SESSION 25 Cocours commu Cetrale MATHÉMATIQUES. FILIERE PC Partie I - Prélimiaires I.A - I.A. Soit N. Pour N, Puisque la série de terme gééral +... + + 2. coverge, il e est de même de la série de terme gééral u,. 2 N, la série de terme gééral u,, N, est covergete. I.A.2 σ + lim N + N lim. + N + N + σ. I.A.3 Soit 2. Pour N, u, u +, +... + +... + + u,. +... + I.A.4 E sommat ces égalités, o obtiet σ σ u, σ et doc σ u,!. N, σ!. I.B - Soit q 2. Pour N N, II.A - RN, q N+ q + N+ + t q dt N, q N 2, RN, q t q dt q q. q N q. Partie II - U eemle d accélératio de la covergece II.A. Motros ar récurrece que 2, il eiste des etiers aturels a 2,..., a, b 2,..., b, c 2,..., c, tels que Pour 2 et > >, 3 k2 a k +... + k + b + c 3 + + 2... +. + + 2 3 3 + + 2 2 3 + + 2 + 3 + 2 3 + + 2 + + 2 + 3 + 2 3 + + 2 htt ://www.maths-frace.fr c Jea-Louis Rouget, 29. Tous droits réservés.
et o eut redre a 2, b 2 3 et c 2 2. Soit 2. Suosos qu il eiste des etiers aturels a 2,..., a, b 2,..., b, c 2,..., c, tels que Alors, our >, >, 3 k2 a k +... + k + b + c 3 + + 2... +. b + c 3 + + 2... + b + c + + 3 + + 2... + + + b 2 3 + + 2... + + + + + b + c + + c 3 + + 2... + + + b + + 2... + + + + + b + c + + c 3 + + 2... + + + et o eut redre a + b, b + + b + c et c + + c ar hyothèse de récurrece, a +, b + et c + sot effectivemet des etiers. Le résultat est démotré ar récurrece. II.A.2 a 2, b 2 3 et c 2 2 et 2, a + b, b + + b + c et c + + c. II.A.3 Motros ar récurrece que 2, b c. Puisque b 2 3 et c 2 2, c est vrai our 2. Soit 2. Suosos que b c. Alors, c + +c uis b + +b +c +c + c +. O a motré ar récurrece que 2, b c. II.A.4 c 2 2, c 3 3c 2 6 et c 4 4c 3 24. b 2 3, b 3 3b 2 + c 2, b 4 4b 3 + c 3 5. a 2, a 3 b 2 3 et a 4 b 3. a 2, a 3 3, a 4, b 2 3, b 3, b 4 5, c 2 2, c 3 6 et c 4 24. II.B - II.B. Soit N N. D arès la questio I.B, N+ 3 2N 2 2N2 ζ3 3 5 5. N. 5 5 II.B.2 Soit N N. Toujours d arès la questio I.B, N+ b 4 + c 4 3 +... + 4 uis, d arès les questios II.A. et II.A.4 ζ3 k2 + N+ 4 + a k +... + k σ2 + 3σ3 + σ4 + 4 + 6 + 96 + + 5 + 5 7 7 + 32 + b 4 + c 4 3 +... + 4, N+ b 4 + c 4 3 +... + 4 b 4 + c 4 3 +... + 4 6 5N 5, b 4 + c 4 3 d arès la questio I.A.4 +... + 4 htt ://www.maths-frace.fr 2 c Jea-Louis Rouget, 29. Tous droits réservés.
uis, our N N, Or ζ3 7 N 32 + 5 + 24 3 +... + 4 N+ 5 + 24 3 +... + 4 5N5. et doc 5N 5 5 5 N 5 ζ3 2 5 5 5 N5 4 5 N 4, 4 7 32 + 5 + 24 3 5 5. +... + 4 II.B.3 7 4 32 + 5 + 24 3, 2247... Doc +... + 4 et o e déduit que ζ3, 225 5 5. III.A - III.A. Soit >. w u l l w u, 2247... ζ3, 2297..., ζ3, 225 à 5 5 rès. Partie III - Séries factorielles l O + v l v + + l 2 + l + + + + O l 2 + O e déduit que w >, la série umérique de terme gééral l coverge. w III.A.2 Soit >. La série de terme gééral lw lw coverge. O sait qu il e est de même de la suite de terme gééral lw, N, séries télescoiques. Si o ote a la limite de cette suite, alors w e lw ted vers l e a > quad ted vers +. >, l ], + [/ u lim + v l. III.B - Soit >. D arès ce qui récède et uisque l, u tel que, l 2 a v l a u 2l a v. + lv. Par suite, il eiste u rag Puisque l, ceci motre que la série umérique de terme a u coverge si et seulemet si la série umérique de terme gééral a v coverge. >, a N C N, a u est AC si et seulemet si a u est AC. III.C - III.C. Soit >. Pour tout etier aturel et tout [, + [, htt ://www.maths-frace.fr 3 c Jea-Louis Rouget, 29. Tous droits réservés.
et doc N, su a u [,+ [ a! a u +... + a! +... +, a! +... +. a! Par hyothèse, la série umérique de terme gééral coverge et o e déduit que la série de foctios +... + de terme gééral a u, N, coverge ormalemet et doc uiformémet sur [, + [. Comme d autre art, chacue de ces foctios est cotiue sur [, + [ e tat que quotiet de foctios cotiues sur [, + [ dot le déomiateur e s aule as sur [, + [, la somme f a est cotiue sur [, + [ e tat que limite uiforme sur [, + [ d ue suite de foctios cotiues sur [, + [. Ceci état vrai our tout >, o a motré que a A, la foctio f a est cotiue sur ], + [. III.C.2 La série de foctios de terme gééral a u, N, coverge uiformémet vers la foctio f a sur [, + [. De lus, chaque foctio a u, N, a ue limite réelle l quad ted vers + à savoir l lim a a! u lim + + +... +. D arès le théorème d iterversio des limites, la foctio f a a ue limite réelle quad ted vers +, la série umérique de terme gééral l, N, coverge, lim + f a l. a A, lim + f a. III.D - III.D. Pour N, osos a. Soit >. + D arès la questio III.B -, la série umérique de terme gééral a u est de même ature que la série umérique de terme gééral a v + +. Puisque + >, est le terme gééral d ue série de Riema + + covergete. O e déduit que la série umérique de terme gééral a u coverge absolumet. A. + N III.D.2 Pour N, osos a. La série de terme gééral a v N / A. diverge quad et doc + III.E - III.E. Soit N. La foctio u est de classe C sur ], + [ e tat que quotiet de foctios de classe C sur ], + [ dot le déomiateur e s aule as sur ], + [. De lus, la foctio u est strictemet ositive sur ], + [ et our > lu l! l + k. E dérivat cette derière égalité dérivée logarithmique, o obtiet our > u u. Par suite, + k u u + u + k k u + k + t dt k + k k u + l + k + t dt. htt ://www.maths-frace.fr 4 c Jea-Louis Rouget, 29. Tous droits réservés.
N, u C ], + [, R et N, >, u u + l +. III.E.2 Soit >. Pour N et [, + [, u u + l + u + l +, et doc su a u a u [,+ [ + l +. + l + est de même ature que la D arès la questio III.B -, la série umérique de terme gééral a u série umérique de terme gééral a + l + +. Mais d arès u théorème de croissaces comarées, + /2 + l + + + l + et doc + /2 + a + l + + o a. + /2 a Toujours d arès III.B-, la série de terme gééral est de même ature que la série de terme gééral a u /2 2 et est doc covergete ar défiitio d u élémet de A. O e déduit que la série umérique de terme gééral a u + l + uis que la série de foctios de terme gééral a u coverge ormalemet et doc uiformémet sur [, + [. E résumé, la série de foctios de terme gééral a u coverge simlemet vers la foctio f a sur [, + [, chaque foctio a u est de classe C sur sur [, + [, la série de foctios de terme gééral a u coverge uiformémet sur [, + [. D arès u corollaire du théorème de dérivatio terme à terme, la foctio f a est de classe C sur [, + [ et sa dérivée s obtiet ar dérivatio terme à terme. Ceci état vrai our tout >, o a motré que IV.A - a A, la foctio f a est de classe C sur ], + [. Partie IV - Rerésetatio itégrale IV.A. Chaque P k, k,, est de degré et doc das R [X]. De lus, cardp k k + dim R [X] < + et our motrer que la famille P k k est ue base de R [X], il suffit de vérifier que cette famille est libre. Soit λ i i R +. λ i P i k,, λ i P i k k,, λ k P k k i i k,, λ k car k,, P k k. La famille P k k est ue base de R [X]. IV.A.2 Le olyôme P! est de degré et doc est das R [X]. Par suite, il eiste α k k R + tel que! α k P k. O divise les deu membres de cette égalité ar XX +...X + et o obtiet k Soit k,. O sait que! XX +...X + α k X + k. k htt ://www.maths-frace.fr 5 c Jea-Louis Rouget, 29. Tous droits réservés.
α k lim + k! k +... +! k k +... k + k k + k +... k + k! k! k! k Q. k >,! +... + k k k X + k. IV.B - Soiet > et k N. Puisque + k >, l itégrale ] y +k y+k dy [ + k + k. ], + [, k N, y +k eiste itégrale de référece. De lus, y +k dy + k. IV.C - Soiet > et N y. Soit A ], [.Les deu foctios segmet [, A]. O eut doc effectuer ue itégratio ar arties et o obtiet A ] A y y y dy [ y Quad A ted vers, o obtiet >, N, + A y y dy y y dy et y y sot de classe C sur le A A + y y dy. E aliquat lusieurs fois la formule récédete, o obtiet our > et N y y dy +... + cette derière eressio restat valable quad. >, N, Par suite, our a A et >, f a IV.D - y y dy a! +... + + y + y dy! +... +. a A y y dy.! +... +, y y dy. IV.D. Soit a A. Par défiitio de A et d arès III.B-, our tout >, la série de terme gééral a a + coverge. E articulier, la suite + ted vers quad ted vers + ou ecore a o. Puisque le rayo de la série + etière associée à la suite N est, le rayo de la série etière associée à la suite a N est suérieur ou égal à. IV.D.2 Soit >. Pour y [, [, o a y φ a y a y y. Pour y [, [, o ose Φy y φ a y et our N et y [, [, o ose ϕ y a y y. O sait que la somme d ue série etière est cotiue sur so itervalle ouvert de covergece. Doc la foctio φ a est cotiue sur [, [ et il e est de même de la foctio Φ. D autre art, chaque foctio ϕ est cotiue ar morceau sur [, [ et la série de foctios de terme gééral ϕ coverge simlemet vers la foctio Φ sur [, [. Efi, ar défiitio de A, ϕ y dy a y y dy htt ://www.maths-frace.fr 6 c Jea-Louis Rouget, 29. Tous droits réservés. a u < +.
E résumé, chaque foctio ϕ est cotiue ar morceau sur [, [ et la série de foctios de terme gééral ϕ coverge simlemet vers la foctio Φ sur [, [. la foctio Φ est cotiue ar morceau sur [, [, ϕ y dy < +. D arès u théorème d itégratio terme à terme, - chaque foctio ϕ est itégrable sur [, [ et la foctio Φ est itégrable sur [, [, - la série umérique de terme gééral E articulier, la foctio V.A - y φ a d a A, >, f a f y dy coverge et Φ d ϕ d a! +... + y φ a y dy est DSFA. a u f a. y φ a y dy. Partie V - Dérivabilité d ue série factorielle V.A. D arès la questio III.E.2, la foctio f a est de classe C sur ], + [ et d arès la questio IV.D.2, >, f a y φ a y dy. Soit >. Soit F : [, + [ [, [ R., y y φ a y Pour chaque de [, + [, la foctio y F, y est cotiue ar morceau et itégrable sur [, [ d arès IV.D.2. La foctio F admet sur [, + [ admet sur [, + [ [, [ ue dérivée artielle ar raort à sa remière variable défiie ar De lus,, t [, + [ [, [, F, y l y y φ a y. - our chaque [, + [, la foctio y F, y est cotiue ar morceau sur [, [, - our chaque y [, [ la foctio F, y est cotiue sur [, + [, - our chaque, y [, + [ [, [, F, y l y y φ a y ϕ y. Vérifios alors que la foctio ϕ qui est cotiue ar morceau et ositive sur [, [ est itégrable sur [, [. Quad y ted vers, y 2 l y y y /2 l y y et doc l y y φ a y o y + 2 φ a y. Puisque 2 >, la foctio y y + 2 φ a y est itégrable sur [, [ d arès IV.D.2 et il e est de même de la foctio ϕ. D arès u corollaire du théorème de dérivatio des itégrales à aramètres théorème de Leibiz, la foctio f a est de classe C sur [, + [ et sa dérivée s obtiet ar dérivatio sous le sige somme. Ceci état vrai our tout >, o a motré que f a est de classe C sur ], + [ et >, f a y φ a y dy. V.A.2 La foctio ψ a est déveloable e série etière sur ], [ e tat que roduit de foctios déveloables e série etière sur ], [. V.A.3 Pour tout y ], [ + + b y φ a y φ a yl y a y y a y roduit de Cauchy de deu séries etières. htt ://www.maths-frace.fr 7 c Jea-Louis Rouget, 29. Tous droits réservés.
Par uicité des coefficiets d u déveloemet e série etière, o e déduit que b et N a, b. V.B - Soiet > et N N. N b N + N a N k N + kk + + >, N N, N N + e osat k. N b + N k N + kk + +. + V.C - Soiet >, N N et, N. La foctio t est cotiue et ositive sur [, + [, itégrable tt + + sur [, + [ car équivalete e + à t + avec + >. De lus la foctio t est décroissate sur tt + + [, + [ et o e déduit que N k N kk + + + 2 + k2 k N + + + + V.D - Soiet >, N N et, N. kk + + k2 k tt + + dt N + + tt + + dt. tt + + dt + dt tt + + + tt + dt dt + t + + + + + + + + [ l t + tt + + dt tt + + dt + + tt + t + dt tt + dt + + + + t dt t + + ] + l + + t + + et doc N k kk + + + + + + + l + l + + + + +. V.E - Soit > et N N. D arès les questios V.B- et V.D-, N N b + N k l + + + Par défiitio d u élémet de A, o a déjà N kk + + + + l + + + + + + < +. D autre art, a + l + + o + + /2 htt ://www.maths-frace.fr 8 c Jea-Louis Rouget, 29. Tous droits réservés.
et doc l + < +. Fialemet + N N, N b + + La suite des sommes artielles de la série de terme gééral l + + + + + >, la série umérique de terme gééral + < +. b est majorée et doc + b +, N, coverge. V.F - D arès les questios V.E- et III.B-, our tout >, la série de terme gééral b u, N, coverge absolumet ou ecore b A. O eut doc aliquer à la suite b le travail de la questio IV.D- et o obtiet our > e remlaçat a ar b et φ a ar ψ a Ceci motre que f a est DFSA sur ], + [ et f a y ψ a y dy + >, f a b u. b u. V.G - Pour tout > u + u + u 2 +... a u avec N, a δ, { si si. Aisi, la foctio f : : est DFSA et f f a où a δ, N. La questio récédete motre que les foctios f : 2 uis e réitérat f : 2 3 sot DFSA. O ote a et a les suites associées. D arès la questio V.A.3, a uis N, a a δ,. E articulier, a, a, a 2 2, a 3 3 et a 4 4. Esuite, a uis N, a a. Doc a uis our 2, a a a, a 2, a 3 et a 4 2.. E articulier, Doc, >, 3 2! 2 + + 2 + 3! 2 + + 2 + 3 + 4! 24 + + 2 + 3 + 4 +... + + 2 + 3 + + 2 + 3 + +... et o retrouve les résultats de la artie II. + + 2 + 3 + 4 htt ://www.maths-frace.fr 9 c Jea-Louis Rouget, 29. Tous droits réservés.