Séries trigonométriques - Séries de Fourier

Séries trigoométriques - Séries de Fourier

Séries de Fourier - - - - - - - - - - - - - - - - - Clcul de séries de Fourier et étude de l covergece :. Exemple : - O cosidère l foctio f, -périodique, telle que x [, [, fx x Clculer s série de Fourier et étudier s covergece, e prtie u poit et retrouver u résultt clssique de somme de série de Riem. - Motrer que tout foctio de R ds R se décompose et d'ue mière uique e somme d'ue foctio pire et d'ue foctio impire. cosx six E déduire les sommes des séries et pour x ], [ SOLUTION : - f [ t t 3 dt 3 N, f + i f ] ] [t eit i 8 3 ft costdt + i te it i 4 dt i ] [t eit 4i + 4 E idetit les prties réelles et imgiires, o otiet : N, f 4 et f 4 L série de Fourier de f est : x R, S f x 4 + 3 + ft sitdt 4 cosx e it dt } {{ } t e it dt 4 six L foctio f est -périodique, de clsse C pr morceux sur R, et cotiue prtout suf ux poits de l forme k, k Z. D'près le théorème de Dirichlet, l série de Fourier de f est doc covergete e tout poit de R et x R, S f x [ ] f + f x x + E prticulier, S f x fx e tout poit où f est cotiue, c'est e dire si x k, k Z. x ], [, S f x 4 + 3 + 4 cosx 4 six x Au poit, S f [ ] f + f [ ] + f + f pr périodicité + doc 4 3 + 4 + S f 4 + d'où l'o tire : ζ 6 - Alyse : Soit f ue pplictio de R ds R et supposos qu'il exsite deux foctios g et h respectivemet pire et impire telles que f g + h Alors, x R, fx gx + hx et f x g x + h x gx hx Pr demi somme et demi diérece, fx + f x fx f x x R, gx et hx ce qui étlit l'uicité d'u evetuel couple g, h de foctios solutios. Sythèse : Soit f ue pplictio de R ds R et cosidéros les foctios g et h déies pr : fx + f x fx f x x R, gx et hx

Alors, - x R, gx + hx fx, f x + f x f x + fx - x R, g x gx doc g est ue foctio pire, f x f x f x fx - x R, h x hx doc h est ue foctio impire. L prtie pire de l foctio S f est l foctio S telle que : x R, S x 4 3 + 4 + L prtie impire de S f est S telle que : d'où x ], [, S x 4 3 + 4 + doc Remrque : cosx x R, S x 4 fx + f ],[ {}}{ x six f ],[ {}}{ x + x x x + cosx x ], [, x x + 4 x 4 3 4 x + 6 O retrouve, pr cotiuité e de l série de foctios x R l'églité : 6 Au poit, o otiet : De même, x ], [, S x 4 et doc x ], [, S x x x ], [,. Exemple : six six x fx f x cosx O cosidère l foctio f, -périodique, telle que x [, [, fx e x Clculer s série de Fourier et étudier s covergece. E déduire les vleurs des séries +, + + et +. SOLUTION : N, f + i f ft costdt + i [ e +it ] fx + f x ft sitdt f + i f e t+it dt + i Pr idetictio des prties réelles et imgiires, N, f e et + N, f e + L série etière de f est S f x e + S f x e + e cosx + ],[ {}}{ x + f x cosx qui coverge ormlemet sur x x fte it dt e + i e i + e + + cosx + six + e + six L foctio f est -périodique, de clsse C pr morceux sur R, et cotiue prtout suf ux poits de l forme k, k Z. D'près le théorème de Dirichlet, l série de Fourier de f est doc covergete e tout poit de R et x R, S f x [ ] f + f x x + E prticulier, S f x fx e tout poit où f est cotiue, c'est e dire si x k, k Z. 3

x ], [, S f x e + e cosx + cosx x ], [, + six + ex e Cette églité est vlvle pour x : soit ussi : + sh E, l foctio f 'est ps cotiue doc S f doc S f e soit ussi : + e + ch sh six + e x + sh [ + e ch e x e sh ] f + f e + e ch + L série de foctios { + } coverge ormlemet sur R doc est cotiue e. ch doc sh Aisi ch sh ch sh sh 3 3 3 + o 3 sh 6.3 Ue églité : Motrer que x ], [, x 4 SOLUTION : 3 3 3 3 6 + + o + 3 3 6 + o 3 sh cos + x six + L'idée est de trouver ue foctio f telle que l somme 4 cos + x soit s série de Fourier. + Pour cel, l foctio f devr être pire, puisque e guret que des cosius ds l série. Ue foctio de clsse C pr morceux étt e presque tout poit égle à l somme de s série de Fourier suf e ses poits de discotiuité, qui sot e omre i sur [, ], o devr voir e presque tous les poits de ], [, S f x fx doc fx x. Aisi, il fut déir f comme étt périodique, pire et vérit : x [, ], fx x six U risoemet logue, destié à trouver ue foctio g telle que l somme soit s série de Fourier, coduit à déir ue foctio g périodique, impire et vérit : x [, ], gx x Soit f l foctio périodique et pire telle que : x [, ], fx x Ses coeciet sot uls et, f ftdt tdt [ ] t N, f ft costdt t costdt + [ ] cost doc f et N 4, + f + N, f + i f ft costdt + i L série de Fourier de f est : x R, S f x 4 4 [ t sit ] ft sitdt cos + x + t e it dt sit dt

L foctio f est -périodique, de clsse C pr morceux et cotiue sur R. D'près le théorème de Dirichlet, l série de Fourier de f est doc covergete e tout poit de R et x R, S f x [ ] f + f fx x x + E prticulier, x [, ], 4 cos + x + x Soit g l foctio périodique et impire telle que : x [, ], gx x Ses coeciet sot uls et, N, g gt sitdt t sitdt [ t cost ] + cost dt }{{} six L série de Fourier de g est : x R, S g x L foctio g est -périodique, de clsse C pr morceux sur R, et cotiue suf ux poits de l forme + k, k Z. D'près le théorème [ de Dirichlet, ] l série de Fourier de g est doc covergete e tout poit de R et x R, S g x x g + g x + six E prticulier, x ], [, x Filemet, x ], [, x 4 cos + x six +.4 Série cosius : Existe-t-il ue suite réelle u telle que : SOLUTION : x ], [, six u cosx? L'idée est de rechercher ue foctio f telle que l somme u cosx soit s série de Fourier et telle que x ], [, S f x six. Pour cel, l foctio f devr être pire, puisque e guret que des cosius ds l série. Ue foctio de clsse C pr morceux étt e presque tout poit égle à l somme de s série de Fourier suf e ses poits de discotiuité, qui sot e omre i sur [, ], o devr voir e presque tous les poits de ], [, S f x fx doc fx six. Aisi, il fut déir f comme étt périodique, pire et vérit : x [, ], fx six Soit doc f l foctio périodique et pire telle que : x [, ], fx six Ses coeciet sot uls et, f f ftdt sitdt [ cost] 4 sit costdt sitdt [ cost, f ft costdt [ cos + t cos t + + d'où + f et f [ ] + + ] sit costdt si + t + si t dt [ + ] + ] + 4 4 L foctio f vérie : x R, fx si x Elle est de clsse C pr morceux et cotiue sur R. S série de Fourier coverge doc e tout poit de R et pour somme fx : x R, 4 cosx 4 si x 5

Aisi, l suite u déie pr u, N, u 4 + et N, u 4 vérie ie : x ], [, six u cosx.5 Développemet e série de l foctio cotgete ; Applictio u clcul de ζp pour les premières vleurs de p : Soit α uréel o etier α R Z et l foctio f, -périodique, telle que t [, ], ft cosαt - Développer f e série de Fourier e précist le ses à doer à cette questio - E déduire que x R Z, cotx x + + et que x R Z, 3- Soit g l foctio : x si x x x + + x x x Motrer que g est C sur ], [ et exprimer g p x. Clculer e prticulier g p à l'ide de l foctio ζ. E déduire ue expressio de ζp e foctio des coeciets du developpemet ité de l foctio g e : gx p x p + ox p Utiliser MAPLE pour clculer u developpemet ité de l foctio g e, et e déduire les vleurs exctes de ζp pour p,, 3, 4, 5, 6. Cormer les résultts oteus e comprt le résultt des clculs ves les vleurs de ζp doées pr MAPLE. SOLUTION : - L foctio f étt pire, les coeciets f sot tous uls. N, f ft costdt [ ] siα + t siα t + + f siα α cosαt costdt [ siα α + + siα α cosα + t + cosα t dt ] α siα α L foctio f est -périodique, de clsse C pr morceux et cotiue sur R. D'près le théorème de Dirichlet, s série de Fourier est doc covergete e tout poit de R et x R, S f x [ ] f + f fx cotiuité x x + C'est prce que l'églité fx S f x est vériée e tout poit de R que l'o peut dire que l foctio f est développle e série de Fourier. E prticulier, t [, ], S f t siα α + α siα α - E ppliqut cette églité u poit t, o otiet : cost cosαt siα α + α siα α cosα et e divist pr siα qui 'est ps ul puisque α / Z : cotα + α + α α Cette églité étt vrie pour tout α o etier, pour tout x R Z, e cosidért α tel que x α, o otiet : cotx + x + x x E dérivt terme à terme cette églité voir justictio à l questio suivte, o otiet : x R Z, si x 3- Notos, u x x x x x + + x 6

L questio précédete motré qu'e prticulier, x ], [, cotx u x, l série coverget simplemet sur l'ouvert ], [. Pour tout p N, chque foctio u est de clsse C p sur ], [. x ], [, u x x + x. u x x + 3 + x. 3 et pour tout p N, u p x p p! x + p+ + x p+ Pour éviter les prolèmes de mjortio pour et, écrivos : u x gx u x + u x + u x p N,, x ], [, u p x p! x + p+ + x p+ u p x p! x + p+ + x p+ p! p+ + p+ u p x p! p+ p+ + p+ p! p+ p+ doc sup u p x u p ],[ p! x ],[ p+ p+ Or l série de Riem est covergete pour tout p N, doc pr mjortio chque série p+ dérivée u p coverge ormlemet et uiformémet sur ], [. E ppliqut le théorème de dérivtio des séries de foctios p fois, o e déduit que g est dérivle à tout ordre p sur ], [ et que : + p N, x ], [, g p x u p x + g p x p p! E prticulier, g p p p! p+ d'où g p et g p+ u p x x + p+ + x p+ + p+ p+ p +! p+ g p et g p+ +! p p+ p+ ζp + p +! p+ ζp + 3- Si g dmet e u developpemet ité de l forme : gx p x p + ox lors, pr uicité de ce DL ou pr idetictio des dérivées successives e ds l formule de Tylor- Youg, pour tout p, p+ gp+ et doc g p+ p +! p+ p +! Pr idetictio vec les formules qui précèdet, ζp + p+ p+ Or d'près l questio, x R Z, cotx + x x + x x + + gx x >seriescotx-/x,x,; d'où 3 x 45 x3 945 x5 475 x7 38 93555 x9 6385875 x + Ox 3 ζ 6 ζ6 5 6 6 945 ζ 9 93555 ζ4 3 4 4 9 ζ8 7 8 8 945 ζ Ces résultts peuvet être cormés pr MAPLE : >for p from to 6 do Zet*p od; p 69 6385875 7

Coeciets de Fourier :. Eglité de foctios yt des coeciets égux : Soiet f et g deux foctios de R ds C, -périodiques et cotiues pr morceux. O suppose que Z, c f c g Motrer qu'lors fx gx e tout poit de R où f et g sot cotiues. E déduire que si l série de Fourier d'ue foctio f, -périodique et cotiue, coverge ormlemet sur R, lors s somme est égle à fx e tout poit de R. SOLUTION : Z, c f g c f c g Or f g étt -périodique et cotiue pr morceux, o peut écrire l'églité de Prsevl-Bessel : c k f g f gt dt Doc k f gt dt et l foctio t f gt étt positive, ceci etrîe que f gt e tout poit où f g est cotiue. Doc fx gx e tout poit x R où f et g sot cotiues. Remrquos que si o suppose de plus que f et g vériet l reltio de Dirichlet, à svoir, x R, f + f fx, les foctios f et g sot lors égles e tout poit. x x + Soit f ue foctio -périodique et cotiue. O suppose que s série de fourier S f x Alors, k Z, c S f k c kf e ik x dt }{{} si k k S f te ix dt c k fe ix coverge ormlemet sur R. + itervertio k c k fe ikx e ix dt pr cvgce ormle doc uiforme sur [, ] c f f et S f ot mêmes coeciets de Fourier, sot cotiues f l'est hypothèse, S f l'est pr covergece ormle doc uiforme, doc, d'près l questio précédete, x R, S f x fx.. Séries trigoométriques qui coverget uiformémet :. Soit ue série de foctios u uiformémet covergete sur u itervlle I. Démotrer que les foctios u sot toutes orées sur I pour ssez grd, et que u ted vers lorsque ted vers +. Soit I u itervlle fermé de logueur u mois égle à, et,, deux réels quelcoques. Motrer que le mximum de cos x + si x sur I est + 3. Soit I [α, β] u segmet de logueur strictemet positive. O suppose que l série de foctios [ cosx + six] coverge uiformémet sur I. Motrer que. + + SOLUTION : - Si o ote S l somme prtielle de rg de l série de foctios u, et S l foctio somme, l'hypothèse de covergece uiforme etrîe que pour sssz grd, l foctio S S est orée et que S S I + Pour tout, x I, u x S x S x S x Sx + Sx S x x I, u x S S I + S S I, ce qui motre ie que l foctio u est orée sur I. De plus,, u I S S I + S S I, ce qui motre pr mjortio que u I +. Ecrivos le complexe z + i sous forme trigoométrique : z z e iθ + e iθ doc + cosθ et + siθ lors cos x + si x + cosθ cos x + + siθ si x + cosx θ Puisque I est u itervlle fermé de logueur u mois égle à, qud x décrit I, x θ décrit lui ussi u itervlle fermé de logueur u mois égle à, trslté du précédet. Doc x θ psse pr ue vleur de l forme k, k Z, pour lquelle cosx θ est mximum et vut. 8

Doc le mximum de cos x + si x qud x décrit I est +. 3. Soit I [α, β] u segmet de logueur strictemet positive. O suppose que l série de foctios [ cosx + six ] coverge uiformémet sur I. }{{} u x D'près l questio, o peut rmer que u I + Qud x décrit l'itervlle [α, β], de logueur o ulle β α, x décrit l'itervlle [α, β], de logueur β α. Pour supérieur à u etier, cette logueur est supérieure à il sut de predre > D'près l questio,, u I +, et doc + + Les iéglités + et + etrîet lors que : +. +.3 Coeciets et série de Fourier O déit J e it 5 + 4 cos t dt. Clculer J et J Clculer J + 5J + + J + E déduire l vleur de J pour tout N. c Existece et clcul du développemet e série de Fourier de l foctio f : t d Retrouver ce résultt e décompost e élémets simples l frctio rtioelle SOLUTION : β α. 5 + 4 cos t. 5 + x + x J 5 + 4 cos t dt Aucue des règles de Bioche e coviet, o fit le chgemet de vrile u t t pour se rmeer à ue foctio rtioelle : t Arctu, dt du + u cost u + u du J 5 + 4 cos t dt du + 5 + 4 u + u du du +u 9 + u [ u ] + Arct 3 3 3 e it J 5 + 4 cos t dt cost 5 + 4 cos t dt + i cos t dt 5 + 4 cos t dt or + doc J sit 5 + 4 cos t }{{} fctio impire u +u du + 5 + 4 u + u du u +u 9 + u + u du y 9 + y + y 9 + y + + y 4 + y 5 9 + y + + u 5 9 + u du [ Arctu 5 u 3 Arct 3 ] + 3 J 3 J 3 e it + 5e i+t + e i+t e it + 5e i+t + e i+t J + 5J + + J + dt 5 + 4 cos t 5 + e it + e it dt + e i+t e it + 5 + e it [ ] e 5 + e it + e it dt e i+t i+t + { si dt i + sio Doc N, J + 5J + + J + L suite J N vérie ue coditio de récurrece liéire. L'équtio ssociée est : r + 5r + qui dmet pour solutios r, r doc λ, µ C, N, J λ + µ { J λ + µ Les coditios iitiles 3 J λ µ doet : λ, µ 3 3 doc N, J 3 Remrquos que, pour tout Z, + e it + e J 5 + 4 cos t dt it dt J J cr J est réel 5 + 4 cos t 9

e it Filemet, N, J J 5 + 4 cos t dt 3 c L foctio t 5 + 4 cost est déie, C sur R, et e s'ule ps. L foctio f : t 5 + 4 cost est doc -périodique et C sur R. D'ors et déj, o peut rmer, d'près le théorème de Dirichlet, que s série de Fourier coverge e tout poit x R et que s somme S f x est égle { à fx pour tout x R. c f L questio précédete motre que : J 3 N, c f c f d doc x R, S f x Z c fe ix c f + x R, S f x 3 + 3 x R, 5 + 4 cos x 3 + 3 cosx fx 5 + x + x x x + x + 3 x R, cosx 5 + 4 cos x 5 + e ix + e ix 3 + x c fe ix + e ix + x + eix + e ix J 3.4 DSF de t +cos t : - Soit f ue foctio -périodique, cotiue pr morceux. Motrer que si f est -périodique, lors pour tout k N, c k+ f, k+ f et k+ f - Soit f l foctio t +cos t. Trouver u réel m tel que : N, + f + m f + f Avec MAPLE, clculer et, puis pour tout N E déduire le développememt de f e série de Fourier. SOLUTION : - c k+ f ft e ik+t dt ft e ik+t dt + c k+ f fu e ik+u dt + ft e ik+t dt ft e ik+t dt pr le chgemet de vrile u t + ds l première itégrle c k+ f fu e ik+u e }{{}} ik+ {{} dt + ft e ik+t dt fu Les reltios c + c et ic c motret lors que k N, k+ f k+ f - t R, + cos t + + cost 3 + cost Pour tout réel m, + f + m f + f ft cos + t + m cost + cos t + + m + ft cost cost + m cost ft cost cost + mdt Puisque ft + cos t 3 + cost 4, e pret m 6, o otiet : 6 + cost + + 6 + 4 6 + cost cost cost + 6dt costdt [ ] sit + + 6 + Doc, pour tout N, + + 6 + f f + cos t dt cost + cos t dt 4 3

Recherchos les suites qui vérifet l reltio : N, + + 6 + L'équtio ssociée, X + 6X +, pour rcies α 6+4 3 + et β 3 doc il existe λ, µ R, N, λα + µβ Les costtes { λ et µ s'otieet pr résolutio du système : λ + µ { λα + µβ 4 3 λ, ce qui doe : µ et doc N, 3 + L foctio f étt de clsse C sur R et -périodique, s série de Fourier coverge e tout poit, et pour somme l foctio f. Les coeciets sot uls puisque f est pire. doc, x R, fx + + k coskx + 3 + k coskx k.5 Coeciets de Fourier Orl CCP O cosidère l'itégrle J Clculer J Motrer que pour tout, J si x + cos x dx c Motrer que J + idictio : o pourr utiliser l foctio -périodique impire coïcidt sur ], [ vec l foctio x + cos x SOLUTION : Clculer J J si x + cos x dx J Arct + Arct Soit N, J vrile u x J si x + cos x dx k Arctcos x dx [Arctcos x] + 4 4 si u + cos u du J doc J si u + cos u du c Cosidéros l foctio f, -périodique impire et telle que x ], [, fx Puisque f est impire, N, f si u + cos du pr le chgmt de u + cos x N, f ft sit dt ft sitdt sit }{{} + cos t dt J pire L restrictio de f à l'ouvert ], [ est prologele u segmet [, ] e l foctio x qui est + cos x de clsse C. Pr imprité, il e v de même pour l restrictio de f à l'ouvert ], [. f est doc de clsse C pr morceux sur le segmet [, ] et sur R pr périodicité. Pr cotre f 'est ps cotiue u poit cr f foctio impire, et f + x + + cos x O peut ppliquer l versio "file" du théorème de Dirichlet et rmer que l série de Fourier de f coverge e tout poit de R et que x R, S f x x f + f x + f étt cotiue u poit, e ppliqut cette églité u poit, o otiet : S f soit ecore : f si et puisque J, il e reste que les termes impirs : f si p p+ f si p + ce qui doe lemet e multiplit pr : + p J p+ p J + f

3 Formule de Prsevl-Bessel et Iéglités 3. Iéglité de Wirtiger : - Soit f ue foctio cotiue et C pr morceux de R ds C, périodique et de vleur moyee ulle. Motrer que f tdt Qud y t-il églité? - Motrer que : f 6 SOLUTION : f tdt f t dt - f étt de vleur moyee ulle, c f ftdt Pr déitio d'ue foctio C pr morceux, il existe ue sudivisio x < x < x <... < x p telle que l restrictio de f à chque itervlle ]x k, x k+ [ soit prologele u segmet [x k, x k+ ] e ue foctio C, ce qui équivut à dire, puisque f est cotiue, que s restrictio à chque segmet [x k, x k+ ] est de clsse C. O peut lors itégrer pr prties sur chque segmet comme suit : Z, c f f te it dt p xk+ f te it dt k x k p [fte it ] xk+ x k+ + i fte it dt x k k p x k fxk+ e ix k+ fx k e ix k k } {{ } somme telescopique f f + ic f ic f }{{} Remrquos que c f i..c f + i fte it dt f étt C pr morceux sur R, f est cotiue pr morceux et o peut ppliquer l formule de Prsevl-Bessel à f et à f : f tdt c f c f c f f tdt Z Z Z cr c f c f doc f tdt f tdt Il y églité si et seulemet si c f c f Z Z si pour u mois u idice tel que et c f, lors l'iéglité c f > c f etrîe l'iéglité stricte c f > c f Z Z Doc il y églité si et seulemet si, c f f étt périodique cotiue et C pr morceux sur R, e tout poit x R, fx c fe ix c fe ix + c fe ix cos x + si x Z Filemet, f tdt f tdt vec églité si et seulemet si f est de l forme : x cos x + si x - Puisque f est cotiue et C pr morceux, d'près le théorème de Dirichlet, l série de Fourier de f coverge e tout poit de R et s somme est égle à l foctio f. Pr illeurs, l série coverge ormlemet sur R, et coverge doc solumet e tout poit de R. x R, k Z c k fe ikx fx o peut sommer sur Z puisque c f doc x R, fx c k fe ikx c k f i c k f k k c kf k Z k Z k Z k Z Pour deux ue séries et de crrés sommles, l série coverge et iéglité de Cuchy-Schwrz

doc x R, fx x R, fx 6 k Z k c kf k c k f 6. k Z k Z f t dt f t dt ce derier mjort e dépedt ps de x, o e déduit que : f 6 f t dt 3. Zéros d'ue foctio. Foctio ulle : - Soit f ue foctio cotiue sur le segmet [, ] telle que : k {,,,..., }, t k ftdt. Motrer que f s'ule u mois + fois sur l'ouvert ], [. O suppose que k N, Motrer que f est l foctio ulle. t k ftdt. - Soit f ue foctio de clsse C sur [, ] telle que : x R, Motrer que f est ulle. ft cosxtdt. SOLUTION : - Supposos que f dmette mois de zeros sur ], [, qu'o oter x, x,..., x p, p <, rgés pr ordre croisst. f grde u sige costt sur chcu des itervlles ]x i, x i+ [ sio, étt cotiue, elle s'ulerit etre x i et x i+ e vertu du théorème des vleurs itermédiires De ses rcies, e reteos que celles où f s'ule e chget de sige, que ous reumérotos e x, x,..., x q, q p < lors l foctio produit x x x x x...x x q fx grde u sige costt sur [, ], puisque les chgemets de sige e trverst x i de l foctio f sot compesés pr ceux du polyôme x x x x...x x q Si P k X k est u polyôme de degré iférieur à, lors doc k P tftdt k t k ftdt k x x x x...x x q fxdx, ce qui est icomptile vec le fit que l foctio itégrde x x x x x...x x q fx est cotiue, o idetiquemet ulle et de sige costt sur le segmet [, ]. Doc f dmet u mois zeros sur ], [. Puisque k N, t k ftdt, pr liérité, pour tout polyôme P X R[X], P tftdt Or toute foctio cotiue sur le segmet [, ] est ite uiforme sur ce segmet d'ue suite de foctios polyomiles. Doc il existe ue suite de polyômes P X N telle que f P [,] et pr illeurs, + P tftdt pour tout. f étt cotiue sur le segmet [, ] est orée. Doc t [, ], P tft ft.ft P t ft. ft f P [,] d'où f f.p [,] f P [,]. f [,] + coverge uiformémet sur l segmet [, ] vers l foctio f. Doc + P tftdt f tdt d'où 3. f [,] ce qui motre que l suite de foctios P.f N f tdt

L foctio f étt cotiue, positive, et d'itégrle ulle, est l foctio ulle. Doc f. - Prologeos f pr prité à [, ], puis à R pr périodicité. f est lors -périodique cotiue et C pr morceux sur R. S série de Fourier coverge lors e tout poit x de R et pour somme fx : x R, S f x fx Les coeciets f sot tous uls cr f est pire, et R, f ft costdt pr hypothèse. Tous les coeciets de Fourier de f sot doc uls, l série de Fourier est idetiquemet ulle et S f x. D'où x [, ], fx S f x. 4 Applictio des séries de Fourier : 4. Série de Fourier ; pplictio u clcul d'ue itégrle Soit ], [ et f l foctio -périodique déie pr : x [, ], fx Etudier l série de Fourier de f et s covergece. Que vut l série de Fourier e et e? e déduire l somme c Clculer si si θ d* Justier l'existece et clculer l'itégrle SOLUTION : e précist le domie de vlidité. + L foctio f étt pire, les coeciets f sot tous uls. - N, f ft costdt [ ] sit si. - f ftdt dt L série de Fourier de f est doc : x R, S f x + si t + t dt et retrouver l vleur de costdt S f x + + si cosx si pr prité cosx { si x si < x si t dt t L foctio f est C pr morceux sur R cr est e esclier sur [, ]. Elle est cotiue e tout poit de [, ] suf e ±. D'près le théorème de Dirichlet, l série de Fourier de f est doc covergete e tout poit de R et x R, S f x [ ] f + f x x + E prticulier, S f x fx e tout poit où f est cotiue, c'est e dire si x ± + k, k Z. E, f est cotiue, doc S f f, ce qui s'écrit : et qui doe : si [ E, f 'est ps cotiue, doc S f doc + + si cos si pour tout ], [. ] f + f + 4 + si

d'où si E pret, o otiet : si vlidité de l formule oteue e. six Filemet, x ], [, x O remrque que cette formule 'est plus vlle e i e. six L foctio somme : x 'est ps cotiue e. c L formule de Prsevl Bessel permet d'écrire : f + f ft dt doc + + 4 si + 4 d'où l'o tire si si dt dt 4 pour tout ], [, ce qui corme et éted l d L foctio t si t est positive et cotiue sur t [, + [, domiée pr t t e +, doc est itégrle sur [, + [. A si t Cosidéros l somme de Riem de l'itégrle dt lorsque le segmet d'itégrtio [, A] est prtgé e segmets égux : S A A si ka k ka A t k si ka k L foctio t si t étt cotiue sur t [, A], o sit que S si t + t dt S si ka si ka A k k A A si ka A k k k+ k+ S A si ka A k k+ Pour A xé, les termes S et A ot chcu ue ite ie qud +, qui est respectivemet si t t dt et. Doc pr diérece, le terme si ka possède ussi ue ite ie, qu'o A k oter LA. E psst à l ite ds l'églité, o otiet : Pour tout, si ka A k A k+ si ka A k A A k+ k+ k+ A A si t dt LA t k A E psst à l ite pour A xé qud +, o otiet : E repret l'églité + A si t t dt dt t cr LA A k + k+ k dt t k si t t dt LA et e psst à l ite qd A +, o otiet lors : Pr itégrtio pr prties sur [, ] ], + [, puis pr pssge à l ite qud et +, o otiet : si t [ ] t dt si t si t cos t + dt t t 5

si t et doc t dt Ce qui permet de coclure que si t dt t si u du pr le chgemet de vrile u t u si u u du 4. Série trigoométrique - série de Fourier - Motrer que l série de foctios f : x forme [, ], lorsque < < E déduire que l foctio f : x - Clculer ft sitdt et e déduire six L foctio f est elle cotiue pr morceux? SOLUTION : six coverge uiformémet sur tout itervlle de l est cotiue sur R Z ft sitdt. - Soiet N et x R Z ; e S x sikx sikx Im e ikx i+x Im e ix Im k k k e i + x cr e ix puisque x [] + i x i si S x Im e x i si x si + x si x si x doc N, S x si x Mjoros le reste r x pr l trsformtio d'ael : Pour x [] et N, otos S x sikx et N, p N, +p k+ k sikx +p k+ +p k+ +p k+ k sikx k S k x +p k+ +p k k k S k x S k x k+ S k x +p k+ k k+ S k x + S x + +p S +p x e i x k S k x + i e x e i + e i x e i x +p k+ k S k x L suite S k x k N est orée : k, S k x si x M x doc k k+ S k x k k+ M x et l série k k+ est ue série télescopique covergete +p puisque k k+ + +p+ + cr p, et doc k k+ + p + + k+ k+ L série k k+ S k x est doc solumet covergete k pr illeurs, +ps +p x cr S x est orée et p p + + E psst à l ite ds pour xé qud p +, o otiet l covergece de l série k+ k sikx et l'églité : k sikx k k+ S k x + S x k+ k+ + d'où sikx k+ k k k+ S k x + + S x k+ + sikx k+ k k k+ + + M x + M x + k+ si x Pour tout x [, ], x x < si si x x 6

doc sup sikx x [, ] k+ k r [, ] + si si + Il s'esuit que r + [, ], et que l série de foctios k k sikx coverge doc uiformémet sur [, ]. Chque foctio x k sikx étt cotiue sur [, ], l foctio f l'est ussi. Pour tout x ], [, il existe tel que < < x < < et f est cotiue u poit x. f est doc cotiue sur ], [. Et pr -périodicité, elle est cotiue e tout poit de R Z Aisi, f est cotiue e tout poit de R Z O peut oter ussi que f est impire comme chcue des foctios de l série qui l composet. + + - ft sitdt sikt sitdt sikt sit dt k k k k or sikt sit k+ k sit sikt k+ k sikt k+ k r t sikt sit k+ k r t + si t + si + si sup sikt sit t [, ] k+ k + si doc sikt sit, ce qui motre que l série de foctios sikt sit + k k k+ coverge uiformmet sur [, ]. O peut lors écrire : + sikt sit dt k doc k k k k k k k k ft sitdt k k t [, ] sikt sitdt k k sikt sitdt [cosk t cosk + t]dt k [cosk t cosk + t]dt k [sik ] [ t sik + t k k k + sik sik + + k k k + }{{} ft sitdt u k k k u k + ] + + costdt }{{} k [ sit + + si + si k+ ] k >, u k sik sik + si k si + k + + k k k + kk kk + u k k k + k k k sup v k v k [, ] t [, ] k + série de Riem covergete k k 3 O e déduit que l série de foctios u k est ormlemet covergete et doc uiformémet covergete sur [, ]. + Alors u k k k u k }{{} E psst à l ite ds qud +, o otiet : 7

ft sitdt ft sitdt L foctio f est -périodique. Ett impire, tous ses coeciets f sot uls. N, f ft sitdt Si l foctio f dmettit ue ite ie e +, pr imprité elle e dmettrit ue ussi e et serit cotiue pr morceux sur R. O pourrit lors ppliquer l formule de Prsevl-Bessel qui dit que : + f + f ft dt L série f devrit coverger. Or ce 'est ps le cs puisque f Doc l foctio f 'dmet ps de ite ie e + i e. 4.3 Série trigoométrique et équtio diéretielle : O dmet que l série x ], [, six six coverge uiformémet sur tout segmet iclus ds ], [ et que : x O cosidère l foctio f déie pr : fx six - Motrer que f est C surr et C sur ], [. Clculer f. - Détermier ue équtio diéretielle stisfite pr f sur ], [. Résoudre cette équtio à l'ide de MAPLE et e déduire l vleur de fx sur ], [ SOLUTION : - Pour tout et tout x R, posos u x six Chque foctio u est cotiue sur R et l mjortio u R motre l covergece ormle doc uiforme de l série de foctios u sur R. L foctio f est doc cotiue sur R. Chque foctio u est C sur R et l mjortio u R sup cosx x R motre l covergece ormle de l série de foctios u sur R. L foctio f est doc C sur R et x R, f x E prticulier, f f 3 4 p p + cosx + + p + p 3 p + 4 Ce risoemet e vut plus pour l dérivée secode cr u x six e coverge plus ormlemet. O écrit lors u x six six + six six six l série six coverge uiformémet sur tout segmet [, ] iclus ds ], [ et l série six coverge ormlemet sur R. Il s'esuit que l série u x coverge uiformémet sur tout segmet [, ] iclus ds ], [. L foctio f est doc C sur tout segmet [, ] iclus ds ], [, c'est à dire sur ], [. Et x ], [, f x doc x ], [, f x six six six 8

x f x si x fx f est solutio sur ], [ de l'équtio diéretielle E : y + y x + si x O sit résoudre cette équtio du secod ordre liéire à coeciets costts. O peut s'éprger les clculs d'ue solutio prticulière de l'équtio complète grâce à MAPLE : >?dsolve >Equdi : diyx,x$+yx x - Pi/ + six; dsolveequdi; simplify"; yx x x cosx + C six + C cosx Aisi, λ, µ R, x ], [, fx λ six + µ cosx + x x cosx Il reste à détermier les costtes λ et µ. Pr cotiuité de l foctio f e, o otiet f µ doc µ x ], [, f x λ cosx µ six + + x six cosx et pr cotiuité de l foctio f e, o otiet f 3 4 λ + doc λ 3 4 et lemet x ], [, fx 3 4 six + cosx x cosx + x cette églité se prologet pr cotiuité ux ores de l'itervlle. 4.4 Eglité de deux séries doules : Motrer que : SOLUTION : e x k e k 4 e ix. Etudios l foctio f : x e x Z Pour cel itroduisos les deux séries simples : f x e x et f x e x e x+ Pour N, déissos u x e x e x et v x e x+ Soit [, ] u itervlle quelcoque de R et soit tel que x [, ],, x, doc x doc x et e x e ce derier mjort étt idépedt de x, o e déduit que u [,] e, ce qui motre pr mjortio l covergece ormle de l série de foctios u sur le segmet [, ]. Il s'esuit l covergece simple de u x e tout poit x [, ]. [, ] étt quelcoque, f est déie sur R. De plus, chque foctio u étt cotiue sur [, ], l covergece uiforme de l série etrîe l cotiuité de l foctio somme f sur le segmet [, ]. U risoemet logue motre l cotiuité de l foctio f sur le segmet [, ] et lemet celle de f f + f sur tout segmet [, ] et e de compte sur R. x R, fx + e x+ e x m pr le chgemet d'idice m L foctio f est doc -périodique. Clcul des coeciets de Fourier de f : k Z, c k f + e t e ikt dt + e x m e t ikt fx Pr covergece ormle doc uiforme des deux séries de foctios e x ikt et e x+ ikt sur le segmet [, ], o peut écrire : c k f e t ikt dt e u iku+ du 9 dt

pr le chgemet de vrile u t ds chque itégrle Compte teu de l'églité e ik et e regroupt les itégrles sur des itervlles successifs [, ] [, + ] pr l reltio de Chsles, o otiet : c k f + e u iku du Pour clculer cette itégrle, itroduisos l foctio g déie pr : gx + e u ixu du L domitio e u ixu e u motre que l'itégrle est solumet covergete pour tout x réel. O vérie que les hypothèses de dérivtio sous le sige sot stisfites et l'o e déduit : + + x R, g x iue u ixu du i ue u e ixu du g x i [ e u e ixu] u + + ixe u e ixu du x u g x x gx x doc il existe ue costte λ R telle que gx λ exp t dt mis g + e u du doc λ g et gx itégrle de Guss + e u ixu du e x 4 + λe x 4 e u e ixu du d'où l'o déduit lemet que c k f gk e k 4 et que l série de Foureier de f est : S f x k e k 4 e ikx c L foctio f est -périodique et cotiue sur R. Comme ds l première questio, o étlit l covergece ormle de l série dérivée u x xe x sur tout itervlle [, ] pr l mjortio u [,] mx, e, ce qui motre pr le théorème de dérivtio des séries de foctios que l foctio f est de clsse C sur tout segmet de R. Risoemet logue pour l foctio f et o e coclut lemet que l foctio f esst de clsse C sur R. O peut lors utiliser le théorème de Dirichlet pour rmer que l série de Fourier de f coverge e tout poit de R et pour somme f : x R, S f x fx. Doc x R, fx k c k fe ikx k e k 4 e ikx 4.5 Solutios périodiques d'ue équtio diéretielle Orl CENTRALE O cosidère l'équtio diéretielle E : y x + e ix yx - Motrer qu'ue foctio f solutio de E sur R est périodique si et seulemet si : f f et f f - Soit f ue telle solutio. O ote c f fte it dt Trouver ue reltio de récurrece etre c f et c f E déduitre que E dmet ue solutio périodique o ulle. 3- Doer le développemet e série de Fourier de l foctio t expx e it et iterpréter l solutio à l'ide de l foctio g : x SOLUTION : exp cost e i x dt - Si f est ue solutio de E périodique, lors f f et puisque f est elle ussi périodique, f f. Réciproquemet, soit f ue solutio de E sur R telle que f f et f f Cosidéros l foctio g déie pr : x R, gx fx + lors g f f et g f f et o vérie que g est églemet solutio de E clcul ss diculté

L'équtio E est du secod ordre, liéire, et le coeciet de y e s'ule ps sur R. O peut lors ppliquer le théorème d'uicité de Cuchy-Lipschitz ux solutios déies sur R : f et g sot deux solutios de E sur R et qui vériet les mêmes coditios iitiles u poit : g f et g f Elles sot doc égles : x R, gx fx Doc x R, fx + fx et l foctio f est périodique. - Soit f ue solutio de E sur R périodique. Ses coeciets de Fourier sot lors déis. De plus, f est u mois de clsse C sur R et o peut itégrer pr prties comme suit : Z, c f fte it dt [ ] ft e it i f t e it i dt f t e it i dt i c f doc, Z, c f ic f et cette églité est ecore vlle pour c f cr f est périodique E ppliqut ce résultt à f, o otiet : c f ic f i c f c f Pr illeurs, c f fte it dt fte it e i t dt cr f x + e ix fx doc, c f c f c f Aisi, Z, c f c f soit ussi : Z, c + f c f Pour, o otiet lors c Pour, l reltio c f c f doe c. Pr ue récurrece immédite, o motre que N, c Pour, o otiet c c doc c c puis c c c, c 3 c 3 c.3, c 4 c 3 4 c.3.4 et de mière géérle, N c, c.3.4... c! Doc, N, c et c c! Doc x R, fx c Réciproquemet, l série e ix! e ix! cvge ormlemet sur R puisque e ix! f te i t dt! il existe des solutios de E déies sur R et -périodiques o ulles ; E coclusio, e ix elles sot de l forme x λ! 3- x, t R, exp cost e i cost e i x x! série expoetielle complexe covergete sur C exp cost e i x cos x i t e! Pour tout x, l foctio t exp cost e i x est cotiue doc itégrle sur le segmet [, ] doc x R, gx exp cost e i x cos x i t e dt dt! Pour tout x xé, l mjortio cos x i t e! motre que l série de foctios de t,! coverge ormlemet doc uiformémet sur le segmet [, ]. cos x i t e cos x i t e O peut lors écrire : dt dt!! doc x R, gx cos x i t e dt x i e cos tdt!! Reste à clculer w cos tdt, itégrle ressemlt ux itégrles de Wllis cos tdt cos x i t e!

N, w w cos t cos tdt [ cos t si t ] + }{{} w Pour p pir, w w w cos t cos tdt w w w dt w 4 3 4 w.3.4... w p p p w.3...p p.4...p et e multiplit hut et s pr.4.6...p, o otiet : w p p! p p! Pour impir, w d'où x R, gx gx p p e ipx p! cos t si tdt cos t dt [si t] et pr ue récurrece immédite, p N, w p+ x i e! p! p p! cos tdt p p p px i e w p p! seuls les idices pirs ot ue cotriutio o ulle e ipx p! E comprt u résultt oteu ds l questio, o e coclut que les solutios périodiques de l'équtio E sot les foctios de l forme : yx λ 4.6 Clculs de λ + ft si λt dt et - Théorème de Leesgue exp cost e i x dt Soit f ue foctio de clsse C sur [, ]. Motrer que λ + ft si λt dt : λ ± fte iλt dt. Soit f ue foctio cotiue sur [, ]. Motrer que fte iλt dt. λ ± O pourr d'ord motrer ce résultt pour des foctios e esclier sur [, ]. E déduire λ + ft si λt dt et - Motrer que t R, si t 4 Motrer que λ ± Solutio : λ + cost 4 ft si λt dt ft cos λt dt ftdt. - Les foctios f et expoetielle étt de clsse C sur [, ], o peut eectuer ue itégrtio pr prties comme suit : ] Pour tout λ R, fte iλt dt [ft eiλt + i f t eiλt iλ λ dt fte iλt dt fe iλ fe iλ iλ + i f te iλt dt iλ fte iλt dt fe iλ + fe iλ + f te iλt dt λ fte iλt dt f + f + f t dt λ }{{} idepedt de λ

cette mjortio motre que λ ± fte iλt dt et étlit le résultt demdé. Si l foctio f est costte sur [, ], de vleur c C, lors [ ] e fte iλt dt c e iλt iλt dt c i c eiλ e iλ doc iλ λ fte iλt dt c λ λ + Si l foctio f est e esclier sur [, ], il existe ue sudivisio x < x <... < x m < x m telle que f est costte sur chque itervlle ]x, x i+ [. m xi+ lors fte iλt dt fte iλt dt k x i et d'près l'étude qui précède, f étt costte sur chque itervlle ]x, x i+ [, pour tout i {,,..., m }, d'où pr dditio, λ ± xi+ λ ± fte iλt dt. x i fte iλt dt Supposos e que l foctio f est cotiue sur [, ]. Soit ε >. O sit que toute foctio cotiue sur u segmet est ite uiforme sur ce segmet d'ue suite de foctios e esclier. Doc il existe ue foctio g e esclier sur [, ] telle que f g [,] fte iλt dt ft gte iλt dt + gte iλt dt fte iλt dt ft gte iλt dt + gte iλt dt fte iλt dt ft gt. e iλt dt + gte iλt dt }{{}}{{} f g fte iλt dt f g dt + gte iλt dt ε + ε gte iλt dt g étt ue foctio e esclier, d'près l'étude précédete, gte iλt dt. λ ± doc il existe A R + tel que λ A gte iλt dt ε doc pour tout λ R, λ A fte iλt dt ε + ε ε O isi motré que : ε >, A R +, λ R, λ A fte iλt dt ε c'est à dire que : λ ± fte iλt dt E écrivt cosλt eiλt + e iλt et siλt eiλt e iλt et e ppliqut le résultt précédet, o e i déduit que : ft si λt dt et ft cos λt dt λ + λ + - L foctio t si t est cotiue sur R et -périodique, ses coeciets de Fourier sot doc déis. Les coeciets sot uls puisque l foctio est pire. N, si t costdt si t costdt sit + t + sit t dt si cos si + + si N {}, [ ] cos + t cos t + [ ] + + + + + d'où p N 4, p+ et p 4p E, 4 et si t cos t dt sitdt 3

L série de Fourier de l foctio t si t est doc : St + 4 p cospt 4p L foctio g : t si t est -périodique, C pr morceux et cotiue sur R. O e coclut, pr le théorème de Dirichlet, que s série de Fourier coverge e tout poit de R et que t R, S g t gt Doc t R, si t + 4 cospt 4p 4 cost 4 Pour tout λ R, ft si λt dt ft si λt dt p ft si λt dt ftdt 4 ftdt 4 ft 4 cosλt 4 dt ft cosλt 4 dt u t dt e post u t cosλt ft 4 L foctio f est cotiue et doc orée sur le segmet [, ] : t [, ], ft f [,] cosλt ft t [, ], u t 4 ft 4 f [,] ce derier mjort étt idépedt de t, 4 o e déduit : u [,] sup u t f [,] t [,] 4 doc, pr mjortio, l série u [,] coverge et l série de foctios u coverge ormlemet et doc uiformémet sur [, ]. Il s'esuit que u t dt u t dt d'où ft si λt dt ftdt 4 cosλt ft 4 dt cosλt ft e post v λ 4 dt, o otiet : ft si λt dt ftdt 4 v λ λ + - d'près l questio, N, ft cosλtdt doc v λ λ ± λ + - λ R cosλt ft f [,], v λ 4 dt, ce qui motre l covergece ormle et 4 uiforme de l série de foctios v sur ], + [. O e déduit que : v λ v λ λ + E reportt ds l'églité, o e déduit lemet que : ft si λt dt ftdt 4 λ + v λ λ + Doc ft si λt dt ftdt λ + 4.7 Suite yt deux ites : ftdt O ote E l'espce vectoriel des polyômes trigoométriques de degré, c'est à dire l'esemle des foctios de R ds C de l forme x c k e ikx où c, c +,..., c, c, c,..., c, c R +, et E k N l'espce vectoriel des polyômes trigoométriques de degré quelcoque mis i, à e ps cofodre vec les séries trigoométriques Pr déitio, u polyôme trigoométrique est ul si tous ses coeciets sot uls, deux polyômes trigoométriques sot égux si tous leurs coeciets sot respectivemet égux. - Motrer que l'pplictio N qui à P E fit correspodre N P sup x [,] P x est ue orme sur E. Même questio pour N : P sup x [,] P x 4 E

- O cosidère l foctio g, -périodique telle que : - x [, ], gx - x ], [, gx e ix Détermier l série de Fourier expoetielle de g et étudier s covergece. Motrer que l série de Fourier coverge uiformémet sur R. 3- O ote S, g x le polyôme trigoométrique k c k ge ikx Etudier l covergece de l suite S, g ds les espces vectoriel ormés E, N et E, N. Commetires? Solutio : - Soit P x k lors x [, ], doc x [, ], c k e ikx E tel que N P k k c k e ikx e ix c k e ikx k c k e ix k. Le polyôme QX k c k X k dmet doc ue iité de rcies, à svoir tous les complexes de l forme e ix lorsque x décrit [, ]. C'est doc le polyôme ul, ce qui sigie que tous ses coeciest sot uls, c'est à dire k {,,...,, }, c k. P est doc le polyôme trigoométrique ul. Les reltios : P E, λ C, N λ.p λ.n P et : P, Q E, N P + Q N P + N Q se démotret comme pour toute orme uiforme. Doc N est ue orme sur E. U risoemet logue motre que N est ue orme sur E. - Z, c g gte it dt e it dt + e it e it dt [e si et, c g ] it [ ] e i t + + i i i i d'où c p g et c p+ g ip + + i ip 4p c g dt + e it dt [ ] e it + i c g [e e it dt + dt ] it + i L série de Fourier de g est S g x + eix + i 4p eip+x p Z L restrictio de g à chcu des ouverts ], [ et ], [ est prologele u fermé correspodt e ue foctio de clsse C l foctio costte pour le premier itervlle, l foctio x e ix pour le secod. g est doc C pr morceux sur [, ] et sur R pr périodicité. Pr illeurs, gx g cr gx sur [, ] x gx cr gx e ix sur ], [ x + g est doc cotiue u poit. gx e i cr gx e ix sur ], [ x gx g g cr gx sur [, ] et périodique x + x + g est doc cotiue u poit. Filemet, pr périodicité, g est cotiue sur R et de clsse C pr morceux. D'près le théorème de Dirichlet, o peut rmer que l série de Fourier de g coverge e tout poit de R et que s somme est gx e tout poit. Pr illeurs l série coverge ormlemet et doc uiformémet sur R. 3- O viet de voir que S, g g R + doc, pr mjortio, S, g g + [,] et 5 S, g g + [,]

c'est à dire S, gx + [,] et S, gx e ix + [,] soit ecore N S, g et N S, g e ix + + O e coclut que S, g ds E, N et S, g e ix ds E, N + + L même suite S, g N ' doc ps l même ite ds l'espce vectoriel E suivt qu'o le muisse de l orme N ou de l orme N. Les ormes N et N e sot doc ps équivletes. ce qui est possile puisque E 'est ps de dimesio ie 4.8 Théorème de Fejer : Ds toute l'étude, pour tout k Z, e k est l foctio déie pr : x R, e k x e ikx - Soiet f et g deux foctios cotiues et -périodique. O déit leur produit de covolutio pr : f gx fx tgtdt Motrer que f g est cotiue, -périodique, et que f g g f. Motrer que Z, c f g c f c g c Clculer f e k. - Pour tout N, o déit D et k e k e + e + +... + e + e + e +... + e + e K D + D +... + D + L'pplictio D est ppelée "oyu de Dirichlet" Motrer que si x / Z, D x si + x si x et que K x si +x + si x E déduire que l suite K N coverge uiformémet vers sur [, ] et sur [, ] pour tout ], [ Motrer que f D est u polyôme trigoométrique. Que représete-t-il pour l foctio f? 3 - Clculer e k tdt pour tout etier k Z. Motrer que K tdt Motrer que l suite de foctios f K coverge uiformémet sur R vers l foctio f. 4 - Polyômes de Tcheychev : Soit N Clculer ue expressio de cosx e foctio de cos x, et e déduire l'existece d'u polyôme T tel que : x R, cosx T cos x. Motrer qu'il existe u seul polyôme vérit cette derière propriété. E doer u développemet explicite. Motrer que :, T + X X T X T X. 5 - Théorème de Weïerstrss : L'ojet est de démotrer le téhorème de Weïerstrss : Toute foctio cotiue sur u segmet [, ] est ite uiforme sur ce segmet d'ue suite de foctios polyomiles. Ue pplictio f cotiue de [, ] ds R étt doée, o se rmèe u segmet [, ] pr l foctio composée g f o ϕ où ϕt + t. isi g f et g f + Soit g ue foctio réelle déie et cotiue sur le segmet [, ]. Motrer que l foctio h g o cos x R, hx gcosx est -périodique et cotiue sur R. 6

Motrer que pour tout etier N, h K est u polyôme trigoométrique pir, qui peut s'écrire comme ue comiiso liéire ie des foctios x coskx, k N E déduire que toute foctio cotiue sur le segmet [, ] est l ite pour l orme uiforme [,] Solutio : d'ue suite de foctio polyomiles. - f et g étt cotiues sur R, - pour tout t [, ], l foctio x fx tgt est cotiue sur R, - pour tout x R, l foctio t fx tgt est cotiue et doc itégrle sur le segmet [, ], - pour tout x, t R [, ], fx tgt f R. g R f et g sot orées sur R cr sot cotiues et périodiques O e déduit, pr le théorème de cotiuité des itégrles foctios d'u prmètre, que l foctio f g : x fx tgtdt est cotiue sur R. x R, f gx + fx + tgtdt fx tgtdt f gx cr f est -périodique. doc f g est -périodique. x R, g fx gx tftdt x x+ gufx u du pr le chgemet de vrile x t u gufx u du gufx udu f gx l foctio itégrée est -périodique Z, c f g f gxe ix dx fx tgtdt e ix dx c f g 4 fx tgte ix dt dx L foctio x, t fx tgte ix étt cotiue sur [, ] [, ] comme composée de foctios cotiues, d'près le théorème de Fuii, c f g 4 fx tgte ix dx dt 4 fugte it+u du dt pr le chgemet de vrile x t u ds l'itégrle fx tgte ix dx c f g 4 e it gt fue iu du dt e it gtc fdt d'où lemet, c f g c f c x R, f e k x e k fx f e k x eikx isi, f e k c k f.e k gte it dt c f.c g e k x tftdt e ikx t ftdt fte ikt dt fte ikt dt e ikx c k f e k x - x / Z, e ix, o peut sommer les premiers de l suite géométrique comme suit : D x e ikx e ix + e ix + e ix + e 3ix +... + e ix ix ei+x e e ix k + ix ei x D x e e i x }{{} x / Z, K x + + i e x + i e x e i x e i i si + x x i si x si + x si x D k x + si x k si k + x k K x + si x Im e ik+ x + si x k Im e i x K x + si x Im e i x e i+x e ix + si x Im e ikx k e i x e i + x e i x si + x si x 7

K x + si x Im e i + + x si x si x + si +x si x Soit ], [. Pour tout x [, ], x doc < si si x et doc K x si +x + si x + si d'où K [,] + si, ce qui motre que l suite de foctios K N coverge + uiformémet vers sur [, ] pour tout ], [. K étt pire, cette démostrtio vut ussi pour l'itervlle [, ] L'pplictio f, g f g est cliremet iliéire. f D f e k f e k c k fe k k k k f D x représete doc l somme prtielle de rg de l série de Fourier de f prise u poit x. C'est u polyôme trigoométrique. si k 3 - e k tdt e ikt [ ] dt e ikt eik e ik si k ik ik O e déduit que D tdt e k tdt k seul le terme pour k ue cotriutio o ulle puis que K tdt D k tdt + + k + }{{} Pour tout x R, f K x fx fx tk tdt fx. K tdt }{{} f K x fx fx t fxk tdt fx t fx K tdt Soit ε >. f est cotiue sur le segmet [, ] doc est uiformémet cotiue sur ce segmet, et sur R pr périodicité. isi η >, x, y R, x y < η fx fy < ε doc pour tout t [ η, η], fx t fx < ε puisqu'lors x t x t < η η doc fx t fx K tdt ε η K tdt ε K tdt ε }{{} pr illeurs, η K [η,] ε η η η fx t fx K tdt + fx t fx K tdt η fx t fx dt + fx t fx dt K est pire η K [η,] f R dt K [η,] f R Or l suite de foctios K coverge uiformémet sur [η, ] vers l foctio ulle. Doc,, K [η,] ε f R η et doc, fx t fx K tdt + fx t fx K tdt ε η E sommt et, pour tout x réel,, f K x fx ε et doc f K f R ε O isi motré que : ε >, N,, f K f R ε, c'est à dire que l suite de foctios f K coverge uiformémet sur R vers l foctio f. 4- x R, cosx Ree ix Ree ix Recos x + i si x Re cos x k i si x k k k 8

E h h E post T X cos x h h si x h E h h E h h h X h X h h cos x h cos x h o déit ie u polyôme de R[X] qui vérie l propriété : x R, cosx T cos x. Si u utre polyôme U X vérie l même propriété, lors, x R, T cos x U cos x cosx cosx. Le polyôme T U, yt ue iité de rcies, est le polyôme ul et T U. x R, T + cos x + T cos x cos + x + cos x cos x cosx cos x T cos x d'près l reltio cos p + cos q cos p+q p q cos Le polyôme T + X + T X X T X dmettt ue iité de rcies, est le polyôme ul doc T + X X T X T X 5- h g o cos est -périodique cr l foctio x cosx l'est, et cotiue comme composée de deux foctios cotiues. Soit Z. O sit que h D est l somme prtielle de rg de l série de Fourier de l foctio h. d'près l questio - doc h D s'écrit ussi : h D x h + k h coskx + k h sikx h + k h coskx puisque les k k coeciets sot uls pr prité de l foctio h. doc x R, h D x h + k ht k cosx E post P X h + k k ht k X, P X est u polyôme de R [X] qui vérie : k x R, h D x P cosx et lors x R, h K x h D k x h D k x P k cosx + + + k k k E post Q X P k X, Q X est u polyôme de R [X] qui vérie : + k x R, h K x Q cosx Or h K h R sup h K x hx sup Q cos x gcos x sup Q t gt Q g [,] x R x R t [,] et puisque h K h R + d'près 3-, il s'esuit que Q g [,] +, ce qui motre que l suite des foctios polyomiles Q coverge uiformémet sur [, ] vers l foctio g. 9