangle. Prouver que a b + c + b c + a + c a + b <. Eercice 7 (APMO 996) Soient a, b, c les longueurs des côtés d un triangle. Démontrer que a + b c + b + c a + c + a b a + b + c. Eercice 8 Soient a, b, c > 0 tels que abc =. Montrer que + a b + ab + + b c + bc + + c a + ca 3. 4
Eercice 9 Soient a, b, c les longueurs des côtés d un triangle. Montrer que 3( ab + bc + ca) a + b c + b + c a + c + a b. Eercice 0 (APMO 004) Soient a, b, c > 0. Montrer que (a + )(b + )(c + ) 9(ab + bc + ca) - Solutions des eercices - Solution de l eercice On applique Cauch-Schwar de la manière suivante (en s aidant éventuellement de la proposition 3 ci-dessus). a a(b + c) + b b(c + a) + c c(a + b) En simplifiant et en utilisant abc =, le côté droit devient ( a + b + c) a(b + c) + b(c + a) + c(a + b). (ab + bc + ca) (ab + bc + ca) (ab + bc + ca) 3 (abc) 3 3 = où la dernière inégalité vient de l IAG. Solution de l eercice On utilise les substitutions = a a, = a 3 a,..., n = a a n (qui ont l avantage de mettre i et i i+ au même dénominateur pour tout i automatiquement). Alors on obtient : a a + a + a 3 +... + a n a n + a + a > n i= a i a +... + a n =. Solution de l eercice 3 Ici, pour n avoir aucun carré au dénominateur, ce qui va faciliter la mise au même dénominateur ultérieure, on va prendre a =, b =, c =, ce qui donne 3 + + + + + + + +. 5
On multiplie par des deu côtés pour obtenir 3 + 3 + 3 + 3 + + + + +, qui est juste l inégalité de Schur. Solution de l eercice 4 De même, on essae de se débrouiller pour que a et ab soient au même dénominateur. La substitution qu on choisit est donc L inégalité devient donc a =, b =, c = t, d = t. + + + t + t + + Puis, on a applique Cauch-Schwar pour obtenir + + + t + Il reste donc à prouver t + + t +. t + ( + + + t) + + + t + t + + t + t. ( + + + t) ( + + + t + t + + t + t), ce qui est équivalent à qui à son tour est équivalent à + + + t ( + t), ( ) + ( t) 0. Solution de l eercice 5 Cette fois-ci, histoire d avoir le moins de carrés possible, et d avoir i et i i+ au même dénominateur, nous allons poser a a3 a =, =,..., n =. a a a n L inégalité devient alors a a + a a 3 + a a 3 + a a 4 +... + 6 a n a + a n a n.
D après l IAG, on a a i a i+ a i+a i+, ce qui nous conduit à montrer a a + a + a 3 + a a 3 + a + a 4 +... + En appliquant Cauch-Schwar, cela revient à prouver a n a + a n + a n 4. (a +... + a n ) a (a + a + a 3 ) + a (a + a 3 + a 4 ) +... + a n (a n + a + a ) n 4. Distinguons maintenant suivant si n = 3 ou n = 4. Si n = 4, l inégalité se réécrit (a +a +a 3 +a 4 ) a +a a +a a 3 +a +a a 3 +a a 4 +a 3+a 3 a 4 +a 3 a +a 4+a 4 a +a 4 a, et on constate que c est en fait même une égalité. Si n = 3, on doit prouver 4(a + a + a 3 ) 3(a + a a + a a 3 + a + a a 3 + a a + a 3 + a 3 a + a 3 a ), ce qui est équivalent à qui est classique. a + a + a 3 a a + a a 3 + a 3 a, Solution de l eercice 6 On applique la transformation de Ravi : a = +, b = +, c = +, où,, > 0. On a donc + + + + + + + + + + + < + + + + + + + + + + + =. Solution de l eercice 7 Après avoir appliqué la transformation de Ravi, on obtient + + + + + + +. + +, et de même Par concavité de la fonction racine carrée, on a avec et, puis avec et. En sommant ces trois inégalités, on obtient inégalité cherchée. Solution de l eercice 8 En utilisant la condition sur abc, on peut réécrire l inégalité sous la forme a + b b + c c + a a + + b + + c + 3 7
En appliquant l IAG, on se ramène à (a + b)(b + c)(c + a) (a + )(b + )(c + ). Pour démontrer cette inégalité, deu méthodes. Première méthode : on fait la substitution a =, b =, c =, ce qui donne ( + )( + )( + ) ( + )( + )( + ). On applique Cauch-Schwar sous la forme ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ). On a le résultat en multipliant les trois inégalités. Deuième méthode : on pose p = a + b + c, q = ab + bc + ca. On remarque que pq = (a + b + c)(ab + bc + ca) = (a + b)(b + c)(c + a) +, donc l inégalité cherchée revient à pq + p + q +, c est-à-dire pq p + q + 3. D autre part, l IAG donne p 3 et q 3, donc on a pq = pq + pq 3p + 3q p + q + p + q p + q + 3. Solution de l eercice 9 On effectue une transformation de Ravi et on met tout au carré. On obtient 3 ( + )( + )+3 ( + )( + )+3 ( + )( + ) (++)+4( + + ) Par Cauch-Schwar, ( + )( + ) ( + ), et de même pour les deu autres termes. On doit alors prouver 3( + + ) + 3( + + ) ( + + ) + 4( + + ), c est-à-dire + + + +. 8
Or l IAG appliquée trois fois nous donne ce qui conclut. + + + + + + +, Solution de l eercice 0 Quand on développe tout, cela donne (abc) + (a b + b c + c a ) + 4(a + b + c ) + 8 9(ab + bc + ca). On va essaer de faire ressembler ça à la variante () de l inégalité de Schur, réécrite sous la forme 9 + + 4( + + ) ( + + ). En particulier, nous allons faire disparaître les termes en a b grâce à l inégalité (a b +b c +c a )+6 (a b +)+(b c +)+(c a +) 4(ab+bc+ca) obtenue à partir de l IAG. D autre part 3(a + b + c ) 3(ab + bc + ca), et il nous reste donc à prouver (abc) + (ab + bc + ca) (a + b + c ). Pour obtenir ça, on applique l IAG deu fois, puis la variante () de l inégalité de Schur telle qu elle est écrite ci-dessus : (abc) + = (abc) + + 3(abc) 3 abc 9 a + b + c 4(ab + bc + ca) (a + b + c) = (ab + bc + ca) (a + b + c ). 9