Chapitre 8 La conservation de l énergie 8.0 Introduction Les interrogations sur le mouvement d un pendule avec Galilée, marque le début de l emploi du concept de l énergie pour expliquer et surtout prédire le mouvement d un objet. L idée selon laquelle le mouvement d un objet est gouverné par une quantité qui demeure constante remonte à cette époque. Par la suite, de nombreux physiciens se sont penchés sur ce concept assez difficile à saisir donc difficile à représenter. 1
Chapitre 8 La conservation de l énergie 8.0 Introduction Nous avons vu dans le chapitre précédent que le travail effectué par une force résultante modifie l énergie cinétique d un objet W K net Nous verrons dans ce chapitre que la force résultante peut-être une combinaison de deux types de forces: des forces conservatives et des forces non-conservatives W net W W + f. cons f. non cons W. diminuera l énergie potentielle U f cons
Chapitre 8 La conservation de l énergie 8.0 Introduction W K net Nous verrons dans ce chapitre que la force résultante peut-être une combinaison de deux types de forces: des forces conservatives et des forces non-conservatives W net f K W + W f. cons f. non cons W. diminuera l énergie potentielle U cons Exemple : Force gravitationnelle W f non. cons modifiera les autres formes d énergie, comme,. par exemple, l énergie thermique Q ou encore l énergie mécanique E m, etc. 3
Chapitre 8 8.0 Introduction La conservation de l énergie W K W W net f cons f. non. cons. + W. diminuera l énergie potentielle U f cons W f non. cons modifiera les autres formes d énergie,. comme par exemple l énergie thermique Q Dans des systèmes isolés, les principes de conservation de l énergie découlent de l application de ces travaux. L énergie mécanique E m sera conservée uniquement sous l action des forces conservatives. E m K + U cte ou E m 0 Elle est composée d énergie cinétique K et d énergie potentielle U 4
Chapitre 8 La conservation de l énergie 8.0 Introduction L énergie mécanique E m sera conservée uniquement sous l action des forces conservatives E m K + U cte ou E m E m K + U 0 0 En présence de forces non-conservatives, exemple frottement E m 0 W E f.non.-cons m Cependant, la valeur de l énergie totale E sera égale à une constante. Autrement dit, l énergie totale peut uniquement changer de forme. 5
8.0 Introduction Chapitre 8 La conservation de l énergie C est le travail fait par des forces, comme nous l avons vu, qui transfert l énergie d un endroit à l autre du système. La valeur de l énergie reste la même elle change simplement de forme. Ces principes qui gouvernent les phénomènes du monde dans lequel nous vivons rend l analyse et la prédiction de ces phénomènes plus simple à effectuer. Transformation d énergie potentielle en énergie cinétique Cette approche caractérise la façon de faire des physiciennes et des physiciens depuis l époque de Galilée lorsque ce dernier a réfléchi, avec d autres, au mouvement d un pendule. Dans un premier temps, comment pouvons-nous définir l énergie potentielle? 6
8.0 Introduction Chapitre 8 La conservation de l énergie Nous montrerons que l énergie potentielle U désigne l énergie d un système qui est attribuable uniquement aux positions relatives des objets (particules) du système qui sont en interaction. Exemples: Énergie potentielle gravitationnelle Énergie potentielle élastique (ressort) Énergie potentielle électrique + - Nous définirons l énergie thermique d un système comme l énergie associée à l agitation des particules du système. 7
Chapitre 8 La conservation de l énergie 8.4 Les fonctions énergie potentielle: A) L énergie potentielle gravitationnelle U g y Vous avez vu en sec V que l énergie potentielle d un objet à une hauteur «h» au-dessus de la surface de la Terre était donnée par la relation suivante : h U mgh mgy Système (Terre-objet) Question à se poser? D où vient cette expression? U mgy J ( Joule ) 8
8.4 A) L énergie potentielle gravitationnelle Ug D où vient cette expression? U mgh y Lorsque la balle tombe, son énergie cinétique K augmente. D où vient cette énergie? De la diminution de l énergie potentielle U. h En faisant appel au principe de conservation de l énergie mécanique E m, nous dirons que la somme de l énergie cinétique et de l énergie potentielle demeure constante si les forces de résistance de l air sont nulles E m K + U constante J (Joule) Autrement dit E m K + U 0 que l augmentation de l énergie cinétique vient de la diminution de l énergie potentielle gravitationnelle. 9
8.4 A) L énergie potentielle gravitationnelle Ug E m K + U constante J (Joule) E m K + U 0 que l augmentation de l énergie cinétique vient de la diminution de l énergie potentielle gravitationnelle. Par conséquent K U Autrement dit, lorsque la balle descend, le gain de l énergie cinétique est égal à la perte de l énergie potentielle. Ce fait étant vérifié pour chaque position de la balle on peut écrire dk du 10
8.4 A) L énergie potentielle gravitationnelle Ug Autrement dit, lorsque la balle descend, le gain de l énergie cinétique est égal à la perte de l énergie potentielle. Ce fait étant vérifié pour chaque position de la balle on peut écrire dk du De plus, selon le théorème qui relie le travail et la variation de l énergie cinétique, on peut écrire W tot F dr F y dy dk du On obtient alors F y du dy 11
8.4 A) L énergie potentielle gravitationnelle Ug W tot F dr F y dy dk du On obtient alors F y du dy On dira que la force dérive de la fonction énergie potentielle U Puisque F y mg U(y)??? L énergie potentielle gravitationnelle doit être donnée par U ( y) mgy (J) C est une fonction de la position de la masse, de la configuration du système 1
8.4 B) L énergie potentielle d un système masse -ressort U res eprenons la même démarche avec un système masse-ressort Dans ce système, l énergie potentielle emmagasinée dans le sera donnée par : 1 U kx (J) Question à se poser? D où vient cette expression? 13
8.4 B) L énergie potentielle d un système masse -ressort U res D où vient cette expression? U 1 kx (J) Lorsque la masse se met en mouvement, son énergie cinétique K augmente. D où vient cette énergie? De la diminution de l énergie potentielle U. En faisant appel au principe de conservation de l énergie mécanique E m, nous dirons qu en absence de frottement, que la somme de l énergie cinétique et de l énergie potentielle demeure constante E m K + U constante J (Joule) Autrement dit, E m K + U 0 que l augmentation de l énergie cinétique vient de la diminution de l énergie potentielle du système. 14
8.4 B) L énergie potentielle d un système masse -ressort U res E m K + U constante K + U E m J (Joule) 0 que l augmentation de l énergie cinétique vient de la diminution de l énergie potentielle gravitationnelle. Par conséquent K U Autrement dit, lorsque la masse se déplace, le gain de l énergie cinétique est égal à la perte de l énergie potentielle. Ce fait étant vérifié pour chaque position de la masse on peut écrire dk du 15
8.4 B) L énergie potentielle d un système masse -ressort U res Autrement dit, lorsque se déplace, le gain de l énergie cinétique est égal à la perte de l énergie potentielle. Ce fait étant vérifié pour chaque position de la masse on peut écrire dk du De plus, selon le théorème qui relie le travail et la variation de l énergie cinétique, on peut écrire W tot F dr F x dx dk du On obtient alors F x du dx 16
8.4 B) L énergie potentielle d un système masse -ressort U res W tot F dr F x dx dk du On obtient alors F x du dx On dira que la force dérive de la fonction énergie potentielle U Puisque F x kx U(x)?? L énergie potentielle du système masse-ressort doit être donnée par U ( x) 1 kx (J) C est une fonction de la position de la masse, de la configuration du système 17
8.4 Les fonctions énergie potentielle ésumé : Lorsque qu un système isolé n est soumis qu à l action de forces conservatives nous pouvons utiliser le principe de conservation de l énergie mécanique, pour analyser le mouvement ( position et vitesse) des éléments du système. Énergie K + U K + U E i K i Autrement dit + U f F c f Em du dr 0 m cinétique W c Énergie mécanique K Énergie potentielle U Fonction énergie potentielle de position U 1 U ( y) mgy J U ( x) kx J gravitationnelle ressort 18
8.4 Exemples Exemple: Un bloc glisse sur une surface sans frottement à partir d une hauteur H. Il rencontre une colline de rayon. a) Déterminez à quelle hauteur minimale H le bloc doit-il partir pour qu il rase le sommet de la colline sans vraiment le toucher? Situation H Problème: Je cherche H pour que la normale soit nulle au sommet de la colline. 19
8.4 Exemples H Problème: Je cherche H pour que la normale soit nulle au sommet de la colline. Solution possible : J utilise le principe de conservation de l énergie mécanique K i + U i E f m K + U K + U 0 f 0
8.4 Exemples H Solution possible K + U E 0 m Nous avons K + U K + U i i K i 0 U i f f mgh 1 K f mv U f mg 1
8.4 Exemples H Solution possible K i 0 U i mgh 1 K f mv U mg f Je dois trouver la vitesse au sommet de la colline. Sur la colline, le bloc effectue un mouvement circulaire. Il est donc soumis à une force centripète.
8.4 Exemples H Sur la colline, le bloc effectue un mouvement circulaire. Il est donc soumis à une force centripète. Selon la deuxième loi N de Newton Identifions les forces au sommet de la colline N : normale F g : poids F g F F ma mv mg N 3
8.4 Exemples H Sur la colline, le bloc effectue un mouvement circulaire. Il est donc soumis à une force centripète. Lorsque la normale soit nulle, la vitesse est donnée par Selon la deuxième loi de Newton F F ma mv mg N mv v mg g 4
8.4 Exemples H Sur la colline, le bloc effectue un mouvement circulaire. Il est donc soumis à une force centripète. v g En revenant au principe conservation de l énergie mécanique, nous avons K + U K + U i i f f 1 mgh mg + mg 5
8.4 Exemples H En revenant au principe conservation de l énergie mécanique, nous avons 1 mgh mg + mg 3 H ésultat probable : Il faut laisser partir le bloc à H1,5 6
8.4 Exemples b) Après avoir effectué son mouvement circulaire, le bloc de 0,5 kg arrive à 5,0 m/s au haut d un plan incliné de 1 o, parcourt 1, m avant d entrer en contact avec le ressort pour le comprimer avant de s arrêter un court instant. Déterminer alors la compression maximale du ressort si sa constante de rappel est de 0,0 N/m Problème : Je cherche à compression maximale «x» 7
8.4 Exemples x b) Après avoir effectué son mouvement circulaire, le bloc de 0,5 kg arrive à 5,0 m/s au haut d un plan incliné de 1 o, parcourt 1, m avant d entrer en contact avec le ressort pour le comprimer avant de s arrêter un court instant. Déterminer alors la compression maximale du ressort si sa constante de rappel est de 0,0 N/m Problème : Je cherche à compression maximale «x» Solution possible J utilise le principe de conservation de l énergie mécanique 8
8.4 Exemples x b) v 5,0 m/s, plan incliné de 1 o, parcourt 1, m, m 0,5 kg Déterminer alors la compression maximale du ressort si sa constante de rappel est de 0,0 N/m Problème : Je cherche à compression maximale «x» Solution possible J utilise le principe de conservation de l énergie mécanique K + U K + U i i f f 9
8.4 Exemples x b) v 5,0 m/s, plan incliné de 1 o, parcourt 1, m, m 0,5 kg Déterminer alors la compression maximale du ressort si sa constante de rappel est de 0,0 N/m Solution possible i J utilise le principe de conservation de l énergie mécanique K + U K + U i f f 1 mv Ki U i mg sin (1, + x) θ 0 K f U f 1 kx 30
8.4 Exemples x b) v 5,0 m/s, plan incliné de 1 o, parcourt 1, m, m 0,5 kg Déterminer alors la compression maximale du ressort si sa constante de rappel est de 0,0 N/m 1 mv K + U K + U Ki U i mg sin (1, + x) i θ 0 i f K f f U f 1 kx 6,5 o + 4,905sin1 (1, + x) 10x 0 31
8.4 Exemples x b) v 5,0 m/s, plan incliné de 1 o, parcourt 1, m, m 0,5 kg Déterminer alors la compression maximale du ressort si sa constante de rappel est de 0,0 N/m 1 K f U f kx 1 Ki mv U i mg sinθ (1, + x) 0 6,5 + 4,905sin1 (1, + x) 10x o 0 7,47 + 1,0x 10x 0 3
8.4 Exemples x b) v 5,0 m/s, plan incliné de 1 o, parcourt 1, m, m 0,5 kg Déterminer alors la compression maximale du ressort si sa constante de rappel est de 0,0 N/m 6,5 o + 4,905sin1 (1, + x) 10x 7,47 + 1,0x 10x 0 0 En résolvant on obtient X 1 0,9168 x -0,8140 ésultat probable : La compression maximale du ressort sera de 0,917 m 33
8. et 8.3 L énergie potentielle et les forces conservatives appel On utilise la conservation de l énergie mécanique pour analyser une mouvement lorsque nous sommes en présence de forces conservative s variables ( ex.essort) Ces forces conservatives possèdent comme caractéristiques de dériver de la fonction énergie potentielle. du F( r) dr Les forces conservatives possèdent également les caractéristiques suivantes: 1) Le travail effectué par la force conservative sur un trajet allerretour est nul y i F g F g Avec le frottement W Fg U 0 W < 0 fc négatif 34
8. et 8.3 L énergie potentielle et les forces conservatives ) Le travail effectué par la force conservative est indépendant du trajet suivi pour aller d un point A à un point B A y i Trajet (1) B F g A Trajet () y i F g B W Fg U K W fc ( 1) > W fc () Travaux différents avec le frottement 35